柱坐标系与球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系1. 圆柱坐标系圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系，由一个水平的圆柱面和一个垂直的直线轴线组成。
在圆柱坐标系中，一个点的位置由径向距离、角度和高度三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
1.1 径向距离径向距离是指从原点（轴线的起点）到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 +y^2}$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$到坐标原点的距离就是径向距离r。
1.2 角度角度参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$的角度就是参数$\\theta$。
1.3 高度高度参数z表示点在垂直轴线上的位置。
高度可以为正、负或零。
在圆柱坐标系中，一个点的位置可以用三个参数$(r, \\theta, z)$来表示。
2. 球坐标系球坐标系是另一种常用的三维坐标系，由一个球面和一个垂直的直线轴线组成。
在球坐标系中，一个点的位置由极径、极角和方位角三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
2.1 极径极径是指从原点到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$。
在球坐标系中，点$(r, \\theta, \\phi)$到坐标原点的距离就是极径r。
2.2 极角极角参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
柱坐标系和球坐标系
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图 1-5-2
如图 1-5-2 所示，设 z 轴的正向与向量O→M的夹角为 φ，x 轴的正向与O→M0的 夹角为 θ，M 点到原点 O 的距离为 r，则由三个数 r，θ，φ 构成的有序数组 (r，θ，φ)称为空间中点 M 的球坐标.若设投影点 M0 在 xOy 平面上的极坐标为(ρ， θ)，则极坐标 θ 就是上述的第二个球坐标 θ.在球坐标中限定 r≥0,0≤θ<2π， 0≤φ≤π.
则有11＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
因此，点 M 的柱坐标为( 2，π4，1).
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由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐标为ρ，θ，
z代入变换公式xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，
∵(r，θ，φ)＝(3，53π，56π)，
x＝rsin φcos θ＝3sin56πcos53π＝34，
y＝rsin φsin θ＝3sin56πsin53π＝－343，
z＝rcos
φ＝3cos56π＝－3
2
3 .
∴点
M
的直角坐标为(34，－3
4
3，－3
2
3 ).
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类型三 空间点的直角坐标化为球坐标 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
柱坐标系和球坐标系
§3柱坐标系和球坐标系1．柱坐标系如图1－3－1，建立空间直角坐标系O －xyz .设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.图1－3－1特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面； z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面． 2．球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段O P →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图1－3－2)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.图1－3－2特别地，r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面． 3．空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，则1．空间中点的三种坐标各有何特点？【提示】 设空间中点M 的直角坐标为(x ，y，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同．直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．2．在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0表示中心轴为z 轴，底半径为r 0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面． 3．在空间的球坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为正常数)，θ＝θ0(0≤θ0＜2π)，φ＝φ0(0≤φ0＜π)，各表示什么图形？【提示】 在空间的球坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为正常数)，表示球心在原点，半径为r 0的球面；方程θ＝θ0(0≤θ0＜2π)，表示过z 轴的半平面，它与zOx 坐标面的夹角为θ0；方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)，表示顶点在原点，半顶角为φ0的圆锥面，它的中心轴是z 轴，φ0＜π2时它在上半空间，φ0＞π2时它在下半空间，φ0＝π2时它是xOy 平面(如图所示).根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5)． 【思路探究】柱坐标――→x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z直角坐标 【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，θ，z )＝(2，5π6，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝r sin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，∴(－3，1,3)为所求．(2)∵(r ，θ，z )＝(2，π4，5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π4＝1，y ＝r sin θ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴(1,1,5)为所求．点(r ，θ，z )是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy 内实际为极坐标系，且r ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为任意实数．化点的柱坐标(r ，θ，z )为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z 转化为三角函数的求值与运算即得．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标： (1)(2，π6，1)；(2)(1，π，0)．【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )， (1)∵(r ，θ，z )＝(2，π6，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π6＝3，y ＝r sin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(r ，θ，z )＝(1，π，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝cos π＝－1，y ＝r sin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求．把下列各点的球坐标化为直角坐标．(1)(2，34π，54π)；(2)(6，π3，π6)． 【思路探究】球坐标――→x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ直角坐标【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )， (1)∵(r ，φ，θ)＝(2，3π4，5π4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin 3π4cos 5π4＝－1，y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 5π4＝－1，z ＝r cos φ＝2cos 3π4＝－2，∴(－1，－1，－2)为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝(6，π3，π6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos π6＝364，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin π6＝324，z ＝r cos φ＝6cos π3＝62，∴(364，324，62)为所求．首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z＝r cos φ转化为三角函数的求值与运算．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标： (1)(6，π3，23π)；(2)(3，π，π)． 【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ) (1)∵(r ，φ，θ)＝(6，π3，2π3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴(－332，92，3)为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝(3，π，π)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin πcos π＝0，y ＝r sin φsin θ＝3sin πsin π＝0，z ＝r cos φ＝3cos π＝－3，∴(0,0，－3)为所求．坐标图1－3－3已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图1－3－3，建立空间直角坐标系A －xyz ，以Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．【思路探究】 先求C 1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)．设点C 1的柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，及⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，tan θ＝1，及⎩⎨⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形，得θ＝π4， 由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(r ，θ，z )或球坐标(r ，φ，θ)，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2tan θ＝yx(x ≠0)z ＝z以及⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr .提醒在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值．若本例中条件不变，求点C 、D 的柱坐标与球坐标．【解】 结合图形知点C 的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为(2，π4，0)，球坐标为(2，π2，π4)，同样点D的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为(1，π2，0)，球坐标为(1，π2，π2)．(教材第22页练习第1题)如图1－3－4，把边长为1个单位长度的正方体分别放到空间直角坐标系中的不同位置，试说出正方体各个顶点的柱坐标和球坐标．图1－3－4(2013·镇江模拟)结晶体的基本单位称为晶胞，如图1－3－5是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图1－3－6，建立空间直角坐标系O —xyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．图1－3－5图1－3－6【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．【解】 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，(1，π2，0)，(2，π2，π4)，(1，π2，π2)，(22，π2，π4)；它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(2，π4，0)，(1，π2，0)，(22，π4，0).1．要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应适合运用( ) A ．极坐标系 B ．空间直角坐标系 C ．柱坐标系D ．球坐标系【解析】 由题意知D 正确． 【答案】 D2．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为( )A ．(1,1,0)B ．(1,0,1)C ．(0,1,1)D ．(1,1,1)【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，r ＝1，θ＝0，z ＝1， 故x ＝r cos θ＝1，y ＝r sin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1)． 【答案】 B3．已知点A 的球坐标为(3，π2，π2)，则点A 的直角坐标为( ) A ．(3,0,0) B ．(0,3,0) C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)【解析】 ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝2×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. 【答案】 B4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________．【解析】 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2， 得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4.∴点M 的柱坐标为(2，π4，2)，球坐标为(2，π4，π4)． 【答案】 (2，π4，2) (2，π4，π4)一、选择题1．在空间球坐标系中，方程r ＝2(0≤φ≤π2，0≤θ＜2π)表示( ) A ．圆 B ．半圆 C ．球面 D ．半球面【解析】 由球坐标系的定义知，r ＝2(0≤φ≤π2，0≤θ＜2π)表示半球面，故选D.【答案】 D2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A ．(2，π3，3) B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)【解析】 ∵r ＝(－1)2＋(－3)2＝2，θ＝4π3，z ＝3，∴M 的柱坐标为(2，4π3，3)，故选C. 【答案】 C3．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( ) A ．(2，π4，π4) B ．(2，π4，5π4) C ．(2，5π4，π4) D ．(2，3π4，π4)【解析】 由坐标变换公式，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝zr ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝－1－1＝1，∴θ＝54π，∴M 的球坐标为(2，π4，54π)，故选B. 【答案】 B4．已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则点M 到Oz 轴的距离为( ) A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )， ∵(r ，φ，θ)＝(4，π4，3π4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos 3π4＝－2，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin 3π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝22，∴M (－2,2,22)，到Oz 轴的距离为(－2)2＋22＝2 2.故选A. 【答案】 A 二、填空题5．若点M 的球坐标为(3，5π6，5π3)，则点M 的直角坐标为________． 【解析】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin 5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332.∴点M 的直角坐标为(34，－334，－332)． 【答案】 (34，－334，－332)6．(2013·长春检测)在柱坐标系中，点M 的柱坐标为(2，23π，5)，则|OM |＝________.【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )． 由(r ，θ，z )＝(2，23π，5)知x ＝r cos θ＝2cos 23π＝－1， y ＝2sin 23π＝ 3. 因此|OM |＝x 2＋y 2＋z 2 ＝(－1)2＋(3)2＋(5)2＝3. 【答案】 3 三、解答题7．已知点P 的柱坐标为(2，π4，5)，点B 的球坐标为(6，π3，π6)，求这两个点的直角坐标．【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )， 则x ＝2cos π4＝2×22＝1， y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364， y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6cos π3＝6×12＝62.所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为(364，324，62)． 8．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标．【解】 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为原点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝49π.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝π12，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米．所以点P 的球坐标为(8 755，π12，4π9)．9．在柱坐标系中，求满足⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，0≤θ＜2π0≤z ≤2，的动点M (r ，θ，z )围成的几何体的体积．【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足r ＝1,0≤θ＜2π，0≤z ≤2的动点M (r ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2. 所以V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.教师备选10．已知在球坐标系Oxyz 中，M (6，π3，π3)，N (6，2π3，π3)，求|MN |. 【解】 法一 由题意知，|OM |＝|ON |＝6，∠MON ＝π3， ∴△MON 为等边三角形，∴|MN |＝6. 法二 设M 点的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6sin π3cos π3＝332，y ＝6sin π3sin π3＝92，z ＝6cos π3＝3.故点M 的直角坐标为(332，92，3)， 同理得点N 的直角坐标为(332，92，－3)， ∴|MN |＝(323－323)2＋(92－92)2＋(3＋3)2＝0＋0＋62＝6.。
高考数学柱坐标系和球坐标系
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1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标.
π 2 P2，6，1，Q4，3π，－3
解
x＝ρcos θ 直接代入互化公式y＝ρsin θ ， z＝z
可得 P 的直角坐标为( 3，1，1)，Q 点的直角 坐标为(－2，2 3，－3).
§3 柱坐标系和球坐标系
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1.柱坐标系
(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加 一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐 标系.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的 投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成 (r，θ，z)就叫作点M的柱坐标 的有序数组________ ______，这里规定r，θ， 0≤r＜＋∞，________ 0≤θ＜2π， －∞＜z＜＋∞ . z的变化范围为__________ 特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常 数，表示的是 过z轴的半平面 xOy平面平行的平面 .
；
φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间 的变换关系为
sin φ· cos θ， x＝r· sin φ· sin θ， y＝r· z＝rcos φ.
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【思维导图】
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【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是 求该点到点O的距离和方位角、高低角.两个角 可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
柱坐标系与球坐标系
球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
其中 r 0, 0 , 0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44Biblioteka x2sin3
4
cos
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
s
in
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
3
4
2(－
2）－
2
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
z
P(x,y,z)
z P(ρ,θ,Z)
o
z
y
θ
x
P(r,φ,θ) x
oφ r
θ
y
x
Q
y
Q
小结 数轴
平面直角坐标系
柱坐标与球坐标系简介
柱坐标与球坐标系简介
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标系是描述三维空间中点的两种常用坐标系。
它们为研究三维问题提供了方便的工具，可以使问题的表达和求解更加简洁。
柱坐标系
柱坐标系是一种用圆柱形式来描述三维空间中的点的坐标系。
在柱坐标系中，
一个点的位置由距离原点的长度、与正向x轴的夹角和z坐标组成。
通常用(r, θ, z)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系在求解具有轴对称性的问题时特别有用，例如旋转体的体积和表面积
的计算等问题。
球坐标系
球坐标系是通过球坐标来描述三维空间中的点的坐标系。
在球坐标系中，一个
点的位置由距离原点的长度、与正向z轴的夹角和在x-y平面上的极角组成。
通常用(r, θ, φ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，φ表示点在z轴上的极角。
球坐标系常常用于处理具有球对称性或球体几何的问题，例如电场和磁场的计
算等。
它也在计算机图形学和三维建模中被广泛应用。
无论是柱坐标系还是球坐标系，它们都是解决特定类型的问题时十分有效的工具。
通过灵活运用这两种坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的问题，为实际问题的求解提供更多的可能性和方法。
柱坐标和球坐标系给了我们描述空间中点位置的不同视角，为解决相关问题提
供了更多的数学工具。
通过学习和掌握这两种坐标系的原理和应用，我们可以在数学和物理领域中更加灵活地处理复杂的三维问题。
柱坐标系和球坐标系
(2,
6
, 7) ，
( 3,1, 7)坐标.
（2， ，4）
3
2.球坐标系
思考：
某市的经纬度： 北纬42°，东经119°.
经度和纬度都是一种角度。经度是个两面角，是两个经线平面的夹角。 因所有经线都是一样长，为了度量经度选取一个起点面，经1884年国际 会议协商，决定以通过英国伦敦近郊、泰晤士河南岸的格林尼治皇家天文 台（旧址）的一台主要子午仪十字丝的那条经线为起始经线，称为本初子 午线。本初子午线平面是起点面，终点面是本地经线平面。某一点的经度， 就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角。在赤道上度量，自 本初子午线平面作为起点面，分别往东往西度量，往东量值称为东经度， 往西量值称为西经度。由此可见，一地的经度是该地对于本初子午线的方 向和角距离。本初子午线是0°经度，东经度的最大值为180°，西经度 的最大值为180°，东、西经180°经线是同一根经线，因此不分东经 或西经，而统称180°经线。（横纬竖经）在地球仪上与赤道平行的都是 纬度 与赤道垂直的都是经度
球坐标系
P(r, j , )
r 0
0j 0 2
z
P(r, j , )
j
r
y
o
θQ
x
将球坐标转化为直角坐标： z
x r sin j cos
y
r
sin
j
sin
z r cosj
r 0
x
0j
P(r, j , )
jr
o
y
θ
Q
0 2
练习
1.设Q点的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，
ρ≥0,
0≤θ＜ 2π,
o
-∞＜z＜+∞
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2 x2 y2
ta
n
y x
z z
2.球坐标系
学习目标： (1)理解球坐标三个分量的几何意义； (2)能够将球坐标转化为直角坐标.
思考：在**的上空有一台飞机，你如何对 它进行精确定位呢？
广东省**市的经纬度： 北纬**.12°，东经**2.19°.
地球的纬度与经度：
地球的纬度与经度：
组(ρ,θ, z)表示， (ρ,θ, z)叫做点P的柱坐标.
z
0
PP(ρ(,xθ, yz), z)
02
zR
o θ x
y Q (ρ,θ)
柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
x cos
y
sin z zFra bibliotek柱坐标与空间直角坐标的互化
(2)直角坐标转化为柱坐标
2 x2 y2
么它的球坐标是
A.(2, , )
44
C.(2, 5 , )
44
B.(2, , 5 )
44
D.(2, 3 , )
44
思考：
点P的球坐标为(r, j , ) ，
(1)当r为常数时，点P的轨迹是___球__面_______
(2)当 j为常数时，点P的轨迹是__圆__锥__面__或__平__面
(3)当 为常数时，
ta
n
y ( x x
0)
z z
练习
1.设P点的柱坐标为 ( 2 , , 7 ) ，求它的直
角坐标.
6
( 3 ,1, 7 )
2.设M点的直角坐标为 (1, 3, 3)，求
它的柱坐标.
(2, 4 ,3)
3
思考：
点P的柱坐标为(ρ,θ, z)， (1)当ρ为常数时，点P的轨迹是___圆__柱__面_____ (2)当θ为常数时，点P的轨迹是___半__平__面_____
柱坐标系与 球坐标系
1.柱坐标系
学习目标： (1)理解柱坐标三个分量的几何意义； (2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.
思考：在一个圆形体育场内，如何确定 看台上某个座位的位置？
柱坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是
空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，
Q点的极坐标为(ρ,θ )，则P的位置可用有序数
(3)当z为常数时，
z
点P的轨迹是___平__面_______
P(ρ,θ, z)
o θ x
y Q
小结
1.柱坐标系学习目标： (1)理解柱坐标三个分量的几何意义； (2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.
2.柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
x cos
y
sin
z z
(2)直角坐标转化为柱坐标
z
P(r, j , )
点P的轨迹是___半__平__面_____
jr
o
y
θ
Q
x
小结
1.球坐标系学习目标： (1)理解球坐标三个分量的几何意义； (2)能够将球坐标转化为直角坐标.
2.将球坐标转化为直角坐标：
x r sin j cos
y
r
sin
j
sin
z r c o s j
球坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是 空间任意一点，记|OP|=r,OP与Oz轴正向所
夹的角为j.点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox
轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正
角为θ.则P的位置可用有序数组(r, j, )表示， (r, j , )叫做点P的球坐标.
球坐标系
P(r, j , )
r0
0j
02
z
P(r, j , )
jr
o
y
θ
Q
x
将球坐标转化为直角坐标：
x r sin j cos
y
r
sin
j
sin
z r c o s j
x
z
P(r, j , )
jr
o
y
θ
Q
练习
1.设Q点的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，求它
的直角坐标.
44
(1,1, 2)
练习
2.设M点的直角坐标为 (1, 1, 2)，那