数学猜想

提出数学猜想的几种方法
三、变换条件法
变换条件法也是一种提出数学猜想的常用方法。所谓 变换条件法，就是通过改换某一数学定理的前提条件来提 出数学猜想。古希腊数学家欧几里得提出并证明了“素数 有无穷多”这一著名的数学定理。后来，人们通过变换这 一定理条件的方法提出了种种猜想。“孪生素数猜想”就 是其中的一个。若p是素数，p+2亦是素数，则称(p，p+2) 是一对孪生素数。如，(3，5)；(5，7)；(11，13)；(17， 19)；(101，103)；(10016957， 10016959) ；( ＋7， 9 10 ＋9)等等，都是孪生素数。孪生素数显然是素数中的一部 109 分，但人们却改变“素数有无穷多”这一定理的条件，提 出“孪生素数有无穷多”这一数学猜想。
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介绍几个著名数学猜想
回归数猜想
英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾经发现过一种有趣的现象: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 73他们都是三位数且等 0 153= 1 5 3 371= 3 7 1 370= 于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一 位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四(五,六)次幂 之和的四(五,六)位数: 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 3 4 4 7 4 8 1634= 1 54748= 5 6 6 6 6 6 6 4 8 8 3 4 548834= 5 像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂回归数. 人们自然要问:对于什么样的自然数 n 有多少个回归数?这样的 n 是有限个 还是无穷多个?对于已经给定的 n ,如果有回归数,那么进数学方法论的研究 1．数学猜想作为一种研究方法，它本身就是数 学方法论的研究对象。 2．研究数学猜想的过程中，又创造许多新方法 ，从而丰富了数学方法论的研究对象。 3．数学猜想作为数学发展的一种重要思维形式 ，它又是科学假说在数学中的具体表现，并深 刻反映了数学发展的相对独立性与数学理论的 相互导出的合理性。
提出数学猜想的几种方法
不完全归纳法不但在科学研究上有广泛的应 用，而且在数学教学中也具有很大的作用。 值得指出的是，不完全归纳法具有一定的局 限性。从不完全归纳法的含义中可以看到，不完 全归纳法的结果是在仅仅观察、分析了某类事物 的部分对象之后，对该类事物的属性所提出的猜 想。因此，其前提与结论之间不具有必然的联系 ，其结果具有或然性。不完全归纳法只是一种合 情推理，而不是严格的逻辑论证方法，所得结论 的正确性，尚需经过严格的逻辑推理和实践检验 后才能确认。
数学猜想的特征
1．真伪的待定性 2．思想的创新性 3．目标的具体性
提出数学猜想的几种方法
一、不完全归纳法 所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的部 分对象的分析，作出关于该类事物的一般性结论 的推理方法。 不完全归纳法的一般推理形式是： ,A , A , 设S= { A } ，由 1 2 n A2 具有属性p，… An 于 A1 具有属性p, 具有属性p，因此推断S类事物中的每一个对象都 可能具有属性p。
提出数学猜想的几种方法
四、物理模拟法
有些数学猜想是通过物理模拟并在物理模拟的启示下提 出来的。比如，在场站设置的实际问题中，人们归结出这样 一个数学问题：对平面上的已知n个点，把这n个点连结起来 ，如何连线才能使其总长度最短？为了解决这个问题，人们 曾想到用物理模拟的方法。先选定一块大小适当的细铁丝网 ，并在给定的n个点的位置上各插一大头针，然后把它放在肥 皂水里，最后再轻轻地将铁丝网取出。这时，如果从垂直于 铁丝网的方向看去，便可清楚地看出铁丝网上形成一些网状 线，而且从具体测定发现这些线与线之间的结点角，即从某 一点出发的射线间的夹角不小于120°。过去有人把这个实验 称之为“皂膜实验”。在这个实验的启示下，人们提出“在 一个平面上n点连线总长度最短时其连线间的结点角皆不小于 120°”的猜想。
数学猜想的类型
3．方法型猜想 所谓方法型猜想，即指内容是阐述解决问 题的方法与途径的那些数学猜想。比如，上世 纪30年代，运筹学研究中提出了所谓场站设置 问题：已知平面上有n个点，每个点都对应一 个重量，今在平面上求一点x，使之每个已知 点的重量集中在x点上的吨公里数(这里假定重 量单位为吨，距离单位为公里)为最小。
反例反驳概述
教学中常用的反驳法有以下三种： (1)构造一反例。即举出一个例子，说 明它具备命题的全部条件，但不具有命 题的结论。 (2)假定命题成立，推出荒谬结果，从 而证明了该命题是虚假的。 (3)论证与该命题相矛盾的命题是真实 的，根据矛盾律则推出原命题是虚假的 。
数学猜想的基本途径
（1）通过直觉观察引发猜想。 通过对所研究的数学问题的结构特 征、数据特征、图形特征等方面的细心 观察和分析，由直觉思维提出猜想。
猜想与反驳
数学猜想
数学猜想，是指依据某些已知事实 和数学知识，对未知的量及其关系所作 出的一种似真的推断。它既有一定的科 学性，又有某种假定性。它的真伪性， 一般说来，是难以一时解决的。它是数 学研究的一种常用的科学方法，又是数 学发展的一种重要的思维形式。
数学猜想的类型
1．存在型猜想 所谓存在型猜想，即指内容是讨论存在性 问题的那些数学猜想。 (1)只讨论存在与否 (2)既讨论存在与否，又指明其内容或量的 关系。
研究数学猜想的意义
一、丰富数学理论 第一，假若某个数学猜想最后被证明是正确的， 那么它就转化为数学理论，从而丰富了数学内 容。 第二，即使某个数学猜想未获最后解决，但在研 讨的过程中，却往往创造出一些意想不到的理 论成果。 第三，虽然某个数学猜想被否定了，但在否定的 过程中，却有时发现一些其它方面的数学理论 。
介绍几个著名数学猜想
三位回归数:153,370,371,407 四位回归数:1634,8208,9474 五位回归数:54748,92727,93084 六位回归数:548834 七位回归数:1741725,4210818,9800817 八位回归数:24678050,24678051
介绍几个著名数学猜想
如何培养学生检验数学猜想的意识和能力
（1）教师要引导学生认清检验数学猜想的重要性。 （2）教师要求学生养成检验数学猜想的习惯。教师 在教学中必须渗透“猜想＋证明”的发现问题和解 决问题的科学思维。 （3）帮助学生掌握检验数学猜想的一般方法。在数 学推理中，检验数学猜想的方法有：构造反例与提 出证明。要否定一个命题，只要举出一个符合题设 条件而结论不真的例子就足够了；而要肯定一个命 题，必须在题设条件下，经过严密的推证，证明结 论为真。 （4）引导学生运用观察、计算、操作实验，推理等 多种方法进行证明，发现规律，获得结论。
1924年，拉德马哈尔证明了：偶数=(7＋7)； 1932年，爱斯斯尔曼证明了：偶数= (6＋6)； 1938年，布赫斯塔勃证明了：偶数= (5+5)； 1940年，布赫斯塔勃证明了：偶数=(4＋4)； 1950年，维诺格拉多夫证明了：偶数=(3+3)； 1958年，王元证明了：偶数=(2＋3)； 1962年，潘承洞证明了：偶数=(1＋4)； 1962年，王元和潘承洞证明了：偶数=(1＋4)； 1965年，布赫斯塔勃等证明了：偶数=(1＋3)； 1973年，陈景润证明了：偶数=(1＋2)；
反例反驳概述
反驳是用已知为真的命题去揭露或证实另一 个命题的虚假性的逻辑方法。
反驳与证明不同，证明是确定某一判断的真实性 ，反驳是确定对方论题的虚假性或不能成立；证明的作 用在于探求真理，阐明真理，反驳的作用则在于揭露谬 误，捍卫真理。反驳与证明又是密切联系的，如果确定 了一个判断的真实性，同时也就意味着确定了与之相矛 盾的判断的虚假性。反之，如果确定了一个判断的虚假 性，同时也就意味着确定了与之相矛盾判断的真实性。 所以，证明与反驳是相辅相成的，它们都是人们探索真 理、发展真理不可缺少的思维形式和逻辑方法。
数学猜想的基本途径
（4）运用类比进行猜想。 由数学对象A联想到与它类似的数学 对象B，并由B的某些性质，得出A也具有 某些类似的性质。
数学猜想的基本途径
（5）由模拟构造引发猜想。 数学中许多问题与现实生活中的很 多现象有相似之处，通过生活中客观事 物、模型与方法的启示，通过模拟提出 猜想。
猜想在数学教学中的作用
解决数学猜想的一些途径
三、命题转化 有些数学猜想，用直接证明的方法， 长期得不到进展，怎么办呢？人们往往选 取命题转化的途径。其具体做法有二个。 第一是转化为等价命题，即要想证明某个 数学猜想，先提出与其等价的命题，然后 证明这个等价命题，从而原数学猜想得证 。
解决数学猜想的一些途径
解决数学猜想除上述三种途径以外 ，还有机器证明以及运用各种常规方法 等。当某猜想长久得不到解决，人们还 往往采取先进行能行性分析，如断定是“ 不可判定性”的，那就只好另寻新方法， 开辟新领域了
提出数学猜想的几种方法
五、逐级猜想法 有些猜想虽然尚未被证明是否正确 ，但在数学研究中有时先假定它是正确 的，然后在这个假定的基础上再提出新 的推断，从而由已有的猜想又得到了新 的猜想。
解决数学猜想的一些途径
一、举例否定 二、逐次趋近
哥德巴赫猜想，自1742年被提出后，许多数学家陆续作出 了越来越接近最后解决(假定以偶数=(1+1)来表示)的成果：
提出数学猜想的几种方法
二、类比法 同归纳一样，类比推理也是合情推 理的一种主要的思维形式，类比推理同 样是发现新的概念、方法、定理和公式 的重要手段，在数学的学习中来认识和 学习类比推理是比较简洁、明了，易于 表达和训练。
提出数学猜想的几种方法
类比推理的特征和作用 从以上例题的结构和对例题的分析中可以我 们可以进一步归纳出类比的特征： （1）类比是一个合乎情理的思维推理过程 ； （2）类比推理注重从两个不同的对象的某 些相同属性出发推理出这两个不同对象具有另一 些相同的属性。因此，类比推理也是发现和理解 新概念、方法、定理和公式的重要手段。 （3）在学习中，要关注类比的过程和类比 的基本程序，而类比得出的结论有正确的也有错 误的有待于进一步分析。