高三理数一轮复习专题一

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高三数学人教A版理科一轮复习资料(WORD)

第一节集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.1．集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . 补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A . 2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32 D ．A ∪B ＝R解析：因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32，A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A.答案： A2．已知集合P ＝{x |x <2}，Q ＝{x |x 2<2}，则( ) A ．P ⊆Q B ．P ⊇Q C ．P ⊆∁R QD ．Q ⊆∁R P解析：解x 2<2，得－2<x <2，∴P ⊇Q . 答案： B3．(2017·天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4} C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}，∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选B. 答案： B4．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则(∁R A )∩B ＝________. 解析：因为∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．答案： {x |2<x <3或7≤x <10}5．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 019＝________. 解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.答案：－1或0考向一集合的基本概念自主练透型1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．6D ．9解析：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2. 故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．答案： C2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.解析：因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 答案： 23．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2<1，(3－a )2≥1即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4，所以1<a ≤2. 答案： (1,2]求解集合基本问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 考向二集合间的基本关系互动讲练型(1)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析： (1)因为A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A . (2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案： (1)D (2)(－∞，3](1)判断两集合的关系的三种常用方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．②变形：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断(如例(1))．③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[注意] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论(如例(2)). [跟踪训练]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案： D2．已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，∵A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，有∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .∴0<m ≤1.综上所述，m 的范围为m ≤1. 答案： (－∞，1]考向三集合的基本运算分层深化型(1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}(2)(2017·广东七校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |x >2或x <0}B ．{x |1<x <2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析： (1)∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ， ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)解不等式x 2－2x >0，即x (x －2)>0，得x <0或x >2，故A ＝{x |x <0或x >2}．集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域，由x －1>0，解得x >1，所以B ＝{x |x >1}．易知∁U A ＝{x |0≤x ≤2}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．答案： (1)C (2)C集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.[同类练]1．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：因为A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．答案： B2．(2017·南昌市第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝x＋1}，那么A∩(∁U B)＝()A．∅B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：由题知，A＝{x|y＝lg x}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝x＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁U B)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0,1)．答案： C[变式练]3．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝() A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．答案： D4．(2017·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为()A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因为∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．答案： D [拓展练]5．(2017·江西南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.答案： C6．已知集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤4，所以2≤a ≤3. 答案： [2,3]常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．(1)设U ＝{1,2,3}，M ，N 是U 的子集，若M ∩N ＝{1,3}，则称(M ，N )为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M ，N )与(N ，M )不同)为________；(2)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.解析： (1)符合条件的理想配集有①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}；②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}；③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}．共3个．(2)由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．答案： (1)3 (2){0}∪[2，＋∞)解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.[跟踪训练]1．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B .已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．答案： B2．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－94，0 B ．⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．答案： C(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：集合A 表示以原点O 为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 故选B. 答案： B2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．(2,3] B ．(－∞，1]∪(2，＋∞) C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：因为∁U A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{y |1≤y ≤3}，所以(∁U A )∪B ＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．答案： D3．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析： ∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个不同的元素，∴a ∈A ，∴a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.答案： B4．(2017·湖北武昌一模)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析： ∵A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，∴A －B ＝{0,1,2,5}．故选D. 答案： D5．(2017·河北衡水中学七调)已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析： A ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2，所以c ∈[2，＋∞)，故选D.答案： D6．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．解析： ∵B ＝{a ，a 2＋3}，A ∩B ＝{1}，∴a ＝1或a 2＋3＝1， ∵a ∈R ，∴a ＝1.经检验，满足题意．答案： 17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x －1x ＝0，则满足A ∪B ＝{－1,0,1}的集合B 的个数是________．解析：解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1,0,1}，所以B ＝{0}或{0,1}或{0，－1}或{0,1，－1}，集合B 共有4个．答案： 48．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，所以∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案： {1}9．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解析： (1)∵9∈(A ∩B )， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，所以a ＝5或a ＝－3. (2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4,9}，不合题意，当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}．所以a ＝－3.10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析： A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.故m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．1．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．答案： (－∞，－1]∪(0,1)2．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)·(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．解析：若a >1，则集合A ＝{x |x ≥a 或x ≤1}，利用数轴可知，要使A ∪B ＝R ，需要a －1≤1，则1<a ≤2；若a ＝1，则集合A ＝R ，满足A ∪B ＝R ，故a ＝1符合题意；若a <1，则集合A ＝{x |x ≤a 或x ≥1}，显然满足A ∪B ＝R ，故a <1符合题意．综上所述，a 的取值范围为(－∞，2]．答案： (－∞，2]3．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0<x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.解析：因为集合A 是函数y ＝2x －1(0<x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3>1，即－2<a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]． (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1)． 4．设集合A ＝{x ∈R |2x 2＋ax －a 2＝0},1∈A ，－2∉A . (1)求a 的值，并写出A 的所有子集；(2)若集合B ＝{x ∈R |x 2＋(m －3)x ＋m ＝0}，(∁R A )∩B ＝∅，求实数m 的值构成的集合．解析： (1)因为1∈A ，所以2×12＋a ×1－a 2＝0，解得a ＝－1,2，当a ＝2时，A ＝{x ∈R |2x 2＋2x －4＝0}＝{1，－2}，与已知－2∉A 矛盾，所以a ≠2；当a ＝－1时，A ＝{x ∈R |2x 2－x －1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1，符合题意．所以A 的所有子集为∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1.(2)因为(∁R A )∩B ＝∅，所以B ⊆A ，因为方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9，所以按照判别式的符号分类讨论如下：①当Δ<0即1<m <9时，集合B 为空集，符合题意．②当Δ＝0即m ＝1或m ＝9时，若m ＝1，则B ＝{1}，符合题意，若m ＝9，则B ＝{－3}，不符合题意，舍去．③当Δ>0即m <1或m >9时，集合B 有两个元素，所以B ＝A ，所以⎩⎨⎧－12＋1＝－(m －3)，⎝⎛⎭⎫－12×1＝m ，矛盾，舍去．所以实数m 的值构成的集合为[1,9)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.1．四种命题及其关系 (1)四种命题若原命题为“若p ，则q ”，则其逆命题是若q ，则p ；否命题是若綈p ，则綈q ；逆否命题是若綈q ，则綈p .(2)四种命题间的关系2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．1．四种命题间的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”或“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”．1．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sin A>sin B，则a2R>b2R，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要条件．答案： C2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.答案： D3．“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.答案： A4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”5．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案： 3考向一四种命题及其相互关系自主练透型1．(2017·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.答案： A2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若1x>1，则x >1”的逆否命题解析：对于A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故为假命题；对于B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x >1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.答案： B3．(2017·河北衡水二中模拟)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，所以选C.答案： C四种命题的关系及真假判断(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.考向二充分必要条件的判定互动讲练型(1)(2017·天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： (1)由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，因为[0,2]－∞，2]，所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．(2)法一：S 4＋S 6>2S 5等价于(S 6－S 5)＋(S 4－S 5)>0，等价于a 6－a 5>0，等价于d >0.法二：∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴S 4＋S 6－2S 5＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d －2(5a 1＋10d )·d ，即S 4＋S 6>2S 5等价于d >0.答案： (1)B (2)C充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”，“若q ，则p ”的真假(如本例(1))．(2)集合法：若A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件或“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；若A ＝B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件(如本例(2))．(3)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假(如跟踪训练3).[跟踪训练]1．(2017·兰州市高考实战模拟)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a ·b ＝0，即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12，∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12，∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．答案： B2．设p ：x 2－x －20>0，q ：log 2(x －5)<2，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： ∵x 2－x －20>0，∴x >5或x <－4，∴p ：x >5或x <－4.∵log 2(x －5)<2，∴0<x －5<4，即5<x <9，∴q ：5<x <9，∵{x |5<x x |x >5或x <－4}，∴p是q 的必要不充分条件，故选C.答案： C3．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析：法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．法二：(等价转化法)x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y . 答案： C考向三充分条件与必要条件的探求分层深化型已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，所以由已知x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，得A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案： (2，＋∞)根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍(如本例)，处理不当容易出现漏解或增解的现象.[同类练]1．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<1得m －1<x <m ＋1，若13<x <12是|x －m |<1成立的充分不必要条件，则⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13m ＋1≥12得－12≤m ≤43.答案： ⎣⎡⎦⎤－12，43 [变式练]2．是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？解析：欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要{x |x <－1，或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2，这是不可能的．故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件． [拓展练]3．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.答案： A解”的求解策略，对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一个解题思路．设p ：|4x －3|≤1；q ：a ≤x ≤a ＋1，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：设A ＝{x ||4x －3|≤1}，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案： A本例将“綈p 是綈q 的必要而不充分条件”转化为“p 是q 的充分而不必要条件”；将p 、q 之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．,[跟踪训练]证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.证明：命题“若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1”的逆否命题是“ 若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝0”．由a －b ＝1，得a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝a －b －1＝0，所以原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题．即若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．若非空集合M ，N ，则“a ∈M 或a ∈N ”是“a ∈M ∩N ”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为“a ∈M ∩N ”可以推出“a ∈M 或a ∈N ”，但是反过来不能推出，所以“a ∈M 或a ∈N ”是“a ∈M ∩N ”的必要不充分条件．答案： C2．已知命题：若a >2，则a 2>4，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 2>4，则a >2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案： B3．(2017·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m·n ＝－|m ||n |<0，故充分性成立．由m·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．答案： B4．使a >0，b >0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b >0 B ．a －b >0 C ．ab >1D ．ab>1解析：因为a >0，b >0⇒a ＋b >0，反之不成立，而由a >0，b >0不能推出a －b >0，ab >1，a b>1. 答案： A5．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析：由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确；因为x 2－x －2＝0⇔x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“x ＝π4”是“tan x＝1”的充分不必要条件，即D不正确．答案： C6．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)7．(2017·山东临沂模拟)有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．答案：②③8．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1得x>1或x<－1.由题意知{x|x<a x|x>1或x<－1}，所以a≤－1，从而a的最大值为－1.答案：－19．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．10．指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ； (2)非空集合A ，B 中，p ：x ∈(A ∪B )，q ：x ∈B ；(3)已知x ，y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.解析： (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．(2)显然x ∈(A ∪B )不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈(A ∪B )，所以p 是q 的必要不充分条件． (3)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．1．(2017·四川南山模拟)已知条件p ：14<2x <16，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[－4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．(4，＋∞)解析：由14<2x <16，得－2<x <4，即p ：－2<x <4.方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.①若－a >－2，即a <2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－2<x <－a ，由p 是q 的充分而不必要条件可得－a >4，则a <－4；②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )<0无解，不符合题意；③若－a <－2，即a >2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－a <x <－2，不符合题意．综上可得a <－4，故选B. 答案： B2．(2017·山西五校4月联考)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____________．解析： p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.答案： (－∞，－7]∪[1，＋∞)3．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解析： (1)否命题：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题p 的否命题为真命题，证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． 4．已知p ：x 2－7x ＋12≤0，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数a ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析：因为p ：3≤x ≤4， q ：a ≤x ≤a ＋1.(1)因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以綈p ⇒綈q ，且綈q ⇒/ 綈p ，所以q ⇒p ，且p ⇒/ q ，即q 是p 的充分不必要条件，故{x |a ≤x ≤a ＋x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解，所以不存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件． (2)若p 是q 的充要条件，则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，解得a ＝3.故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”． (2)命题p ∧q 、 p ∨q 、綈p 的真假判断2.(1)全称量词和存在量词1．含逻辑联结词命题真假判断(1)p∧q中一假即假．(2)p∨q中一真必真．(3)綈p真，p假；綈p假，p真．2．全(特)称命题的真假判断方法1．命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是()A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0C．∃x0∈R，x20－x0－1≤0 D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0解析：依题意得，命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，选A.答案： A2．下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1<sin x<1C．∃x0∈R,2x0<0 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析：因为∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；∀x∈R,2x>0，故C错．答案： D3．命题p：∀x∈R，sin x＜1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∨綈q D．綈p∧綈q解析：p是假命题，q是真命题，所以B正确．答案： B4．命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”5．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“綈q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3<x <－1，由题意，得x ＝－2. 答案：－2考向一全称命题与特称命题自主练透型1．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则非p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤0 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解析：命题p 为全称命题，所以非p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1. 答案： B2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<f (m )B ．∃x 0∈R ，f (x 0)>f (m )C ．∀x ∈R ，f (x 0)≤f (m )D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (m )解析：由2am ＋b ＝0，得m ＝－b2a ，又a >0，∴f (m )是函数f (x )的最小值，即∀x ∈R ，有f (x )≥f (m )，故选D. 答案： D3．若命题“∃x ∈R ，使得sin x cos x >m ”是真命题，则m 的值可以是( ) A ．－13B ．1 C.32D ．23解析： ∵sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，∴m <12.故选A. 答案： A1．全称(特称)命题否定的两步曲(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 若命题p 是真命题，则綈p 是假命题；若命题p 是假命题，则綈p 是真命题． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法考向二含有逻辑联结词的命题的真假判断互动讲练型(1)(2017·贵州省适应性考试)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝x12是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∨(綈q )B ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．(綈p )∧(綈q )(2)(2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q解析： (1)命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此綈p 为假命题；命题q ：y ＝x 12在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q 是真命题．因此选项A 是真命题，选项B 是假命题，选项C 是假命题，选项D 是假命题，故选A.(2)p ：x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，∴∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0成立．故命题p 为真． q ：a 2<b 2⇒a 2－b 2<0⇒(a ＋b )(a －b )<0，。

2020届高三文理科数学一轮复习《等差数列及其前n项和》专题汇编(教师版)

《等差数列及其前n 项和》专题一、相关知识点1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列(5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(6)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(8)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(9)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (10)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1； ②S 奇S 偶＝n ＋1n .二．等差数列的常用结论1．等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0， d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小．2．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．题型一等差数列基本量的运算1．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于解析：由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98.2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得； 3⎣⎡⎦⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 4．在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝60，a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝23，∴a 4＝a 1＋3d ＝5．法二：由等差数列的性质有a 1＋a 10＝a 7＋a 4，∵S 10＝10(a 1＋a 10)2＝60，∴a 1＋a 10＝12.又∵a 7＝7，∴a 4＝5．5．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝解析：由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1－a n ＝－23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N ＋，∴k ＝23. 6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是解析：由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.7．数列{2n －1}的前10项的和是解析：∵数列{2n －1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S 10＝(a 1＋a 10)×102＝100.8．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于解析：因为a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，所以数列{a n }为等差数列，公差d 为－1，所以a 4＝a 1＋3d ＝1－3＝－2.9．设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝解析：∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝2. 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为解析：设等差数列{a n}的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4.∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80. 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋7a 1＋21d ＝10a 1＋20d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 12．设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________．解析：法一：设数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝36，∴2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴a n ＝6n －3.法二：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 15＝6.∵a 1＝3，∴a n ＝6n －3.13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 18＝54，S 19＝437，则a 2 018的值是解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋22d ＝54，19a 1＋171d ＝437，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，d ＝2，所以a 2 018＝5＋2017×2＝4 039． 14．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 7＝2a 1＋6d ＝－8，a 2＝a 1＋d ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－3，a 1＝5，．15．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )A ．18B ．20C ．21D ．25 解析：C ，用a n 表示第n 天织布的尺数，由题意知，数列{a n }是首项为5，项数为30的等差数列．所以30(a 1＋a 30)2＝390，即30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，故选C ．16．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.17．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2a ＋1，a 5＝3a ＋2，若S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，且S k＝66，则k 的值为解析：∵在等差数列中，2a 3＝a 1＋a 5，∴2(2a ＋1)＝1＋3a ＋2，解得a ＝1，即a 1＝1，a 3＝3，a 5＝5，∴公差d ＝1，∴S k ＝k ×1＋k (k －1)2×1＝66，解得k ＝11或k ＝－12(舍)．18．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝解析：法一：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列，∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法二：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.19．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n解析：A ，由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n. 20．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．( )A.53 B ．32 C.43 D ．54解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎨⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.21．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 9＝12a 12＋6，a 2＝4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前10项和为( )A.1112 B ．1011 C.910 D ．89解析：选B ，设等差数列{a n }的公差为d ，由a 9＝12a 12＋6及等差数列的通项公式得a 1＋5d＝12，又a 2＝4，∴a 1＝2，d ＝2，∴S n ＝n 2＋n ，∴1S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S 10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1－111＝1011.22．已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 2，则a 8＝解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3＋3d ＝1＋d ，解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以a 8＝1＋7×2＝15.法二：S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，由S 3＝a 2可得3a 2＝a 2，解得a 2＝3或a 2＝0(舍去)，则d ＝a 2－a 1＝2，所以a 8＝1＋7×2＝15.23．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则a 1－a 2b 1－b 2＝________.解析：由题意得a 1－a 2＝x －y 3，b 1－b 2＝x －y 4，所以a 1－a 2b 1－b 2＝43.24．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：2 25．数列{a n }满足1a n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n ，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝45，则b 4b 6( )A ．最大值为100B ．最大值为25C ．为定值24D ．最大值为50解析：C ，由1a n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N ＋)，得1a n ＋1－1a n ＝1，∵b n ＝1a n ，∴b n ＋1－b n ＝1，则数列{b n }是公差为1的等差数列，∵b 1＋b 2＋…＋b 9＝45，∴9b 1＋9×82＝45，即b 1＝1，则b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，则b 4b 6＝4×6＝24.26．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N ＋)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.27．设数列{a n }满足：a 1＝1, a 2＝3, 且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是________．解析：∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，解得a 20＝9620＝245.28．已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. ∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7.(2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4，∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.28．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解析：(1)设{a n }的公差为d .由题意，得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)或d ＝－2.故a n ＝－2n ＋27. (2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .题型二等差数列的性质及应用类型一等差数列项的性质的应用1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意，得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74.2．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________．解析：263．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1＝2a 3－3，则S 9＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，a 1＝2a 3－3＝2a 1＋4d －3，∴a 5＝a 1＋4d ＝3，S 9＝9a 5＝27.4．在等差数列{a n }中， a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝____ 解析：因为a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2 019＝10.由等差数列的性质可知，a 1 010＝a 1＋a 2 0192＝5，a 2＋a 2 018＝a 1＋a 2 019＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝10＋5＝15.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6＝39，则a 3＋a 4＝解析：由等差数列{a n }的性质及其S 6＝39，可得6(a 1＋a 6)2＝3(a 3＋ a 4)＝39，则a 3＋ a 4＝13.6．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于解析:数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，利用等差数列的性质可知，a 3＋a 4＋a 5＝a 2＋a 4＋a 6＝12.7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝解析:由a 2＋a 7＋a 12＝24得3a 7＝24，即a 7＝8，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝13×8＝104．8．等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝6，则{a n }的前9项和等于解析：法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＝2a 1＋8d ＝6，所以a 1＋4d ＝3.于是{a n }的前9项和S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×3＝27.法二：由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝a 3＋a 7＝6，所以数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×62＝27. 9．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于解析：数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，利用等差数列的性质可知，a 3＋a 4＋a 5＝a 2＋a 4＋a 6＝12.10．等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为解析：由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32得4a 8＝32，即a 8＝8.又d ≠0，所以等差数列{a n }是单调数列，由a m ＝8，知m ＝8．11．设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5等于解析：因为S 9＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝3a 8，即3a 5＝a 8.又S 15＝a 1＋a 2＋…＋a 15＝15a 8，所以S 153a 5＝15a 8a 8＝15.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m ＝________. 解析：S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2(2m －1)a m2＝110，解得m ＝6.类型二：等差数列前n 项和的性质1．在项数为2n ＋1的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B ，∵等差数列有2n ＋1项，∴S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 偶S 奇＝n n ＋1＝150165＝1011，∴n ＝10.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝解析：∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0，∴a m ＝S m －S m －1＝2.又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又 S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于解析：由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45． 4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.解析：由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4，∴S 2 019＝8 076. 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：由题意知，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列．则2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，即40＝10＋(S 30－30)，解得S 30＝60. 6．若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝解析：根据等差数列的性质，可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，因此S 2＝0.7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________．解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.8．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018＝解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为S 1212－S 1010＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 015，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2 015为首项，1为公差的等差数列，所以S 2 0182 018＝－2 015＋2 017×1＝2，所以S 2 018＝4 036.9．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝________.解析：a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132(a 1＋a 13)132(b 1＋b 13)＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.10．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 类型三：等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .1．已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是解析：设数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 5－a 15－1＝－3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋14，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－3n ≥0，11－3n ≤0，解得113≤n ≤143，即n ＝4，所以{a n }的前4项和最大，且S 4＝4×11＋4×32×(－3)＝26. 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是解析：法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值． 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是________．解析：依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2>0，a 7＝－1<0.又数列{a n }是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.5．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析：C ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5. 6．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．解析：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)法一：(二次函数法)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.法二：(通项变号法)由(1)知a n ＝2n －9，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －9≤0，2n －7≥0，∴72≤n ≤92，又n ∈N *，∴n ＝4，此时S n 的最小值为S 4＝－16. 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2. (2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n .当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.8．已知等差数列{a n }的前三项和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得，a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{3n －7}的前n 项和为S n ，则S n ＝n [(－4)＋(3n －7)]2＝32n 2－112n . 当n ≤2时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－32n 2＋112n ，当n ≥3时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a n ) ＝S n －2S 2＝32n 2－112n ＋10，综上知：T n ＝⎩⎨⎧ －32n 2＋112n ，n ≤2，32n 2－112n ＋10，n ≥3.题型三等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法与技巧1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为解析：∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66. 2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－6， ∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝7n －3n 2. (2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6， 2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4，若存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5，∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．3．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．解析：(1)∵a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根，∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4，∴S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n . (2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n －12＝2n ， ∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列.4．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解析：(1)证明由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．6．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．解析：(1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n .(1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解析：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a n n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n . 8．已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n .解析：(1)证明：∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)，∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a n n＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a n n ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n . 令b n ＝2n －15≤0，n ∈N *，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.。

高考一轮复习题型归纳专题1：集合

第一章：集合题型1、集合的基本概念知识点摘要：➢ 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。

➢ 集合常用的表示方法：列举法、描述法、图示法、区间法。

➢ 元素与集合的关系：属于和不属于。

➢ 常用数集的表示：C —复数集；R —实数集；Q —有理数集；Z —整数集；N —自然数集；N+或N*—正整数集。

➢ 集合分类：①按元素个数分为有限集、无限集和空集；②按元素属性分为数集、点集和其他元素。

典型例题精讲精练：1. 若},,0{},,1{2b a a a b a +=，求20202020b a+的值.【答案：1】2. 已知集合，，且B A },,0{B },,,{A ==-=y x y x xy x 求实数x 与y 的值.【答案：x=y=-1】3. 设R b a ∈,,集合b}ab {0a}b a {1，，，，=+,则=-a b （）【答案：C 】 A.1 B.-1 C.2 D.-24. 集合A=},2,0{a ，B=},1{2a .若A ∪B={0，1，2，4，16}，则a 的值为（）【答案：D 】A ．0 B.1 C.2 D.45. 已知集合{}5,4,3,2,1=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 集合中所含的元素的个数为（）【答案：D 】A.3B.6C.8D.10题型2、集合之间的基本关系知识点摘要：➢ 集合与集合之间的关系：①包含关系，②相等关系，③真子集关系。

➢ 规定：空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集；一个集合是它自己的子集。

➢ 若集合有n 个元素，则该集合有n 2个子集，有12-n 个真子集，有22-n 个非空真子集。

典型例题精讲精练：2.1.集合关系判断问题1. 设集合},214||{},,412|{Z k k x x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（）【答案：B 】 N M A =. N M B ⊂. N M C ⊃. ∅=N M D I .2. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=023|x x x M ，集合N={}01)4(|≤-⋅-）（x x x ，则M 与N 的关系是（）【答案：D 】 A. M=N B.M ∈N C. N M ≠⊃ D. N M ≠⊂3. 已知{}x y R y M =∈=|， N={}2|m x R x =∈，则下列关系中正确的是（）【答案：B 】A. N M ≠⊃B. M=NC. M ≠ND. M N ≠⊃4. 集合{}{}{}Z m m z z S Z l l y y P Z k k x x M ∈+==∈+==∈-==,16|,,13|,,23|之间的关系是（）【答案：C 】A. M P S ≠⊂≠⊂B. M P S ≠⊂=C. M P S =≠⊂D. M P S =≠⊃2.2.已知集合间的关系，求参数的取值范围5. 已知集合{}1|2==x x P ，集合{}1|==ax x Q ，若P Q ⊆,那么a 的值为。

高考数学一轮复习讲练测专题1.1集合的概念及其基本运算(讲)理(含解析)

1}，专题1.1集合的概念及其基本运算（讲）【辭析】由已知得^ = {1,4}.当口 = ＜时.A = [3],则討二〔12*卜・4厂直=0,当也=1时,J = ；L3j ; 则JU5 = {1.3r 4} p = 当a = 4时.^ = {4.3}, = （1,3.4}, -40-8={4}.当疽产1,戊戸吳。

否4时…儿丘二卩”丸好，JO^ =0,综上所述，当a = 3时—儿P = {1S4齐AClB^Qi 当应"时，血JH"4}, /仃丘二{1»当*4时,则加UE 二口34、“5={4}f 当口工1, 口产3, a 芦4时I dl-再三卜 B =0.2.【2015高考天津，理1】已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A 2,3,5,6，集合B 1,3,4,6,7则集合AI ejB （） (A )2,5( B )3,6 (C ) 2,5,6 ( D ) 2,3,5,6,8【答案】A【赭斤】^5 = （2,5,8}_所以二冷5},故选九3. 【云南省玉溪一中 2015届高三上学期第一次月考试卷】设集合B {(x, y) y 3x }，则A B 的子集的个数是( )A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A1.【课本典型习题，P12第3题】设集合Ax(x a)(x 3) 0,a R , Bx(x 4)(x 1) 0 ,AUB , AI B .【答案】当a 3时，AU B 1,3,4 , AI B ;当a 1 时，AU B1,3,4,AI B 1 ;当 a时，贝U AU B 1,3,4 , AIB 4 ;当 a 1 ,a 3, a 4时， AU B1,3,4, a , AI B【课前小测摸底细】求4{(“)話【解析】篥會話为橢區|兰+匸=1上的昌集合卫为扌無心煎i' = 丁上的点，由于指纹函数恒过点(Q1)・16 -4* 斗由于点121在椭圆兰十二“曲内部，因此扌旨数函数与椭圆有2个交点.，的子篥的个数次F =4个，16 4故答累为扎4. 【基础经典试题】集合M ={y | y= x2—1, x R}，集合N={x|y= 9 x2, x R}，则MIN等于( )A. {t|0 t 3} B . {t|—1 t 3} C . {(- . 2,1),( .2,1) D •【答案】B【鱷析】■・」=/—in —h 二対=[—h +工)・又丫)=嗣-》匸9 - ? > 0 +/■[- 3,3]. ■- M A -V = [-l(3].5. 【改编自2012年江西卷理科】若集合A={— 1,1}, B= 0,2，则集合{z|z= x+ y, x A, y B}中的元素的非空子集个数为()A. 7 B . 6 C . 5 D . 4【答案】A【鋒析】由已知得，集台V尸K+F送用ye ^={-1.1.3}-所以其非空子集个数冷2为二7,故选【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识•纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算•解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素•二是考查抽象集合的关系判断以及运算•【经典例题精析】考点1集合的概念K【1-1 】若a, b R，集合{1 , a b, a 0,-,b，求b a的值_____________________ .a【答案】2iy【解析】由d d+方卫｝=0—血可知“山则只能卄庄0,则有以下对应关爲CJ - b = 0.b—=c ab = 1.Jl_2【1-2】已知集合A=｛x|x+ m好4 = 0｝为空集，则实数m的取值范围是()A. ( —4, 4) B . [ —4, 4] C . ( —2, 2) D . [ —2, 2]【答案】A【解析】依题意知一元二次方程F十ww十4二0无解，^flzA A= w;_16 < 0(解得一4€楞羔4.故选A.【1-3】已知A=｛a+ 2, (a+ 1)2, a2+ 3a+ 3｝，若1€ A,则实数a构成的集合B的元素个数是()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3【答案】B丽析】若口则1,代入集合」」得川=｛1"1｝,与集合元责的互异性若S+1F=1,帶住=0或一2,代入集合4帰/=匸切｝或去｛0二1｝,后■看与集合的互异性矛盾，故尸0 符合要求J若/+3卄3=1,则尸—诫-拿代人黑皆出得沪｛山1｝或看•戶｛轴助都与集合的互异性相矛盾, 無上可如只有口二。

2020届高三文理科数学一轮复习《三角函数的图像与性质》专题汇编(学生版)

《三角函数的图像与性质》专题一、相关知识点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 4．奇偶性相关结论(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．(2)若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则①f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z ；②f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z.题型一三角函数的定义域1．函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．2．函数y ＝2sin x －3的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤π3，2π3B ．⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z)3．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．4．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z5．x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎦⎤3π2，2π题型二三角函数的值域(最值)三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域 (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域1．函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为44．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－32，32 B ．⎣⎡⎦⎤－32，3 C ．⎣⎡⎦⎤－332，332 D ．⎣⎡⎦⎤－332，35．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为________．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 37．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．8．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．9．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为_______11．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．12．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．题型三三角函数的单调性类型一求三角函数的单调区间 1．f (x )＝|tan x |；2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的减区间为________．6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________．7．函数 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调性递增区间为；递减区间为8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C ．⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，2π9．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．10．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)11．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．类型二已知单调性求参数值或范围已知单调区间求参数范围的3种方法 1．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的一个递减区间为⎣⎡⎦⎤π8，5π8，则ω＝________.4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是．5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.7．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________.8．若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．题型四三角函数的周期性三角函数周期的求解方法1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3的最小正周期为________ 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为________ 4．函数＋的最小正周期为______.5．在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③6．函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为________题型五三角函数的奇偶性与三角函数奇偶性相关的结论：三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． 1．函数y ＝1－2sin 2( x －3π4)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．若函数是偶函数，则等于______ 3．若函数是偶函数，则 ________．4．若是定义在上的偶函数，其中，则 _____5．将函数向右平移个单位，得到一个偶函数的图象，则最小值为__6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3题型五三角函数的对称性(1) 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解． (2) 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ； (x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω＋π2ω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω＋π2ω，0；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2ω－φω，0.上述k ∈Z 1．下列函数的最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π32．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，03．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝11π12 C ．x ＝－2π3 D ．x ＝7π123．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或05．函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝－π4对称C ．关于直线x ＝π2对称D ．关于直线x ＝－π2对称6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6B.π3C.7π6D.4π38．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称9．(理科)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π10．(理科)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2)题型六三角函数的性质综合运用1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x 2D ．y ＝tan(－x )3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减4．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴 D ．g (x )为奇函数5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C.716 D.326．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．7．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．8．已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x 2＋sin x )＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x ＋ 2. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3满足[f (x )]2－22f (x )－m ＞0，求实数m 的取值范围．。

最新河北省届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：数列

河北省 2014 届高三理科数学一轮复习考试一试题优选（1）分类汇编 10：数列一、选择题1．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 { a n } 的前n 项和为S n n2n1, b n(1) n a n (n N * ) ,则数列 {b n } 的前50项的和为（）A． 49B．50C． 99D． 100【答案】 A2．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）设 S n是等差数列{ a n}的前n项和, S53(a2a8 ) ,则a5的值为（）a31B．13D5A．3C66． 5．【答案】 D3．（河北省唐山市 2014届高三摸底考试数学（理）试题）设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 且 S5=13,S 15=63,20（）则 S =A． 100B．90C． 120D． 110【答案】 B4 ．（河北省衡水中学 2014 届高三上学期三调考试数学（理）试题）设S n是公差不为0 的等差数列{ a n}的前 n 项和 , 且S1, S2, S4成等比数列 , 则a2的值为（）a1A． 1 B ． 2C． 3D． 4【答案】 C5．（河北省邯郸市 2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等比数列 a n中, a5a113, a3a134,则a12（）2A． 3 B ．31D．3或1 C．3 或3 3【答案】 C6．（河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）数列 a n是首项为1,且公比q 0的等比数列 ,S n是a n的前 n1的前 5 项和为项和, 若9S3S6, 则数列（）a nA．15B ． 5C．31D．15 181616【答案】 C7．（河北省保定市八校结合体2014届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在等差数列中,a 1+a = 16,则 a等于（）53A． 8 B ．4 C ．-4D． -8【答案】 A8．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知 { a } 为等差数列,其前 n 项和为 S ,n n 若 a36, S312 ,则公差d等于（）A．15C．2D．3 B ．3【答案】 C9 ．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知等比数列a n的公比 q 2 ,且2a4 , a6 ,48 成等差数列,则 a n的前 8项和为（）A． 127B．255C． 511D． 1023【答案】 B10．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）等比数列 { a n } 中,已知对随意自然数n , a1a2a3a n2n1,则a12a22a32a n2等于（）A．(2n1) 2 B ．1(2n1)C．4n1D．1(4n1) 33【答案】 D11．（河北省邯郸市武安三中2014 届高三第一次摸底考试数学理试题）设等差数列a n的前 n 项和为 S n,若 a2a815 a5,则 S9等于（）A． 45B．60C．36D．18【答案】 B12．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）若数列{an}知足:存在正整数T,关于任意正整数 n 都有an Tan 成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列 {a n} 满足a n1,a n，1a n 1 =10a n 1.0) ,,a1m (m a n则以下结论中错误的是（）．．A．若m4, 则a535B a3 2 ,3C．若m2 ,则数列{ an}是周期为3的数列D．m Q且m2 ,数列{ an}是周期数列【答案】 D13 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知数列为等比数列, 且 .a5 4,a964,则=（）A．8 B ．16C． 16D．8【答案】 C14．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）在首项为 57, 公差为5的等差数列a n 中, 最靠近零的是第 ( )项 .（）A． 14B．13C． 12D． 11【答案】 C15．（河北省保定市 2014届高三 10月摸底考试数学（理）试题）设a n为等差数列, 且a3 a7 a10 2, a11 a47,则数列a n的前13项的和为S13（）A． 63B．109C． 117D． 210【答案】 C提示 : ∵a3 +a7-a 10+ a 11— a4=9, ∴a7=9, ∴S13=13 a 7=117二、填空题16．（河北省唐山市2014 届高三摸底考试数学（理）试题）已知数列 {a n} 知足 a1=0,a 2=1, a n23an 12a n,则{a n} 的前 n 项和 S n=_______________.【答案】 2n n117．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）在等比数列 a n中,若a7 a8a9a1015 ,a8a99, 则1111___________.88a7a8a9a10【答案】5 318．（河北省唐山一中 2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 a n 中 , a15,a n2a n 1 2n1(n N, n2),若存在实数,使得数列a n为等差数列 , 则2n =_________.【答案】119．（河北省保定市2014届高三 10 月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n是各项均为正数的等比数优选文档列, 若a 22, 2a 3 a 4 16 , 则 a n ______________.【答案】 2n 1 ; 三、解答题20．（河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等差数列a n 中 , a 2 6,S 4 20 .(1) 求数列a n的通项公式 ;(2) 设 b n2 (nN * ),T n b 1 b 2Lb n (n N * ) , 求 T n .n(12 a n )【答案】设a 1 d6a n 的公差为 d , 由题意得6d204a 1a 8解得{ d 12得: a n 8 2( n 1) 10 2n.(2) ∵ b n2 1n(12 a n )n(n 1)∵ b n1 1nn1T nb 1 b 2 b 3b n (1 1) (1 1)(11 ) n n2 2 3nn 1121．（河北省衡水中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数 f (x)x 3 mx 在 (0,1)上是增函数 ,( Ⅰ) 实数 m 的取值会合为 A, 当 m 取会合 A 中的最小值时 , 定义数列 { a n } 知足a 1 3, 且 a n 0, a n 13 f a nn} 的通项公式 ;9 , 求数列 {a ( Ⅱ) 若 b nna n , 数列 { b n } 的前 n 项和为 S n , 求证 : S n 3.由题意得 f ′(x)= ﹣ 3x 2+m,4【答案】解 :(1)∵ f (x)= ﹣ x 3 +mx 在 (0,1) 上是增函数 , ∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+m ≥0在(0,1) 上恒建立 , 即m ≥ 3x 2, 得 m ≥3,故所求的会合 A 为[3,+ ∞); 因此 m=3,∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+3,∵ ,an>0, ∴ ∴数列 {an} 是以 3 为首项和公比的等比数列(2) 由 (1) 得,bn=na n =n?3n,=3an, 即, 故 an=3n;=3,234n②3Sn=1?3 +2?3 +3?3 ++n?3 +1①﹣②得 , ﹣2Sn=3+32+33 ++3n ﹣n?3 n +1= ﹣n?3n+1化简得 ,Sn=>22．（河北省保定市 2014届高三 10月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n , 满足1 a n n 为偶数 , 5an 12 a 4, 若 b na2n 11(b n0) .a n为奇数21n(1) 求 a 1 ;(2) 求证 :b n 是等比数列 ;(3) 若数列 a n 的前 n 项和为 S n , 求 S 2n .51 为偶数【答案】 (1) 解: ∵, a n2 a n , na 412a n，为奇数1 n∴ a 35 13, ∴ a 23, ∴ a 122 2b na2 n 1(2) 证明 :a2n 3bn 111 a2n2 1121a2 n1,21 2故数列 { b n } 是首项为 1, 公比为 1 的等比数列2( 1 )n 1(3) 解: ∵ b na2 n 11 , ∴ a 2n 11 (a 1 1)(1 )n 12 即 a 2n1121 (11)1∴a 1a 3 La2 n 1 2n n=2－1－１n12n2又∵ a 2 a 1 1,a 4a 3 1,La2 na2 n 11 10分∴S2n2(a 1 a 3a 2n 1 )n 413n( 张军红命制 )2n 223．（河北省保定市 2014 届高三 10月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n中, a 24, a n 1an2( n N * ) , 其前 n 项和为 S n ,(1) 求数列 a n的通项公式 ;(2)1, 求数列b n的前 n 项和为 T n.令 b nS n【答案】解 : (1)由于 a n 1a n 2(n N * ) ,因此数列a n的公差d=2又a2 4因此 a n2n(2)易得 S n= n2n111因此 b n1) n n1n(n因此T n11=nn 1n124 ．（河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列 {a n} 的前 n 项和S n1n2kn (此中 k N*),且S的最大值为8.2n(1)确立常数 k, 求 a n.9 2a n的前 n 项和 T n.(2) 求数列2n【答案】 (1) 当n k N * 时,S n1n2kn取最大值,即 8 S k1k2k21k2,22225．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）已知二次函数 f ( x)px2qx( p 0) ,其导函数为 f (x) 6x 2 ,数列{ a n}的前n项和为S n,点 (n, S n )( n N * ) 均在函数y f (x) 的图像上.(1)求数列 { a n } 的通项公式;(2) 若c n 1(a n 2), 2b1 22 b2 23 b3 L2n b n c n,求数列{ b n}的通项公式. 3【答案】26．（河北省保定市八校结合体2014 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设 a n是公差不为零的等差数列 , S n为其前n项和 , 知足a22a32a42a52,S7 7.(1)求数列 a n的通项公式及前n项和 S n;(2)试求全部的正整数 m ,使得amam 1为数列 a n中的项. am 2【答案】 [ 分析 ]本小题主要考察等差数列的通项、乞降的相关知识, 考察运算和求解的能力. 满分 14分.( 1) 设公差为 d ,则 a22a52a42a32, 由性质得3d (a4a3 ) d (a4a3 ) ,由于 d0 ,所以a4a30,即2a15d 0,又由S77 得7a17 6d 7 ,解得2a1 5 ,d2,(2)amam 1=(2 m7)(2 m5),设2m3t ,am 22m3(方法一)则 a m a m 1= (t4)(t2)t86,因此为 8的约数a m2t t( 方法二 ) 由于amam 1(am 24)( a m 2 2)a m 268为数列a n中的项, a m 2a m 2a m 2故8为整数 , 又由 (1)知: a m 2为奇数 , 因此a m 22m31,即m 1,2 a m+2经查验 ,切合题意的正整数只有m 227 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）数列 {a n}的前n项和为n,且Sn*S=n( n+1)( n∈N).(1)求数列 { a n} 的通项公式 ;(2)若数列 {b1b2+b3++ nb nn}的通项公式; n}知足: n=+23,求数列{b a3＋1 3＋ 1 3＋ 1 3＋ 1ba b*n n(3)令 c n=4( n∈N), 求数列 { c n} 的前n项和T n.【答案】28 ．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知为两个正数, 且, 设当,时,.( Ⅰ) 求证 : 数列是递减数列,数列是递加数列;(Ⅱ)求证 :;( Ⅲ) 能否存在常数使得对随意, 有, 若存在 , 求出的取值范围;若不存在,试说明原因 .【答案】( Ⅱ)证明:.(Ⅲ)解: 由, 可得.若存在常数使得对随意,有,则对随意,.即对随意建立 .即对随意建立.设表示不超出的最大整数,则有.即当时 ,.与对随意建立矛盾.因此 , 不存在常数使得对随意, 有29．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）设等比数列a n的前n项和为S n,已知 a n 12S n2( n N ) .( Ⅰ) 求数列a n的通项公式;优选文档( Ⅱ) 在a n与a n 1之间插入n个数 , 使这n 2 个数构成公差为d n的等差数列,设数列1的前 n 项和d nT n,证明:T n 15. 16【答案】解 ( Ⅰ) 由an 12S n*得 a n 2S n2( n*2(n N )1N, n 2 ),两式相减得 : a n 1a n2a n,即 a n 1*, n2), 3a n (n N∵ { a n } 是等比数列,因此 a23a1,又 a2 2a1 2,则 2a1 2 3a1,∴ a1 2 ,∴ a n2g3n 1( Ⅱ) 由 (1) 知a n 12g3n , a n2g3n 1∵ a n 1 a n (n 1)d n,∴d n43n 1n ,11111令 T nd2d3,d1d n则 T n234+n1①430 4 31 4 324g3n11T n 23n n1②3 4 31 4 324g3n 14g3n①-②得2T n 2111n 134g304g314g324g3n 14g3n11 1 13(13n 1 )n 1 5 2n 51n n 24 4 388 313g gT n 152n515 1616g3n 116优选文档。

高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则（）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是（）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。

高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题1

D．(1,2)
3、已知全集 = ， = { | > 1}， = { | > 1}，那么(∁ ) ∩ 等于（）
A．{ | − 1 < ≤ 1} B．{ | − 1 < < 1} C．{ | < −1} D．{ | ≤ −1}
4、已知全集 = ， = { | > 1}，则 =（）
A．{ | ≤ 1}
（4）Venn 图法
5、常见数集的记法
集合自然数集
符号
N
6、集合的分类
正整数集
*
N (或 N＋)
整数集有理数集实数集复数集
Z
Q
R
C
（1）有限集：含有有限个元素的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合.（3）空集：不含任何元素
的集合
7、若一个集合含有 n 个元素，则子集个数为 2n 个，真子集个数为 2n 1
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
考向一点集
【例 1】（1）已知集合 A 0,1, 4, B {y | y x2, x A} ，则 A B A．0,1,16 B．0,1 C．1,16 D．0,1, 4,16 （2）设全集U 1,3,5, 6,9 ， A 3, 6,9 ，则图中阴影部分表示的集合是
（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述.
（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上.
（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.
它的一般格式为 {x | P(x)} ，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性.
A.(1,2)
B.[0,2]

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高三理数一轮复习专题一---三角函数（小题）一、同角的三角函数基本关系式与诱导公式(1)平方关系：_______________；（2）商数关系：____________________（作用：________________）(3)诱导公式口诀：_________________________1．sin600°＋tan240°的值是( )A ．－32 B ．32 C ．－12＋ 3 D ．12＋ 3 2.已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos?π＋θ?sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin?π－θ?＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．233．已知sin α＝23，α∈(π2，3π2)，则cos(π－α)＝( )A.－53 B ．－19 C ．19 D ．534.“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos(π2＋θ)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若sin(π＋α)＝－12，α∈(π2，π)，则cos α＝________.6.如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin(3π2＋α)＝________.二、三角恒等变形（1）两角和（差）的正（余）弦、正切公式：（2）二倍角公式：1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22 C ．22D ．1 2．如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A ．－a 2B ．a2 C ．－a D ．a3．已知tan α＝12，则cos2α＋sin2α＋1cos 2α等于( ) A ．3 B ．6 C ．12 D ．324．4cos50°－tan40°＝( )A ． 2B ．2＋32C ． 3D ．22－1 5.若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝( )A ．－7210B ．－210C ．210D ．2106．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是( )A ．1B ．1＋32C ．32D ．1＋ 37.若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于( ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．328．(2014·陕西高考)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝________.9．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．三、三角函数的图像与性质：x y sin = x y cos = x y tan = 图像：定义域：值域（最值）：最小正周期：奇偶性：单调性：对称性：1.对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在(π4，π2)上是增加的 B ．f (x )的图像关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]3．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z }B ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }C ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z }D ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z }4．比较大小：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5________cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.5．函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．四、函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，22．(2014·浙江高考)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图像，可以将函数y ＝2sin3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π64．如图所示为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像上的一段，则这个函数的解析式为______________．五、作业：1.（2016年山东高考）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π2.（2016年四川高考）为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 3.（2016年全国II 高考）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 4.（2016年全国III 高考）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)16255.（2016年全国II 高考）若3cos()45πα-=，则sin2α=（）（A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-6.（2016年四川高考）cos2π8–sin 2π8= .7.（2016年全国III 高考）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．8.（2016年浙江高考）已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________． 9.（2016年上海高考）方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________高三理数一轮复习专题二---解三角形（小题）一、正、余弦定理：正弦定理：___________________________ 变形：____________________________ 余弦定理：___________________________ 变形：____________________________ 1．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3C ． 3D ．322．(2014·广东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sinA ≤sinB ”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件3．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2C ． 2D ．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cosC 的最小值为( )A ．32 B ．22 C ．12 D ．－125．(2014·新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．16．△ABC 中，a 2tanB ＝b 2tanA ，则三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7.设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对边的长分别为a ，b ，c 若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝( )A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π68.(2014·天津高考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a,2sinB ＝3sinC ，则cosA 的值为________．二、三角函数与解三角形的综合应用（解答题）：1.（2016年北京高考）在∆ABC 中，222+=+a c b .（1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值.2.（2016年山东高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a+b=2c （Ⅱ）求cosC 的最小值.3.（2016年四川高考）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B .4.（2016年全国I 高考）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长．5.（2016年天津高考）已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.6.（2015高考山东，理16）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.三、作业：1.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）（B （C ）12- （D ）122.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位?? （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位??? （D ）向右平移3π个单位3.（2016年天津高考）在△ABC 中，若AB ，120C ∠=o ,则AC= （）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44.（2016年上海高考）已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________5.（2016年全国II 高考）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．6.【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .7.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = . 8.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．9.【2015高考四川，理12】=+οο75sin 15sin .10.【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．11.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． 12.【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 13.（2016年浙江高考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知b+c=2a cos B.（I ）证明：A=2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.14.【2015江苏高考，15】在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.15.【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.。