二次函数与一元二次方程
O
x
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
有两个相等的 解 x1=x2=
没有实数根
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点 (2)有一个交点
b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac= 0 b2 – 4ac< 0
二次函数与一元二次方 程
y=0 横坐标
无 一 两
二次函数
定义
图象
性质 解析式 的求法 应用
数学问题 实际问题
问题1：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角 的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果 不考虑空气的阻力，球的飞行h（单位：m）与飞行时 间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问 题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少 飞行时间？
(若3)抛没物有线交点y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根
（精确到0.1）. 方法: (1)先作出图象;
Y=x2-x-3
y
(2)写出交点的坐标;
(3)得出方程的解.
-1 O 2 3 x
C A
根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24
个交点。 3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定
知识点一
C
C
D
B
A
(1,0),(2,0)
解:(1)由图象可知:x1=1,x2=3. (2)由图象可知:x>2; (3)由图象可知:设该二次函抛物线上, ∴a(1-2)2+2=0, ∴a=-2, ∴y=-2(x-2)2+2=-2x2+8x-6. ∴-2x2+8x-6-k=0. ∵上述方程有两个不等实根, ∴Δ=b2-4ac=64-8(6+k)>0, ∴k<2.
知识点二
C
课堂小结
1.求二次函数自变量的值与一元二次方程的关系. 2.抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数 的关系.
布置作业
完成《课时训练》p38“课后巩固”
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06 -0.02 0.03
0.09
判断方程Cax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的
范围是( )
A 3< X < 3.23
B 3.23 < X < 3.24
练习：
1、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点，
则m的取值范围是
。
2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等 的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有
次的根
横坐标x
x
怎样判断二次函数的图象与轴的公共点个数呢？
中b2-4ac值的正负情况
判别式： b2-4ac
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
二次函数
y=ax2+bx+c （a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （与xx2轴，有0）唯一个 交点
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
图象
y
O
x y
O
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自 变量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解,
例如,解方程X2-4x+3=0
就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变 量x的值.
观察:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有, 公共点横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的 值是多少?由此,你得出相应的一元二次方程的解吗?
20.5 h
你能结合图形指出
O
t
为什么球不能达到 20.5m的高度?
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
h
你能结合图形指出
为什么在两个时间
O
t
球的高度为0m吗?
从上面实例中，我们可以发现二次函数与一元二次 方程有紧密的关系。请你归纳其存在的关系？
从以上可以看出 ,
已知二次函数 y的值为 m， 求 相应自变量 x的 值，就是求相应一元二次方程的解 .
(1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
从上面的实例中，你发现二次函数 X轴的公共点问题与一元二次方程 的情况之间存在怎样的关系？
与 的根
公共点的坐
对应
一元二
标（x，0)的
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多
少飞行时间？
h 15
O1
3
t
你能结合图形指出 为什么在两个时间
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少 飞行时间？
你能结合图形指出 为什么只在一个时间 球的高度为20m？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能
，需要多少飞行时间？
二次函数与一元二次方程方程
二次函数与一元二次方程方程《深度探讨：二次函数与一元二次方程方程》一、引言在数学的世界里，二次函数与一元二次方程方程是非常重要的概念。
它们不仅在数学理论和实际问题中起着重要作用，还在生活中的方方面面有着广泛的应用。
本文将从深度和广度的角度对这两个概念进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，希望能够帮助读者更全面、深刻地理解这两个概念。
二、二次函数与一元二次方程方程的概念解析1. 二次函数的定义所谓二次函数，就是最高次项是二次项的函数。
一般来说，二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 一元二次方程方程的定义一元二次方程方程是指最高次项为二次项的方程。
一元二次方程方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
一元二次方程方程的求解是数学上重要的课题，它涉及到方程的根与系数之间的关系。
三、从简到繁：二次函数与一元二次方程方程的关系在深入探讨二次函数与一元二次方程方程的关系之前，我们先从简单的实例开始。
以y = x^2为例，这是一个简单的二次函数。
当我们令y=0时，就得到了一个一元二次方程方程x^2 = 0。
通过这个简单的实例，我们可以看到二次函数与一元二次方程方程之间的密切联系。
四、深入探讨：二次函数与一元二次方程方程的求解1. 二次函数的求解对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a不等于0，我们可以通过多种方法来求解。
一种常用的方法是配方法，即通过将二次项化成完全平方的形式，然后进行转换和求解。
2. 一元二次方程方程的求解对于一元二次方程方程ax^2 + bx + c = 0，其中a不等于0，我们可以利用求根公式或配方法来求解方程的根。
然后根据根的情况，可以进一步讨论一元二次方程方程解的情况。
五、总结与回顾：二次函数与一元二次方程方程的应用与意义二次函数与一元二次方程方程在数学上有着非常重要的应用与意义。
《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点
二次函数与一元二次方程知识点
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图像与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
二次函数与一元二次方程,不等式关系
二次函数与一元二次方程,不等式关系
二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数
且a≠0。
该类函数的图像为抛物线，并且开口的方向取决于a的正负。
一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数
且a≠0。
解一元二次方程可以利用求根公式或配方法来求得方程的解。
二次不等式是由二次函数构成的不等式，其中不等号可以为大于号（>）、大于等于号（≥）、小于号（<）或小于等于号（≤）。
求解
二次不等式可以通过找出对应的函数图像的区间，或者进行因式分解
和求解每个因子的正负来得到解集。
二次函数与一元二次方程知识点
二次函数与一元二次方程知识点高一网权威发布高一数学知识点：二次函数与一元二次方程，更多高一数学知识点相关信息请访问高一网。
当y=0时，二次函数为关于某的一元二次方程(以下称方程)，即a某^2+b某+c=0此时，函数图像与某轴有无交点即方程有无实数根。
函数与某轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=a某^2，y=a(某-h)^2，y=a(某-h)^2+k，y=a某^2+b某+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=a某^2(0，0)某=0y=a(某-h)^2(h，0)某=hy=a(某-h)^2+k(h，k)某=hy=a某^2+b某+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)某=-b/2a当h>0时，y=a(某-h)^2的图象可由抛物线y=a某^2向右平行移动h 个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h>0，k>0时，将抛物线y=a某^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(某-h)^2+k的图象;当h>0，k<0时，将抛物线y=a某^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(某-h)^2+k的图象;当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(某-h)^2+k的图象;当h<0，k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(某-h)^2+k的图象;因此，研究抛物线y=a某^2+b某+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(某-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=a某^2+b某+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线某=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=a某^2+b某+c(a≠0)，若a>0，当某≤-b/2a时，y随某的增大而减小;当某≥-b/2a时，y随某的增大而增大.若a<0，当某≤-b/2a时，y随某的增大而增大;当某≥-b/2a时，y随某的增大而减小.4.抛物线y=a某^2+b某+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac>0，图象与某轴交于两点A(某，0)和B(某，0)，其中的某1，某2是一元二次方程a某^2+b某+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|某-某|当△=0.图象与某轴只有一个交点;当△<0.图象与某轴没有交点.当a>0时，图象落在某轴的上方，某为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在某轴的下方，某为任何实数时，都有y<0.5.抛物线y=a某^2+b某+c的最值：如果a>0(a<0)，则当某=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知某、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=a某^2+b某+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(某-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与某轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(某-某)(某-某)(a≠0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
二次函数与一元二次方程、不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1， 或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一 一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52， 则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉， 试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是高中数学中的重要概念，它们在图像、方程和解的求解等方面都有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的定义、性质以及解题方法等内容，帮助读者加深对这两个概念的理解。
一、二次函数二次函数是一种具有一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定，a大于0时抛物线开口向上，a小于0时抛物线开口向下。
二次函数的图像经常出现在现实生活中，例如抛物线形状的溶液浓度曲线、物体自由落体的运动轨迹等。
我们可以通过求解二次函数的顶点、判别式来分析和确定二次函数的图像、零点等性质。
二、一元二次方程一元二次方程是指具有一般形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a不等于0。
一元二次方程中的解称为方程的根，根的个数可以通过求解方程的判别式来确定。
求解一元二次方程的一种常用方法是使用求根公式，即x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据判别式的值，我们可以判断方程有无实根、有一个实根还是两个实根，并进一步求解方程。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程有着密切的联系。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过将f(x) = 0来构建对应的一元二次方程。
反过来，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过将方程左边视为二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来研究方程的性质。
通过二次函数和一元二次方程之间的转化，我们可以运用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题，例如求解方程的根、判断方程的解的情况等。
四、解题示例为了更好地理解二次函数和一元二次方程的应用，下面给出一些解题示例。
例1：已知一元二次方程x^2 -2x - 3 =0，求方程的解。
解：根据一元二次方程的求根公式，我们可以得出：x = (2 ± √((-2)^2 - 4×1×(-3))) / (2×1)= (2 ± √(4 + 12)) / 2= (2 ± √16) / 2= (2 ± 4) / 2= 3 或 -1因此，方程的解为x = 3或x = -1。
二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、 不等式
1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等 式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是: ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.
(2)当Δ =0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0 (a>0)的解集分别是什么? 提示:R,{x|x=x1}
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( ) (2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+ bx+c>0的解集为R. ( )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等 式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. ( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的 解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )
二次函数与一元二次方程、不等式
§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x <x 1，或x >x 2}xx ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅思考 一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？答案 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合． 知识点二 简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法：思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？ 答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 知识点三 一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔a >0，Δ<0；ax2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔a <0，Δ<0.2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．1．不等式2x 2－x －1>0的解集是________． 答案xx <－12或x >1解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0， 解得x <－12或x >1， ∴不等式的解集为xx <－12或x >1. 2．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为________． 答案 －2,3解析 不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别－2,3. 3．不等式x －2x －1<0的解集为________． 答案 {x |1<x <2}解析 原不等式⇔(x －1)(x －2)<0，∴1<x <2. 4．不等式1x ≤1的解集为________． 答案 {x |x ≥1或x <0}解析 ∵1x ≤1，∴x －1x ≥0，∴x (x －1)≥0，x ≠0， ∴x ≥1或x <0.5．若方程x 2＋ax ＋1＝0的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 －2<a <2解析 由题意可得a 2－4<0，所以－2<a <2.6．对∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由题意可得22－4m <0，所以m >1.一、一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0.解 (1)原不等式可化为2x 2－x ＋6>0.因为方程2x 2－x ＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y ＝2x 2－x ＋6的图象开口向上，与x 轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R .(2)原不等式可化为x 2－6x ＋9≤0，即(x －3)2≤0，函数y ＝(x －3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x |x ＝3}． (3)方程x 2－2x －3＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3.函数y ＝x 2－2x －3的图象是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0.解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． 二、含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1； 当2a <－1，即－2<a <0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为xx ≥2a 或x ≤－1；当－a <0时，不等式的解集为x2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为x－1≤x ≤2a . 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．跟踪训练2 解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0. 解 原不等式可化为[x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0，讨论a ＋1与2(a －1)的大小．(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，不等式的解为x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，不等式的解为x ≠4.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，不等式的解为x >2(a －1)或x <a ＋1. 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x ≠4}，当a >3时，不等式的解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}． 三、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用例3 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系（韦达定理）可知b a ＝－5，ca ＝6. 由a <0知c <0，bc ＝－56， 故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋ac >0，即x 2－56x ＋16>0， 解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为xx <13或x >12.延伸探究1．若本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． 解 由根与系数的关系知ba ＝－5，c a ＝6且a <0.∴c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0， 即x 2－b c x ＋ac <0，即x 2＋56x ＋16<0. 解得－12<x <－13，故原不等式的解集为x－12<x <－13.2．若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是x－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 方法一 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为x－13≤x ≤2知a <0.又－13×2＝ca <0，则c >0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又ca ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为 －23a x 2＋－53a x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，故所求不等式的解集为x－3<x <12.方法二 由已知得a <0 且 －13＋2＝－b a ，－13×2＝ca 知c >0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ， 其中a c ＝1－13×2＝－32， －bc ＝－ba c a ＝ －13＋2－13×2＝－52， ∴x 1＝1－13＝－3，x 2＝12. ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0(c >0)的解集为x－3<x <12.反思感悟 已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．跟踪训练3 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．解 ∵x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,2.由根与系数的关系得－a ＝1＋2，b ＝1×2，得a ＝－3，b ＝2， 代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1>0. 解得x <12或x >1. ∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为xx <12或x >1. 四、简单的分式不等式的解法 例4 解下列不等式： (1)x ＋12x －1<0； (2)1－x3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1. 解 (1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0，∴－1<x <12， 故原不等式的解集为x－1<x <12. (2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0， ∴(x －1)(3x ＋5)≤0，3x ＋5≠0，∴－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1. 故原不等式的解集为x－53<x ≤1. (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0， ∴x －1－(x ＋2)x ＋2>0，－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}．反思感悟 分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转 化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 跟踪训练4 解下列不等式： (1)x ＋1x －3≥0； (2)5x ＋1x ＋1<3. 解 (1)不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3.即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0， 即2(x －1)x ＋1<0. 可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0， 解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 五、不等式的恒成立问题例5 对∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1<0，求m 的取值范围． 解 若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒解得－4<m <0. 综上，m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}． 延伸探究1．在本例中，是否存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 显然m ＝0时不等式不成立；由题意可得m >0，Δ＝m 2＋4m <0，解得m ∈∅，所以不存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0.2．在本例中，把条件“∀x ∈R ”改为“x ∈{x |2≤x ≤3}”，其余不变，求m 的取值范围． 解 由不等式mx 2－mx －1<0得m (x 2－x )<1，因为x ∈{x |2≤x ≤3}，所以x 2－x >0， 所以m (x 2－x )<1可化为m <1x 2－x，因为x 2－x ＝x －122－14≤6，所以1x 2－x≥16，所以m <16. 即m 的取值范围是mm <16.反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．跟踪训练5 若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 答案 {k |－3<k ≤1}解析 当k ＝1时，－1<0恒成立；当k ≠1时，由题意得k －1<0，(k －1)2＋4(k －1)<0，解得－3<k <1，因此实数k 的取值范围为{k |－3<k ≤1}．1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.x－1<x <13 B.x13<x <1C ．∅ D ．R2．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.xx >3或x <－12 C.xx ≥3或x ≤－12 B.x－12≤x ≤3 D ．R3．已知集合U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，∁U A 等于( ) A ．{x |1<x <3} B ．{x |x <1或x ≥3} C ．{x |x <－1或x ≥3}D ．{x |x <－1或x >3}4．若0<m <1，则不等式(x －m )x －1m <0的解集为( )A. x 1m <x <m C. x x >m 或x <1mB. x x >1m 或x <m D.x m <x <1m 5．不等式1＋x 1－x≥0的解集为( ) A ．{x |－1<x ≤1} B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x 1<x <1} 6．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝ x x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}7．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．8．不等式x ＋1x ≥5的解集是________．9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 D 解析 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .2、答案 C解析 3＋5x －2x 2≤0⇒2x 2－5x －3≥0⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－12.3、答案 C解析 ∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．4、答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m >1>m ，故原不等式的解集为x m <x <1m . 5、答案 B解析 原不等式⇔(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.6、答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．7、答案x 12<x <1 解析 ∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得 －12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3， ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.8、答案x 0<x ≤14 解析 原不等式⇔x ＋1x －5≥0⇔4x －1x ≤0⇔ x (4x －1)≤0，x ≠0，解得0<x ≤14. 9、答案 a >4或a <－4解析 ∵x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，∴Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.1．知识清单：(1) 二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用．(2) 简单的分式不等式的解法．(3) 不等式的恒成立问题．2．方法归纳：数形结合、分类讨论、转化、恒等变形．3．常见误区：(1) 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准．(2) 解分式不等式要等价变形．。
二次函数与一元二次方程的根与系数关系
二次函数与一元二次方程的根与系数关系二次函数和一元二次方程在数学中都是重要的概念，并且它们之间存在着密切的联系。
在本文中，我们将探讨二次函数与一元二次方程的根与系数之间的关系，并研究它们之间的一些特性。
一、二次函数的定义与一元二次方程的定义首先，我们先来了解二次函数和一元二次方程的定义。
二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且 a≠ 0。
二、二次函数的图像与一元二次方程的根的关系二次函数的图像是抛物线，它的开口方向取决于二次项的系数 a 的正负。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
一元二次方程的根就是方程的解，也就是使得方程等式成立的x 值。
根据二次函数的图像性质，我们可以得出以下结论：1. 当二次函数的抛物线与 x 轴相交时，方程有两个实根；2. 当二次函数的抛物线与 x 轴相切时，方程有一个实根；3. 当二次函数的抛物线与 x 轴无交点时，方程没有实根。
因此，通过观察二次函数的图像，我们可以确定一元二次方程的根的情况。
三、二次函数的系数与一元二次方程的根的关系接下来，我们来研究二次函数的系数与一元二次方程的根之间的关系。
1. 根据一元二次方程的求根公式可知，方程的根的判别式 D = b^2 - 4ac。
判别式 D 的值能够决定方程的根的性质。
具体来说：a) 当 D > 0 时，方程有两个不相等的实根；b) 当 D = 0 时，方程有两个相等的实根；c) 当 D < 0 时，方程没有实根，而是存在两个共轭复根。
2. 通过对比二次函数和一元二次方程的一般形式可知，二次函数的系数与一元二次方程的根之间存在着如下关系：a) 二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))；b) 一元二次方程的根与顶点坐标的关系为 x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。