数学建模之灰色预测模型
灰色理论关联度与预测,数学建模必备知识,很实用哦
X m {xm ( jm )} | jm 1, 2,..., nm} 比较序列
灰色关联分析3
设x0(k)为X0（为参考序列）的第k个数；xi(k) 为Xi（比较序列）的第k个数；
则比较序列Xi对参考序列X0的灰色关联度为：
(X0 ,
Xi )
1 n
n k 1
r(x0 (k),
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差:
X 0 i X 0 2
S1
n 1
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b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
X 0 t ,
3
X 0 t ,...,
n
X 0 t
t1
t 1
t 1
t 1
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
灰色关联分析1
基本特征
建立的模型属于非函数形式的序列模型 计算方便易行 对样本数量多寡没有严格要求 不要求序列数据必须符合正态分布 不会产生与定性分析大相径庭的结论
n 1
c. 计算方差比：
C S2 S1
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d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
灰色关联分析3
灰色关联度的数学模型
X 0 {x0 ( j0 )} | j0 1, 2,..., n0} X1 {x1( j1)} | j1 1, 2,..., n1} X 2 {x2 ( j2 )} | j2 1, 2,..., n2}
01灰色预测
算法简介1、灰色预测模型（必掌握） 灰色预测模型使用范围：①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式③只适合做中短期预测，不适合长期预测。
灰色预测原理比较简单，详细的可以参考司守奎《数学建模算法与应用》。
需要注意的几点是：（1）灰色预测的使用范围（2）灰色预测中的“级比”如果级比不在范围要对数据进行处理。
（3）司老师书中的代码，并没有运行出后面的运行结果，如果想运行出预测的结果，看下面的说明。
（4）在使用灰色预测的时候要考虑残差等（见代码的最后三行） （5）代码直接复制粘贴文本文档的文件就可以了。
（6）文本文档是给出了两种代码，不要复制错了，第一个是司老师书中的。
第二个是学员提交的作业，可以直接得出预测结果，但是没有检验结果。
例 北方某城市 1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见1。
表1 城市交通噪声数据/dB(A)序号 年份 eq L序号 年份 eq L1 1986 71.1 5 1990 71.42 1987 72.4 6 1991 72.03 1988 72.4 7 1992 71.6 4198972.1该例题源代码如下： clc,clearx0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]';%注意这里为列向量 n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) %计算级比 range=minmax(lamda') %计算级比的范围 x1=cumsum(x0); %累加运算B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n); u=B\Y syms x(t)x=dsolve(diff(x)+u(1)*x==u(2),x(0)==x0(1));%求微分方程的符号解xt=vpa(x,6)%以小数格式显示微分方程的解yuce1=subs(x,t,[0:n-1]);%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解。
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
灰色预测模型的研究及应用
灰色预测模型的研究及应用
灰色预测模型是一种用于预测问题的数学模型，广泛应用于各个领域。
它在1982年由中国科学家GM灰所提出，因此得名为“灰色预测模型”。
灰色预测模型基于灰色系统理论，它假设事物的发展具有一定的规律性和趋势性，但也存在不确定性的因素。
它通过对已知数据的分析和处理，来预测未来的发展趋势。
灰色预测模型的核心思想是将已知数据序列分解为两个部分：灰色部分和白色部分。
灰色部分是由数据的数量级和函数形式决定的，因此可以用来预测未来的趋势。
白色部分则是由不确定的随机因素引起的，往往被视为噪声，不具备预测能力。
灰色预测模型有多种形式，其中最常用的是GM(1,1)模型。
该模型通过建立一阶线性微分方程来描述数据的变化趋势，然后利用指数累减生成灰色模型。
基于灰色模型，可以进一步进行累加、累减、累乘等操作，来实现更复杂的预测。
灰色预测模型在各个领域都有广泛的应用。
其中最典型的应用是经济预测领域，包括国民经济、金融市场等。
此外，它还可以应用于工业生产、环境保护、农业发展、医疗卫生等方面的预测。
灰色预测模型的优点是简单易懂、计算量小、适用范围广。
它可以对数据的趋势进行较为准确的预测，尤其适用于数据量较小或者不完整的情况下。
缺点是对数据的要求较高，数据的采
样点要均匀分布，并且在建立模型时需要进行一些参数的选择，可能存在主观性和不确定性。
总之，灰色预测模型是一种有效的预测方法，具有广泛的应用前景。
在实际应用中，需要对具体问题进行合理的建模和参数选择，以提高预测的准确性。
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。
灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。
它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。
下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。
其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。
（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。
（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。
3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。
数学建模灰色预测法
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X ˆ 1 i , 并将 X 按预测模型计算 X
ˆ 0 i 的绝对误差序列及相 然后计算原始序列X 0 i 与 X
对误差序列。
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下： 工业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
数学建模之灰色预测模型
简介
特点:模型使用的不就是原始数据列,而就是生成的数据列。
优点:不需要很多数据,一般只用4个数据就能解决历史数据少,序列的完整性与可靠性低的问题。
缺点:只适用于中短期的预测与指数增长的预测。
1
GM(1,1)表示模型为一阶微分方程,且只含有一个变量的灰色模型。
1、1模型的应用
①销售额预测
②交通事故次数的预测
3
波形预测,就是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时,可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化,以便进行决策。从本质上来瞧,波形预测就是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。
3、1模型的应用
①区域降水量预测(下载文档)
②运量需求不平衡航线下客流量预测(下载文档)
光滑比为
若序列满足
则序列为准光滑序列。
否则,选取常数c对序列 做如下平移变换
序列 的级比
②对原始数据 作一次累加得
建立模型:
(1)
③构造数据矩阵B及数据向量Y
其中:
④由
求得估计值 = =
⑤由微分方程(1)得生成序列预测值为
则模型还原值为
⑥精度检验与预测
残差
相对误差
相对误差精度等级表
级比偏差
若 <0、2则可认为达到一般要求;若 <0、1,则可认为达到较高要求。
③某地区火灾发生次数的预测
④灾变与异常值预测,如对旱灾,洪灾广州市人口预测与分析(下载的文档)
⑥网络舆情危机预警(下载的文档)
1、2步骤
①级比检验与判断
由原始数据列 计算得序列的级比为
若序列的级比 ∈ ,则可用 作令人满意的GM(1,1)建模。
数学建模-灰色预测模型GM（1,1）_MATLAB
数学建模-灰⾊预测模型GM（1,1）_MATLAB %GM(1,1).m%建⽴符号变量a(发展系数)和b(灰作⽤量)syms a b;c = [a b]';%原始数列 AA = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填⼊已有的数据列！n = length(A);%对原始数列 A 做累加得到数列 BB = cumsum(A);%对数列 B 做紧邻均值⽣成for i = 2:nC(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;endC(1) = [];%构造数据矩阵B = [-C;ones(1,n-1)];Y = A; Y(1) = []; Y = Y';%使⽤最⼩⼆乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作⽤量)c = inv(B*B')*B*Y;c = c';a = c(1);b = c(2);%预测后续数据F = []; F(1) = A(1);for i = 2:(n+10) %这⾥10代表向后预测的数⽬，如果只预测⼀个的话为1F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;end%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据G = []; G(1) = A(1);for i = 2:(n+10) %10同上G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据enddisp('预测数据为：');G%模型检验H = G(1:10); %这⾥的10是已有数据的个数%计算残差序列epsilon = A - H;%法⼀：相对残差Q检验%计算相对误差序列delta = abs(epsilon./A);%计算相对误差Qdisp('相对残差Q检验：')Q = mean(delta)%法⼆：⽅差⽐C检验disp('⽅差⽐C检验：')C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)%法三：⼩误差概率P检验S1 = std(A, 1);tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);disp('⼩误差概率P检验：')P = length(tmp)/n%绘制曲线图t1 = 1995:2004;%⽤⾃⼰的，如1 2 3 4 5...t2 = 1995:2014;%⽤⾃⼰的，如1 2 3 4 5... plot(t1, A,'ro'); hold on;plot(t2, G, 'g-');xlabel('年份'); ylabel('污⽔量/亿吨');legend('实际污⽔排放量','预测污⽔排放量'); title('长江污⽔排放量增长曲线'); %都⽤⾃⼰的grid on;。
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、灰色预测模型
简介(P372)
特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。
优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整 性和可靠性低的问题。
缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。
1、GM(1,1)预测模型
GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。
1.1模型的应用 ① 销售额预测
② 交通事故次数的预测
③ 某地区火灾发生次数的预测
④ 灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预 报。
(百度文库)
⑤ 基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析(下载的文档) ⑥ 网络舆情危机预警(下载的文档) 1.2步骤
① 级比检验与判断 由原始数据列|x (。
)=(x (0
)(1),x (0
)(2)，川,x (0
)(n))|计算得序列的级比为
光滑比为
若序列满足
(k)二若序列的级比欽k)
€ ，则可用Ml 作令人满意的GM(1,1)建模。
则序列为准光滑序列
否则，选取常数c 对序列£［做如下平移变换
序列y (0)
的级比
② 对原始数据竺作一次累加得
建立模型:
③ 构造数据矩阵B 及数据向量丫
其中：|z ⑴(k) =0.5x ⑴(k) +0.5x ⑴(k —1),k =2,3，川
,n. ④ 由
一？
T
j T
u?=
=(B T
B )B T
Y
求得估计值固=也=
⑤ 由微分方程(1)得生成序列预测值为
则模型还原值为
⑥ 精度检验和预测 残差
相对误差
相对误差精度等级表
级比偏差
若P(k) <0.2则可认为达到一般要求；若 P(k) <0.1，则可认为达到较高要求。
经过验证，给出相应预测预报。
2、新陈代谢模型
灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移 相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信 息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。
与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统 GM(1,1)模型仅利用少量数据，就能 获得较高预测精度的优点，又能反映出数据的变化趋势，从而使预测结果的精度 获得更进一步的提高。
局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列 ，只
能描述单调变化的过程。
2.1模型的应用
① 深圳货运量预测；(下载文档)
② 天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测(下载文档)； ③ 网络舆情危机预警(下载文档)。
2.2步骤
① 建立新陈代谢数据序列
原始数据列|x (°)=(x (0
)(1),x (0
)(2)，川,x (°)(n))|，用最新信息|x (0)
(n +1)|替换最初数 据 x (°)(1)，即得到新陈代谢数据序列 y (。
)=(x (°)(2)，川,x (0
)(n),x (0
)(n + 1)) ② 后续步骤同GM(1,1)模型
③ 用②计算出的最新结果再次替换最初信息 此
U+0.5a 丿
(k),
x (0) (2)得到新序列重复步骤②，以
类推，将计算结果制表并分析。
3、波形预测
波形预测，是对一段时间内行为特征数据波形的预测。
当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化以便进行决策。
从本质上来看，波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。
3.1模型的应用
①区域降水量预测(下载文档)
②运量需求不平衡航线下客流量预测(下载文档)
③网络舆情危机预警(下载文档)
3.2步骤
①求出序列折线
由原始数据列x = (x(1),x(2)川|,x(n))得出序列X的k段折线图形为
序列X的折线为
②选取等高线
令b max = max{x(k)",Cr min = min {x(k)}则有
s - 1
--- (▽ . . Y =<J(i =0 1 2ill s)
min max min) s max'
s
如果冈的i段折线上有已等高点，则坐标为(i+#1°h°)。
③等高点的计算
解方程伸丫得到折线冈与丫的交点|x(0)(i)|=|(x：,x(x；))(i=1,2，川)|，即丫等高点
④|x(0) (i)|构成等高时刻序列，求出各等高时刻序列的GM(1,1)预测。
⑤得出波形预测画出波形图，并分析
4、Verhulst 模型
Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即 S 型过程。
常用于人口预 测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。
(例如 B 题艾滋病疗法的评 价及治疗预测) 4.1步骤 ①模型的建立 对原始数据 |x (0^(x (0)(1),x (0)(2)JH,x (0)
(n))|作一次累加得 x ⑴=(x ⑴⑴,x ⑴(2)，川,x (1)(n)) =(X (0)(1，X (0)(1 +x (0) (2),卅,x (0) (1)+川 +x (0
)(n)). 令|z (1)(k)=0.5x (1)(k) +0.5x (1)(k_1),k=2,3,川，n,得辺的均值生成序列为 z ⑴=(z ⑴(2),z
(1 )
(3) ,|l(,z (1)
(
n)).
则得到灰色Verhulst 模型为
灰色Verhulst (2
)
②参数求解
构造数据矩阵B 及数据向量丫
_
-z (1)(2)(z (1 )(2)和
I-z ⑴(3) (z (1)(3))
(1)
2
丁⑵〕
x ((3)
L-z (1)(n) (z (1)(n))2J
=(B T
B )'B T
Y
求得估计值圄= ③解微分方程(2)得灰色Verhulst 模型的时间序列响应为
|?=
ax (0
(1) bx (0(1幵a?_? (0
(甘'
通过累减还原得
00)
(k “二炉乐“-小化).
④ 精度检验和预测 同GM(1,1)模型。
例题：
某地区年平均降雨量数据如表1。
规定闫=320,并认为|x (0)
⑴兰匕为旱灾。
预 测下一次发生的时间。
表1某地区年平均降雨量数据
解：
模型的建立:
① 列出原始数据列x (0)
=(x (o)
(1),x (o)
(2),川,x (0)
(n))，确定在|x (0)
兰320』的条件下
的下限灾变数列［ 计算光滑比
x 0
与其相对应的时刻数列 涇。
t (0)
(k)
k 』
、t (0) (i)
i =1
判断序列巴是否满足满足
② 对数列做i 次累加，得回。
③ 建立GM(1 1)模型。
④ 构造数据矩阵B 及数据向量丫
_
x (0) (2) 1 |x ((3) + + +
Lx (0)
(n)
其中：z ⑴(k)=0.5t ⑴(k)+0.5t ⑴(k —1),k = 2,3,川,5.
P(k)=
(1)
「-z (1 )(2) 1〕 L z ⑴⑶1
「
z ⑴(n) lj
⑤由
求得估计值固，P。
⑥由微分方程(1)得生成序列预测值为
则模型还原值为
预测到第6个和第7个数据。
模型的求解
(1)根据题得：原始数据列 | x(0) =1(390.6,412,320,5592380.8,542.4,553,310, 561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5)
因为当|x仁320s|时的|x⑼⑴|为异常值，可得下限灾变数列为
^^(320,310,300,313.8,318.5)
与其相对应的时刻数列为：亡=(3,8,10,14,17)
利用matlab计算得出序列光滑。
(2)对数列門做1次累加，得|t⑴=1(3,11,21,35,52)
(3)由步骤③，④，⑤并利用 matlab解得固=-0.2536 0=6.2585
(4)由步骤⑥，预测得到第6个和第7个数据为
由于22.034与17相差5.034这表明下一次旱灾将发生在五年以后。