2018届中考数学复习第二部分空间与图形第二十三课时菱形练习_26
初三数学菱形的练习题及答案
初三数学菱形的练习题及答案菱形是初中数学中常见的图形之一，通过练习菱形的题目，学生可以巩固对菱形及其性质的认识，培养解决几何问题的能力。
本文将提供一些初三数学菱形的练习题及答案，帮助学生更好地理解和应用相关知识。
练习题一：根据给定条件，求菱形的周长和面积。
1.已知菱形的对角线长度分别为8cm和12cm，求菱形的周长和面积。
解答：求菱形的周长，需要知道菱形的所有边长。
根据菱形的性质，对角线相交于其垂直平分点，且对角线相等。
设菱形的一个对角线长度为d1=8cm，另一个对角线长度为d2=12cm。
根据性质可知，菱形的边长等于对角线长度的一半。
菱形的周长=4×菱形的边长=4×(d1/2)=4×(8/2)=4×4=16cm菱形的面积= (d1×d2)/2=(8×12)/2=96/2=48cm²所以，该菱形的周长为16cm，面积为48cm²。
练习题二：根据给定条件，判断是否为菱形。
2.在平面直角坐标系中，已知四个点的坐标依次为A(3, 0)、B(0, 2)、C(-3, 0)和D(0, -2)，判断四边形ABCD是否为菱形。
解答：要判断四边形ABCD是否为菱形，需要验证以下两个条件：- 对角线互相垂直；- 对角线相等。
首先计算对角线的长度：AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((-3 - 3)² + (0 - 0)²)= √((-6)²)= √36= 6BD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((0 - 0)² + (-2 - 2)²)= √((0)² + (-4)²)= √(0 + 16)= √16= 4由上述计算可知，AC=6，BD=4。
接下来验证两个条件：- 对角线互相垂直：计算斜率k1、k2，若k1*k2=-1则两对角线互相垂直。
天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习 矩形、菱形和正方形 专项复习练习 含答案与解析
天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 32．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形4. 如图，在菱形ABCD中，过点D做DE⊥AB于点E，做DF⊥BC于点F，连结EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，求小聪行走的路程．6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．7. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(2)连结AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．8. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．9. 已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，求菱形的面积．10. 如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm，∠ABC＝60°.(1)试判断四边形EFGH的类型，并证明你的结论；(2)求四边形EFGH的面积．11. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G.(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HGGF 的值．12. 已知正方形的对角线AC ，BD 相交于点O .(1)如图1，E ，G 分别是OB ，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F .若DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ；(2)如图2，H 是BC 上的点，过点H 作EH ⊥BC ，交线段OB 于点E ，连结DH ，交CE 于点F ，交OC 于点G .若OE ＝OG .①求证：∠ODG ＝∠OCE ； ②当AB ＝1时，求HC 的长．答案与解析： 1. A 2. B【解析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，根据勾股定理求出AC ＝32＋42＝5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选B. 3. C4. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°，∴△ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CB ，∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝∠BFE5. 解：小敏走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100，则AG ＋GE ＝1600 m ，小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．连结CG ，在正方形ABCD 中，∠ADG ＝∠CDG＝45°，AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，∵AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD ＝90°，∴四边形GECF 是矩形，∴CG ＝EF.又∵∠CDG＝45°，∴DE ＝GE ，∴小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(GE ＋AG)＝3000＋1600＝4600 m6. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD＝180°，∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，则tan ∠DBC ＝tan30°＝33(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC＝90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC 的度数；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，即∠BOC ＝90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证． 7. 解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE，∠OCF ＝∠DCF，∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE，∠OFC ＝∠DCF，∴∠OEC ＝∠OCE，∠OFC ＝∠OCF，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF ；∵∠OCE＋∠BCE ＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5(2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 连结AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，证出OE ＝OC ＝OF ，∠ECF ＝90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案；(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．8. 解：(1)∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.又∵BE＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△CDF (2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC.又∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝EC ，即BE ＝AE.又BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高为2×sin60°＝3，∴菱形AECF 的面积为2 39. 解：四边形ABCD 是菱形，AC ＋BD ＝6，∴AB ＝5，AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO＝12BD ，∴AO ＋BO ＝3，∴AO 2＋BO 2＝AB 2，(AO ＋BO)2＝9，即AO 2＋BO 2＝5，AO 2＋2AO·BO＋BO 2＝9，∴2AO ·BO ＝4，∴菱形的面积是12AC·BD＝2AO·BO＝4【解析】根据菱形对角线互相垂直，利用勾股定理转化为两条对角线的关系式求解．10. 解：(1)连结AC ，BD ，相交于点O ，∵E ，F ，G ，H 分别是菱形四边上的中点，∴EH ＝12BD ＝FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB＝3，∴AC ＝6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝AB 2－OA 2＝33，∴BD ＝63，∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝33，EF ＝3，∴矩形EFGH 的面积＝EF·FG＝9 3cm 211. 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°，∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE，在△BCG 与△DCE 中，∵∠CBG ＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GF GD ，∴GF ＝55，∵AB ∥CG ，∴△ABH ∽△CGH ，∴AB CG ＝BH HG ＝21，∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，从而知CG ＝CE ＝1，由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，易证△ABH∽△CGH，所以BHHG＝2，从而可求出HG 的长度，进而求出HGGF 的值．12. 解：(1) ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COE＝90°，∴∠OEC ＋∠OCE ＝90°.∵DF ⊥CE ，∴∠OEC ＋∠ODG ＝90°，∴∠ODG ＝∠OCE.∴△ODG ≌△OCE(ASA)，∴OE ＝OG(2)①∵OD ＝OC ，∠DOG ＝∠COE＝90°，又OE ＝OG ，∴DOG ≌COE(SAS)，∴∠ODG ＝∠OCE②设CH ＝x ，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，∴BH ＝1－x ，∠DBC ＝∠BDC＝∠ACB ＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH ＝∠EBH＝45°.∴EH ＝BH ＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC －∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC ＝∠HCD＝90°.∴△CHE ∽△DCH.∴EH HC ＝HCCD. ∴HC 2＝EH·CD，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)．∴HC＝5－12。
2018届中考数学复习第二部分空间与图形第二十三课时菱形练习
1 第23课时 菱 形
备 考 演 练
1.(2016·无锡)下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是 ( C )
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.邻边互相垂直
2.(2017·赤峰)如图,将边长为4的菱形ABCD 纸片折叠,使点A 恰好落在对角线的交点O 处,若折痕EF=2,则∠A= ( A
)
A.120°
B.100°
C.60°
D.30°
二、细心填一填
3.(2016·湘西)如图,已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC=8和BD=6,那么,菱形ABCD 的面积为 24 .
第3题图 第4题图
4.(2016·大连)如图,在菱形ABCD 中,AB=5,AC=8,则菱形的面积是 24 .
三、用心解一解
5.(2016·沈阳)如图,△ABC ≌△ABD ,点E 在边AB 上,CE ∥BD ,连接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE ;
(2)四边形BCED 是菱形.
证明:(1)∵△ABC ≌△ABD ,∴∠CBE=∠DBE ,
∵CE ∥BD ,∴∠CEB=∠DBE ,
∴∠CEB=∠CBE ;
(2)∵△ABC ≌△ABD ,∴BC=BD ,
∵∠CEB=∠CBE ,∴BC=CE ,
∴CE=BD ,而CE ∥BD ,
∴四边形BCED 是平行四边形,而BC=CE ,
∴四边形BCED 是菱形.。
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。
中考数学复习之菱形习题(含答案)
中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。
在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。
本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。
习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BAD=∠DAC=60°。
又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。
又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。
因此，∠CBD的度数为0°。
习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BOA=∠COD=90°。
又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。
根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。
因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。
因此，∠AOB的度数为180°。
习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。
设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。
又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。
根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。
人教版八年级下册数学第18章18.2.3菱形及其性质习题课件
素质一练通 15．【中考·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上
一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE， BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证： (1)△ABF≌△DAE；
素质一练通
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC. ∴∠BPA＝∠DAE. 又∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE. ∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE， ∴∠ABF＝∠DAE. 又∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)．
新知基本功 7．【2021·菏泽】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、
CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN. 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C. 在△AMD和△CND中， ∠A＝∠C， AD＝CD， ∠ADM＝∠CDN， ∴△AMD≌△CND(ASA)．
新知基本功
4．菱形的_四__条__边___都相等． 例如：边长为3 cm的菱形的周长为__1_2_c_m___．
新知基本功
5．【2021·成都】如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别 在BC，DC边上，添加以下条件不能判定 △ABE≌△ADF的是( C )
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
∴AM＝CN，∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN.
新知基本功
8．菱形的对角线__互__相__垂__直__平__分___，且每条对角线 平__分__一__组__对__角__．菱形的面积等于两条对角线长的乘积 的_一__半___；对角线所在的直线是菱形的_对__称__轴___．
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9．【2021·河南】关于菱形的性质，以下说法不正确的是
九年级- 菱形知识点典型例题及练习
菱形一、菱形的性质菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称和中心对称图形.推论 对角线垂直的四边形面积=两条对角线乘积的一半（由对角线互相垂直可得）二、菱形的判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②四条边都相等的四边形是菱形. ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线垂直且平分的四边形是菱形.⑤每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 例题分析例题1 下列命题中，正确的是（ ） A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形例题2 如图1-1-1，将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案。
设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是（ ）︒+=9031.x y A x y B 21.= ︒+=9021.x y C x y D 31.=图1-1-1图1-1-2例题3 如图1-1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD=60° ，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.例题4 如图1-1-3，已知菱形ABCD 的对角线AC=16cm ，BD=12cm ，DE 垂直BC 于点E ，求DE 的长.例题 5 如图1-1-4，在菱形ABCD 中，F E ，分别是CD BC 、上的点，且CEF BAE EAF B ∠18∠60∠∠求，，°=°==的度数.例题6 如图1-1-5，在菱形ABCD 中，作一个正∆AEF ，且AE=AB ，那么∠C 的度数是多少？例题7 已知菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，求菱形的四个内角.图1-1-3图1-1-4图1-1-5例题8 如图1-1-6，在菱形ABCD中， ABC=120°，点E平分DC，点P在BD上，且PE+PC=1，求边长AB的最大值.1-1-6课堂练习1.下列命题中，正确的是( )A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A．168 cm2B．336 cm2C．672 cm2 D．84 cm23.在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F，交AB于E，则，∠CDF=（）A、80°B、70°C、65°D、60°4.在凸四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD需要满足什么条件（）A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是平行四边形C.对角线AC=BDD.AD=BC5.顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A.任意四边形B.两条对角线相等的四边形C.矩形D.平行四边形6.若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为_______，边长为________，一条边上的高为_________。
中考文档精选——专题复习讲义 菱形 (含答案)
中考专题复习——菱形（含答案）第一部分知识梳理一、性质: 1、边：对边平行，四边相等2、角：对角相等，邻角互补3、对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角4、对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。
菱形的判定方法：1、从边的条件去考虑：①、四边相等的四边形②有一组邻边相等的平行四边形。
2、从对角线的条件去考虑：③互相垂直的平行四边形④互相垂直评分的的四边形。
第二部分中考链接1. (2018潍坊)如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( )A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）2．（2018烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（）A．7 B．6 C．5 D．42题图4题图5题图6题图3．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等 C．是轴对称图形D．是中心对称图形4．（2018•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（）A．B．2C．5 D．105．（2018•淮安）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）A ．20B ．24C ．40D ．486．（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24 B ．18 C ．12 D ．97.（2018孝感）如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（ ）A ．52 B ．48 C ．40 D ．208、（2018•河池）如图，要判定▱ABCD 是菱形，需要添加的条件是（ ）A ．AB ＝AC B ．BC ＝BD C ．AC ＝BD D ．AB ＝BC7题图 8题图 9题图 10题图 9、（2018•铁岭）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ：BD ＝3：4，AE ⊥CD 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．4 B ． C ．5 D ．10．（2018•日照）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ．添加下列条件，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ）A ．AB ＝ADB ．AC ＝BD C ．AC ⊥BDD ．∠ABO ＝∠CBO 11．（2019•滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点C ．若菱形OABC 的面积为12，则k 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311题图 12题图 13题图 12.（2019•四川广安）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（ ） ABCD AC BD O 10AC =24BD =ABCD G图4()A 13 ()B 1 ()C 21 ()D 23 13. （2019·贵州安顺·）如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ．则下列说法错误的是（ ）A ．∠ABC ＝60°B ．S △ABE ＝2S △ADEC ．若AB ＝4，则BE ＝4D ．sin ∠CBE ＝14、（2019·贵阳·）如图，菱形ABCD 的周长是4cm ，∠ABC ＝60°，那么这个菱形的对角线AC 的长是（ ）A ．1cm B ．2 cm C ．3cm D ．4cm14题图 15题图 16题图15、（2019•贵州铜仁）如图，四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，且CE ＝CD ，CF ＝CB ，则S △CEF ＝（ ）A ． B ． C ． D ．16、（2019•河北）如图，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°17、(2019•四川绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O （0，0），A （4，0），∠AOC =60°，则对角线交点E 的坐标为（ ）A 、(2,3) B. (3,2) C. (3,3) D.（3，3 ）二、填空题1．（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD 中，对角线AC 长为6，点E 在对角线BD 上且tan ∠EAC=，则BE 的长为 ．2．（2018•湖州）如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．若tan ∠BAC=，AC=6，则BD的长是．2题图 3题图4题图5题图3．（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．4．（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．5．（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为．6．（2018•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD 是菱形．6题图7题图8题图 9题图7．（2018•甘孜州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD 于点E，交BC于点F，则EF的长为．8、（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S＝24，则OH的长为．菱形ABCD9．（2018•镇江）如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝AB，CF＝CB，AG＝AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于．10、（2018•苏州）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（结果留根号）．10题图11题图12题图11、（2019•湖北咸宁）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．三、解答题1、（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．2、（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．3、（2018•遂宁）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．4、．（2018•郴州）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．5、．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形．6、（2018•呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．7、（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．8、．（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．9．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．10．（2018•乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．11．（2018•广元）如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．求证：AE＝CF．12、（2018黄冈）如图，在直角坐标系XOY中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8，点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB—BC—CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动。
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第23课时菱形
备考演练
1.(2016·无锡)下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是( C )
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.邻边互相垂直
2.(2017·赤峰)如图,将边长为4的菱形ABCD纸片折叠,使点A恰好
落在对角线的交点O处,若折痕EF=2,则∠A=( A )
A.120°
B.100°
C.60°
D.30°
二、细心填一填
3.(2016·湘西)如图,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8
和BD=6,那么,菱形ABCD的面积为24.
第3题图第
4题图
4.(2016·大连)如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,则菱形的面积是
24.
三、用心解一解
5.(2016·沈阳)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE;
(2)四边形BCED是菱形.
证明:(1)∵△ABC≌△ABD,∴∠CBE=∠DBE,
∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,
∴∠CEB=∠CBE;
(2)∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD,
∵∠CEB=∠CBE,∴BC=CE,
∴CE=BD,而CE∥BD,
∴四边形BCED是平行四边形,而BC=CE,
∴四边形BCED是菱形.。