整式的乘法与因式分解复习教学设计

第14章整式的乘法与因式分解复习教学设计
知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则。

过程与方法： 会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式
情感态度与价值观： 培养学生的独立思考能力和合作交流意识 教学重点：记住公式与法则
教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解 教学过程
一、知识网络结构图
二、典型例题
整式的乘法
整
式的乘除与因式公解
幂的运算法则
同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋
n (m ，n 都是正整数)
幂的乘方法则：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数) 积的乘方法则：(ab )n ＝a n b n (n 是正整数)
单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分
别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式
的每一项，再把所得的积相加
多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项
去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
同底数幂的除法法则：a m ÷a n ＝a m －
n (a ≠0，m ，n 都是正整数且m ＞n )
零指数幂的意义：a 0＝1(a ≠0)
单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商
的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同 它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把
所得的商相加
乘法公式
平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2
完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2
整式的除法
因式分解
概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这
个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式
方法
公式法
平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )
完全平方公式
a 2＋2a
b ＋b 2＝(a ＋b )2
a 2－2a
b ＋b 2＝(a －b )2
幂的运算法则及其逆运用
例1 计算2x 3
·(－3x )２
＝ ． 例2 计算[a 4
(a 4
－4a )－(－3a 5)2
÷(a 2)3
]÷(－2a 2)2
整式的混合运算
例3 计算[(a －2b )(2a －b )－(2a ＋b )2
＋(a ＋b )(a －b )－(3a )2
]÷(－2a )． 因式分解
例4 分解因式．
(1)m 3
－m ； (2)(x ＋2)(x ＋3)＋x 2
－4． 转化思想
例5 分解因式a 2
－2ab ＋b 2
－c
2
整体思想
例6 (1)已知x ＋y ＝7，xy ＝12，求(x －y )2
； (2)已知a ＋b ＝8，a －b ＝2，求ab 的值． 开放型题
例7 （2009·吉林中考）在三个整式2
2
2
2,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两 个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解 规律探究题
例8 如图15－5所示，摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要 枚棋子，摆第3个需 枚棋子，按这种方式摆下去，摆第n 个这样的 “小屋子”需要 枚棋子．
例9 (1)计算．
①(a －1)(a ＋1)； ②(a －1)(a 2
＋a ＋1)； ③(a －1)(a 3
＋a 2
＋a ＋1)； ④(a －1)(a 4
＋a 3
＋a 2
＋a ＋1)． (2)根据(1)中的计算，你发现了什么规律?用字母表示出来． (3)根据(2)中的结论，直接写出下题的结果．
①(a －1)(a 9
＋a 8
＋a 7
＋a 6
＋a 5
＋a 4
＋a 3
＋a 2
＋a ＋1)＝ ； ②若(a －1)·M ＝a 15
－1，则M ＝ ；
③(a －b )(a 5
＋a 4
b ＋a 3b 2
＋a 2b 3
＋ab 4
＋b 5
)＝ ； ④(2x －1)(16x 4
＋8x 3
＋4x 2
＋2x ＋1)＝ ；
三、训练题
一、选择题
1．计算(a3)2的结果是 ( )
A．a5B．a6C．a8D．a9
2．下列运算正确的是 ( )
A．a2·a3＝a4B．(－a)4＝a4
C．a2＋a3＝a5D．(a2)3＝a5
3．已知x－3y＝－3，则5－x＋3y的值是 ( )
A．0 B．2 C．5 D．8
4．若m＋n＝3，则2m2＋4mn＋2n2－6的值为 ( )
A．12 B．6 C．3 D．0
5．如图15－4所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ( ) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
6．下列各式中，与(a－b)2一定相等的是 ( )
A．a2＋2ab＋b2B．a2－b2
C．a2＋b2D．a2－2ab＋b0
7．已知x＋y＝－5，xy＝6，则x2＋y2的值为 ( )
A．1 B．13 C．17 D．25
8．下列从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A．ma＋mb－c＝m(a＋b)－c
B．(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3
C．a2－4ab＋4b2－1＝a(a－4b)＋(2b＋1)(2b－1)
D．4x2－25y2＝(2x＋5y)(2x－5y)
9．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )
A．－a2＋b2B．－a2－b2C．a2＋b2D．a3－b3
10．如果(x－2)(x－3)＝x2＋px＋q，那么p，q的值是 ( )
A．p＝－5，q＝6 B．p＝1，q＝－6
C．p＝1，q＝6 D．p＝5，q＝－6
二、填空题
11．已知10m＝2，10n＝3，则103m＋2n＝．
12．当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是．
13．若a －b ＝1，ab ＝－2，则(a ＋1)(b －1)＝ ． 14．分解因式：2m 3
－8m ＝ ． 15．已知y ＝
31x －1，那么3
1
x 2－2xy ＋3y 2－2的值为 ． 16．计算：5752
×12－4252
×12＝ ． 17．若(9n )2
＝38
，那么n ＝ ．
18．如果x 2
＋2kx ＋81是一个完全平方式，那么k 的值为 ．
19．多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方式，．那么加上的单项式是 ．(填一个你认为正确的即可)
20．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b ）2
=a 2
+2ab+b 2
．你根据图乙能得到的数学公式是_________________
三、解答题 21．化简．
(1)－(m －2n )＋5(m ＋4n )－2(－4m －2n )；
(2)3(2x ＋1)(2x －1)－4(3x ＋2)(3x －2)；
(3)20002
－1999×2001．
22．分解因式．
(1)m 2
n (m －n )2
－4mn (n －m )；
(2)(x ＋y )2
＋64－16(x ＋y )．
23．已知a ，b 是有理数，试说明a 2
＋b 2
－2a －4b ＋8的值是正数．
24．先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋(4ab 3
－8a 2b 2
)÷4ab ，其中a ＝2，b ＝1．
25．给出三个多项式：
21212x x +-，21412x x ++，21
22
x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
26．如图15－6所示，有一个形如四边形的点阵，第l层每边有两个
点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，以此类推．
(1)填写下表；
层数 1 2 3 4 5 6
各层对应的点数
所有层的总点数
(2)写出第n层对应的点数；
(3)写出n层的四边形点阵的总点数；
(4)如果某一层共有96个点，你知道是第几层吗?
(5)有没有一层点数为100?。