人教版数学九年级圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)
九年级圆的全部知识点归纳
九年级圆的全部知识点归纳圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
在九年级的学习中，我们需要对圆的相关知识进行全面的了解，包括定义、性质、定理等方面。
本文将对九年级学习中的圆相关知识点进行归纳总结。
一、定义与基本术语1. 圆：由平面上到定点的距离相等的所有点的轨迹称为圆。
2. 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，圆心是圆的中心点。
3. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，用字母r 表示。
4. 直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。
5. 弧：圆上的两点间的部分称为弧。
6. 弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
二、圆的性质与定理1. 弧长公式：在圆心角相等的情况下，弧长和半径的乘积是相等的。
即L = rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为对应的圆心角的度数。
2. 弧度制：1个圆周角对应的弧长等于圆周长的2π，使用弧度制时，1个圆周角对应的弧长等于半径的2π，即1圆周角= 2π弧度。
3. 弦弧定理：在圆上，相等弧所对应的弦相等，弦所对应的弧相等。
4. 弦切定理：一条弦上的两个切线所截的弧相等。
5. 切线与半径的关系：切线与半径的垂直分离定理，切线切圆的点与圆心连线垂直。
三、圆的重要定理与推论1. 中心角定理：圆上的中心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2. 弧度的定义与利用：弧度是角度制的单位，通过弧长和半径之间的比值得到。
利用弧度可以简便地描述与计算圆的相关问题。
3. 圆周角定理：圆周角的度数等于360度，对应的弧度等于2π。
4. 平行弦定理：平行弦所对应的圆心角相等。
5. 弦割定理：当两条弦交于圆的内部一点时，各自所对应的弧之积相等。
四、圆的应用圆具有广泛的应用价值，在日常生活中有很多应用场景。
比如在建筑领域，圆经常用于设计弧形的拱门、圆顶等；在工程测量中，圆常被用于测量水井、桥梁等的半径；在电子工程中，圆被运用于制作集成电路的微缩线路等。
总结：通过本文对九年级学习中的圆相关知识点进行归纳总结，我们了解了圆的定义与基本术语、性质与定理以及应用。
九年级圆所有知识点讲解
九年级圆所有知识点讲解圆是几何学中的一个重要概念，广泛应用于数学以及日常生活中。
在九年级的数学课程中，我们学习了许多与圆相关的知识点，包括圆的定义、圆的性质、圆的方程、弧长和扇形面积等。
本文将对这些知识点进行逐一讲解，帮助同学们深入理解圆。
一、圆的定义圆是指平面上到定点的距离恒定的一组点的集合。
其中，定点称为圆心，距离称为半径。
记作圆O，圆心为O，半径为r。
二、圆的性质1. 圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的半径相等的两个或多个圆是同心圆。
3. 圆的半径垂直于圆上的切线。
4. 圆的直径是圆上任意两点的最大距离，且等于两倍的半径。
5. 圆的切线垂直于半径。
三、圆的方程1. 利用圆心和半径表示圆的方程：圆的方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
2. 利用直线与圆的方程表示圆的方程：若直线y = kx + c与圆(x - a)² + (y - b)² = r²有两个相交点，则k² + 1 ≠ 0，并且满足：(1) 4b²(k² + 1) - 4(ac + b² - r²)(k² + 1) > 0；(2) b - ka - c ≠ 0。
四、弧长和扇形面积1. 弧长：弧长是指圆上的一段弧的长度。
弧长与圆心角度数的关系是：弧长 = 圆周长 × (圆心角度数 / 360°)。
2. 扇形面积：扇形是指由圆心和圆上弧所围成的图形。
扇形面积与圆心角度数的关系是：扇形面积 = 圆的面积 × (圆心角度数 / 360°)。
通过以上对九年级圆的知识点的讲解，希望同学们能够对圆的定义、性质、方程以及弧长和扇形面积等方面有更深入的理解。
掌握这些知识点，对于解决与圆相关的数学问题将会更加得心应手。
人教版九年级圆章节知识点
人教版九年级圆章节知识点圆是几何学中一个重要的概念，它的研究内容丰富多样，包括圆的定义、性质、定理等。
在九年级数学教材中，圆章节是一个重点和难点，本文将对人教版九年级圆章节的知识点进行详细讲解。
一、圆的基本概念1. 定义：平面上距离固定点（圆心）距离相等的所有点构成的图形称为圆。
2. 要素：圆心、半径、直径。
- 圆心：圆的中心点，用大写字母O表示。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示。
- 直径：连接圆上任意两点并经过圆心的线段，直径是半径的两倍，用字母d表示。
二、圆的性质和定理1. 圆的性质：- 圆上任意两点之间的线段都是半径。
- 圆上任意一点到圆心的距离都相等，等于半径的长度。
- 圆的直径是圆上任意两点的最大距离，直径是半径的两倍。
- 圆的半径垂直于半径所在的弦。
2. 圆的定理：a. 弧的性质：- 圆的任意弧所对的圆心角相等。
- 圆上任意两点的弦所对的圆心角相等。
- 两条弦所夹的圆心角等于它们所夹的两个弧所对的圆心角之和。
b. 切线与弦的性质：- 从同一圆外一点引向圆的两条切线相等。
- 切线与半径垂直。
c. 同弧或同圆心角所对的弧相等。
三、圆的计算1. 周长：圆的周长等于圆的直径乘以π，其中π取近似值3.14或22/7。
周长 = 直径× π = 2 × 半径× π。
2. 面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π，其中π取近似值3.14或22/7。
面积 = 半径 ×半径× π = 半径的平方× π。
四、圆的应用1. 圆在几何图形中的运用，如圆的切线问题、圆与三角形、四边形的关系等。
2. 圆的运动学应用，如汽车轮胎的旋转、摩天轮的运动等。
3. 圆的工程应用，如建筑物的圆形设计、电子设备的圆形面板等。
总结：通过对人教版九年级圆章节的学习，我们了解了圆的基本概念、性质和定理，学会了圆的计算方法，并了解了圆在几何学、运动学和工程学中的应用。
九年级数学圆的基本概念知识精讲
初三数学圆的基本概念【本讲主要内容】圆的基本概念【知识掌握】【知识点精析】1. 主要内容：圆的定义：集合概念相关概念：圆心、半径、弦、直径、弧、圆心角与圆周角重要性质：圆心角与圆周角的性质2. 重点、难点的理解与突破（1）圆的定义的引入：如图，取一根细绳拉直后卡住两端。
在一个平面内，一端点O固定，另一端点P绕着点O旋转一周，所形成的图形就是圆。
得出：平面内到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫圆。
如图所示：定点O称为圆心，定长OP称为半径以O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。
进一步得到：①圆上任意一点到定点的距离都等于定长；②到定点的距离等于定长的点都在这个圆上。
即：在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
注意：★“圆”是平面图形，定义中要强调条件“在平面内”。
★“圆”指的是“圆周”而不是“圆面”。
★半径是线段，为方便起见，通常将半径的长也称为半径。
★对于圆的集合概念的理解，可以类比前面所学的角平分线是到角两边距离相等的点的集合和线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。
进行类比，加强联想，形成认知。
（2）有关圆中“弧”的认识：①弧是圆上任意两点之间的部分，弧指的是圆弧，简称弧。
它是圆的一部分。
②弧的分类：弧特殊的弧——半圆任意的弧劣弧优弧⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪ 如图：C若BC 为⊙O 直径，则：<1>弧BAC 为半圆；<2>弧AB 或弧AC 为劣弧； <3>弧ACB 或弧ABC 为优弧。
优弧需三个字母表示。
③等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
特别注意：等弧存在的条件⇒互相重合。
（3）弦：联结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫直径。
特别强调：直径是最大的弦。
直径是弦，但弦不一定是直径。
例 1. 一个点与定圆上最近点的距离为4cm ，与最远点的距离为10cm ，则圆的半径是___________。
答案：3cm 或7cm （4）与圆相关的角①圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
人教版九年级上册第24章圆的有关性质知识点课件
A. 8
B. 10
C. 4 3
D. 4 5
A
垂径定理
勾股定理
5O
B 4D
C
【巩固】
1. 下列说法不正确的是（ C ） A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 圆有无数条对称轴 C. 圆的每一条直径都是它的对称轴 D. 圆的对称中心是它的圆心
【巩固】 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则 AE的长为（ A）
劣弧： 小于半圆的弧叫做劣弧．如 BC . 优弧： 大于半圆的弧叫优弧．用三个字母表示，如 ABC . 等圆： 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆叫做等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点 C 为圆心、CB 长 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长为_____5__3_______.
B
C
A
O
D
【巩固】
1. 如图，在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，那么AC 和 BD 的大小关系是（C ）
A. AC ＞ BD C. AC ＝ BD
B. AC ＜ BD
D. 无法确定
C D
B A
O
【巩固】 2. 如图，C是⊙O上的点，CD⊥OA于点 D，CE⊥OB于点 E，且CD＝CE， 则 AC 与 BC 的关系是（A ）
直角三角形斜边上的中线的性质
同一个圆中的所有半径都相等， “连半径”是常用的辅助线
C
B
D
A
【巩固】 1. 如图，AB是⊙O的直径，点 C 在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA 的度 数是（ A）
九年级上学期圆的知识点讲解
九年级上学期圆的知识点讲解九年级上学期，数学课程涉及到了很多关于圆的知识点。
圆作为几何图形中的一种，具有独特的性质和特点。
本文将针对九年级上学期圆的知识点进行讲解，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
一、圆的定义和性质圆是由一个平面上距离固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。
圆心到圆上任意一点的距离称为半径，记作r。
围绕圆心做的线段，称为弧。
弧的长度与半径之间存在着关系，即弧长等于半径与所对应的圆心角的度数之积。
圆的直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，长度等于两倍的半径。
圆的周长是圆上所有弧长的总和，记作C。
圆的面积是圆内部的所有点组成的区域，记作A。
二、圆的公式与计算1. 周长公式圆的周长可以通过半径或直径进行计算。
当已知半径r时，周长公式为：C = 2πr；当已知直径d时，周长公式为：C = πd。
2. 面积公式圆的面积计算可以通过半径或直径进行。
当已知半径r时，面积公式为：A = πr²；当已知直径d时，面积公式为：A = 1/4πd²。
3. 弧长计算已知圆的半径r和圆心角的度数θ时，弧长计算公式为：L = 2πr(θ/360°)。
4. 扇形面积计算已知圆的半径r和圆心角的度数θ时，扇形面积计算公式为：A = 1/2r²(θ/180°)。
三、圆相关概念1. 切线切线是与圆只有一个交点的直线。
切线与半径的交点处垂直，且半径被切线截断的两部分相等。
2. 弦弦是圆上的两点之间的线段。
弦所对应的圆心角与其所在弧所对应的圆心角相等。
3. 弧度弧度是衡量角度大小的单位，用弧长相等的圆弧所对应的圆心角来定义。
一圆周的弧度数为2π。
四、扇形与三角形的关系当一个扇形的圆心角等于360°时，它就是一个半圆。
我们可以将半圆看作一个直角三角形，其中弧所对应的弦就是直角边，半径就是斜边，并应用勾股定理来求解问题。
五、圆的判定1. 判断定点是否在圆上已知圆心O和点A，判断点A是否在圆上的方法是计算OA的长度是否等于圆的半径。
九年级数学圆这一章知识点
九年级数学圆这一章知识点数学是一门实用的学科，其中的几何学更是贯穿在我们日常生活中。
而在几何学中，圆是一个重要的图形，它有着广泛的应用。
本文将为大家介绍九年级数学圆这一章的知识点，帮助大家更好地理解和掌握。
一、圆的定义和性质圆是由平面上到一定点的距离都相等的点的轨迹，常用字母O表示圆心，字母r表示半径。
圆的性质包括：1. 圆心角：指的是以圆心为顶点的角，在圆上的弧所对的圆心角是不变的。
2. 弧和弦：弧是圆上的一段曲线，弦是圆上连接两点的线段。
3. 弦长公式：弦长等于半径长度乘以圆心角的正弦值的两倍。
4. 切线和割线：切线是与圆只有一个交点的直线，割线是与圆有两个交点的直线。
二、圆的相关定理1. 圆的半径垂直于弦：如果半径垂直于弦，那么这条弦的中点一定在圆的直径上。
2. 在同一个圆或等圆中，弧相等的弦相等。
3. 在圆内，直径是最长的弦。
4. 圆内接四边形的内角和为360度。
5. 在圆上，相交弦的垂线互相垂直，垂直于弦的直径通过弦的中点。
三、圆的周长和面积圆的周长是指圆的边界上的长度，即所有弧长的总和。
圆的周长等于直径乘以π（pi）。
圆的面积是指圆内部的区域面积，它等于半径的平方乘以π。
四、圆锥圆锥是由一个圆与一个共面点外的一条线段组成的几何体。
圆锥的性质包括：1. 顶点到圆的距离等于顶点到圆心的距离减去顶点到底面的距离。
2. 顶点到底面的垂线是在底面上的圆的直径上的垂线。
五、圆柱圆柱是由两个平行且相等的圆与它们的公共平行面上所有的线段组成的几何体。
圆柱的性质包括：1. 侧面积等于底面周长乘以高。
2. 体积等于底面积乘以高。
六、圆锥与圆柱的应用在现实生活中，圆锥和圆柱的应用非常广泛。
例如，喷水池常常采用圆锥形状，汽车的油箱常常是圆柱形状。
通过对圆锥和圆柱的研究，可以更好地理解和应用这些几何图形。
总结：九年级数学圆这一章的知识点主要包括圆的定义和性质、圆的相关定理、圆的周长和面积、圆锥和圆柱等内容。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用圆这一重要几何图形。
九年级数学圆有关概念及知识点
九年级数学圆有关概念及知识点数学中的圆是一个基础概念，出现频率较高，且与其他几何图形有着密切的关系。
在九年级的数学课程中，我们将更深入地学习圆的相关概念和知识点。
本文将详细介绍九年级数学中与圆有关的知识。
1. 圆的定义和性质圆是平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
圆由无数个点组成，这些点都与圆心的距离相等。
在圆上选择两个点，它们与圆心的连线就是半径。
圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是两个半径的长度之和。
圆的周长是所有弧长的总和，公式为C=2πr。
圆的面积是圆边界内部的区域，公式为A=πr²。
圆的性质包括：圆上的任意弧长是周长的一部分，圆内的任意两点与圆心的距离均小于半径。
2. 圆心角和圆周角圆心角是指以圆心为顶点的角，它的弧度正好是对应的弧长除以半径。
圆心角的度数等于弧度数乘以180°/π。
圆周角是指与同一圆心角对应的弧所夹的角，它等于两个圆心角的和。
圆周角的度数可以通过弧度转化公式进行计算。
3. 弧长弧长是圆上的一段弧长度，它与圆心角成正比。
当圆心角的弧度为1时，弧长等于半径，当圆心角的弧度小于1时，弧长等于圆心角的弧度乘以半径。
因此，我们可以通过弧度和半径的乘积计算弧长。
4. 切线和切线定理切线是与圆只有一个交点的直线。
与切线相切的点被称为切点。
切线定理指出，切线与切点间所构成的角是半径与切线之间的唯一角，且这个角的度数是90°。
根据切线定理可以解决一些与圆有关的几何问题。
5. 相交弧和相等弧当两个圆相交时，存在两个相交弧。
相交弧是以两个交点为端点的弧，其度数是两个圆心角的差。
当两个圆相交于一点时，存在两个相等弧。
相等弧是以相交点为端点的弧，其度数相等。
6. 弧长和面积的计算我们可以通过圆周角的计算公式来计算弧长，通过圆的面积公式来计算面积。
在实际问题中，我们需要根据已知条件使用这些公式进行计算。
例如，给定弧长和半径，可以计算圆心角；给定圆的面积，可以计算半径。
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圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）
【学习目标】
1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；
2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；
3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.
【要点梳理】
要点一、圆的定义及性质
1.圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点诠释：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
要点诠释：
①圆有无数条对称轴；
②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
3.两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.
要点二、与圆有关的概念
1.弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2.弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧
AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【典型例题】
类型一、圆的定义
1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.
【答案与解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.
【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：
【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
【答案】C.
2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。
这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
【答案与解析】
Θ导火索燃烧的时间为18
09
20
.
()
=s
相同时间内，人跑的路程为2065130
⨯=
.()
m
∴点导火索的人安全.
【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.
类型二、圆及有关概念
3．（2015秋•丹阳市校级月考）下列说法中，正确的是（）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】 B.
【解析】A、两个半圆的半径不一定相等，故错误；
B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C、长度相等的弧是等弧，错误；
D、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，
故选B．
【总结升华】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等. 举一反三：
【变式】（2015秋•邗江区校级月考）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）
A P O
B A P O B
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B. 提示：由图可知，点A 、B 、E 、C 是⊙O 上的点，
图中的弦有AB 、BC 、CE ，一共3条．故选B ．
类型三、圆的对称性
4．圆O 所在平面上的一点P 到圆O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？
【答案与解析】
如图所示,分两种情况:
（1）当点P 为圆O 内一点（如图1），过点P 作圆O 的直径，分别交圆O 于A 、B 两点，
由题意可得P 到圆O 最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，
所以圆O 的半径为
62102=+.
图1 图2
（2）当点P 在圆外时（如图2），作直线OP ，分别交圆O 于A 、B ，由题可得P 到圆O 最大距离为10，
最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O 的半径
42
210=-. 综上所述，所求圆的半径为6或4.
【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P 做圆的直径，得
到圆的半径.通常情况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.体现分类讨论的思想.
举一反三：
【变式1】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm ，则圆的半径是（ ）.
A.2.5cm
B.6.5cm
C. 2.5cm 或6.5cm
D. 5cm 或13cm
【答案】C.
【高清ID 号： 356996 关联的位置名称（播放点名称）：知识讲解二-四】
【变式2】（1）过____________________上的三个点确定一个圆．
（2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．
【答案】（1）不在同一直线；（2） 圆的旋转不变性；
5．如图，⊙O 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上的一个动点，那么OP 的长的取值范围是 .
【答案】3≤OP ≤5.
【解析】OP 最长边应是半径长，为5； 根据垂线段最短，可得到当OP ⊥AB 时，OP 最短．
∵直径为10，弦AB=8
∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，
由勾股定理得22543-=，∴OP 最短为3.
∴OP 的长的取值范围是3≤OP ≤5.
【总结升华】关键是知道OP 何时最长与最短.
举一反三： 【变式】已知⊙O 的半径为13，弦AB=24，P 是弦AB 上的一个动点，则OP 的取值范围是___ ____．
【答案】 OP 最大为半径，最小为O 到AB 的距离．所以5≤OP ≤13.。