工程流体力学 chapter746
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工程流体力学(第二版)习题与解答
1-6 图 1-15 所示为两平行圆盘，直径为 D，间隙中液膜厚度为 δ ，液体动力粘性系数 为 µ ，若下盘固定，上盘以角速度 ω 旋转，求所需力矩 M 的表达式。
1—3
解： 固定圆盘表面液体速度为零， 转动圆盘表面半径 r 处液体周向线速度速度 vθ s = rω ； 设液膜速度沿厚度方向线性分布，则切应力分布为
图 1-14 习题 1-5 附图
r
z
u
R
r R2 由上式可知，壁面切应力为 τ 0 = −4 m um / R ，负号表示 τ 0 方向与 z 相反；
τ = mm = −4 um
du dr
（2）由流体水平方向力平衡有： p R 2 Dp + τ 0p DL= 0 ，将 τ 0 表达式代入得
8m u L ∆p = 2m R
图 1-16 习题 1-7 附图
1-7 如图 1-16 所示，流体沿 x 轴方向作层状流动，在 y 轴方向有速度梯度。在 t=0 时， 任取高度为 dy 的矩形流体面考察，该矩形流体面底边坐标为 y，对应的流体速度为 u ( y ) ； 经过 dt 时间段后，矩形流体面变成如图所示的平行四边形，原来的 α 角变为 α − dα ，其剪 。试推导表明：流体的 切变形速率定义为 dα /dt （单位时间内因剪切变形产生的角度变化） 剪切变形速率就等于流体的速度梯度，即 dα du = dt dy 解：因为 a 点速度为 u，所以 b 点速度为 u +
V2 pT 1 × 78 =1 − 1 2 =1 − =80.03% V1 p2T1 6 × 20
压缩终温为 78℃时，利用理想气体状态方程可得
∆V = 1 −
1-2 图 1-12 所示为压力表校验器，器内充满体积压缩系数= β p 4.75 × 10−10 m2/N 的油， 用手轮旋进活塞达到设定压力。已知活塞直径 D=10mm，活塞杆螺距 t=2mm，在 1 标准大 气压时的充油体积为 V0=200cm3。设活塞周边密封良好，问手轮转动多少转，才能达到 200 标准大气压的油压（1 标准大气压=101330Pa） 。 解：根据体积压缩系数定义积分可得：
1—3
解： 固定圆盘表面液体速度为零， 转动圆盘表面半径 r 处液体周向线速度速度 vθ s = rω ； 设液膜速度沿厚度方向线性分布，则切应力分布为
图 1-14 习题 1-5 附图
r
z
u
R
r R2 由上式可知，壁面切应力为 τ 0 = −4 m um / R ，负号表示 τ 0 方向与 z 相反；
τ = mm = −4 um
du dr
（2）由流体水平方向力平衡有： p R 2 Dp + τ 0p DL= 0 ，将 τ 0 表达式代入得
8m u L ∆p = 2m R
图 1-16 习题 1-7 附图
1-7 如图 1-16 所示，流体沿 x 轴方向作层状流动，在 y 轴方向有速度梯度。在 t=0 时， 任取高度为 dy 的矩形流体面考察，该矩形流体面底边坐标为 y，对应的流体速度为 u ( y ) ； 经过 dt 时间段后，矩形流体面变成如图所示的平行四边形，原来的 α 角变为 α − dα ，其剪 。试推导表明：流体的 切变形速率定义为 dα /dt （单位时间内因剪切变形产生的角度变化） 剪切变形速率就等于流体的速度梯度，即 dα du = dt dy 解：因为 a 点速度为 u，所以 b 点速度为 u +
V2 pT 1 × 78 =1 − 1 2 =1 − =80.03% V1 p2T1 6 × 20
压缩终温为 78℃时，利用理想气体状态方程可得
∆V = 1 −
1-2 图 1-12 所示为压力表校验器，器内充满体积压缩系数= β p 4.75 × 10−10 m2/N 的油， 用手轮旋进活塞达到设定压力。已知活塞直径 D=10mm，活塞杆螺距 t=2mm，在 1 标准大 气压时的充油体积为 V0=200cm3。设活塞周边密封良好，问手轮转动多少转，才能达到 200 标准大气压的油压（1 标准大气压=101330Pa） 。 解：根据体积压缩系数定义积分可得：
工程流体力学
（1）液体 压缩性： 压力变化引起流体密度（体积）发生改变。
dρ
a. 压缩系数
k =
ρ
dp
= −
dV dp
V
dp 1 = ρ b. 体积模量 E = k dρ
c. 声速
c= E/ρ
第1章 绪论
热胀性： 温度升高，流体体积膨胀的性质。
dρ V = − dp
热胀系数
α =
dV dT
ρ
一般情况下，水的压缩性和热胀性可以忽略不计。
第1章 绪论
质量力 —— 作用在单位质量上的力 1. 重力 2. 惯性力
δFb δFb f = lim = lim δV →0 δm δV →0 ρδV
直角坐标系中分量式为： 同加速 f = f i + f j + f k 度量纲
x y z
单位：m/s2
第1章 绪论
表面力 —— 作用在单位面积上的力 1. 压力 2. 黏性力
第1章 绪论
跨海隧道
第1章 绪论
最早的高尔夫球
表面为什么 有很多小凹 坑？
现在的高尔夫球
第1章 绪论
高尔夫球表面的小凹坑可以减少减小尾流的范 围，从而减少空气的阻力； 高尔夫球的自旋大约提供了一半的升力。另外一 半则是来自小凹坑，它可以提供最佳的升力； 阻力及升力对凹坑的深度很敏感。
第1章 绪论
第1章 绪论
汽车阻力来自前部还是后部？
90年代后，科研人员研制开发的未来型汽车，阻 力系数仅为0.137。
经过近80年的研究改进，汽车阻力系数从0.8降至 0.137，阻力减小为原来的1/5 。 目前，在汽车外形设计中流体力学性能研究已占 主导地位，合理的外形使汽车具有更好的动力学 性能和更低的耗油率。
dρ
a. 压缩系数
k =
ρ
dp
= −
dV dp
V
dp 1 = ρ b. 体积模量 E = k dρ
c. 声速
c= E/ρ
第1章 绪论
热胀性： 温度升高，流体体积膨胀的性质。
dρ V = − dp
热胀系数
α =
dV dT
ρ
一般情况下，水的压缩性和热胀性可以忽略不计。
第1章 绪论
质量力 —— 作用在单位质量上的力 1. 重力 2. 惯性力
δFb δFb f = lim = lim δV →0 δm δV →0 ρδV
直角坐标系中分量式为： 同加速 f = f i + f j + f k 度量纲
x y z
单位：m/s2
第1章 绪论
表面力 —— 作用在单位面积上的力 1. 压力 2. 黏性力
第1章 绪论
跨海隧道
第1章 绪论
最早的高尔夫球
表面为什么 有很多小凹 坑？
现在的高尔夫球
第1章 绪论
高尔夫球表面的小凹坑可以减少减小尾流的范 围，从而减少空气的阻力； 高尔夫球的自旋大约提供了一半的升力。另外一 半则是来自小凹坑，它可以提供最佳的升力； 阻力及升力对凹坑的深度很敏感。
第1章 绪论
第1章 绪论
汽车阻力来自前部还是后部？
90年代后，科研人员研制开发的未来型汽车，阻 力系数仅为0.137。
经过近80年的研究改进，汽车阻力系数从0.8降至 0.137，阻力减小为原来的1/5 。 目前，在汽车外形设计中流体力学性能研究已占 主导地位，合理的外形使汽车具有更好的动力学 性能和更低的耗油率。
工程流体力学
τ
我们将会看到，是否忽略粘性影响将对流动问题的处理带来很大的区别，理想流体假设可以大大简化理论分析过程。 而 是流体的客观属性，所以往往是在变形速率不大的区域将实际流体简化为理想流体。
ΔV
流体的压缩性
V
流体能承受压力，在受外力压缩变形时，产生内力（弹性力）予以抵抗，并在撤除外力后恢复原形，流体的这种性质称为压缩性。
长度单位：m（米）
质量单位：kg（公斤）
时间单位：s（秒）
流体力学课程中使用的单位制
SI 国际单位制（米、公斤、秒制）
三个基本单位
导出单位，如：
01
密度 单位：kg/m3
02
力的单位：N（牛顿），1 N=1 kgm/s2
03
应力、压强单位：Pa（帕斯卡），1Pa=1N/m2
04
动力粘性系数 单位：Ns/m2 =Pas
05
运动粘性系数 单位：m2/s
06
体积弹性系数 K 单位： Pa
07
一般取海水密度为
常压常温下，空气的密度是水的 1/800 与水和空气有关的一些重要物理量的数值 1大气压，40C 1大气压，100C
空气的密度随温度变化相当大，温度高，密
度低。
水的密度随温度变化很小。 1大气压，00C 1大气压，800C
04
流体不能承受集中力，只能承受分布力。
02
一般情况下流体可看成是连续介质。
03
力学
§1－1 课程概述
工程流体力学的学科性质
研究对象 力学问题载体
宏观力学分支 遵循三大守恒原理
流体力学
水力学
流体
水
力学
强调水是主要研究对象 偏重于工程应用，水利工程、流体动力工程专业常用
我们将会看到，是否忽略粘性影响将对流动问题的处理带来很大的区别，理想流体假设可以大大简化理论分析过程。 而 是流体的客观属性，所以往往是在变形速率不大的区域将实际流体简化为理想流体。
ΔV
流体的压缩性
V
流体能承受压力，在受外力压缩变形时，产生内力（弹性力）予以抵抗，并在撤除外力后恢复原形，流体的这种性质称为压缩性。
长度单位：m（米）
质量单位：kg（公斤）
时间单位：s（秒）
流体力学课程中使用的单位制
SI 国际单位制（米、公斤、秒制）
三个基本单位
导出单位，如：
01
密度 单位：kg/m3
02
力的单位：N（牛顿），1 N=1 kgm/s2
03
应力、压强单位：Pa（帕斯卡），1Pa=1N/m2
04
动力粘性系数 单位：Ns/m2 =Pas
05
运动粘性系数 单位：m2/s
06
体积弹性系数 K 单位： Pa
07
一般取海水密度为
常压常温下，空气的密度是水的 1/800 与水和空气有关的一些重要物理量的数值 1大气压，40C 1大气压，100C
空气的密度随温度变化相当大，温度高，密
度低。
水的密度随温度变化很小。 1大气压，00C 1大气压，800C
04
流体不能承受集中力，只能承受分布力。
02
一般情况下流体可看成是连续介质。
03
力学
§1－1 课程概述
工程流体力学的学科性质
研究对象 力学问题载体
宏观力学分支 遵循三大守恒原理
流体力学
水力学
流体
水
力学
强调水是主要研究对象 偏重于工程应用，水利工程、流体动力工程专业常用
工程流体力学课后习题参考答案（周云龙洪文鹏教材版）
工程流体力学课后习题参考答案（周云龙洪文鹏教材版）工程流体力学课后习题参考答案《工程流体力学》（第二版）中国电力出版社周云龙洪文鹏合编一、绪论1-1 kg/m31-2 kg/m31-3m3/h1-41/Pa 1-5 Pa·s1-6 m2/s1-7 (1)m/s1/s(2)Pa·s (3) Pa1-8 (1)(Pa)(2)(Pa)1-9 (1) (N)(2) (Pa)(3)1-10Pa·s Pa·s1-11( N·m) 1-12 m/sm2NkW1-13 Pa·sm2NkW1-141-15 m2N1-16 m2m/sr/min1-17Pa·sN1-18 由1-14的结果得N·m1-191-20 mm 1-21mm 二、流体静力学2-1kPa2-2PaPa2-3 且m(a) PaPa(b) PaPa(c) PaPa2-4 设A点到下水银面的距离为h1，B点到上水银面的距离为h2即m 2-5kg/m3Pa2-6 Pa 2-7(1)kPa(2)PakPa2-8设cm m mkPa2-9 (1)Pa(2)cm2-10Pa m2-11整理得m2-12Pa2-13cm 2-142-15整理：kPa 2-16设差压计中的工作液体密度为Pam2-17Pa2-18kPa2-19 (1) N(2) N2-21 设油的密度为NNN对A点取矩m（距A点）2-22 设梯形坝矩形部分重量为，三角形部分重量为（1）(kN) (kN)（2）kN·m<kn·m< p="">稳固2-23总压力F的作用点到A点的距离由2-24 m m2-25 Nm(距液面)2-26Nm (距液面)或m(距C点)2-27第一种计算方法：设水面高为m，油面高为m；水的密度为，油的密度为左侧闸门以下水的压力：N右侧油的压力：N左侧闸门上方折算液面相对压强：(Pa)则：N由力矩平衡方程(对A点取矩)：解得：（N）第二种计算方法是将左侧液面上气体的计示压强折算成液柱高（水柱高），加到水的高度中去，然后用新的水位高来进行计算，步骤都按液面为大气压强时计算。
工程流体力学(水力学)
由上式知，真空压强是指流体中某点的绝对压强 小于大气压的部分，而不是指该点的绝对压强本 身，也就是说该点相对压强的绝对值就是真空压 强。若用液柱高度来表示真空压强的大小，即真 空度hv为 pv hv v (1-11) 式中重度γ可以式水或水银的重度。 为了区别以上几种压强的表示方法，现以A点 (pA>pa)和B点（p′B<pa）为例，将它们的关系 表示在图1-2上。
p′A+γ1h1= pa+γ2h2 p′A =pa+γ2h2-γ1h1 pA = γ2h2-γ1h1 因为γ1、γ2是已知得，由标尺量出h1、 h2 值后，即可按上两式得点A的绝对压强和相对压 强值。
标尺 P a 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 P a
P 0 A
γ h2
h1
对于静止流体中任意两点来说，上式可写为：
z1 p1
z2
p2
(1-13)
或
p2=p1+γ(z1-z2)=p1+γh (1-13a) 式中z1、z2分别为任意两点在z轴上的铅垂坐标 值，基准面选定了，其值就定了；p1、p2份别为 上述两点的静压强；h为上述两点间的铅垂向下 深度。上述两式即为流体力学基本方程，在水力 p 学中又称水静力学基本方程。Z的物理意义是： 单位重量流体从某一基准面算起所具有的位能， 因为对重量而言，所以称单位位能。的物理意义 是：单位重量流体所具有的压能，称单位压能。 因此流体静力学基本方程的物理意义是：在静止
流体中任以点的单位位能与单位压能之和，亦即 单位势能为常数。对于气体来说，因为重度γ值 较小，常忽略不计。由上式可知，气体中任意两 点的静压强，在两点间高差不大时，可认为相等。 对于液体来说，因为自由表面上的静压强p0常为 大气压强，是已知的。所以由上式可知液体中任 一点的静压强p为 p= p0+γh 上式亦称水静力学基本方程，它表明静止重 力液体中任一点的静压强p是由表面压强p0和该 点的淹没深度h与该液体的重度γ的乘积两部分 组成的。应用上式就可以求出静止重力液体中任 一点的静压强。 3.静压强分布图 流体静力学基本方程可以用几何图形来表示，它 们可以清晰的表示处流体中各点静压强的大小和 方向，即静压强的分布规律。表示出各点静压
《工程流体力学 》课件
1
动量守恒定律的原理
从动量的守恒角度出发，深刻理解动量守恒定律的实际含义。
2
螺旋桨叶片受力分析方法
通过螺旋桨叶片受力分析的实例，解析动量守恒定律在实际问题中的应用。
3
旋转流体给出经典范例。
能量守恒定律
1 什么是能量守恒定律？
解析能量守恒定律的定义及其基本特性，令人信服地说明其重要性。
第二章：质量守恒定律
详细介绍质量守恒定律的深刻含义和应用范围， 以及流体连续性方程的应用实例。
第四章：能量守恒定律
归纳总结能量守恒定律的核心表述和基本特征， 以及流体能量方程的求解方法。
流体力学基础
1
流体的基本概念
定义流体和非流体的区别，详细介绍流体的基本性质和特征。
2
流场参数
分类介绍各项流场参数的定义、特征和计算方法，重点阐述雷诺数的作用。
概述水力发电站的基本构造和 设备，重点描述流场参数的计 算方法和水力器件的工作原理。
油气管道压力调节方 法
介绍油气管道压力发生变化的 原因和影响，以及调节压力的 方法与流体力学的联系。
结论和要点
结论1
质量守恒定律的意义及其在实际 问题中的应用。
结论2
动量守恒定律的实际含义，以及 其在涡轮和桨叶设计中的应用。
2 如何求解能量守恒定律？
采用实例解析法，将复杂的能量守恒定律应用问题简单化。
3 如何避免能量损失？
从能量损失的根源出发，提出避免能量损失的有效途径。
应用举例
机翼气动力设计
阐述机翼气动力设计的重要性 及其与流体力学的联系，以及 之前学到的动量守恒定律和能 量守恒定律在机翼气动力设计 中的应用。
水力发电站设计
结论3
工程流体力学课后习题答案
第1章绪论【1-1】500cm3的某种液体，在天平上称得其质量为0.453kg，试求其密度和相对密度。
【解】液体的密度相对密度【1-2】体积为5m3的水，在温度不变的条件下，当压强从98000Pa增加到4.9×105Pa时，体积减少1L。
求水的压缩系数和弹性系数。
【解】由压缩系数公式Pa-【1-3】温度为20℃，流量为60m3/h的水流入加热器，如果水的体积膨胀系数βt=0.00055K-1，问加热到80℃后从加热器中流出时的体积流量变为多少？【解】根据膨胀系数Vdt则1【1-4】用200升汽油桶装相对密度0.70的汽油。
罐装时液面上压强为98000Pa。
封闭后由于温度变化升高了20℃，此时汽油的蒸汽压力为17640Pa。
若汽油的膨胀系数为0.0006K-1，弹性系数为13.72×106Pa，（1）试计算由于压力温度变化所增加的体积，（2）问灌装时汽油的体积最多不应超过桶体积的百分之多少？【解】（1）由pdVP1可得，由于压力改变而减少的体积为VdpE由于温度变化而增加的体积，可由1dVtVdT得（2）因为t，相比之下可以忽略由压力变化引起的体积改变，则由得【1-5】图中表示浮在油面上的平板，其水平运动速度为u=1m/s，油品的粘度μ=0.9807Pa·s，求作单位面积上的阻力。
【解】根据牛顿内摩擦定律dudy习题1-5图δ=10mm，用在平板则习题1-6图【1-6】已知半径为R圆管中的流速分布为r2式中c为常数。
试求管中的切应力τ与r的关系。
【解】根据牛顿3第2章流体静力学【2-1】容器中装有水和空气，求A、B、C和D各点的表压力？【解】空气各点压力相同，与空气接触的液面压力即为空气的压力，另外相互连通的同种液体同一高度压力相同，即等压面【2-2】如图所示的U形管中装有水银与水，试求：（1）A、C两点的绝对压力及表压力各为多少？（2）求A、B两点的高度差h？【解】由p a题2-2图，，得（1）＋1（2）选取U形管中水银的最低液面为等压面，则得wH题2-3图w13.6【2-3】在一密闭容器内装有水及油，密度分别为ρw及ρo，油层高度为h1，容器底部装有水银液柱压力计，读数为R，水银面与液面的高度差为h2，试导出容器上方空间的压力p与读数R的关系式。
工程流体力学
教材目录
（注：目录排版顺序为从左列至右列）
教学资源
《工程流体力学》有配套的数字课程。 《工程流体力学》配有数字化资源。
作者简介
丁祖荣，1981年在上海交通大学工程力学系获工学硕士并留校，上海交通大学船建学院工程力学系教授、博 士生导师。从1982年起主讲流体力学、工程流体力学等本科生课程，高等流体力学、粘性流体力学、生物力学等 研究生课程。
工程流体力学
20xx年4月高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材目录 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《工程流体力学》是由丁祖荣编著，高等教育出版社于2022年4月27日出版的高等学校教材。该教材可作为 高等学校土木工程、环境科学与工程、水利水电工程、农业工程等专业本科生的工程流体力学教材，同时也适合 作为相关工程技术人员的参考用书。
复旦大学许世雄教授、华中科技大学莫酒榕教授审阅了全书；华北水利水电大学李国庆教授审阅了“明渠流 动”；上海交通大学土木工程系周岱教授审阅了“大气边界层与建筑风荷载”；上海交通大学环境科学与工程学 院刘萍副院长和上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院工程力学系张景新副教授审阅了“流体中污染物的传输” 等。博士生董杰绘制了部分图表。
从指导思想、知识体系到方法，工程流体力学不同于传统的水力学。按工程力学的要求，可将国内的工程流 体力学课程分为三种类型：（1）以钱学森的工程科学思想为指导思想，系统地体现应用力学方法的流体力学课程； （2）按流体力学的观点和方法，结合工程专业的特点和要求开设的流体力学课程；（3）将为工程专业开设的流 体力学课程通称为“工程流体力学”（包括经改造后的水力学）。
2022年4月27日，《工程流体力学》由高等教育出版社主要内容分为基础和专题两部分，共计11章。基础部分（B）包括5章：流体的物理性质与 作用力、流体静力学、流体运动学、流体动力学、量纲分析与相似原理等。专题部分（C）包括6章：圆管流动、 明渠流动、地下水渗流、大气边界层与建筑风荷载、流体中污染物的传输、可压缩流体一维流动等。该书配套的 数字资源包括电子教案、典型习题详解、自测题等，以便读者学习参考。
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§7-8 几种简单的平面势流
一、均匀等速流 流线平行且流速相等的流动
y
v vx0i vy0 j
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一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量的定义： 2 V
xi y j zk
x
vz y
v y z
y
vx z
vz x
z
理想正压性流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭 流体周线的速度环量不随时间变化
dΓ 0 dt
涡旋不会自行产生，也不会自行消失
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在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K
dΓ d
dt dt
(vxdx vydy vzdz)
[vx
d dt
(dx)
vy
d dt
(dy)
vz
d dt
(dz)]
(dvx dx dvy dy dvz dz)
dt dt
dt
d dt
(dx)
dvx
d dt
(dy)
dv
y
d dt
(dz)
dvz
vx
d dt
dx
vy
d dt
dy
vz
d dt
dz
vxdvx vy dvy vz dvz
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2．亥姆霍兹（Helmholtz）定理 亥姆霍兹第一定理：在理想正压性流体的有旋流场中，同一涡 管各截面上的旋涡强度相同。
Γ Γ Γ Γ Γ 0 a1a2b2b1a1
a1a2
a2b2
b2b1
b1a1
Γ a1a2 Γ b2b1 0
Γ Γ a2b2
2 2
0
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三、速度势函数和流函数的关系
对于不可压缩流体的平面无旋流动， 速度势函数和流函数都是调和函数
vx
x
y
vy
y
x
柯西—黎曼（Cauchy—Riemen）条件
0
x x y y
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vydx vxdy
0
dx dy vx vy
——流线微分方程
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2. 流体通过两流线间单位高度的体积流量等于 两条流线的流函数之差。
qV
B vn
A
ndl
B A
vx cos
vy
sin
dl y
dl cos dy
dl sin dx
d
vx2
vy2 2
vz2
d
v2 2
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(dvx dx dvy dy dvz dz)
dt
dt
dt
1 p
1 p
1 p
[(
fx
)dx x
(
fy
)dy y
( fz
)dz] z
[(
fxdx
图 7—12
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【例7-3】已知二维流场的速度分布为vx=-3y，
vy=4x，试求绕圆 x2+y2=R2的速度环量。
【解】 采用极坐标
x r cos
y r sin
vr vx cos vy sin
v vy cos vx sin
2 0
v Rd
2 (4R cos2 3R sin2 )rd R2 2 (4 cos2 3sin2 )d
0
0
6R2 R2 2 cos2 d 6R2 R2 7R2 0
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三、汤姆孙定理、亥姆霍兹定理 1．汤姆孙（Thomson）定理
2
边界条件： r rb , p pb , v vb rb
C
pb
2
vb 2
p
vb 2
p
p
1 2
v 2
vb 2
p
1 2
2r 2
2rb 2
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速度分布为
v
压强分布
p p∞ pb
pc
pb
pc
p
pb
1 2
vb 2
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§7-7 速度势和流函数
一、速度势函数 无旋流动也称为有势流动，简称势流
vxdx+vydy+vzdz成为某一函数 x, y, z,t 的全微分
的充要条件 ：
vz v y y z
vx vz z x
V 0
v y vx x y
亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡 管强度不随时间变化。
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§7-6 二维旋涡的速度和压强分布
rb
ω
涡核区
rb
环流区
ω
二维旋涡
Γ J 2 rb2
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涡核区： 有旋流 环流区： 无旋流 一、在环流区内
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d
x
dx
y
dy
z
dz
v x dx
vy dy
vz dz
vx
x
，v
y
y
，v
z
z
v vxi vy j vzk
i
j
k
grad
x y z
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vds
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2．沿任一曲线切向速度的线积分等于曲线两端点速度势之差
Γ AB
B
A (vxdx vydy vzdz)
B
( dx A x
y
dy
z
dz)
B
A
对于封闭周线： Γ (vxdx vydy vzdz) d 0
速度势的特性
1．流线与等势面相垂直
等势面的方程为 x, y, z,tdr
dxi
dyj
dzk
v dr vxi vy j vzk dxi dyj dzk
vxdx vydy vzdz d 0
3．对于不可压缩流体，速度势是调和函数，满足拉普拉斯方程。
不可压缩流体连续性方程
V 0
0
2 0
2 2 2 2 0
x2 y2 z 2
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柱坐标系下 ：
vr
r
v
1 r
vz
vy x
vx y
0
x
x
y
y
0
2 2 2 0
x2 y2
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柱坐标系下 ：
vr
1 r
v
r
2
2
r 2
1
r r
1 r2
vx y vy x
2 (xdx ydy) 1 (p dx p dy) x y
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dp 2d ( x2 y 2 )
2
p 1 2 (x 2 y 2 ) C
2
1 2r 2 C
2
1 v 2 C
规定绕行的正方向为逆时针方向，即沿封闭轴线前进时，封闭 周线所包围的面积总在绕行前进方向的左侧；封闭周线所包围 曲面的法线正方向与绕行的正方向符合右手螺旋系统。
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2．斯托克斯定理
在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周 线所包围曲面面积的旋涡强度，即 ：
v dl d A 2 ndA J
vb2
2
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二、在涡核区内 1. 速度分布为
vr 0
v r
r rb
2. 压强分布
由欧拉运动微分方程
vx
vx x
vy
v x y
1
p x
vx
v y x
vy
v y y
1
p y
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vr 0
v r 2 x 1 p x 2 y 1 p y
v
vr
r
1. 速度分布为
vr 0
v