人教版八年级下册数学圆的有关概念与性质
人教版八年级数学下册教材分析
人教版八年级数学下册教材分析一、教材整体结构人教版八年级数学下册教材整体结构清晰，遵循数学学科的知识体系，按照章节顺序编排。
教材内容注重理论与实践相结合，通过丰富的实例引入数学知识，帮助学生理解抽象的数学概念和原理。
此外，教材还配有丰富的插图、注释和练习，方便学生自学和巩固所学知识。
二、知识体系与内容安排本册教材涵盖了数与代数、图形与几何、概率与统计等方面的知识，具体内容包括：1.数与代数：主要涉及实数、代数式、方程、不等式等知识，通过实例引导学生探索数学规律，培养学生的数学逻辑思维。
2.图形与几何：通过研究三角形、四边形、圆等几何图形的性质和定理，培养学生的空间想象能力和推理能力。
3.概率与统计：介绍概率、统计的基本概念和方法，引导学生运用数学知识解决实际问题。
三、教学目标与重点难点本册教材的教学目标是：学生能够掌握初中数学的基本知识和技能，提高数学思维能力和解决问题的能力。
具体来说，教学目标包括：1.掌握数与代数、图形与几何、概率与统计的基础知识和基本技能。
2.培养学生的数学思维能力、空间想象能力和推理能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的创新精神和实践能力。
教学重点包括：实数、代数式、方程、不等式、三角形、四边形、圆等几何图形的性质和定理以及概率、统计的基本概念和方法。
教学难点则主要涉及一些抽象的数学概念和原理，如函数、数轴、坐标系等。
四、教学方法与手段为了实现教学目标，教师需要采取多种教学方法与手段。
具体来说，建议教师采取以下方法：1.实例教学：通过实例引入数学知识，帮助学生理解抽象的数学概念和原理。
教师可以通过生活中的实例或具体的数学问题引导学生探索数学规律，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.互动教学：加强师生互动，鼓励学生提问和发表意见，促进知识的分享和交流。
教师可以组织小组讨论或问答环节，引导学生积极参与课堂活动，提高课堂互动效果。
3.探究式教学：引导学生进行探究学习，培养其自主学习能力和创新精神。
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。
部编版(人教版)八年级数学下册目录
部编版(人教版)八年级数学下册目录1. 第一章有理数- 1.1 有理数的概念与表示- 1.2 有理数的加减法- 1.3 有理数的乘除法- 1.4 有理数的应用2. 第二章美的光影——相似与全等- 2.1 图形的旋转- 2.2 图形的翻转- 2.3 相似与全等的基本概念- 2.4 相似三角形的判定与性质- 2.5 海伦公式及应用3. 第三章数据的亲戚——概率- 3.1 随机事件与概率- 3.2 等可能事件与概率- 3.3 互斥事件与相关事件的概率- 3.4 概率的运算与应用4. 第四章陶菲利尼调色法——等比与菱形二层结构- 4.1 等比数列的基本性质- 4.2 等比数列的求和与应用- 4.3 菱形二层结构的应用5. 第五章平面直角坐标系- 5.1 平面直角坐标系的引入与标识- 5.2 点的坐标与坐标的表示- 5.3 直线与方程- 5.4 解直线方程6. 第六章相遇于“二”- 6.1 二次根式的引入和计算- 6.2 一元二次方程- 6.3 一元二次方程的应用- 6.4 平方差公式7. 第七章旅游地图——平行四边形与三角形- 7.1 平行四边形的性质- 7.2 平行四边形的判定- 7.3 三角形的基本概念与性质- 7.4 三角形的判定与性质8. 第八章立体几何的魅力- 8.1 空间几何的基本概念与性质- 8.2 锥体与棱柱- 8.3 球与圆的性质与计算以上是部编版(人教版)八年级数学下册的目录。
本册的内容涵盖有理数、相似与全等、概率、等比与菱形二层结构、平面直角坐标系、一元二次方程、平行四边形与三角形以及立体几何等主题。
每一章节都包含了相关的概念、性质、计算和应用。
第三讲圆的相关概念及性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆相关的实际问题，如如何测量一个圆形花园的面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量硬币的周长和面积，演示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
d.圆的周长和面积的计算公式。
（3）圆在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观，使其能够理解和运用圆的相关概念，形成对圆的直观认识。
2.提升学生的逻辑推理能力，通过探索和证明圆的性质，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的数学运算能力，掌握圆的周长和面积计算方法，并能解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第三讲圆的相关概念及性质（教案）
人教版八年级下册数学课本
人教版八年级下册数学课本第一章：实数1.1 实数的概念和性质1.2 实数的运算1.3 实数的应用第二章：一元一次方程2.1 一元一次方程的概念2.2 一元一次方程的解法2.3 一元一次方程的应用第三章：不等式3.1 不等式的概念3.2 一元一次不等式的解法3.3 一元一次不等式的应用第四章：二元一次方程组4.1 二元一次方程组的概念4.2 二元一次方程组的解法4.3 二元一次方程组的应用第五章：一次函数5.1 一次函数的概念5.2 一次函数的图像5.3 一次函数的应用第六章：平行线与相交线6.1 平行线的性质6.2 相交线的性质6.3 平行线与相交线的应用第七章：三角形7.1 三角形的性质7.2 三角形的全等7.3 三角形的相似7.4 三角形的应用第八章：四边形8.1 四边形的性质8.2 四边形的全等8.3 四边形的相似8.4 四边形的应用第九章：圆9.1 圆的性质9.2 圆的全等9.3 圆的相似9.4 圆的应用第十章：概率与统计10.1 概率的概念10.2 概率的计算10.3 统计的基本概念10.4 统计的应用第十一章：立体几何11.1 立体几何的基本概念11.2 立体几何的计算11.3 立体几何的应用第十二章：解析几何12.1 解析几何的基本概念12.2 解析几何的计算12.3 解析几何的应用第十三章：数列13.1 数列的概念13.2 等差数列13.3 等比数列13.4 数列的应用第十四章：函数14.1 函数的概念14.2 函数的图像14.3 函数的应用第十五章：不等式组15.1 不等式组的概念15.2 不等式组的解法15.3 不等式组的应用第十六章：反比例函数16.1 反比例函数的概念16.2 反比例函数的图像16.3 反比例函数的应用第十七章：二次函数17.1 二次函数的概念17.2 二次函数的图像17.3 二次函数的应用第十八章：勾股定理18.1 勾股定理的概念18.2 勾股定理的证明18.3 勾股定理的应用第十九章：统计与概率19.1 统计的基本概念19.2 概率的基本概念19.3 统计与概率的应用第二十章：数学建模20.1 数学建模的概念20.2 数学建模的方法20.3 数学建模的应用人教版八年级下册数学课本的内容涵盖了实数、一元一次方程、不等式、二元一次方程组、一次函数、平行线与相交线、三角形、四边形、圆、概率与统计、立体几何、解析几何、数列、函数、不等式组、反比例函数、二次函数、勾股定理、统计与概率以及数学建模等知识点。
人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质
在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。 推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD， 则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边 中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三 角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为： 一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的 优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质 中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.
新课标人教版八年级下册数学教学计划
新课标人教版八年级下册数学教学计划一、教学目标本课程旨在通过教学，帮助学生学会以下内容：1. 了解曲线的基本概念、曲线的方程和一次函数的基本概念。
2. 熟练掌握直线、抛物线、圆的基本方程和性质，能够画出简单的图形，了解它们的几何意义。
3. 掌握解决一元一次方程、二元一次方程和一元二次方程的方法，能够熟练地运用这些方法解决实际问题。
二、教学内容本次数学教学主要内容包括：1. 曲线的基本概念和曲线方程。
2. 直线、抛物线、圆的基本方程和性质。
3. 一元一次方程、二元一次方程和一元二次方程的解法。
三、教学方法1. 教师采用讲解和演示相结合，帮助学生理解课程内容。
2. 引导学生通过练习题巩固和加深对知识点的理解。
3. 鼓励学生自主探究，让他们有机会运用所学知识解决实际问题。
四、教学步骤第一步：导入引导学生回顾前面几个章节的学习内容，加深对曲线和函数的基本概念的理解，为后续的学习做好铺垫。
第二步：讲解教师对本章节的重点内容进行讲解，详细介绍关于曲线和函数的概念、直线、抛物线、圆的基本方程和性质以及各种方程的解法。
第三步：演示和讲解例题教师通过讲解例题的方式让学生更好地理解课程内容，帮助他们发现问题，寻找解决的方式和方法。
第四步：练习教师提供各种练习题，让学生独立思考并解题。
这样可以检验学生对已学知识的掌握程度，同时也培养他们的分析和综合能力。
第五步：拓展教师通过引入一些实际例子和生活中的问题，鼓励学生自主探究并解决问题，让他们更好地认识数学的实际应用。
第六步：总结教师安排时间回顾本次课程的重点内容，让学生进一步理解和巩固所学知识。
五、教学评价1. 在教学课堂上，教师注重发挥学生自主探究、交流、合作学习等方式，鼓励学生积极参与。
2. 采用多种方式和方法，既注重基础理论的学习，又注重启发式教学方式的运用，使学生的学习效果得到最大化。
3. 课堂教学任务的设计，重点突出现实生活中的应用，有助于激发学生的学习兴趣和学习动力。
人教版九年级数学下册 圆。垂直于弦的直径,弧弦圆心角圆周角教案
24．1 圆的有关性质24．1.1 圆1．认识圆，理解圆的本质属性．2．认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系．3．利用圆的有关概念进行简单的证明和计算．一、情境导入在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？二、合作探究探究点：圆的有关概念【类型一】圆的有关概念的理解有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C.方法总结：对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．【类型二】圆中有关线段的证明如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.解析：先挖掘隐含的“同圆的半径相等”、“公共角”两个条件，再探求证明△AOD ≌△BOC 的第三个条件，从而可证出△AOD ≌△BOC ，根据全等三角形对应边相等得出结论．证明：∵OA 、OB 是⊙O 的半径，∴OA ＝OB .∵点C 、D 分别为OA 、OB 的中点，∴OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，∴OC ＝OD .又∵∠O ＝∠O ，∴△AOD ≌△BOC (SAS)，∴BC ＝AD .方法总结：“同圆的半径相等”、“公共角”、“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解．【类型三】圆中有关角的计算如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E .已知AB＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．解析：要求∠AOC 的度数，由图可知∠AOC ＝∠C ＋∠E ，故只需求出∠C 的度数，而由AB ＝2DE 知DE 与⊙O 的半径相等，从而想到连接OD 构造等腰△ODE 和等腰△OCD .解：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，OC ，OD 是⊙O 的半径，AB ＝2DE ，∴OD ＝DE ，∴∠DOE ＝∠E ＝18°，∴∠ODC ＝∠DOE ＋∠E ＝36°.∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠ODC ＝36°，∠AOC ＝∠C ＋∠E ＝36°＋18°＝54°.三、板书设计教学过程中，强调学生自己动手画圆，了解圆形成的过程，同时讨论、交流各自发现的圆的有关的性质.24．1.2 垂直于弦的直径1．进一步认识圆是轴对称图形．2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】垂径定理的理解如图所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm解析：∵直径AB ⊥DC ，CD ＝6，∴DP ＝3.连接OD ，∵P 是OB 的中点，设OP 为x ，则OD 为2x ，在Rt △DOP 中，根据勾股定理列方程32＋x 2＝(2x )2，解得x ＝ 3.∴OD ＝23，∴AB ＝4 3.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角如图所示，⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ，所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°，而∠BAC ＝50°，由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.【类型二】利用垂径定理的推论求边如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5cm. 方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型三】动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3≤OP ≤5(单位：cm)．方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.24．1.3 弧、弦、圆心角1．在实际操作中发现圆的旋转不变性．2．结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．3．能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究 探究点一：圆心角【类型一】圆心角的识别如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．探究点二：圆心角的性质【类型一】利用圆心角的性质求角如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．探究点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．三、板书设计教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.24．1.4 圆周角1．掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明． 2．掌握圆内接多边形的有关概念及性质．3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行，共有来自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍．比赛中如图所示，甲队员在圆心O 处，乙队员在圆上C 处，丙队员带球突破防守到圆上C 处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A 与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC 的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D ＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补.三、板书设计教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.。
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圆的有关概念与性质◆课前热身1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误．．的是（）D．OD＝DE2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（）A． B． C． D．3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．24．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．53，则弦CD 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm的长为（）A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cm【参考答案】 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ◆考点聚焦1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点．3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、•四边形等结合的题型也是中考热点． ◆备考兵法“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现. ◆考点链接1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . ◆典例精析例1（山西太原）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心， CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）A． B ．5 C． D ．6【答案】A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD ，∵∠C＝90°，D 是AB 中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC＝，故选A ． 例2（黑龙江哈尔滨）如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为 ．【答案】8【解析】主要利用垂径定理求解.连接OA ，根据垂径定理可知AM ＝4，又OA ＝5，则根据勾股定理可得：OM ＝3。
又OD ＝5，则DM ＝8.例3（贵州贵阳）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上， 且AB=13，BC=5．（1）求sin∠BAC 的值；（2）如果OD⊥AC，垂足为点D，求AD的长；（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1）【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴sin∠BAC=513 BCAB=．（2）在Rt△ABC中，=．又∵OD⊥AC于点D，∴AD=12AC=6．（3）∵S半圆=12π×（2AB）2=12π×1694=1698π．S△ABC=12AC×BC=12×12×5=30，∴S阴影=S半圆－S△ABC =1698π－30≈36.3点评“直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视．◆迎考精练一、选择题1.（湖北孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( )A．15° B．30° C．45° D．60°2.（山东泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对圆周角的度数为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°3.（浙江嘉兴）如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．94.（天津市）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°5.（安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56.(浙江温州)如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7.（四川遂宁）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o，∠C ＝50o， 那么sin ∠AEB 的值为( )A. 21 B. 33 C.22 D. 238.（甘肃兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米9.（湖北十堰）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°10.（山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）．A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米D．1米11.（山西太原）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA AB BO--的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（）二、填空题1.（河南）如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝12AB，PC切半圆O于点C，OA．B．C．D．点D 是AC 上和点C 不重合的一点，则D ∠的度数为.2.(广东梅州)如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.3.（山西省）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，则C ∠= 度．4.(湖北鄂州)在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为3，弦AD 长为2．则DC2＝______5.（福建福州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD ∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为6.（广东中山）已知O ⊙的直径8cm AB C =，为O ⊙上的一点，30BAC ∠=°，则BC ＝ _ cm ．7.(山东济南)如图，O 的半径5cm OA =，弦8cm AB =，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离是 cm ．ABCD18.（北京市）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28，则∠ABD＝°.B9.(福建宁德)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠A CO＝32°，则∠COB的度数等于．三、解答题1.（广西柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长．2.（广西钦州）已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标．求⊙O 1的半径．图23.（湖北宜昌）已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，BC CD DE ==，∠BAE ＝90°． (1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？4.(湖北黄冈)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：BF BG BC ⋅=2.【参考答案】 选择题 1. B 2. D 3. C 4. D 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10. D 11. C【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P 从点O 向点A 运动，OP 逐渐增大，当点P 从点A 向点B 运动，OP 不变，当点P 从点B 向点O 运动，OP 逐渐减小，故能大致地刻画s 与t 之间关系的是C ． 填空题 1. 30° 2. 40 3. 304. 3232-+或5. 26. 47. 38. 289.64º解答题1.证明：（1）连结AC，如图。
∵C是弧BD的中点∴∠BDC＝∠DBC又∠BDC＝∠BAC在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB∴ ∠BCE＝∠BAC∠BCE＝∠DBC∴ CF＝BF因此，CF＝BF．（2）证法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴ ∠CAG＝∠BAC ，即AC是∠BAD的角平分线．∴ CE＝CG，AE＝AG在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE＝CG ， CB＝CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE＝DG∴AE＝AB-BE＝AG＝AD+DG即 6-BE＝2+DG∴2BE＝4，即 BE＝2又 △BCE∽△BAC∴ 212BC BEAB ==· 32±=BC （舍去负值）∴32=BC（2）证法二：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB ∴∠BEF＝︒=∠90ADB ， 在Rt ADB △与Rt FEB △中， ∵FBE ABD ∠=∠ ∴ADB △∽FEB △，则BFABEF AD =即BFEF 62=， ∴EF BF 3= 又∵CF BF =， ∴EF CF 3= 利用勾股定理得：EF EF BF BE 2222=-=又∵△EBC∽△ECA 则CEBE AE CE =，即则BE AE CE ⋅=2∴BE BE EF CF ⋅-=+)6()(2即EF EF EF EF 22)226()3(2⋅-=+∴22=EF ∴3222=+=CE BE BC .2.解：过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ， 则有AC ＝BC ．图2由A （1，0）、B （5，0），得AB ＝4，∴AC ＝2．在1Rt AO C △中，∵O 1， ∴O 1C．∴⊙O 1的半径O 1A3． 3. 解：（1）∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝∠BAE＝90°．∵ BC CD DE ==，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ． ∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°．∵在Rt△ACD 中，AD ＝2，CD ＝2sin30°＝1， AC．∴S △ACD ＝12AC×CD ＝2．(2) 连BD ，∵∠A BD ＝90°， ∠BAD ＝ ＝60°， ∴∠BDA ＝∠BCA ＝ 30°，∴BA ＝BC. 作BF⊥AC，垂足为F ，（5分） ∴AF＝12AC2，∴BF＝AFtan30°＝12，∴S △ABC ＝124， ∴S ABCD4．∵S ⊙O ＝π ，∴P 点落在四边形ABCD区域的概率＝4π4π．（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M ．∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD． ∴四边形ABCD 为等腰梯形．2，∴S ABCD ＝12(BC+AD)CM4．∵S ⊙O ＝π， ∴P 点落在四边形ABCD区域的概率＝4π4π．4. 证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90° 又∵CD⊥AB 于点D ，∴∠BCD ＝90°－∠ABC ＝∠A ＝∠F ∵∠BCD ＝ ＝∠F ，∠FBC ＝∠CBG ∴△FBC ∽△CBG ∴CBFBBG BC =∴BF BG BC ⋅=2。