5三重积分(柱,球坐标)
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2
d
0
2 0
h r dr 1 r2
h
r2 d z
4
2
2 0
h
r 1 r2
(h
r2 4
)
d
r
oy x
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3. 利用球坐标计算三重积分
适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
分部积分
(sin 2 2 cos2)
例3.
1
I
Ω
x2
y2
dxdydz 1
:锥面
x
y
z
,
用哪种坐标？柱面坐标 锥面化为: r = z
z
上顶：z = 1 下底： z r
z 所围
Dxy: r 1
11
I
D
rdrdθ
r
r2
dz 1
2π
1r
1
0
dθ
dr 0r2 1
dz
r
1 1 r
2π (
.
x
y
底面积 ：r drd
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柱面坐标下的体积元素 z
半平面及+d ;
半径为r及 r+dr的园柱面；
平面 z及 z+dz；
dz
dV = dxdydz rdrddz
f (x, y, z)dxdydz
z
f (r cos , r sin , z)rdrdθ dz0
d
z0
下底： z = 0
z
Dxy: x 2 y 2 1
x y
I dxdy
zdz
Dxy
用哪种坐标？柱面坐标
.
.
2π
1
1r 2
Dxy 0
1y
I = 0
dθ 0 rdr0
zdz
1
4
x
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柱坐积标分下举例三例2重
I sin
x2 y2 zdv, : x2 y2 4, z 0, z 1围成
z
.
.
y
0
y
r
x
N
x
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柱面坐标的坐标面
动点M(r, , z)
r =常数：柱面S
z =常数：平面
S
z
zr
M
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柱面坐标的坐标面
动点M(r, , z)
r =常数：柱面S
z =常数：平面 =常数: 半平面P
S
z
zr
M
P
.
0
y
x
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r
.
.
x
dV
y
底面积 ：r drd
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柱坐标计算适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
仍然是“先一后二”化为三次积分。 二重积分用极坐标时方程和计算简单，
注：用柱坐标求 fdv分成两个步骤：
第一步：先一后二，对z积分后将三重积分化为极坐
标下的二重积分；
第三节 三重积分
二、三重积分的计算
2. 利用柱坐标计算三重积分
3. 利用球坐标计算三重积分
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2. 利用柱坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 将x, y用极坐标r, 代替,则（r, , z)
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x r cos y r sin
0 r 0 2
z z z
坐标面分别为
r 常数
圆柱面
常数
半平面
z 常数
平面
z z
M (x, y, z)
o
y
(x, y,0)
xr
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柱面坐标
(x, y, z) (r, , z)
x r cos
y r sin
z
z=z
z
M(r,, z)
第二步：计算极坐标下的二重积分即可。
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
3) 柱坐标: 当积分域为标准的圆柱面时用柱面 坐标化为累次积分的积分限都是常数。
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例1.
计算 I zdxdydz : x 2 y 2 z 2 1 ,
上顶： z 1 x2 y2
1)dr
0 1 r2
(ln2 2 ) . .
2
. .
Dxy
x
1
0
1y
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例4. 计算三重积分
其中为由
柱面 x2 y2 2x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围
成半圆柱体. 解: 在柱面坐标系下 :
0 r 2cos
0
2
0 z a
柱面坐标下的体积元素 z 元素区域由六个坐标面围成：
半平面及+d ;
半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz；
平面z
x
z
0 d
r
y
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z
柱面坐标下的体积元素
平面z+dz
dz
半平面及+d ;
半径为r及 r+dr的园柱面；
平面 z及 z+dz；
z
0 d
r
原式 z r2 d r dd z
2
a
zdz 2 d
2cos r 2 d r
0
0
0
x
z a
o y
r 2cos
4a2 2 cos3 d 8 a3
30
9
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例5. 计算三重积分
ห้องสมุดไป่ตู้其中由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
球面
圆锥面
r+d r
半平面 及+d ；
半径为r及r+dr的球面；
rsind
圆锥面及+d
r
圆锥面+d
0
d
y
x
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球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
半平面 及+d ；
半径为r及r+dr的球面；
rsind
球面坐标的坐标面
动点M(r,,)
r =常数: 球面S
=常数:
S
x
z
M
r
0 y
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球面坐标的坐标面
动点M(r,,)
r =常数: 球面S
=常数: 锥面C =常数: 半平面P
S
.
x
z
C
M
P
0
y
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球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
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3. 利用球坐标计算三重积在分直角OxN中x ON cos
球面坐标
x ON cos rsin cos
y rsin si.n. .
在直角z ONM中ON r sin
z
M (r, , )
z rcos
r
0 r
0
0
0 2 x
y
y
N
x
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z
1
解：为0 1间的柱体：
(1)Dxy PrjXY : x2 y2 4
Dr : 0 2 ,0 r 2 (2)(r, ) Dr ,0 z 1
y
-2
0
2
2
x
有：I
1
2
2
1
rdrd sin r zdz d r sin rdr zdz
0
0
0
0
Dr
注则：柱在坐柱2标坐02下标r s的下in累， rdr次如 12积果分是限02标都 r s准i是n r的常dr圆数柱。体区域，
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
利用球坐标计算三重积分
（2）若空间区域具有轮换对称性，即
(x, y, z) V , ( y, z, x), (z, x, y) V ,
也就是三字母轮换积分区域不改变，
则
f (x, y, z) f1(x, y, z) f1( y, z, x) f1(z, x, y)
f (x, y, z)dxdydz 3 f1(x, y, z)dxdydz.
0
0
h
1
2
d
h
r2 d z
4
2
2
0
[(1
h 1 2
4h) ln(1
(h 2 ) d
4 4h) 4h]
4
o x
y
例3. 计算三重积分
(x2 y2 z2 )d xd yd z ,其中
为锥面 z x2 y2 与球面 x2 y2 z2 R2 所围立体.
V
当 f (x, y, z) f (x, y, z) 即被积函数关于z为偶函数时
f
(x,
y,
z)dxdydz
2
f
(x,
y,
，
z)dxdydz
V
V1
其中 V1 是V 位于 xoy平面上侧的部分.
积分区域关于其它坐标平面：yoz, zox 对称，且被积
函数分别是 x, y, 的奇、偶函数，也有上述类似的结论
一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性
计算三重积分
（1）若空间闭区域关于平面 xoy 对称, 即
(x, y, z)V ,(x, y, z) V , 则当 f (x, y, z) f (x, y, z)
柱坐标、球坐标下的三重积分
解：由图知：直角系：
D
y
x
2
4 x2
6x2 y2
I dx
dy
f (x, y, z)dz
2
4x2
x2 y2
柱标系： I
2
d
2
rdr
6r 2
f (r cos , r sin , z)dz
0
0
r
杂例
在三种坐标系下化三重积分 f (x, y, z)dv为三次积分，
z
其中：z 6 x2 y2, z x2 y2 z 6 x2 y2 6
四、柱坐标、球坐标下的三重积分
1. 柱坐标：(θ,r,z)
zz
变换为：x r cos , y r sin , z z
即：(x, y, z) (r cos , r sin , z),其中：
0 r ,0 2 ,| J || (x, y, z) | r ( , r, z)
x
注：柱坐标— 极坐标平面竖起一根Z轴。x
上顶： z 1 x2 y2
下底： z = 0
z
Dxy: x 2 y 2 1
x y
I dxdy
zdz
Dxy
用哪种坐标？ 柱面坐标 .
.
2π
1
1r 2
I = 0 dθ 0 rdr0 zdz
Dxy 0
1
4
x
z0
1y
注：用柱坐标求 fdv分成两个步骤：
第一步：先一后二，对z积分后将二重积分化为极坐 标下的二重积分；
元素区域由六个坐标面围成：
半平面及+d ;
半径为r及 r+dr的园柱面；
平面 z及 z+dz；
dz
(简)3-5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
0 ≤ r ≤ a,
0 ≤ θ ≤ 2π ,
2π a a
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r 2dz
Ω
0
0
r
a4 a5 π 5 3 = 2π ∫ r (a − r )dr = 2π[a ⋅ − ] = a . 0 10 4 5
a
例 4 求曲面x2 + y2 + z2 ≤ 2a2 与z ≥ x2 + y2 所围 成的立体体积.
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 奇函数, 被积函数是 z 的奇函数
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0. Ω
例6
计算 ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz 其中Ω 是由抛物
2
2
面 z = x + y 和球面 x + y + z = 2 所围成的空 间闭区域.
2 2 2
Ω 2
解
Q ( x + y + z)
2 2 2
2
= x + y + z + 2( xy + yz + zx )
的奇函数, 其中 xy + yz 是关于 y 的奇函数
面对称, 且 Ω 关于 zox 面对称 ∴
所围成的立体如图， 所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图， 所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 + y 2 = 16,
0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 4 , Ω1 : 2 r ≤ z ≤ 8 2
利用柱面坐标计算三重积分
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
三重积分中的柱坐标与球坐标
三重积分中的柱坐标与球坐标在数学中，三重积分是一种用来计算三维空间内物体特定属性（例如体积、质量、质心等）的重要工具。
传统的笛卡尔坐标系在解决一些问题时并不总是方便，于是人们引入了柱坐标和球坐标系，这两种坐标系在三重积分中有着特殊的应用。
本文将介绍三重积分中的柱坐标与球坐标，以及它们的计算方法和在实际问题中的应用。
一、柱坐标中的三重积分柱坐标是一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和高度$z$三个变量构成。
在三重积分中，柱坐标系的转换公式为：$$x = r\cos\theta$$$$y = r\sin\theta$$$$z = z$$$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$z$的范围为$z_1 \leq z \leq z_2$。
对于函数$f(x, y, z)$在柱坐标系下的三重积分，则有：$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) dV = \int\limits_{z_1}^{z_2}\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \int\limits_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z) r\,dr\,d\theta\,dz$$柱坐标系的三重积分常用于具有柱对称性的问题，例如计算柱体的体积、质心等属性。
它将空间问题简化为平面问题，使得计算更加便捷高效。
二、球坐标中的三重积分球坐标是另一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和方位角$\phi$三个变量构成。
在三重积分中，球坐标系的转换公式为：$$x = r\sin\phi\cos\theta$$$$y = r\sin\phi\sin\theta$$$$z = r\cos\phi$$$$dV = r^2\sin\phi\,dr\,d\theta\,d\phi$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$\phi$的范围为$\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2$。
三重积分的计算方法
关于三重积分，是数一的内容。
三重积分核心也就是选对三重积分三大类方法，做什么题适合什么样的方法比较简便。
先总结关于三重积分的方法三重积分的计算方法：总结三种坐标形式1.直角坐标法①先一后二（先对z求积分，再对xy求积分）需要注意的是，在对xy积分的时候，积分区域是在xoy上面的投影②先二后一（先对xy积分，再对z积分）这里对z的积分的时候，积分区域是垂直z轴平面所截的区域适合先二后一：①被积函数：只含有x，y，z其中一个②积分区域：用 z=z0 截取后面积易求直角坐标系下求三重积分“先二后一”2.柱坐标{x=rcosθy=rsinθz=z公式∭Ωf(x,y,z)=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdzx2+y2=r2注意：什么时候适合柱坐标①被积函数：出现x2+y2②积分区域：积分区域在xoy面上能用极坐标表示用柱面坐标计算三重积分3.球坐标{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=zcosφ,公式∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdθdzx2+y2+z2=r2注意：什么时候适合球坐标①被积函数出现x2+y2+z2②积分区域是一个球或者是一个锥体θ就是投影在xoy的角度范围，φ就是过原点，引一条射线,向下转，转出积分区域范围就是φ的范围用球面坐标计算三重积分4.一些常见积分区域的几何图形① z=x2+y2② z=x2+y2③ z=a−x2−y2④ z=a−x2−y25.更换三重积分的次序这里常见的是两种问题，一种是累次积分交换次序，另一种是计箅累次积分，计算累次积分通常也是通过交换累次积分次序来进行.交换三重累次积分次序本应像二重累次积分一样，先画域，然后再重新定限，然而，这里画域往往比较困难，通常利用二重积分交换次序逐步实现三重累次积分交换次序。
谈谈三重积分的定限方法
谈谈三重积分的定限方法计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算，而这里的一个关键问题是如何根据积分区域Ω来定限，下面分别介绍一下利用直角坐标，柱面坐标，球面坐标计算三重积分时如何定限的方法。
一、利用直角坐标计算三重积分时如何定限？ 教材中将积分区域Ω表示为:}),()(:),(),,(),(),,{(2121b x a x y x y x y x z y x z y x yy D zz xy ≤≤≤≤∈≤≤=Ω(1)从而将三重积分化为三次积分为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=D z z dz z y x f dxdy dv z y x f xyy x y x ),(),(21),,(),,(=dz y y z z z y x f dy dx x x y x y x ba ⎰⎰⎰)()(),(),(2121),,(这个公式也称为“先一后二”积分公式。
（上述公式是将Ω向xoy 平面投影得到的，将Ω向其他坐标平面投影可得到类似的公式）当积分区域的几何形体较简单时，容易写出Ω的集合表达式（1），但积分的区域的立方图形通常难以画出,因此确定Ω的集合表达式（1）较困难。
为了解决这个困难。
下面介绍一个所谓“求围定顶”的定限法：称（1）式中),(1y x z ，),(2y x z 分别为区域Ω的下顶和上顶，以D xy 的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的柱面，位于下顶和上顶之间的部分称为Ω的“围墙”，Dxy的边界曲线称为“围线”，（它是投影柱面与xoy 平面的交线），下面分三种情况来介绍“求围定顶”的定限法。
1.设Ω由曲面),(y x h z =与),(y x g z =围成，不出现“围墙”，此时两曲面的交线在xoy 平面上的投影即为“围线”。
例 1.化三重积分⎰⎰⎰Ωυd z y x f ),,(为三次积分，其中Ω为由曲面2222,2x z y x z -=+=围成的闭区域例：“求围” 由方程组{22222xz y x z -=+=消去z 得两曲面交线在xoy 平面上的投影，即“围线”：122=+y x ，因此1:22≤+y x D xy ，即 .11,11:22≤≤--≤≤--x x y x D xy“定顶” 在Dxy内任取一点代入两曲面方程),(y x h z =，),(y x g z =得到两个z 的值，大者为上顶，小者为下顶。
三重积分 柱坐标与极坐标
则二重积分应当考虑用极坐标计算.
这就等于用柱面坐标计算三重积分.
2. 利用柱坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3,将x, y用极坐标, 代替, 则（, , z)
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
例5. 计算三重积分
其中
与球面
所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
:
0
π 4
0 2π
π 4
( x2 y2 z2 )dxdydz
2π
d
π
4 sin d
Rr4 dr
Oy x
0
0
0
1 π R5(2 2)
d v r2 sin drd d
圆锥面
球面 r+d r
半径为r及r + dr的球面；
圆锥面及+d rsind
r
圆锥面 + d
0
d
y
x
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
半平面 及+d ；
半径为r及r+dr的球面；
rsind
圆锥面及 + d
d v r 2 sind rd d
常见曲面的柱面坐标方程
曲面 半球面
直角坐标方程 z a2 x2 y2
柱面坐标方程 z a2 r2
圆锥面 旋转抛物面
z x2 y2 z x2 y2
zr z r2
圆柱面 圆柱面 圆柱面