2018届中考数学复习第二部分空间与图形第二十五课时圆的有关概念和性质练习
初三《圆》章节知识点总结
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆的基本性质(解析版)2018年数学全国中考真题-2
2018年数学全国中考真题圆的基本性质（试题二）解析版一、选择题1. （2018广西省柳州市，8，3分）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，⊙A ＝60°，⊙B ＝24°，则⊙C 的度数为( )第8题图 A ．84° B．60°C ．36°D ．24°【答案】D【解析】∵AD 所对的圆周角是∠B 和∠C ，∴∠C ＝∠B ＝24°.【知识点】圆周角定理2. （2018广西贵港，9，3分）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是 A ．24° B ．28° C ．33° D ．48°【答案】A【解析】∵∠A ＝66°，∴∠BOC ＝2∠A ＝132°，又OC ＝OB ，∴∠OCB ＝12(180°－∠BOC )＝24°，故选A ．3. （2018贵州铜仁，5，4）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ） A.55° B.110° C.120° D.125°【答案】D ，【解析】设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA 、EB ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠E 的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB 的度数.【解答过程】设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA 、EB ，如图， ∵∠AOB=110°，∴∠AEB=12∠AOB=55°，∴∠ACB=180°-∠E=125°.4. （2018江苏苏州，7，3分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点．若∠BOC＝40°，则∠D 的度数为 A ．100° B ．110°C ．120°D ．130°【答案】B【解析】 本题解答时要利用等腰三角形的性质和圆的内接四边形的对角互补的性质进行计算.∵OC =OB ，∠BOC =40゜，∴∠B =70゜，∴∠D =180゜-70゜=110゜，故选B .5. （2018内蒙古通辽，7，3分）已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对圆周角的度数是 A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120° 【答案】D【解析】如答图，连接OA 、OB ，∵OC ⊥AB ，∴OC ＝5，OA ＝OB ＝10，又OC ＝12OA ，∴cos ∠AOC ＝12，∴∠AOC ＝60°∴∠AOB ＝120°，∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°． 故选D ．6.（湖北省咸宁市，7，3）如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别为∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD =6，则弦AB 的长为( )A ．6B ．8 C． D．【答案】【解析】解：作OF ⊥AB 于F ，作直径BE ，连接AE ，如图， ∵∠AOB+∠COD=180°， 而∠AOE+∠AOB=180°， ∴∠AOE=∠COD ， ∴AE DC ，∴AE=DC=6，∵OF ⊥AB ， ∴BF=AF ， 而OB=OE ，∴OF 为△ABE 的中位线， 由勾股定理可得AF=4，∴AB=8，故选择B ．【知识点】圆周角定理；垂径定理；三角形中位线性质7. (2018湖北黄石，8，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD 的长为( )第8题图A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π FE【答案】D 【解析】连接OD ，则∠AOD ＝2∠B ＝60°，∴∠BOD ＝120°.∴l BD ＝120180π×4＝83π.8. (2018湖南邵阳，6，3分)如图(二)所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的大小是( )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°图(二)【答案】B ，【解析】根据“圆内接四边形的对角互补”可得∠BCD ＋∠A ＝180°，因为∠BCD ＝120°所以∠A ＝60°．又根据“在同圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍”，所以∠BOD ＝2∠A ＝120°．故选B ．9.（2018四川眉山，6，3分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠P ＝36°，则∠B 等于（ ）A ．27°B ．32°C ．36°D ．54°【答案】A ，【解析】由P A 是⊙O 的切线，可得⊙OAP ＝90°，∴∠AOP ＝54°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B ＝27°10. （2018辽宁锦州，7，3分）如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，过B 、C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF 、CF ，若∠EDC=135°，CF=22，则AE 2+BE 2的值为A 、8B 、12C 、16D 、20D【答案】C，【解析】：如图，∠EDC=1350，∠ACB=90°，得△ACB是等腰直角三角形，ECF是等腰直角三角形，得△AEC与△BFC是全等三角形，AE=BF,△EBF是直角三角形，AE2+BE2=FE2=2FC2.二、填空题100，则弧AB所对的圆周角是°.1.（2018广东省，11，3）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是【答案】50°【解析】同弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆心角为100°，所以圆周角为50°.【知识点】圆周角、圆心角关系2. （2018海南省，18，4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（20，0），点B 的坐标是（16，0），点C ， D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C 的坐标为________．【答案】（2，6）【思路分析】过点M 作MN ⊥CD ，垂足为点N ，连接CM ，过点C 作CE ⊥OA ，垂足为点E ，由题意可知OB 及圆的半径长，OB =CD ，由垂径定理可求得MN 的长，CN =EM ，从而求出OE 的长，进而得到点C 的坐标．【解题过程】过点M 作MN ⊥CD ，垂足为点N ，连接CM ，过点C 作CE ⊥OA ，垂足为点E ，点A 的坐标是（20，0），所以CM =OM =10，点B 的坐标是（16，0），所以CD =OB =16，由垂径定理可知，821==CD CN ，在Rt⊙CMN 中，CM =10，CN =8，由勾股定理可知MN =6，所以CE =MN =6，OE =OM ﹣EM =10﹣8=2，所以点C 的坐标为（2，6）．【知识点】垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质3. （2018黑龙江省龙东地区，6，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝＝1，则⊙O 的半径为________．【答案】5【解析】连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD ，∵CD ＝6，∴CE ＝3．设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，∵EB ＝1，∴OE ＝4，在Rt △OCE 中，由勾股定理得OE 2＋CE 2＝OC 2，∴（r －1）2＋32＝r 2，解得r ＝5，∴⊙O 的半径为5．D【知识点】垂径定理；勾股定理4.（2018黑龙江绥化，16，3分）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是．（结果用含π的式子表示）【答案】4π-.【解析】解：连接OA，OB，OC，过O点作OD⊥BC于点D.∵△ABC为等边三角形，∴∠OBD=30°.∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴OD=1，∴∴S△ABC=3S△OBC=3×12BC·OD=D∴S阴影=4π-故答案为：4π-【知识点】含30°角的直角三角形的性质，垂径定理，三角形面积计算，圆的面积计算5.（2018黑龙江绥化，20，3分）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm【答案】10或70.【解析】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB，由垂径定理得：BC=12AB=30，在Rt△OBC中，当水位上升到圆心以下时水面宽80 cm则OC′，水面上升的高度为：40-30=10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70.【知识点】垂径定理，勾股定理6.7.（2018浙江嘉兴，14，4）如图，量角器的O度刻度线为AB．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A、D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为cm．【解析】根据题意，抽象出数学图形根据题意可知：AD ＝10，∠AOD ＝120°，由OA ＝OD ，∴∠DAO ＝30°，设OE ＝x ，则OA ＝2x ，∵OE ⊥AD ，∴AE ＝DE ＝5，在Rt △AOE 中，x 2+52＝（2x ）2，解得：xCE ＝OE8. （2018贵州省毕节市，19，3分）如图,AB 是⊙O 的直径，C 、D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ， ∠ACE 的度数为______.【答案】30°．【解题过程】∵AB 是⊙O 的直径,C 、D 为半圆的三等分点，∴∠A ＝∠BOD ＝13×180°＝60°，又∵CE ⊥AB ，∴∠ACE ＝90°－60°＝30°．【知识点】圆的性质；直角三角形的性质9.（2018吉林省，13, 2分）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，=⌒BC ，，若∠AOB=58°，则∠BDC=___ 度．BO【答案】29【解析】连接CO，根据同圆中，等弧所对圆心角相等，则∠COB=∠AOB=58°，∴∠BDC=29°【知识点】圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系10.（2018江苏扬州，15，3）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= ．2【答案】2【思路分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解题过程】连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为2．【知识点】三角形的外接圆和外心，圆内接四边形对边互补，圆周角的性质11.（2018青海，9，2分）如图5，A、B、C是⊙O上的三点，若∠AOC=110°,则∠ABC= . 【答案】125°．【解析】如图所示：优弧AC上任取一点D，连接AD、CD，∵∠AOC=110°，∴∠ADC=∠AOC=×110°=55°，∵四边形ABCD内接与⊙O，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=180°﹣55°=125°．【知识点】圆内接四边形的性质，圆周角的性质12. （2018江苏镇江，9，2分）如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝________°．【答案】40°．【解析】如答图所示，连接B C ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°．∵∠BCD ＝∠BAD ＝50°，∴∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－50°＝40°．13. （2018内蒙古通辽，17，3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 相交于M 、N 两点，△MON 的面积为3.5，若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是 ．【答案】52【解析】设M （a ，b ），则N （b ，a ），依题意，得：a 2＋b 2＝52……①（第9题答图）（第9题图）a 2－ab －12（a －b ）2＝3.5……②①、②联立解得a ＝572，b ＝432所以M 、N 的坐标分别为（572，432），（432，572） 作M 关于x 轴的对称点M ′，则M ′的坐标为（572，－432）， 则M ′N 的距离即为PM ＋PN 的最小值．由于M ′N 2＝（572－432）2＋（－432－572）2＝50， 所以M ′N ＝52，故应填：52．14. （2018山东莱芜，16，3分）如图，正方形ABCD 的边长为2a ，E 为BC 边的中点，⌒AE 、⌒DE 的圆心分别在边AB 、CD 上，这两段圆弧在正方形内交于点F ，则E 、F 间的距离为_______．【答案】32a【思路分析】先用勾股定理求出⌒DFE 的所在圆的半径，再由垂径定理求出EF 的长．【解题过程】解：如图，设⌒DFE 的圆心为G ，作GH ⊥EF 于H ，连接EG ．设⌒DFE 所在圆的半径为x ，在Rt △CEG 中，EG 2＝CG 2＋CE 2，则x 2＝(2a －x )2＋a 2，解得x ＝54a ；由垂径定理，得EF ＝2EH ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2－a 2＝32a ．故答案为32a ．【知识点】正方形的性质；勾股定理；垂径定理；15. （2018湖北随州12，3分）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝40度，∠C ＝20度，则∠B ＝______度．EEA D【答案】60．【解析】如图，连接OA ，根据“同圆的半径相等”可得OA ＝OC ＝OB ，所以∠C ＝∠OAC ，∠OAB ＝∠B ，故∠B ＝∠OAB ＝∠OAC ＋∠BAC ＝∠C ＋∠BAC ＝20°＋40°＝60°．16.（2018湖北随州16，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝5，BC ＝CD 且BC ＞AB ，BD ＝8．给出下列判断：①AC 垂直平分BD ；②四边形ABCD 的面积S ＝AC ·BD ；③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为256； ⑤将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F ，当BF ⊥CD 时，点F 到直线AB 的距离为678125．其中正确的是______________．（写出所有正确判断的序号）【答案】①③④．【解析】根据“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，A ，C 两点都在线段BD 的垂直平分线上，又“两点确定一条直线”，所以AC 垂直平分BD ，故①正确； 如图1，取AC ，BD 的交点为点O ，则由①知OB ⊥AC ，OD ⊥AC ，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12AC ·OB ＋12AC ·OD ＝12AC ·(OB ＋OD )＝ 12AC ·BD ，故②错误； 如图2，取AB ，BC ，CD ，AD 四边的中点分别为P ，Q ，M ，N ，则由三角形的中位线定理得PQ ∥AC ∥MN ，PQ ＝MN ＝12AC ，PN ∥BD ∥QM ，PN ＝QM ＝12BD ，于是知四边形PQMN 及阴影四边形都是平行四边形．又由①知AC ⊥BC ，所以可证∠AOB ＝∠QPN ＝90°，故四边形PQMN 为矩形．若AC ＝BD ，则有PQ ＝PN ，四边O ABCCBAO ABDC形PQMN 是正方形，所以顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形，故③正确；当A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上时，四边形ABCD 是这个圆的内接四边形，则∠ABC ＋∠ADC ＝180°．根据“SSS ”可证△ABC ≌△ADC ，所以∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则AC 是这个圆的直径．由①知BO ＝OD ＝12BD ＝4，在Rt △AOB 中，根据勾股定理，求得AO＝3．然后，证明△AOB ∽△ABC ，得到AB 2＝AO ·AC ，所以AC ＝253，该圆的半径为256，故④正确； 如图1，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，由折叠知，AE ＝2AO ＝6，BE ＝BA ＝5．由于BF ⊥CD ，AE ⊥BD ，可证得△BOE ∽△BFD ，所以BO BF ＝BE BD ，即4BF ＝58，BF ＝325．因为S △ABE ＝12AB ·EH＝12AE ·BO ，所以EH ＝645⨯＝245．又可证△BEH ∽△BFG ，所以EH FG ＝BE BF ，即245FG ＝5325，FG ＝768125，故⑤错误．17. （2018云南曲靖，10，3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝_________【答案】n °【解析】圆内接四边形的对角互补，所以∠BCD ＝180°－∠A ，而三点BCD 在一条直线上，则∠DCE ＝180°－∠BCD ，所以∠DCE ＝∠A ＝n °.18. （2018年浙江省义乌市，13，5）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB =120°，从A 到B 只有路AB ，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB ．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B 走了_________步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：图1GFEH OABDC 图21.732，π取3.142）【答案】15【解析】作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=12（180°﹣∠AOB）=12（180°﹣120°）=30°，在Rt△AOC中，OC=12OA=10，，∴69（步）；而AB的长=12020180π⨯≈84（步），AB的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少B走了15步．故答案为15．【知识点】垂径定理；勾股定理19.（2018浙江舟山，14，4）如图，量角器的O度刻度线为AB．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A、D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为cm．BC【解析】根据题意，抽象出数学图形根据题意可知：AD ＝10，∠AOD ＝120°，由OA ＝OD ，∴∠DAO ＝30°，设OE ＝x ，则OA ＝2x ，∵OE ⊥AD ，∴AE ＝DE ＝5，在Rt △AOE 中，x 2+52＝（2x ）2，解得：x ，∴CE ＝OE．三、解答题1. （2018年江苏省南京市，26，8分）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE .过点A 作AF DE ⊥，垂足为F .⊙O 经过点C 、D 、F ，与AD 相交于点G .（1）求证AFG DFC ∽△△；（2）若正方形ABCD 的边长为4，1AE =，求O 的半径.【思路分析】（1）欲证明△AFG ∽△DFC ，只要证明∠FAG=∠FDC ，∠AGF=∠FCD ； （2）首先证明CG 是直径，求出CG 即可解决问题；【解题过程】（1）证明：在正方形ABCD 中，90ADC ∠=. ∴90CDF ADF ∠+∠=. ∵AF DE ⊥. ∴90AFD ∠=.∴90DAF ADF ∠+∠=. ∴DAF CDF ∠=∠.∵四边形GFCD 是⊙O 的内接四边形， ∴180FCD DGF ∠+∠=. 又180FGA DGF ∠+∠=，O∴FGA FCD ∠=∠. ∴AFG DFC ∽△△. （2）解：如图，连接CG .∵90EAD AFD ∠=∠=，EDA ADF ∠=∠， ∴EDA ADF ∽△△. ∴EA DA AF DF =，即EA AFDA DF=. ∵AFG DFC ∽△△， ∴AG AFDC DF =. ∴AG EADC DA=. 在正方形ABCD 中，DA DC =，∴1AG EA ==，413DG DA AG =-=-=.∴5CG ===.∵90CDG ∠=， ∴CG 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的半径为52.【知识点】相似三角形的判定和性质 正方形的性质 圆周角定理及推论2. （2018江苏徐州，28，10分） 如图，将等腰直角三角形ABC 对折，折痕为CD ．展平后，再将点B 折叠再边AC 上，（不与A 、C 重合）折痕为EF ，点B 在AC 上的对应点为M ，设C D 与EM 交于点P ，连接PF ．已知BC ＝4．（1）若点M 为AC 的中点，求CF 的长；（2）随着点M 在边AC 上取不同的位置．①△PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； ②求△PFM 的周长的取值范围.第28题图【解答过程】 解：（1）根据题意，设BF ＝FM ＝x ，则CF ＝4－x ，∵M 为AC 中点，AC ＝BC ＝4，∴ CM ＝12AC ＝2，∵∠ACB ＝90°，∴CF 2+CM 2＝FM 2，∴(4－x )2+22＝x 2，解得x ＝52，∴CF ＝4－52＝32； （2）①△PFM 的形状不变，始终是以PM 、PF 为腰的等腰直角三角形，理由如下：∵等腰直角三角形ABC 中，CD ⊥AB ，∴AD ＝DB ，CD ＝12AB ＝DB ，∴∠B ＝∠DCB ＝45°，由折叠可得∠PMF ＝∠B ＝45°，∴∠PMF ＝∠DCB ，∴P 、M 、F 、C 四点共圆，∴∠FPM +∠FCM ＝180°，∴∠FPM ＝180°－∠FCM ＝90°，∠PFM ＝90°－∠PMF ＝45°＝∠PMF ，∴△PFM 的形状不变，始终是以PM 、PF 为腰的等腰直角三角形； ②当M 与C 重合时，F 为BC 中点，CF ＝12BC ＝2，PM ＝PF ＝cos 45CF=︒此时△PFM 的周长为2＋当M 与A 重合时，F 于C 重合，E 与D 重合，FM ＝AC ＝4，PM ＝PF ＝ACcos45°＝，此时△PFM 的周长为4＋B 不与A 、C 重合，所以△PFM 的周长的取值范围是大于2＋且小于4＋.3. (2018辽宁葫芦岛，25，12分)在△ABC 中，AB ＝BC ，点O 是AC 的中点，点P 是AC 上的一个动点(点P 不与点A ，O ，C 重合)．过点A ，点C 作直线BP 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，连接OE ，OF ． （1）如图1，请直接写出线段OE 与OF 的数量关系；（2）如图2，当∠ABC ＝90°时，请判断线段OE 与OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）若｜CF －AE ｜＝2，EF ＝POF 为等腰三角形时，请直接写出线段OP 的长．【思路分析】（1）连接OB ，则OB ⊥AC ，进而得A 、E 、O 、B 四点共圆，B 、F 、O 、C 四点共圆．由同弧所对的圆周角相等得∠OEB ＝∠OAB ，∠OFC ＝∠OBC ．又因为∠OFE ＝90°－∠OFC ，∠ACB ＝90°－∠OBC ，所以∠OFE ＝∠OCB ，又因为∠OAB ＝∠OCB ，所以∠OE B ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ；（2）类比（1）可得OE ＝OF ；由∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，可得∠OAB ＝∠OCB ＝∠OEB ＝∠OFE ＝45°，所以OE ⊥OF ．（3）取EF的中点为M，则EM＝FMAM并延长交CF于D，连接OM．由△AME≌△DMF，｜CF－AE｜＝2，得OM＝1．进而得OF＝2．由sin∠OFM＝12，得∠OFM＝30°．因为点P在EF上，所以OP＜OE＝OF；因为AE⊥EF，∠APE、∠OPF均为锐角，故PF≠PO．当PF＝OF＝2时，PM＝2理得OP＝【解答过程】（1）OE＝OF；（2）OE＝OF，OE⊥OF．理由：连接OB，则OB⊥AC．∵∠AEB＝∠AOB＝90°，∴进而得A、E、O、B四点共圆，∴∠OEB＝∠OAB．∵∠BFC＝∠BOC＝90°，∴B、F、O、C四点共圆．∴∠OFC＝∠OBC．又∵∠OFE＝90°－∠OFC，∠ACB＝90°－∠OBC，∴∠OFE＝∠OCB，又∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠OAB＝∠OCB＝45°．∴∠OE B＝∠OFE＝45°．∴OE＝OF，OE⊥OF．（3）OP＝223．4.（2018上海，25，14分）已知圆O的直径AB=2，弦AC与弦BD，交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．(1)图11，如果AC=BD，求弦AC的长；(2)如图12，如果E为BD的中点，求∠ABD的余切值(3)联结BC、CD、DA，如果BC是圆O的内接正n边形的一边，CD是的内接正(n+4)边形的一边，求△ACD的面积．【思路分析】(1)连结CB．可以证明弧AD、弧DC、弧CB相等，从而得到∠ABC=60°．在△ABC中求出AC长．(2)运用中位线及全等转化求出CB长，再把直角三角形OBE中的两个直角边求出，即可∠ABD的余切值．(3)根据“BC是圆O的内接正n边形的一边，CD是的内接正(n+4)边形的一边”求出n值，从而求出∠AOD=45°，可得各线段长，再求△ACD的面积．【解答过程】（1）连结CB．∵AC=BD，∴弧AC=弧BD，∵OD⊥AC，∴弧AD=弧DC=12弧AC，∴弧AD=弧DC=弧CB，∴∠ABC=60°在Rt△ABC中, ∠ABC=60°，AB=2，∴AC=3（2）∵OD⊥AC，∴∠AFO=90°，AF=FC∵AO=OB，∴FO∥CB，FO=12 CB∵E为BD的中点，∴DE=EB∵FO∥CB，∴△DEF≌△BEC，∴DF=CB=2FO∴FO=13，CB=23在Rt △ABC 中，AB =2，CB =23，∴AC ，∴EC ∴EB ，∵E 为BD 的中点，OD =OB ，∴∠OEB =90°，∴EO cot ∠ABD =EB EO ． （3）∵BC 是圆O 的内接正n 边形的一边，∴∠COB =360n° ∵CD 是的内接正(n +4)边形的一边，∴∠COD =3604n +° ∵弧AD =弧DC ，∴∠AOD =3604n +° ∵∠COB +∠COD +∠AOD =180°，∴360n +3604n ++3604n +=180，解得n =4 ∴∠AOD =∠COD =3604n +°=45°∵OD =OA =OC =1，∴AC ，OF ，DF =1，∴S △ACD =12×AC ×DF =2－12．5. （2018黑龙江哈尔滨，26，10）已知:⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 在弧AB 上，连接BE 、DE ，点F 在弧AD 上，连接BF 、DF 、BF 与DE 、DA 分别交于点G 、点H ，且DA 平分∠EDF ．(1)如图1，求证:∠CBE ＝∠DHG ;(2)如图2，在线段AH 上取一点N (点N 不与点A 、点H 重合)，连接BN 交DE 于点L ，过点H 作HK //BN 交DE 于点K ，过点E 作EP ⊥BN ，垂足为点P ，当BP ＝HF 时，求证:BE ＝HK ;(3)如图3，在(2)的条件下，当3HF ＝2DF 时，延长EP 交⊙O 于点R ，连接BR ，若△BER 的面积与△DHK 的面积的差为47，求线段BR 的长．图1 图2 图3【思路分析】（1）问利用同弧和等弧所对圆周角等与三角形外角性质易证的结论．（2）过H 作HM ⊥KD ，易证得HM ＝BP ，加上直角条件，可导出第三个全等条件，得到△BEP ≌△HKM ，所以BE ＝HK ．（3）连接BD 后根据条件3HF ＝2DF 可得到tan ∠ABH ＝tan ∠ADE ＝ABAH ＝32，过点H 作HS ⊥BD 后再设边计算就能求出tan ∠BDE ＝tan ∠DBF ＝BSHS ＝51，在ER 上截取ET ＝DK ，连接BT 易证得△BET ≌△HKD ，这时21BP ·ER 21-HM ·DK ＝21BP (ER －DK )＝21BP (ER －ET )＝47，易求得BP ＝1，PR ＝5，BR ＝22RP BP +＝2251+＝26【解答过程】（1）证明:∵四边形ABCD 是正方形∴∠A ＝∠ABC ＝90°∵∠F ＝∠A ＝90°∴∠F ＝∠ABC∵DA 平分∠EDF ∴∠ADE ＝∠ADF ∵∠ABE ＝∠ADE ∴∠ABE ＝∠ADF又∵∠CBE ＝∠ABC ＋∠ABE ，∠DHG ＝∠F ＋∠ADF ∴∠CBE ＝∠DHG（2）证明:过H 作HM ⊥KD 垂足为点M ∵∠F ＝90°∴HF ⊥FD 又∵DA 平分∠EDF ∴HM ＝FH∵FH ＝BP ∴HM ＝BP ∵KH ∥BN ∴∠DKH ＝∠DLN ∵∠ELP ＝∠DLN ∴∠DKH ＝∠ELP∵∠BED ＝∠A ＝90°∴∠BEP ＋∠LEP ＝90°∵EP ⊥BN ∴∠BPE ＝∠EPL ＝90°∴∠LEP ＋∠ELP ＝90°∴∠BEP ＝∠ELP ＝∠DKH ∵HM ⊥KD ∴∠KMH ＝∠BPE ＝90°∴△BEP ≌△HKM ∴BE ＝HK(3)解:连接BD ∵3HF ＝2DF ，BP ＝FH ∴设HF ＝2a ，DF ＝3a ∴BP ＝FH ＝2a由(2)得HM ＝BP ，∠HMD ＝90°∵∠F ＝∠A ＝90°∴tan ∠HDM ＝tan ∠FDH ∴DM HM ＝DF FH ＝32 ∴DM ＝3a ∴四边形ABCD 是正方形∴AB ＝AD ∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°∵∠ABF ＝∠ADF ＝∠ADE ，∠DBF ＝45°－∠ABF ，∠BDE ＝45°－∠ADE ∴∠DBF ＝∠BDE ∵∠BED ＝∠F ，BD ＝BD ∴△BED ≌△DFB ∴BE ＝FD ＝3a 过点H 作HS ⊥BD 垂足为点S ∵tan ∠ABH ＝tan ∠ADE ＝ABAH ＝32 ∴设AB ＝32m ，AH ＝22m ∴BD ＝2AB ＝6m DH ＝AD －AH ＝2m sin ∠ADB ＝DHHS ＝22 ∴HS ＝m ∴ DS ＝22HS DH -＝m ∴BS ＝BD －DS ＝5m ∴tan ∠BDE ＝tan ∠DBF ＝BS HS ＝51 ∵∠BDE ＝∠BRE ∵tan ∠BRE ＝PR BP ＝51∵BP ＝FH ＝2a ∴RP ＝10a 在ER 上截取ET ＝DK ，连接BT 由(2)得∠BEP ＝∠HKD ∴△BET ≌△HKD ∴∠BTE ＝∠KDH ∴tan ∠BTE ＝tan ∠KDH ∴PT BP ＝32 ∴PT ＝3a ∴TR ＝RP －PT ＝7a ∵S △BER －S △KDH ＝47∴21BP ·ER 21-HM ·DK ＝47 ∴21BP (ER －DK )＝21BP (ER －ET )＝47∴21×2a ×7a ＝47 ∴a 2＝41，a 1＝21，a 2＝21-(舍去)∴BP ＝1，PR ＝5 ∴BR ＝22RP BP +＝2251+＝26。
圆的概念 弧、圆心角、圆周角、弦 知识点+例题+练习(分类全面)
例题
1：圆的性质应用
例 1 如图，CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦，DC、EB 的延长线相交于点 A．若∠A＝25°， AB＝OC，求∠EOD 的度数．
2：利用圆的性质进行证明
例1如图，⊙O 的半径OA、OB 分别交弦C D 于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF 与∠OFE 的关系．
例 2 如图，O为AB所在圆的圆心，已知OA⊥OB，M为弦AB的中点，且MC∥OB交AB于点C．求AC的度数．60
延长CM交OA于E,OE=1/2 OA=1/2 OC
3：圆的性质和矩形性质综合
例 1 如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 为矩形，设 BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( )
A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a
4：点与圆的位置关系中分类讨论思想
例1若⊙O 所在平面上的一点P到⊙O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为
5：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明
例1、已知：如图，BD、CE 是△ABC 的高，M 为B C 的中点，试说明点B、C、D、E 在以点M为圆心的同一个圆上．
例2、如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且A E⊥BC，AF⊥CD． (1)求证：A、E、C、F 四点共圆；
(2)设线段B D 与(1)中的圆交于点M、N．求证：BM＝ND．。
中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习
中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径】3、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类4、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】5、垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .（2）推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别几何语言：∵在圆O中，_______∴ , .∵在圆O中，________∴ , .∵在圆O中，________∴ , .【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂径定理例1、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C. 6D. 8例2、绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB 为_________考点二：圆心角定理例3、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°例4、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为____________对应训练2．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）．A．55° B．60°C．65° D．70°考点三：圆周角定理例5、如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P 是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．例6、如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于_____________对应训练6、△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．考点四：圆内接四边形的性质例3 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．3对应训练【聚焦中考】1．如图，AB是的直径，C是上一点，AB=10，AC=6，，垂足为D，则BD的长为（A）2 （B）3 （C）4 （D）62．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（）． A． B． C． D．3．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.4．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60° B．70° C．120° D．140°6．如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=______7．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A. 135°B. 122.5°C. 115.5°D.112.5°8．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是A.BD⊥ACB.AC2=2AB·AEC.△ADE是等腰三角形D. BC＝2AD.9．如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．10．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．11．AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,连接AC交圆O于点D,E为弧AD上一点,连接AE、BE，BE交AC于点F，且AF²=EF.EB（1）求证：CB=CF （2）若点E到弦AD的距离为1，cos角C=3/5，求圆O的半径12．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．【备考真题过关】一、选择题1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为__________2．如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（）A．等于4 B．等于4 C．等于6 D．随P点位置的变化而变化3．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．3 D．44．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．205．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）A．AE＞BE B．C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，则半径OB的长为．10．如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．111314．如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；15．如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是．三、解答题16．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）17．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．18．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．19．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．20．如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．21．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．。
2018年中考数学温习第6单元圆第25课时圆的大体概念与性质检测湘教版
课时训练(二十五)圆的大体概念与性质|夯 实 基 础|一、选择题1．[2017·衡阳]如图K25－1，点A 、B 、C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若是∠AOB＝64°，那么∠ACB 的度数是( )A ．26°B ．30°C ．32°D ．64°K25－1K25－22．[2016·娄底]如图K25－2，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，那么∠CAB 的度数为( ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°3．[2017·株洲]以下圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形4．[2017·泸州]如图K25－3，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，假设AB ＝8，AE ＝1，那么弦CD 的长是( )A.7 B ．2 7 C ．6 D ．8K25－3K25－45．[2017·宜昌]如图K25－4，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，那么以下结论正确的选项是( ) A ．AB ＝AD B ．BC ＝CD C.AB ︵＝DA ︵D ．∠BCA ＝∠ACD图K25－56．[2017·陕西]如图K25－5，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5，假设点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，那么PA 的长为( )A ．5 B.5 32C ．5 2D ．5 37．[2017·西宁]如图K25－6，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°.那么CD 的长为( )A.15 B ．2 5 C ．2 15 D ．8K25－6K25－78．[2016·连云港]如图K25－7，在网格中(每一个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．若是以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，那么r 的取值范围为( )A ．2 2＜r ＜17 B.17＜r ＜3 2 C.17＜r ＜5 D ．5＜r ＜29二、填空题9．[2016·岳阳]如图K25－8，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD＝110°，那么∠BAD＝________°.K25－8K25－910．[2017·义乌]如图K25－9，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角极点A在⊙O上，边AB，AC别离与⊙O交于点D，E，那么∠EOD的度数为________．11．[2017·庆阳]如图K25－10，△ABC内接于⊙O，假设∠OAB＝32°，那么∠C＝________．图K25－1012．如图K25－11所示，工程上经常使用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，那么那个小圆孔的宽口AB的长度为________mm.K25－11K25－1213．[2017·十堰]如图K25－12，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D，假设AC ＝6，BD＝5 2，那么BC的长为________．三、解答题14．[2016·宁夏]如图K25－13，已知△ABC，以AB为直径的⊙O别离交AC于D，BC于E，连接ED，假设ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)假设AB＝4，BC＝2 3，求CD的长．图K25－1315．[2017·安徽]如图K25－14，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD 交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.图K25－14|拓展提升|图K25－1516．如图K25－15，AB是⊙O的直径，弦BC＝4 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.假设动点E以1 cm/s 的速度从点A动身在AB上沿着A→B→A运动，设运动时刻为t s(0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为________．(填出一个正确的即可)17．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图K25－16①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图K25－16②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．图K25－16参考答案1．C2．C [解析] ∠D＝40°，依照圆周角性质那么有∠B＝∠D＝40°.又AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－40°＝50°.3．A [解析] 正三角形的边所对的圆心角是120°；正方形的边所对的圆心角是90°；正五边形的边所对的圆心角是72°；正六边形的边所对的圆心角是60°.应选A.4．B [解析] 连接OC ，那么OC ＝4，OE ＝3，在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝42－32＝7.因为AB⊥CD，因此CD ＝2CE ＝2 7.5．B [解析] 依照弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角取得所对的弧、弦相等，可知选项B 正确． 6．D [解析] 连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D ，由题意可知OB⊥AP；易知△OAB 为等边三角形，再运用解直角三角形的知识可求出AP 的长为5 3.7．C [解析] 作OH⊥PD 于H ，AP ＝2，BP ＝4，那么PO ＝2，又∠HPO＝∠APC＝30°，∴OH ＝1，OD ＝OB ＝4，在Rt △HOD 中，HD ＝OD 2－OH 2＝15，∴CD ＝2HD ＝2 15.8．B [解析] 依照图形中网格与勾股定理可知，AD ＝2 2，AE ＝AF ＝17，AB ＝3 2，∴AB ＞AE ＞AD.以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，那么必需知足17＜r ＜3 2.9．70 10．90° [解析] 依照一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，取得∠EOD＝2∠A＝2×45°＝90°. 11．58° [解析] 连接OB.在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB＝32°，∴∠OBA ＝32°.∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.而∠C＝12∠AOB，∴∠C ＝58°.12．8 [解析] 设钢珠的圆心为O ，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，那么AB ＝2AD.在Rt △AOD 中，利用勾股定理得AD ＝OA 2－OD 2＝52－32＝4(mm)，因此AB ＝2AD ＝2×4＝8(mm)．13．8 [解析] 连接DA ，因为∠ACB＝90°，因此AB 为直径，因此∠ADB＝90°，因为CD 平分∠ACB，因此BD ＝AD ，在△ABD 中AB ＝AD 2＋BD 2＝（5 2）2＋（5 2）2＝10，在△ABC 中BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8.14．解：(1)证明：∵ED＝EC ，∴∠CDE ＝∠C. 又∵四边形ABED 是⊙O 的内接四边形， ∴∠CDE ＝∠B， ∴∠B ＝∠C， ∴AB ＝AC.(2)连接AE ，那么AE⊥BC，∴BE ＝EC ＝12BC.在△ABC 与△EDC 中，∵∠C ＝∠C，∠CDE ＝∠B， ∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE ＝BC DC ，∴DC ＝BC·DE AB ＝BC 22AB. 由AB ＝4，BC ＝2 3，∴DC ＝（2 3）22×4＝32.15．证明：(1)依照圆周角定理知∠E＝∠B， 又∵∠B＝∠D， ∴∠E ＝∠D， 又∵AD∥CE，∴∠D ＋∠DCE＝180°， ∴∠E ＋∠DCE＝180°， ∴AE ∥DC ，∴四边形AECD 为平行四边形．(2)如图，连接OE ，OB ，由(1)得四边形AECD 为平行四边形， ∴AD ＝EC ，∵AD ＝BC ，∴EC ＝BC ，∵OC ＝OC ，OB ＝OE ，∴△OCE ≌△OCB(SSS)， ∴∠ECO ＝∠BCO，即CO 平分∠ECB.16．答案不唯一，如4 [解析] ∵AB是⊙O ∴∠C＝90°.∵∠ABC＝60°，BC＝4 cm，∴AB＝2BC＝8 cm.∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，现在E为AB的中点，即AE＝AO＝4 cm，∴t＝4÷1＝4(s)，或t＝4＋81＝12(s)．当FE⊥AB时，∵FB＝12BC＝2(cm)，∠B＝60°，∴BE＝12FB＝1(cm)，∴AE＝AB－BE＝8－1＝7(cm)，∴t＝71＝7(s)．或t＝7＋1＋11＝9(s)．17．解：(1)如图①，连接OQ，∵PQ∥AB，PQ⊥OP，∴OP⊥AB，∵tan30°＝OPOB，∴OP＝3×33＝3，由勾股定理得PQ＝32－（3）2＝ 6.(2)如图②，连接OQ取最大值，需OP取最小值，现在OP⊥BC，∵∠ABC＝30°，∴OP＝12OB＝32，现在。
【三年模拟精选】2018版中考数学：5.1-圆的带关概念与性质(带答案)
第五章 圆§5.1 圆的有关概念与性质一、选择题1. (2014·浙江杭州朝晖中学三模，7，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析 ∵∠AOC ＝130°，∴∠BOC ＝180°－∠AOC ＝180°－130°＝50°.∵∠BOC 和∠D 分别是BC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠D ＝12∠BOC ＝12×50°＝25°.故选A. 答案 A2．(2015·浙江湖州模拟(17)，5，3分)如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝75°，∠C ＝45°，那么sin ∠AEB 的值为( )A.12B.33C.22D.32解析 ∵∠B 和∠C 是同弧对应的圆周角，∴∠B ＝∠C .∵∠A ＝75°，∠C ＝45°， ∴∠B ＝∠C ＝45°，∠AEB ＝180°－∠A －∠B ＝60°，∴sin∠AEB＝32.答案 D3．(2015·浙江模拟，8，3分)如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是()A．AE＝OE B．CE＝DEC．OE＝12CE D．∠AOC＝60°解析根据直径AB⊥弦CD于点E，由垂径定理求出，CE＝DE，即可得出答案．根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，∴CE＝DE.答案 B4．(2014·浙江杭州江干一模，9，3分)已知⊙O半径为3 cm，下列与⊙O不是．．等圆的是()A．⊙O1中，120°圆心角所对弦长为3 3 cmB．⊙O2中，45°圆周角所对弦长为32cmC．⊙O3中，90°圆周角所对弧长为32πcmD．⊙O4中，圆心角为60°的扇形面积为32πcm解析A中，如图1，作O1D⊥AB，则AD＝332，cos 30°＝ADAO1，AO1＝3，与⊙O是等圆，故A不符合要求；B中，如图2，∠B＝45°，则∠AO2C＝90°，AO2＝32sin 45°＝32×22＝3，与⊙O是等圆，故B不符合要求；C中，设半径为r，90°圆周角所对弧长为32πcm，可得πr＝32π，r＝32，与⊙O的半径不等，不是等圆，故C符合要求；D中，设半径为r，则60πr2360＝3π2，解得r＝3，与⊙O是等圆，故D不符合要求．故选C.答案 C5．(2013·浙江湖州中考模拟试卷一，10，3分)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③AE ︵＝BE ︵；④CE ·AB ＝2BD 2.其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 连结AD ，ED ，OE ，∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC .∵CD ＝BD ，∴AD 垂直平分BC ，∴AC ＝AB ，故②正确；∵∠B ＝∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°－70°－70°＝40°，故①错误；∵四边形AEDB 为圆O 的∽△CAB ，∴CD CA ＝CECB ，内接四边形，∴∠CED ＝∠B ，∠CDE ＝∠BAC ，∴△CDE即CA ·CE ＝CD ·CB ，又CA ＝AB ，CD ＝BD ＝12BC ，则CE ·AB ＝2BD 2，故④正确；∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠OAE ＝40°，∴∠EOB ＝80°，∠EOA ＝100°，∴AE ︵≠BE ︵.故③错误，则其中正确的有2个．故选B. 答案 B 二、填空题6．(2013·浙江湖州中考模拟八，14，4分)如图，点A ，B ，C 在圆O 上，且∠BAC＝40°，则∠BOC ＝________．解析∠BAC与∠BOC分别是BC︵所对的圆周角与圆心角，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°.答案80°7．(2014·浙江杭州朝晖中学三模，14，4分)如图，⊙O的直径AB＝12，CD 是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为__________．CP＝OC2－OP2＝解析连结OC，由题意可得OC＝6，OP＝4，∴62－42＝25，∴CD＝2CP＝4 5.答案4 58．(2015·浙江宁波北仑区一模，16，4分)如图，AB是⊙O的直径，∠C＝30°，则∠ABD等于________．解析连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠A＝∠C＝30°，∴∠ABD＝90°－∠A＝60°.答案60°9．(2013·浙江湖州中考模拟七，11，3分)一条弦把圆分成2∶3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为________．解析如图，∠AOB＝25×360°＝144°，∴∠ACB＝72°.由圆内接四边形的对角互补可得∠ADB＝108°.∵∠ACB和∠ADB都是弦AB所对的圆周角，∴这条弦所对的圆周角为72°或108°.答案72°或108°三、解答题10．(2015·浙江温州模拟(2)，19，8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC.证明连结AC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD ＝∠ACE ＝90°. ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D ＋∠ABC ＝180°. 又∠ABC ＋∠EBC ＝180°， ∴∠EBC ＝∠D . ∵C 是弧BD 的中点， ∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠E ＝∠2＋∠D ＝90°， ∴∠E ＝∠D ，∴∠EBC ＝∠E ， ∴BC ＝EC .11．(2015·浙江衢州一模，19，6分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C . (1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin ∠P ＝35，求⊙O 的直径． (1)证明 ∵∠C ＝∠P ，又∵∠1＝∠C ， ∴∠1＝∠P ，∴CB ∥PD . (2)解 连结AC . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵CD ⊥AB ， ∴BC ︵＝BD ︵，∴∠P ＝∠CAB . 又∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠CAB ＝35， 即BC AB ＝35， 又知，BC ＝3， ∴AB ＝5， ∴⊙O 的直径为5.。
(完整word版)2018中考数学专题复习圆
《圆》专题复习第一讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫_____ 线段0A叫做__________⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于__________ 的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的________ 叫做弦弧：圆上任意两点间的________ 叫做弧，弧可分为 ____ 、_______ 、 _____ 三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 ______ 条对称轴， ________________ 的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 _________【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 _________ 半径决定圆的________2、直径是圆中 _____ 的弦，弦不-3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转_________ 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径___________ ，并且平分弦所对的______________ 。
2、推论：平分弦（ _______ ）的直径___________ ，并且平分弦所对的______________ 。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的_______ 线（即弦心距）。
3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在 _________ 的角叫做圆心角2、定理：在 _______ 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量___________ 它们所对应的其余各组量也分别一【名师提醒：注意：该定理的前提条件是在同圆或等圆中”四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在 _______ 并且两边都和圆 ______ 的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的_____________ 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 __________ 那么它们所对的弧 ___________推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 _________ ，90°的圆周角所对的弦是 ____________【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有_________ 个，是____ 类，它们的关系是_________ ，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做_______________ ，这个圆叫做_____________________ 性质：圆内接四边形的对角____________ 。
2018年中考数学复习第6单元圆第25课时圆的基本概念与性质课件湘教版
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第六单元┃ 圆
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探究1 确定圆的条件 命题角度 (1)点和圆的位置关系与数量关系的互逆判断； (2)求三角形的外接圆的半径或确定三角形的外心． 例1 如图25－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝ 4，CP、CM分别是AB边上的高和中线，如果圆A是以点A为圆 心，以2为半径的圆，那么下列判断正确的是( C )
52－42＝3，
设 OH＝x，则 OD＝OB＝x＋3，在 Rt△ODH 中，OD2＝OH2＋
DH2，∴(x＋3)2＝x2＋42，解得 |针对训练|
7 x＝6，即
7 OH＝6.故选
D.
[2017·长沙]如图25－13，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为____5____．
图 25－3
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第六单元┃ 圆
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考点1 圆的有关概念
圆的定 义
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，
另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫作___圆_____，固 定的端点叫作__圆__心____，线段 OA 叫作圆的__半_径_____
等圆 半径相等的圆叫作__等__圆____
简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④ 总结 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意
两条结论成立，那么其他的结论也成立
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第六单元┃ 圆 考点8 确定圆的条件及相关概念
条件 外心 外心性质 防错提醒
经过不在同一直线上的三点有__且__只__有__一个圆 三角形三边的垂__直__平__分__线有且只有一个交点，这 一点叫作三角形的外接圆的圆心，即三角形的 外心 三角形的外心到三角形_三__顶__点___的距离相等 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角 形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形 的外心在三角形的外部
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第25课时圆的有关概念和性质
备考演练
一、精心选一选
1. （2016 •自贡）如图,。
O中,弦AB与CD交于点M / A=45° , / AMD=5° ,则/ B的度数是（C ）
A.15 °
B.25 °
C.30°
D.75°
2. （2016 •乐山）如图，C、D是以线段AB为直径的。
O上两点，若CA=CD且Z ACD40° ,则/ CAB= （ B ）
A.10 °
B.20 °
C.30°
D.40°
第1题图第2题图
第3题图
3. （2016 •娄底）如图,已知AB是。
O的直径,Z D=40° ,则Z CAB的度数为（C ）
A.20 °
B.40 °
C.50°
D.70°
二、细心填一填
4. （2016 •长沙）如图,在。
O中,弦AB：6,圆心O到AB的距离OC=, 则。
O的半径长为___.
第4题图第5题图
第6题图
5. （ 2016 -巴中）如图,Z A是。
O的圆周角,Z OBC=5° ,则Z A=
35°__ .
6. （2016 •永州）如图,在。
O中，A B是圆上的两点,已知/ AOB40 直径CD// AB连接AC则/ BAC= 35 度.
、用心解一解
7. (2015 •永州)如图,已知△ AB(内接于。
Q且AB=AC直径AD交BC 于点E F是OE上的一点，CF// BD.
(1)求证：BE=CE
⑵试判断四边形BFCD勺形状，并说明理由；
⑶若BC=8, AD=0,求CD的长.
解：(1)证明：T AD是。
O的直径，二 / ABD h ACD90°,
^AB = AC
•••在Rt△ ABD和Rt△ ACC中，=』D,
••• Rt △ABD^ Rt△ACD 二/ BAD M CAD T AB=AC二BE=CE
(2) 四边形BFCD是菱形，理由如下：
••• AD是。
O 的直径，AB=AC「. ADL BC BE=CE
T CF// BD FCE M DBE
(£FCE = L DBE
\BE= CE
•••在△ BE□和CEF 中〔二匸：-_一二L - ,
•••△ BED^A CEF 二CF=BD二四边形BFCD!平行四边形,
•/ M BAD M CAD • BD=CD°.四边形BFCD是菱形；
(3) T AD是。
O的直径,ADL BCBE=CE
• △CED^A CEA•••CE=DE AE 设DE=x
T BC=, AD=0, • 42=x(10 -x),解得:x=2 或x=8(舍去)
在Rt △ CED中,CD= 「二― 「一 '：=2 - r'.。