利用椭圆的对称性解题
巧用椭圆的对称性解题
巧用椭圆的对称性解题作者：卜以军来源：《高中生·高考指导》2015年第12期一、求弦长例1 已知直线y =3x+2 被椭圆+=1（a>b>0）截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8 的有______（填上直线的序号）.①y =3x-2；②y =3x+1；③y =-3x-2；④y =-3x+2；⑤y =-3x.分析若用弦长公式解决这个问题，则没有认清问题的本质，费时费力.利用椭圆的对称性就可以轻松求解.解作出椭圆和有关直线（图略）.由于椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称，直线①③④与直线y =3x+2是关于坐标轴或原点对称，所以直线①③④与直线y =3x+2被椭圆截得的弦长相等.又由图知，直线②⑤被椭圆截得的弦长都大于8.故应选①③④.二、求最值例2 过原点的直线与椭圆+ y2=1交于A，B两点，F 是椭圆的右焦点，求△ABF 面积的最大值.分析由椭圆的对称性，可知A，B 两点关于原点对称.解如图1，由椭圆的对称性知，A，B 两点关于原点对称，所以|OA|= |OB|，S△AOF=S△BOF .由于焦点F 的坐标为（，0），点A到x轴距离的最大值为1，所以S△ABF=2S△AOF =2××|yA|≤.所以，△ABF 面积的最大值为.三、解答直线过定点问题例3 M，N是椭圆+ y2=1上不同的两个动点，P 是椭圆上不同于M，N 的一个动点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为-，求证：直线MN 必过定点.分析可以在椭圆上先取一些关于坐标轴对称的特殊点进行观察、分析，初步确定定点的位置后，再进行一般性论证.取M为椭圆的上顶点（0，1），P为左顶点（-2，0），则直线PM的斜率为.由椭圆的对称性知，若取N 为椭圆的下顶点（0，-1），则此时直线PN的斜率为 -.直线PM与直线PN的斜率之积为-，从而所求的定点应该在y 轴上.再取M为椭圆的左顶点（-2，0），N为右顶点（2，0），P为上顶点（0，1），也满足条件，则所求的定点应该在x 轴上.综上可知，所求定点必为原点.证明设点M，N，P的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x0，y0），可得+y21=1，+ y22=1，+ y20=1，且kPM·kPN =·=-.又·=== -，所以=对椭圆上任意满足条件的点P（ x0，y0）都成立，可得x2=-x1，y2=-y1.所以，点M与点N关于原点对称，即直线MN 必过原点.例4 如图2，已知椭圆的焦点是F1（-4，0），F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1B +F2B=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1），C（x2，y2）满足条件：|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列.（1）求该椭圆的方程.（2）求证：线段AC的垂直平分线过定点.分析对于本题的第（2）问，不难求得x1+x2=8，在x轴上方取满足条件的两点A和C，再在x轴下方取A′和C′，使A′和C′分别与A和C关于x轴对称，则A′点与C′点的横坐标之和也为8.由于椭圆关于x 轴对称，线段AC的垂直平分线与线段A′C′的垂直平分线也关于x轴对称，所以线段AC的垂直平分线必过x轴上的一个定点.（1）解：椭圆的方程为+ =1.（解答过程省略）（2）证明：由（1）可知e=，右准线为l：x=，点B的横坐标为4.设点A，C在l上的射影分别为M，N，则=，所以|AF2|=|AM|=（-x1）=5- x1.同理，|BF2|= 5-× 4，|CF2|=5-x2.由|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列，可知2|F2B|= |F2A|+|F2C|，即2（ 5-× 4）=（5- x1）+（5-x2），解得x1 + x2 =8.所以，线段AC 的垂直平分线的方程为y -=-（x-4）.令y =0 ，得x= 4+= 4-（x1+x2）= 4-× 8=.所以，线段AC 的垂直平分线过定点（，0）.四、解决与焦半径有关的问题例5 如图3，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0）.已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程.（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，若|AF1|-|BF2|=，求直线AF1的斜率.分析对于本题的第（2）问，可以先求出A，B两点的坐标，再求出AF1和BF2的长度，然后由已知条件求出直线AF1的斜率，但是这种方法非常繁琐.若延长AF1交椭圆于点C，则由椭圆的对称性可知，线段CF1和线段BF2的长度相等，从而可将线段BF2对称地转移到线段CF1，使原本陌生的问题转化为熟悉的椭圆焦点弦问题.这是运用转化与化归的数学思想解决问题的一个典型案例.解（1）椭圆的方程为+ y2=1.（解答过程省略）（2）由（1）可知，F1，F2的坐标分别为（-1，0），（1，0），e=.延长AF1交椭圆于点C，由AF1∥BF2及椭圆的对称性，可知 B，C 关于原点对称，可得|BF2|= |CF1|.设点A的坐标为（x1，y1），点C的坐标为（x2，y2），其中y1>0，y2由已知条件，可知AF1>BF2，从而AF1不垂直于x轴.设AC：y =k（x+1）（k>0），将其代入椭圆的方程中，得x2+2k2（x+1）2=2，即（1+2k2）x2+4k2x +2（k2-1）=0.于是可知x1+x2=-，x1x2=.由|AF1|-|BF2|=（+x1）-（+x2）=（x1-x2）=，可知x1-x2=，则（x1+x2）2-4x1x2=3，即-=3，解得k2=.由k>0，可知k=.故AF1的斜率为.（责任编校？筑冯琪）。
圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率
圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率在圆锥曲线解题中，对称性是一种常用的技巧，可以用来简化计算和证明过程，提高解题效率。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有不同的对称性质，可以通过利用这些对称性质来解题。
1. 椭圆的对称性利用椭圆是一种闭合曲线，具有中心对称性质。
利用椭圆的对称性，可以简化计算和证明过程。
例如，在求解椭圆的焦点坐标时，可以利用对称性质来减少计算量。
假设椭圆的中心为原点，主轴在x轴上，次轴在y轴上。
设椭圆上一点的坐标为(x, y)，则椭圆上对称的另一点的坐标为(-x, -y)。
通过利用对称性，可以避免重复计算，简化求解过程。
2. 双曲线的对称性利用双曲线是一种开口曲线，具有轴对称性质。
在利用双曲线的对称性解题时，可以根据曲线的性质进行推导。
例如，在求解双曲线的渐近线方程时，可以利用双曲线的轴对称性质来简化证明过程。
双曲线的轴对称性可以使得我们只需要证明其中一条渐近线的方程，然后通过对称性得到另一条渐近线的方程。
3. 抛物线的对称性利用抛物线是一种开口方向确定的曲线，具有顶点对称性质。
在利用抛物线的对称性解题时，可以利用顶点对称性来简化计算和证明过程。
例如，在求解抛物线的焦点坐标时，可以利用抛物线的顶点对称性质简化计算，将问题转化为求解顶点的坐标。
通过利用对称性，可以减少计算量，提高解题效率。
综上所述，对称性是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。
通过利用椭圆的中心对称性、双曲线的轴对称性和抛物线的顶点对称性，可以简化计算和证明过程，提高解题效率。
在解题过程中，我们应当充分利用圆锥曲线的对称性质，并善于将问题转化为利用对称性质求解对应的简化问题，从而更加高效地解决圆锥曲线问题。
数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)_知识点总结
数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）_知识点总结
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。
椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。
优化椭圆运算的十种方法与技巧
优化椭圆运算的十种方法与技巧
1.用椭圆方程y^2=4ax或x^2=4ay来表示椭圆，这样可以减少计算量。
2.使用极坐标系来表示椭圆，这样可以使用极角来计算椭圆上的点。
3.使用参数方程来表示椭圆，即x=acos(t)，y=bsin(t)，这样可以使用参数t来计算椭圆上的点。
4.使用椭圆的对称性来减少计算量，比如对称轴、中心对称、旋转对称等。
5.利用椭圆的性质，比如对称轴的长度是相等的、离心率的平方等于1、椭圆的周长可以用椭圆积分公式计算等。
6.利用椭圆的性质，比如椭圆的纵横比、长短轴、极点等。
7.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中一个象限的点。
8.利用椭圆的性质，比如椭圆的长短轴、焦点、极角等。
9.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中两个象限的点。
10.使用计算机软件来进行椭圆运算，这样可以大大减少人工计算的错误率。
此外，还有一些常用的椭圆运算方法和技巧，如使用椭圆变换、使用椭圆矩阵运算、使用椭圆积分公式、使用椭圆曲线密码等。
这些方法和技巧可以帮助我们更快捷、更精确地进行椭圆运算。
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椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。
这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。
需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。
椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。
这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。
需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。
如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。
如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。
在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。
例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。
又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。
椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。
椭圆的顶点分别为(a,0)。
(-a,0)。
(0,b)。
(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。
椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。
椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。
椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。
2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。
椭圆经典解题思路
椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．例11 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例12 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ． 例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ． 说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握． 例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．23说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
课后巩固作业(二十) 4.3.1
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课后巩固作业（二十）(30分钟 50分)一、选择题(每题4分，共16分)1.(2011·湖南高考)由直线x ,x 33ππ=-=,y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( )(A)12(B)1 (C)22.求由y=e x ,x=2,y=1围成的曲边图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )(A)［0,e 2］ (B)［0,2］ (C)［1,2］ (D)［0,1］ 3.由曲线y=x 2,y=x 3围成的封闭图形面积为( ) (A)112(B)14 (C)13 (D)7124.若两曲线y=x 2与y=cx 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( ) (A)13 (B)12 (C)1 (D)23二、填空题(每题4分，共8分)5.(2011·郑州高二检测)由曲线y=x 2与直线y=2x 所围成的平面图形的面积为________.6.椭圆22x y 143+=的面积为________.三、解答题(每题8分，共16分) 7.求由抛物线y=-x 2+4x-3及其在点 M(0,-3)和点N(3，0)处两条切线所 围成的图形的面积.8.如图，直线y=kx 分抛物线y=x-x 2 与x 轴所围图形为面积相等的两部分， 求k 的值. 【挑战能力】(10分)在曲线y=x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求切点A 的坐标以及切线方程. 答案解析1.【解析】选D.根据定积分的几何意义知，所求图形的面积是3333cosxdx sinx |ππππ--⎰==2.【解析】选B.如图，作出y=e x ,x=2,y=1 三个函数的图像，由三者围成的曲边图形 如图阴影部分，若选择x 为积分变量，则 积分区间应为［0，2］，故选B.3.【解析】选A.由题意知()1233410011111S x x dx x x |343412⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭. 4.独具【解题提示】解答本题可先用定积分表示两曲线所围成的面积,然后根据题意列出关于c 的方程,解出c 即可.【解析】选B.23y x1,x 0x (c 0).c y cx⎧=⎪==⎨=⎪⎩由得或＞ 则围成图形的面积()123c 02S x cx dx ,31c .2=⎰-==可求得5.【解析】解方程组12212y 2x,x 0,x 2,,y 0,y 4.y x ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩得 ∴曲线y=x 2与直线y=2x 的交点为(2，4)，(0，0).()2223200184S 2x x dx x x |40.333⎛⎫⎛⎫∴=⎰-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：436.独具【解题提示】作出图形.利用椭圆的对称性及定积分的几何意义可解.【解析】由22x y 1y 43+==得 又由椭圆的对称性得椭圆的面积220S 4=⎰= 由定积分的几何意义得2014,4S .⎰=⨯⨯π=π∴=答案：独具【方法技巧】椭圆的面积公式设椭圆方程为()222222222222x y x b 1(a b 0),y b (1)a x a b a a+==-=-＞＞则由椭圆的对称性得椭圆的面积为：a aaa 2b S 2a--=⎰=⎰a 2a22222,a 22b S a ab a 2x y 1(a b 0)ab ,a b-π⎰=π∴==π+=π 由定积分的几何意义得即椭圆＞＞的面积为利用公式得本题椭圆的面积为2=. 7.【解析】由y=-x 2+4x-3， 得y ′=-2x+4,∴当x=0时，y ′=4,过M 点的切线方程为y=4x-3; 当x=3时，y ′=-2,过N 点的切线方程为y=-2x+6. 又可求得两切线交点的横坐标为3x 2=,()()()()32203232S 4x 3x 4x 3dx 92x 6x 4x 3dx .4=⎰---+-+⎰-+--+-=故所求面积［］［］8.【解析】抛物线y=x-x 2与x 轴两交点横坐标x 1=0,x 2=1,所以，抛物线与x 轴所围图形的面积()2312100x x 111S x x dx |.23236⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭2y kx,,y x x=⎧⎨=-⎩由得x 2+(k-1)x=0,所以抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的图像的两交点的横坐标为x 1′=0，x 2′=1-k,()()()31k 221k 0033S 1k x x x kx dx x |22311k .611S ,1k .62k 11--⎛⎫-=⎰--=- ⎪⎝⎭=-=-==-=-所以又所以于是【挑战能力】独具【解题提示】先设出切点坐标，求出切线方程，再利用定积分求所围图形的面积，列式求出参数. 【解析】由题意可设切点A 的坐标为()200x ,x ，则切线方程为()200y x 2x x x -=-,即 200y 2x x x =-,可得切线与x 轴的交点坐标为0x ,02⎛⎫⎪⎝⎭.画出草 图，得曲线y=x 2，直线200y 2x x x =-与x 轴所围图形如图中阴影所示，故()()0000000000x x x 2222120x x 0022x 3x x 332220x 00x 22S S S x dx x dx 2x x x dx x 111x x x x x x ,331212=+=⎰+⎰-⎰-=+--==［］解得x 0=1,所以切点坐标为A(1，1)， 所求切线方程为y=2x-1.。
椭圆中三角形
椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。
分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。
点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。
二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。
解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则120420=+y x ，即442020=+y x 。
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专题三、用椭圆中的对称性解题
一、知识点
椭圆是关于_____________________________________________对称.
二、例题讲解 例题1.方程|x|
2+|y|3
=1所表示的图形的面积
变式1：画出方程|x|
2−|y|3
=1表示的图形
例题2.如图所示，已知椭圆的方程为
+
=1（a ＞b ＞0），A 为椭圆的左顶点，B 、C 在
椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆的离心率等于_________.
变式1.(2016.10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦
点，直线2
b
y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心是 ．
例题3.（1）过原点的直线与椭圆2
214
x y += 交于,A B 两点，F 是椭圆的右焦点，则ABF ∆面积的最大值为_____________.
（2）过原点的直线与椭圆2
214
x y += 交于,A B 两点，F 是椭圆的右焦点，则ABF ∆周长的最小值为_____________.
变式1：已知椭圆的C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F ，椭圆与过原点的直线相交于A,B 两点，
连接AF,BF,若AB=10,BF=8,4
cos 5
ABF ∠= ,求椭圆的离心率.
变式2：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x
－4y ＝0交椭圆C 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离
心率的取值范围是__________.
例题4.（利用对称性巧解面积问题）
已知椭圆x 2
8+y2
2
=1（2）矩形ABCD的四个顶点均在椭圆上，求矩形ABCD面积的最大值
变式：已知椭圆.x 2
100+y2
25
=1，C，D在椭圆上，直线CD过坐标原点O，且在线段AB的右下
侧,求四边形ABCD的面积的最大值．例题5.利用椭圆的对称性猜出定点
例题5.已知椭圆x 2
2
+y2=1的上顶点是A点，过点A作互相垂直的两条直线，交椭圆于M，N两点，证明直线MN必过定点.
变式：已知椭圆x 2
2
+y2=1的右焦点是F点，过点F作互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N两点，：证明：直线必过定点，并求出此定点.
三、高考题
1.(2008 12).在平面直角坐标系中，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，以O 为圆心，
a 为半径的圆，过点2
(
,0)a c
作圆的两切线互相垂直，则离心率e =
.
3.(2012.19).如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为
1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和32e ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；
（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ． （i ）若126
2
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值
习题
1.F 1和F 2分别是双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且∆F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为__________.
A
B P
O
x
y （第19题）。