与圆有关的概念及性质

圆的有关概念与性质教学目标：复习与圆有关的概念与性质。

教学重点：巩固垂径定理、圆心角、圆周角定理。

并能运用这些定理进行正确的证明。

教学难点：灵活地运用这些定理进行有关的证明。

一、知识回顾1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分 .4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 .6. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 .例题精讲例1、如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l ，求弦AB的长．对应练习1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．例2、已知：如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，BC，AC分别交⊙O于D、E两点，，连接AD，求证：△ABD≌△ACD．对应练习2、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上的一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.例3、本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取、、三根木柱，使得、之间的距离与、之间的距离相等，并测得长为120米，到的距离为4米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．对应练习3、例4、如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝4，∠OBC ＝30°，C 是弦AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD 、BD ．(1)求弦AB 的长；(2)当∠ADC ＝15°时，求弦BD 的长．对应练习4、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E . ⊙O 的直径的垂线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ，且AD =3，AE ED = 43 . （1）求证：CD ∥BF ； （2 ）求弦CD 的长. （3）求⊙O 的半径；例5、按要求作图并回答：用刻度尺作线段AC (AC ＝5cm)，以A 为圆心，a 为半径作圆，再以C 为圆心，b 为半径作圆 (其中a ＜5，b ＜5, 且要求⊙A 与⊙C 交于B 、D 两点)，连结BD.（1）若能作出满足要求的两圆，则a 、b 应满足的条件是 .（2）求证：AC ⊥BD.对应练习5、已知：如图，直线AC与圆O交于点B、C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且∠DAC=30°，AD=13，求弦BC的长。

能力提升1.如图1所示，内接于,，，则______.2、如图2，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC=100°，则∠D=_______.3、如图3，⊙O的直径为10，Q是⊙O内一点，且OQ＝3，弦MN过点Q，则MN长的取值范围是．4、如图4，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠BAC的度数等于；5、如图5，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=30°，则∠OCD= ．6、小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图6（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是____ ．7、如右图，AB为⊙O直径，CD为⊙O 的弦，∠ACD=28°，则∠BAD的度数为（）. A．28° B.56° C. 62° D. 72°8、如下图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A B C D9、下列说法错误的是（ ）A 直径是弦B 最长的弦是直径C 垂直弦的直径平分弦D 经过三点可以确定一个圆10、如图1，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O 的直径，∠C=50°，∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，则∠BAD 的度数是（ ）11、如图2，在⊙O中，弦∥,若，则（ ） A. B. C. D.12、．如图3，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论正确的是（ ）①．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长②．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 ③．弧AC=弧AB ④．∠BAC =30°A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③13、 下列说法正确的有（ ）。

①.在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②.在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③.度数相等的弧叫做等弧；④.优弧大于劣弧；⑤.直角三角形的外心是其斜边中点。

A. ①②③④⑤B. ①②⑤C. ①②③⑤D. ②④⑤A ． 45°B ． 85°C ． 90°D ． 95°14、如图1，⊙O中，，，则等于（▲）A． B． C． D．15、如图2，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是弦，AC＝2 ，∠AOC为( )A．120° B．130° C．140° D．150°16、如图3，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC.甲，乙两人的作法分别如下：甲：1. 作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．2. 连接AB，AC.△ABC即为所求的三角形．乙：1. 以D为圆心，OD长为半径作圆孤，交⊙O于B，C两点．2. 连接AB，B C，CA△ABC即为所求作的三角形. 对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲、乙均正确 B. 甲、乙均错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确17、课外作业1、如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧BC上的一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝________°.2、如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.3、如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为________(度)．4、如图4，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB，若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是（写出一个即可）5、已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．6、如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度数；（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．答案：例1、证明：连接OA，∵ OC=5 , CD=1 ∴ OD=4 ∵OC⊥AB于点D∴在Rt△ADO中，. AD=3 ∴AB=2AD=6 练1、、200mm例2、证明：∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵=，∴∠BAD=∠CAD，∵在△ABD 和△ACD 中，，∴△ABD ≌△ACD （ASA ）．练2、证明：(1)∵OD ⊥AC ，OD 为半径，∴∴∠CBD ＝∠ABD ，∴BD 平分∠ABC .(2)∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ＝30°，∴∠AOD ＝∠OBD ＋∠ODB ＝30°＋30°＝60°.又∵OD ⊥AC 于E ，∴∠OEA ＝90°，∴∠A ＝180°－∠OEA －∠AOD ＝180°－90°－60°＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，则在Rt △ACB 中，BC ＝21AB ，∵OD ＝21AB ，∴BC ＝OD .例3、解：设圆心为点，连结，，交线段于点．∵，∴弧，∴，且． 由题意，，设米，在中，，即， ∴练3、3cm 例4、练4、（1）∵BF 是⊙O 的切线 ∴AB ⊥BF ∵AB ⊥CD ∴CD ∥BF （2）连结BD ∵AB 是直径 ∴∠ADB =90° ∵∠BCD =∠BAD cos ∠BCD =cos BAD =又∵AD =3 ∴AB =4 ∴⊙O 的半径为2 （3）（3）∵cos ∠DAE = AD =3∴AE = ∴ED = CD =2ED = 例5、按要求作图并回答：作图 ；（1）a ＋b ＞5 （2）连结AB 、AD 、BC 、DC ，∵AB＝AD，BC＝DC，AC公共，∴△ABC≌△ADC（SSS ）∴∠1＝∠2，∴等腰△ABD顶角平分线、高线重合，即AC⊥BD练5、解：作OM⊥BC于点M．∵AD=13，OD=5，∴AO=8．∵∠DAC=30°，∴OM=4在Rt△OCM中，OM=4，OC=5，∴MC=3 ∴BC=2MC=6能力提升1、2、40°3、8≤MN≤10 4、50° 5：75°．6、 7、C 8、选A．9：D．10、B 11、D 12、D 13、B14、D15、A16、 A 17、B课外作业答案1、28 2、2 3、 35 解析：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠CAB ＝55°，∴∠ABC＝35°，∴∠ADC＝∠ABC＝35°.4、大于等于60，小于等于75之间的数，如65 5、解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；（2）作直径DE，连接CE、BE．∵DE是直径，∴∠DCE=∠DBE=90°，∴EB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BE∥AC，∴弧CE=弧AB，∴CE=AB．根据勾股定理，得CE2+DC2=AB2+DC2=DE2=20，∴DE=，∴OD=，即⊙O的半径为．6、（1）证明：在△AEB和△DEC中∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB=60°；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，作BM⊥AC于点M，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==∴AB=7．。