2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题（17）曲线()y y x =在点（1，1）附近是凸的. （18）11)3+ （19）略（20）11011(1)()()(1),(1,3)532n nn n n f x x x ∞++=-=-+-∈-∑（21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]Tx k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]Tx =-（22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数）（Ⅱ）011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2(2),01,()(2),12,0,Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他（24）（Ⅰ）1ˆ=22X θ-;（Ⅱ）24()X 不是2θ的无偏估计量 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）【答案】（B ） 【解析】利用当0x →时的等价无穷小关系ln(1)x x +:，即知当0x +→时ln(1:故选B..（2）【答案】 (D)【解析】方法1:论证法，由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以00()(0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x→→===（A ）正确；由于00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有00()()lim lim 00x x x x f x f x x x→→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （3）【答案】（C ）【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而323223(3)()()(),288(2)(),2F f t dt f t dt f t dt F f t dt ππππ==+=-===⎰⎰⎰⎰所以(3)F - 3(2)4F =，选择C （4）【答案】（B ）【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰， 所以选择(B).（5）【答案】（D ） 【解析】'()22.()16021602Q P PP P Q P P P-===--需求弹性 由题知，它等于1，解之，40.P =所以选(D)（6）【答案】（D ） 【解析】001lim lim ln(1),x x x y e x →→⎛⎫=++=∞⎪⎝⎭所以0x =是一条垂直渐近线；1lim lim ln(1)0,x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线； 又 21ln(1)ln(1)1lim lim lim lim 1,xx x x x x x x e y e e e x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+++=+== ⎪⎝⎭洛 ()()1lim lim ln(1)lim ln(1)x x x x x y x e x e x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=++-=+- ⎪⎝⎭ 1lim ln()lim ln(1)0,xx x x x e e e-→+∞→+∞+=+== 所以y x =也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D ） （7）【答案】(A)【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立.则称123,,ααα线性相关.因1223310αααααα-+-+-=， 故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. （8）【答案】（B ）【解析】2111111111211210311211203E A λλλλλλλλλλ--=-=-=----()230λλ=-=因为A 的特征值是3，3，0，B 的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. A 与B 有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以A 与B 合同，应选（B ）.（9）【答案】(C)【解析】根据独立重复的贝努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p .根据独立性，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -=-g 所以应选（C ）.（10）【答案】(A)【解析】由于二维正态的(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此()().X X Y f x y f x = 应选(A).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）【答案】 0【解析】方法1：由洛必达法则，()32223213262lim lim lim 22ln 232ln 26x x xx x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞++++==+++ ()36lim0,2ln 26xx →+∞==+而(sin cos )x x +是有界变量，所以3231lim (sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+ 方法2：32133311lim(sin cos )lim (sin cos )221x x x x x x x x x x x x x x ---→+∞→+∞+++++=+++ 而 233222ln 22(ln 2)lim 2lim lim lim 36x x x xx x x x x x x x-→+∞→+∞→+∞→+∞===32(ln 2)lim 6x x →+∞==+∞， 所以 3231lim(sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+（12）【答案】1(1)2!3n n n n +-【解析】()()()1232123,'(1)223,''(1)(2)223,,23y x y x y x x ---==+=-+=--++L由数学归纳法知()1()(1)2!23,n n nnyn x --=-+()1(1)2!(0)3n n n n n y +-= （13）【答案】''122()y x f f x y-+【解析】12122211'';'',z y z x f f f f x x y y x y ⎛⎫∂∂⎛⎫=⋅-+⋅=⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭''122()z z y xxy f f x y x y∂∂-=-+∂∂ （14）【解析】典型类型按标准解法.命,y ux =有,dy duu x dx dx=+原方程化为 31,2du u x u u dx +=- 即 32,du dx u x =-积分，得 21ln x C u=+化为y ，得 22ln x y x C=+解出y =再以(1,1)代入，1,C =所以得特解y =.（15）【答案】 1 【解析】2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然()31.r A=(16) 【答案】34【解析】所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，12X Y -<。

在坐标轴上画出图形，所求概率为211132.214D P X Y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-<=== ⎪⎝⎭的面积单位正方形面积其中D 是由12y x -=±，1x =，1y =以及x 、y 轴围成的图形.三、解答题：17－24小题，共86分。

请将解答写在答题纸指定的位置上。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）【解析】对方程两边求导得'''1ln 2102ln y y y y y+-=⇒=+再两边求导得'2''''''1()(2ln )0(2ln )y y y y y y y y y ++=⇒=-+ 求在（1，1）点的值'21''1()101(2ln1)8x x y y ===-=-<+所以()y y x =在点（1，1）处是凸的.（18）【解析】由区域对称性和被积函数的奇偶性有(,)Df x y d σ⎰⎰14(,)D f x y d σ=⎰⎰其中1D 为D 在第一象限的部分，而11112(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中{}{}1112(,)01,01(,)12,0,0D x y y x x D x y x y x y =≤≤-≤≤=≤+≤≤≥因为111121(,)12D D f x y d x d σσ==⎰⎰⎰⎰1212(,)3)D D f x y d σσ==⎰⎰所以原式11)3=+.（19）【解析】（Ⅰ）因()f x 与()g x 在(,)a b 内存在相等的最大值，若两个函数能够在同一点(,)c a b ∈取得最大值，则()()f c g c =，取c 作为η即可.否则两个函数必在两个不同的点x c =与x d =处分别取得最大值.为确定起见，设()f c 是()f x 在[,]a b 上的最大值，()g d是()g x 在[,]a b 上的最大值，且a c d b <<<，不难得出()()f c g c >且()()f d g d <.设()()()F x f x g x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()0()F c F d >>成立.由闭区间上连续函数取中间值性质知存在(,)(,)c d a b η∈⊂，使()0F η=，即()()f g ηη=当()f d 是()f x 在[,]a b 上的最大值且()g c 是()g x 在[,]a b 上的最大值时可类似证明存在(,)(,)c d a b η∈⊂使得()0F η=，即()()f g ηη=（Ⅱ）设()()()F x f x g x =-.由题设与（Ⅰ）的结论知，()F x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内二次可导，且存在(,)a b η∈使()()()0F a F F b η===.分别在[,]a η与[,]b η上对()F x 应用罗尔定理可得，存在(,)a αη∈，(,)b βη∈使()()0F F αβ''==.由于()F x '在[,]αβ上满足罗尔定理的全部条件，按罗尔定理知存在(,)(,)a b ξαβ∈⊂，使()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=（20）【解析】1111()()(4)(1)51312f x x x x x ==--+---+记 10111111()()(),131********()3nn x f x x x x ∞=-==-=--<---∑20111111()()(1)(),12151101021()2n nn x f x x x x ∞=-===--<-++∑则11000111111(1)()()(1)()()(1),(1,3)153102532n n n nn n n n n n x x f x x x ∞∞∞++===---=---=-+-∈-∑∑∑（21）【解析】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩并对联立方程组的增广矩阵作初等行变换2211101110111012001100101()00111400310000(1)(2)12110101a a a A b a aa a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎢⎥--⎪ ⎪⎢⎥=→→ ⎪ ⎪⎢⎥--- ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎪----⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 当1a =时，联立方程组（3）的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩解得两方程组的公共解为[1,0,1]Tk -，其中k 是任意常数.当2a =时, 联立方程组（3）的同解方程组为12323011x x x x x ++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得两方程的公共解为[0,1,1]T-.方法2：将方程组（1）的系数矩阵A 作初等行变换221111111111201101103100(1)(2)14A a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 当1a =时，方程组（1）的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩解得（1）的通解为[1,0,1]Tk -，其中k 是任意常数.将通解[1,0,1]Tk -代入方程（2） 0()0k k ++-=.对任意的k 成立，故当1a =时，[1,0,1]T k -是（1）、（2）的公共解. 当2a =时，方程组（1）的同解方程组为1232300x x x x x ++=⎧⎨+=⎩解得（1）的通解为[0,1,1]Tμ-,其中μ是任意常数. 将通解[0,1,1]Tμ-代入方程（2）21μμ-=.得1μ=，故当2a =时，（1）和（2）的公共解为[0,1,1]T-.（22）【解析】（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n nA n αλα==，于是 5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，53()()4()1B A A λλλ=-+所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T Tαα=-=（Ⅱ）令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以1111333111112(2,1,1)101(2,1,1)333110121333B P diag P diag -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（23）（本题满分11分） 【解析】（Ⅰ）{}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域；求此二重积分可得{}112002(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰724= （Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z ≤时，()0Z F z =； 当2z ≥时，()1Z F z =；当01z <<时，32001()(2)3zz xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰所以 222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他（24）（本题满分11分） 【解析】（Ⅰ）记EX μ=，则1022(1)x x EX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为$122X θ=-； （Ⅱ）只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n==+=+，而 1142EX θ=+，221(12)6EX θθ=++， 22251()481212DX EX EX θθ=-=-+，于是222533131(4)1233n n n E X n n nθθθ+-+=++≠因此24X 不是为2θ的无偏估计量.。