上海市2019-2020学年高二第一学期数学期末复习试卷

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2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第8讲椭圆(核心考点讲与练)解析

第8讲椭圆(核心考点讲与练)1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距．若设动点为P ，则①当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆． ②当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段． ③当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在．（2）标准方程：①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221x y a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221y x a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-（3）椭圆的参数方程①椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ,(02)sin x a y b ϕϕπϕ=⎧≤<⎨=⎩．②椭圆22221y x a b +=的参数方程是()πϕϕϕ20,sin ,cos ≤≤⎩⎨⎧==a y b x2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()222210x y a b a b+=>>（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距（2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦② 过焦点且与长轴垂直的弦22b PQ a=（称为通经，为最短的过交点的弦）（5）焦半径：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c -（6）焦点三角形面积：122tan 2PF F Sb θ=（其中12F PF θ=∠）因为1200122PF F S c y c y =⋅⋅=⋅，所以2120tan2F PF b c y ∠=⋅，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大⇔12PF F S最大⇔0y 最大⇔P 为短轴顶点（7）椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点．3、点与椭圆的位置关系已知点00(,)P x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>（1F ，2F 为椭圆的焦点），则（1）点P 在椭圆上220012221||||2x y PF PF a a b ⇔+=⇔+=；（2）点P 在椭圆外220012221||||2x y PF PF a a b ⇔+>⇔+>；（3）点P 在椭圆内220012221||||2x y PF PF a a b⇔+<⇔+<．考点一：椭圆及其标准方程例1．（2021·上海市长征中学高二期中）已知椭圆的中心在坐标原点O ，对称轴是坐标轴，焦点在x 轴上，焦距为，该椭圆的标准方程是__________．【答案】22193x y +=【分析】利用椭圆定义即可得到椭圆的标准方程.【详解】解：根据题意，椭圆的焦距是x 轴上，则其焦点坐标为(与0)，其中c又由椭圆经过点，则2a6即3a =，则222963b a c =-=-=，则椭圆的标准方程22193x y +=；故答案为：22193x y +=．例2．（2019·上海市西南位育中学高二期中）设椭圆的左､右焦点分别为1 F ､2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，则该椭圆的标准方程为___________.【答案】22143x y +=【分析】直接利用椭圆中a ､b ､c 的关系，求出椭圆的方程.【详解】解：由于椭圆的左､右焦点分别为1F ､2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，所以22c =，解得1c =，24a =，故椭圆的方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=.例3．（2022·上海市延安中学高二期末）若椭圆的长轴长是短轴长之的2倍，它的一个焦点是)(10,3F -，则椭圆的标准方程为___________.【答案】221123y x +=【分析】由题意设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则有24,3a b c ==，再结合222a b c =+求出,a b ，从而可求出椭圆的方程【详解】由题意设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则222243a bc a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得3a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆方程为221123y x +=，故答案为：221123y x +=例4．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点为()1,0F，点1,⎛- ⎝⎭在椭圆C 上，过点F 作一直线交椭圆于P ，Q 两点，且坐标原点O 关于点F 的对称点记为T ；（1）求椭圆的方程；（2）求PQT △面积的最大值；（3）设点P '为点P 关于x 轴的对称点，求证：Q ，P '，T 三点共线；【答案】（1）2212x y +=；（23）证明见解析.【分析】（1）由椭圆焦点和椭圆所过的一个点列方程组求解；（2）由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由121||||2PQT S FT y y =-△能推导出PQT △面积的最大值；（3）11212122(,),(,),(2,)P x y Q x x y y TQ x y P ''-=-+=-，通过计算212212()(2)()x x y x y y ---+可得结果.【详解】解：（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点为()1,0F，点1,2⎛- ⎝⎭在椭圆C 上，222211112a b a b ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=；（2）设过点F 的直线方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++，12y y -===由条件可知点(2,0)T ，1211||||22PQTS FT y y =-=△，令212t m =+，则1(0,]2t ∈，则PQT S ==≤△当且仅当12t =，即0m =（此时PQ 垂直于x 轴）时等号成立，所以PQT S △2；（3）11212122(,),(,),(2,)P x y Q x x y y TQ x y P ''-=-+=-，由212212()(2)()x x y x y y ---+1221122()x y x y y y =--++122112(1)(1)2()my y my y y y =-+-+++ 12122()my y y y =-++22122022mm m m --=-⋅+=++ 所以P Q '与QT 共线，即Q ，P '，T 三点共线.例5．（2021·上海·上外浦东附中高三阶段练习）如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在12,l l 之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为22(1x y +=．（1）求椭圆段的方程；（2）已知直线l 过点1F 与“椭圆帽”的交于两点为M ，N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程；（3）已知P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l 经过点1F ，与“椭圆帽”交于两点为M ，N ，若10F P MN ⋅=，求PM PN ⋅的取值范围．【答案】（1）221,42x y x +=≤2）y x =y x =--3）⎡⎤-⎣⎦【分析】（1）设椭圆方程，根据))22,F A ，即可求得方程；（2）根据11F N =， 12F M =，设点(),,M x y x ≤M 坐标即可得到直线方程；（3）根据题意11PM PN F M ⋅=-，转化为求1F M 的范围.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22222221,0,x y a b a b c a b+=>>=+，由图可得))22,F A ，所以21b c a ==，所以2,a b c ===椭圆段的方程：221,42x y x +=≤≤（2）由题11F N =，所以12F M =，设(),,M x y x ≤，(22221424x y x y ⎧+==⎪⎨⎪+⎩，解得：0x =或x =所以(M或(0,M ，所以直线l的方程：y x =+y x =- （3）若10F P MN ⋅=，()()2111111111PM PN PF F N PF F M PF F M F N F M ⋅=+⋅+=+⋅=-，当M 点在右侧圆弧上时，13,1F M ⎡∈+⎣，当M 点在左椭圆弧上时，[]11,3F M ∈，所以PM PN ⎡⎤⋅∈-⎣⎦例6．（2021·上海·闵行中学高三期中）如图，椭圆22:12x C y +=的左右焦点分别为12F F 、，设()00,P x y 是第一象限内椭圆C 上的一点，12PF PF 、的延长线分别交椭圆C 于点()()111222,,、Q x y Q x y ．（1）若2PF x ⊥轴，求2PF 的值；（2）若1260F PF ∠=︒，求12F PF △的面积及点P 的坐标；（3）求12y y -的最大值．【答案】（1）2（2）12F PF △P 的坐标⎝⎭（3 【分析】（1）由椭圆方程求出,,ab c ，从而可得2F 坐标，将其横坐标代入椭圆方程中可求出2PF 的值，（2）设12,PF m PF n ==，则由椭圆的定义可得2228m mn n ++=，由余弦定理可得224m n mn =+-，从而可求出43=mn ，进而可求出12F PF △的面积和点P 的坐标，（3）设点P 的坐标为00(,)x y ，则直线1PF 的方程为00(1)1y y x x =++，代入椭圆方程中求出01023y y x =-+，同理可求得02023y y x =-，从而可得0012002323y y y y x x -=--+-化简后结合基本不等式可得答案（1）由椭圆22:12x C y +=，得222,1a b ==，则1,1a b c ===，所以12(1,0),(1,0)F F -，当1x =时，2112y +=，得y =所以22PF =（2）设12,PF m PF n ==，则122PF PF m n a +=+== 所以2228m mn n ++=，在12F PF △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得22212(2)2cos c m n mn F PF =+-∠,即224m n mn =+-，所以解得43=mn ，所以12F PF △的面积为12114sin 223mn F PF ∠=⨯=所以122P c y ⋅⋅=，得P y =所以21123P x +=，解得P x 或P x =（舍去），所以点P 的坐标为⎝⎭（3）设点P 的坐标为00(,)x y （000,0x y >>），则直线1PF 的方程为0(1)1yy x x =++，将其代入椭圆方程中可得()()2220201121y x x x ++=+，整理得2220000(23)4340x x y x x x ++--=，所以2000103423x x x x x --=+，得0103423x x x --=+，所以000011000034(1)(1)112323y y x y y x x x x x --=+=+=-++++，同理可求得02023y y x =-，所以0012002323y y y y x x -=--+- 000020(23)(23)49y x y x x -++=--0020449x y x =--002220004492x y x x y =-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭002200818x y x y =+0000818x y y x =≤=+ 当且仅当000018x y y x =，即00x y ==所以12y y -例7．（2021·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，且椭圆Γ过点(、5(2,)3，过点F 的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点（点P 在x 轴的上方）.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若20PF QF +=，求点P 的坐标；（3）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在常数λ，使得120k k λ+=?若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）34⎛ ⎝⎭（3）存在，15λ=- 【分析】（1）代入已知两点坐标求得,a b 得椭圆方程；（2）设()()111,0P x y y >，()22,Q x y .由20PF QF +=，可用11,x y 表示出22,x y ，然后把,P Q 的坐标代入椭圆方程可解得11,x y ；（3）设存在常数λ，使得120k k λ+=.由题意可设直线l 的方程为2x my =+，点()11,P x y ，()22,Q x y ，求出()()11211222123333y y x k x y k y x x λ-+-===+-，把22(,)x y 代入椭圆方程，变形出223x y -，代入把λ表示出12y y ，12y y +的表达式．然后把直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得1212,y y y y +，再代入λ的表达式可得常数．（1）因为椭圆Γ过点(、5(2,)3，则有2242519b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆Γ的标准方程为22195x y +=.（2）设()()111,0P x y y >，()22,Q x y .由（1）知，()2,0F . 因为20PF QF +=，则有()()()11222,22,0,0x y x y --+--=，即()()121262,20,0x x y y ----=，所以1212620,20,x x y y --=⎧⎨--=⎩解得12126,2,2x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即116,22x y Q -⎛⎫- ⎪⎝⎭. 分别将P 、Q 两点的坐标代入22195x y +=得221122111,956221,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎪⎨-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩解得113,4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩113,4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 所以所求点P的坐标为34⎛ ⎝⎭.（3）设存在常数λ，使得120k k λ+=.由题意可设直线l 的方程为2x my =+，点()11,P x y ，()22,Q x y ，则()()11211222123333y y x k x y k y x x λ-+-===+-. 又因为2222195x y +=，即2222599y x =--，即()22225339x y x y +=--，所以()()()()1212121299533555y y y y x x my my λ---==++++即()122121295525y y m y y m y y λ--=⎡⎤+++⎣⎦（*）又由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()225920250m y my ++-=，()290010m =+>△，且1222059my y m +=-+，1222559y y m =-+.代入（*）得 22222591595252055255959m m m m m m λ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭-==⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦即15λ=-，所以存在常数15λ=-，使得120k k λ+=.例8．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）给定椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，称圆2222x y a b +=+为椭圆E 的“伴随圆”．已知椭圆E 中1b =（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 交于A 、B 两点，与其“伴随圆”交于C 、D两点，||=CD①请将2m 用含有k 的关系式表示（不需给出k 的范围）； ②求弦长||AB 的最大值．【答案】（1）2213x y +=（2）()22314m k =+；max ||2AB =【分析】（1）由离心率得,a c 关系，结合1b =及关系式，可求,a c ，进而得到椭圆E 的方程；（2）①由圆的几何关系求得弦心距，再结合圆心到直线距离公式可求m 关于k 的关系式；②联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式化简，结合基本不等式可求||AB 的最大值．（1）由题可知，1b =，c e a =，又222a b c =+，解得223,2a c ==，故椭圆的标准方程为：2213x y +=；（2）①由（1）可求“伴随圆”为：224x y +=，因为||=CDd =d ==，解得()22314m k =+； ②联立直线与椭圆方程2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222316330k x kmx m +++-=，由0∆>得22310k m +->，由()22314m k =+得2910k +>，k ∈R ，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k --+=⋅=++，由弦长公式可得：AB2，当且仅当2219,k k k ==max ||2AB = 例9．（2021·上海虹口·高二期末）阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b ab +=>>的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点(1,0)M 且斜率不为0的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）求AOB 面积的最大值；（3）设椭圆E 的左､右顶点分别为P ，Q ，直线PA 与直线4x =交于点F ，试问B ，Q ，F 三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）32；（3）共线，证明见解析.【分析】（1）根据条件列出关于a ,b ,c 的方程组，并注意a ,b ,c 的平方关系，求解即得a ,b 的值，进而得到方程；（2）设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得AOB 面积关于t 的函数表达式，适当换元，整理变形，可利用对勾函数的单调性求得最大值；（3）先求得直线PA 方程，进而求得它与直线4x =交于点1164,2y F x ⎛⎫⎪+⎝⎭，然后证明0Q BQ F k k =-，即可得到结论.【详解】（1）由题意可得：222=2+ab a c a b c π⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a =，b =1c =，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690t y ty ++-=，122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，121=2AOB S OM y y ⋅-==令m 1m ≥)，则2661313OABm Sm m m==++，设()13f m m m=+，函数()f m 在区间[1,)+∞单调递增，知()()14min f m f ==，即当1m =，即0=t 时，S 取到最大值32.（3）由（2）知点()()11122,,,A x y B x y 在直线l 的方程为1x ty =+上，且122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.易知椭圆E 的左､右顶点分别为()2,0P -，()2,0Q ，直线PA 方程为：()1122y y x x =++，它与直线4x =交于点F ，则1164,2y F x ⎛⎫⎪+⎝⎭，由于BQ k ，QF k 都存在，且()()()()11112111123112602320232422222Q B FQ y k y x y x y x y y k x x x x x -+---+-=-=-=---++- ()()()()()()()()()222111121212121269323313234340222222t t y ty y ty y y ty y t t x x x x x x --⋅-⋅+--+-++====+-+-+-，故BQ QF k k =于是于是B ，Q ，F 三点共线.【点睛】注意（2）中的直线的设法1x ty =+是为和求面积121=2AOB SOM y y ⋅-相适应的；注意求最值中的换元思想和函数思想的运用；注意（3）中的利用韦达定理的结论进行化简及运算的准确性.例10．（2021·上海杨浦·一模）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，过右焦点2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于M ､N 两点，动点P ､Q 分别在直线MN 与椭圆C上.已知122F F =，1△MNF的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段PQ 的中点在y 轴上，求三角形1F QP 的面积；（3）是否存在以1F Q ､1F P 为邻边的矩形1F PEQ ，使得点E 在椭圆C 上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（22；（3）存在，且Q点坐标为(1,-,(2-. 【分析】（1）1△MNF 的周长是4a ，求得a ，由焦距得c ，然后求得b 得椭圆方程；（2）线段PQ 的中点在y 轴上，得Q 点横坐标，代入椭圆方程得Q 点纵坐标，此时1QF x ⊥轴，易得其面积；（3）假设存在以1F Q ､1F P 为邻边的矩形1F PEQ ，使得点E 在椭圆C 上，设(1,)P t ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，由平行四边形对角线互相平分把E 点坐标用,P Q 点坐标表示，然后把,Q E 坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出11,,x y t 的关系，结合起来可得0=t 或10t y +=，再分别代入求得11,x y ，得结论．（1）由已知224c a =⎧⎪⎨=⎪⎩a =1c =，从而1b ==，椭圆方程为2212x y +=；（2）显然1P x =，线段PQ 的中点在y 轴上，则1Q x =-，1QF x ⊥轴，2112y +=，y =，所以21211222PQF S y F F =⨯==；（3）假设存在以1F Q ､1F P 为邻边的矩形1F PEQ ，使得点E 在椭圆C 上，设(1,)P t ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，1(1,0)F -，因为四边形1F PEQ 是矩形，一定为平行四边形，所以212x x =+，21y y t =+，,P Q 都在椭圆上，221112211112(2)()12x y y x y t ⎧+=+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，变形得2112220t y t x +++=①，又11QF PF ⊥，所以110FQ F P ⋅=，即1111(1,)(2,)2(1)0x y t x y t +⋅=++=，1122x ty +=-②， ②代入①得210t y t +=，0=t 或1y t =-，0=t 时，11x =-，1y =P 与2F 重合，Q点坐标为(1,-；1y t =-时，12x =-2-1y =Q 点坐标为(2-．所以存在满足题意的Q 点，其坐标为(1,-,(2-. 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆中的存在性命题．解题方法是假设存在，设出点Q 的坐标，由平行四边形求出E 点坐标，然后把,Q E 的坐标全都代入椭圆方程，再由垂直得向量的数量积为0，得出11,,x y t 的关系，从而达到求解的目的．本题考查学生的逻辑思维能力，运算求解能力，属于难题．例11．（2021·上海崇明·一模）如图，已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆C 上位于第一象限的点，M ，N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)，满足PM PN ⊥且11F M F N ⊥，线段PN 交x 轴于点Q .（1）若152PF =，求点P 的坐标；（2）若四边形1F MPN 为矩形，求点M 的坐标；（3）求证:||||PQ QN 为定值. 【答案】（1）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()0,2（3）证明见解析【分析】（1）结合椭圆的定义求得P 点的坐标. （2）利用向量垂直列方程，化简求得M 点的坐标. （3）利用向量垂直列方程，化简求得||||PQ QN 为定值.（1）椭圆22:143x y C +=，2,1a b c ===，()11,0F -，112253,4,22PF PF PF PF =+==，设()00,P x y ，且P 在第一象限，000,0x y >>，222200001,341243x y x y +=+=. 则()()22000220002511341,392124x x y P y x y ⎧=++=⎧⎪⎪⎪⎛⎫⇒⇒⎨⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎪-+=⎩⎪⎩. （2）设()()1210,,0,,0M y N y y >，由于11F M F N ⊥，所以20y <.()()111212121,1,10,1F M F N y y y y y y ⋅=⋅=+==-①，由于PM PN ⊥，所以()()()()201002001020,,PM PN x y y x y y x y y y y ⋅=----=+-- ()()222200120120012010x y y y y y y x y y y y =+-++=+-+-=②，由于四边形1F MPN 为矩形，1MF MP ⊥，所以()()21100100111,,0MF MP y x y y x y y y ⋅=--⋅-=--+=③，由于四边形1F MPN 为矩形，1NF NP ⊥，所以()()21200200221,,0NF NP y x y y x y y y ⋅=--⋅-=--+=④， ③-④并化简得()()()21021210y y y y y y y ---+=，()()210210y y y y y --+=⎡⎤⎣⎦，由于210y y -≠，所以()0210210,y y y y y y -+==+，代入②得：22220010,1,1x y y x x +--===，2200012393,442x y y -===，代入③得：2113102y y --+=，由于10y >，故解得12y =，所以()0,2M . （3）令0022||,||y PQ t y y t QN y ===--（0t >），由①②得2200202110x y y y y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，22002021241103y y y y y ⎛⎫-+--+-= ⎪⎝⎭， 2020211303y y y y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，将02y y t =-代入得22222211303y t y y t y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，222221303y t y t t -+-=， 222223390y t y t t -+-=，()()223330ty t t -+-=，()()22330tyt +-=，由于2230ty +>，所以30,3t t -==.所以||3||PQ QN =为定值. 【点睛】本小题破题关键在于利用向量运算表示垂直，构建各个量之间的等量关系式，进而化简得出题目的所求. 考点二：椭圆的简单几何性质例1．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）椭圆2251162x y +=的焦点坐标为________．【答案】()0,3±【分析】由椭圆的几何性质可直接求解.【详解】将椭圆化成标准式得2212516y x +=，故2225,16a b ==，焦点在y 轴上，所以29c =，3c =，故椭圆2251162x y +=的焦点坐标为()0,3±，故答案为：()0,3±例2．（2022·上海交大附中高二期末）圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12，则实数m 的值是__________.【答案】43【分析】根据圆锥曲线焦点在x 轴上且离心率小于1，确定a ,b 求解即可. 【详解】因为圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12，所以曲线为椭圆，且2211,a b m==，所以2222221114c a b e a a m -===-=，解得43m =，故答案为：43例3．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）已知椭圆221167x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的动点P 的坐标为(),P P x y ，且12F PF ∠为钝角，则P x 的取值范围是________．【答案】⎛ ⎝⎭【分析】由12F PF ∠为钝角，可得120PF PF ⋅<，再根据点P 在椭圆上，可得227716P P x y =-，从而可得出答案.【详解】解：椭圆221167x y +=的焦点为()13,0F -、()23,0F ，则()()123,,3,P P P P PF x y PF x y =---=--，因为12F PF ∠为钝角，所以120PF PF ⋅<，即()()2330P P P x x y ---+<，又因点P 在椭圆上，则221167P P x y +=，即227716P P x y =-，所以22797016P P x x -+-<，解得P x <<.所以P x 的取值范围是⎛ ⎝⎭.故答案为：⎛ ⎝⎭. 例4．（2020·上海·复旦附中模拟预测）已知12,F F 是椭圆22:142x y E +=的两个焦点，P 是椭圆E 上任一点，则12F P F P ⋅的取值范围是____________ 【答案】[]0,2【分析】求出焦点坐标，设出()P m n ,（n ≤≤椭圆方程表达出2122F P F P n ⋅=-，结合n 的取值范围，得到12F P F P ⋅的取值范围.【详解】由24a =，22b =，解得：2222c a b =-=，所以c =()1F ，)2F ，因为P 是椭圆E 上任一设点，设()P m n ,（n ≤≤），则22142m n +=，即2242m n =-，其中()()2221222F P F P m n m n m n n ⋅=⋅=-+=-，因为n以202n ≤≤，2022n ≤-≤，所以12F P F P ⋅的取值范围是[]0,2. 故答案为：[]0,2例5．（2022·上海宝山·一模）如图，已知1F ､2F 是椭圆22Γ:14xy +=的左､右焦点，M ､N 是其顶点，直线:(0)l y kx m k =+>与Γ相交于A ，B 两点.（1）求△2F MN 的面积P ；（2）若2l F N ⊥，点A ，M 重合，求B 点的坐标；（3）设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ､2k ，记以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为1S ､2S ，OAB 的面积为S ，若1k ､k ､2k 恰好构成等比数列，求12()S S S +的最大值.【答案】（1；（2）2213⎛- ⎝⎭；（3）最大值为54π. 【分析】（1）由题可得()())22,0,0,1,M N F -，利用面积公式即求；（2）由题可得直线方程，联立椭圆方程利用韦达定理即得；（3）由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，利用韦达定理及三角形面积公式及条件可得S ，又利用条件可求1254S S π+=，再利用基本不等式即得. （1）∵2214x y +=，∴()())22,0,0,1,M N F -，∴△2F MN 的面积P (2112122MF ON ==⨯⨯=（2）∵2F N k =，又2l F N ⊥，点A ，M 重合，∴l k =)2y x +，由)22214y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得21348440x x ++=，则44213B x -⋅=， ∴2213B x =-，22213B y ⎫=-+⎪⎭∴B点的坐标为2213⎛-⎝⎭. （3）由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，∴()()()2228414410km k m ∆=-+⋅⋅->，即2214m k <+，()2121222418,1414m km x x x x k k-+=-=++，又1k ，k ，2k 恰好构成等比数列，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++==，即()2120km x x m ++=，∴22228041k m m k -+=+，又0,0k m >≠， ∴12k =，可得22m <，()212122,21x x m x x m +=-=-，∵点O 到直线AB的距离为d =∴1212S AB d x =-==，又222212121,144x x y y +=+=，∴()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦，∴2212525()424m m S S S ππ-++=≤⋅=，m =即1m =±时等号成立， ∴12()S S S +的最大值为54π. 例6．（2021·上海黄浦·一模）设常数0m >且1m ≠，椭圆Γ：2221x y m+=，点P 是Γ上的动点．（1）若点P 的坐标为()2,0，求Γ的焦点坐标；（2）设3m =，若定点A 的坐标为()2,0，求PA 的最大值与最小值；（3）设12m =，若Γ上的另一动点Q 满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点），求证：O 到直线PQ的距离是定值．【答案】（1）()),；（2）最大值为5；（3）详见解析.【分析】（1）由题可得2m =，c =（2）由题可得()222282459x PA x y x =-+=-+，利用二次函数的性质即得；（3）当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+，联立椭圆方程可得()2224210k xktx t +++-=，利用韦达定理及条件可得2215k t +=，进而可得O 到直线PQ 的距离为定值，当直线PQ 斜率不存在时，可得x =O 到直线PQ 的距离为定值，即证.（1）∵椭圆Γ：2221x y m+=，点P 的坐标为()2,0，∴2m =，c =∴Γ的焦点坐标为()),；（2）设(),P x y ，又()2,0A ，由题知2219x y +=，即2219x y =-，∴()()222222288912214599942x x PA x y x x x ⎛⎫=-+=-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，又33x -≤≤，∴当3x =-时，2PA 取得最大值为25；当94x =时，2PA 取得最小值为12；∴PA 的最大值为5（3）当12m =时，椭圆Γ：2241x y +=，设()()1122,,,P x y Q x y ，当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+，则由2241y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，得()2224210k x ktx t +++-=， ∴()()()222212122221,,2441044kt t x x x x kt k t k k--+==∆=-+->++，由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()12120x x kx t kx t +++=，即()()22121210k x x kt x x t ++++=，∴()22222121044t ktk kt t k k--+⋅+⋅+=++，可得2215k t +=，满足0∆>，∴O 到直线PQ 的距离为d =当直线PQ 斜率不存在时，OP OQ ⊥，可得直线方程为x =O 到直线PQ 综上，O 到直线PQ 的距离是定值．例7．（2021·上海静安·一模）如图1，已知椭圆Γ的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，点B 是椭圆Γ的上顶点，椭圆Γ上一点A ⎛ ⎝⎭到两焦点距离之和为（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若点P Q 、是椭圆Γ上异于点B 的两点，BP BQ ⊥，且满足32=PC CQ 的点C 在y 轴上，求直线BP 的方程；（3）设x 轴上点T 坐标为(2,0)，过椭圆Γ的右焦点F 作直线l （不与x 轴重合）与椭圆Γ交于M 、N 两点，如图2，点M 在x 轴上方，点N 在x 轴下方，且2=FM NF ，求||+TM TN 的值．【答案】（1）2212x y +=（2）2 1.y x =±+（3【分析】（1）根据题意得221112a b+=，2a =，解方程即可得答案；（2）由题知直线,BP BQ 的斜率都存在，设直线BP 的斜率为k ，直线BQ 的斜率为1k-，进而得直线BP 的方程为1y kx =+，与椭圆联立方程解得点P 的横坐标为2412kx k =-+，同理得点Q 的横坐标242kx k =+，再结合32=PC CQ 解得24k =，即可得答案；（3）由题设直线l 的方程为1x my =+，点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则120,0y y ><，进而联立方程并结合韦达定理得线段MN 的中点D 的坐标为222(,)22m m m -++，故||2(TM TN +=，再结合2=FM NF 得227m =，代入即可得答案. （1）解：设椭圆Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，因为椭圆Γ经过点A ⎛ ⎝⎭，所以221112a b +=，因为椭圆Γ上一点A ⎛ ⎝⎭到两焦点距离之和为2a =所以1a b ==，所以椭圆Γ的标准的方程为2212x y +=.（2）解：由题知直线,BP BQ 的斜率都存在，设直线BP 的斜率为k ，则由BP BQ ⊥知直线BQ 的斜率为1k-，所以直线BP 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程得：22(12)40k x kx ++=，因为0x =是该方程的解，所以点P 的横坐标为2412kx k =-+，将上述的k 用1k-代替，即得到点Q 的横坐标242kx k =+，因为32=PC CQ ，所以223424122k kk k ⨯⨯=++，解得24k =，所以直线BP 的方程为2 1.y x =±+（3）解：椭圆Γ的右焦点F 坐标为()1,0，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程得22(2)210m y my ++-=，设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则120,0y y ><，所以12122221,0,22m y y y y m m +=-=-<++ 所以()12122224x x m y y m +=++=+ 所以线段MN 的中点D 的坐标为222(,)22mm m -++，所以||2||2(TM TN TD +== 又因为2=FM NF ，所以11222,2y yy y =-=-，所以12y y= 222m m -+，两边平方得221422m m =+，解得227m =，所以227TM TN +===+13||8TM TN +=例8．（2022·上海交大附中高二期末）己知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点坐标为()1,0，离心率e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为M .若直线OM 的斜率为-1，求线段AB 的长；（3）如图，设椭圆上一点R 的横坐标为1（R 在第一象限），过R 作两条不重合直线分别与椭圆C 交于P 、Q 两点、若直线PR 与QR 的倾斜角互补，求直线PQ 的斜率的所有可能值组成的集合.【答案】（1）2212x y +=；（2；（3）.【分析】(1)根据给定条件求出椭圆长半轴长a 即可计算得解.(2)将1y kx =+代入椭圆C 的方程，再结合给定条件求出k 值即可计算出AB 的长. (3)设出直线PR 的方程，再与椭圆C 的方程联立求出点P 坐标，同理可得点Q 坐标，计算PQ 的斜率即可作答.（1）依题意，椭圆C 的半焦距c =1，而2c e a==，解得a =2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程是：2212x y +=.（2）由22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得：22(21)40k x kx ++=，解得10x =，22421kx k =-+，于是得线段AB 的中点2221(,)2121k M k k -++，直线OM 斜率为112k -=-，解得12k =，因此，212142|||12()12AB x x ⨯=-==⨯+，所以线段AB（3）由(1)知，点R，依题意，设直线PR的斜率为(0)t t≠，直线PR方程为：(1)y t x=-，由22(22y tx tx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y并整理得，222(21)4(210t x t t x t+-+--=，设点(,)P PP x y，则有Px=QR的斜率为-t，设点(,)Q QQ x y，同理有Qx=，于是得直线PQ的斜率2(1)(1)P Q P QPQP Q P Qt ty y t x t xkx x x x---+-===--==，所以直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定2a，2b的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.一、单选题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高三阶段练习）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c和22c分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c+=+；②1122a c a c-=-；③1212c a a c>；④l212c a a c<.其中正确式子的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【分析】由1212,a a c c >>，可判定①不正确；由1122,a c PF a c PF -=-=，可判定②正确；由1122a c a c -=-，得到()()221221a c a c +=+，结合椭圆的性质，求得2211121122b a c b a c +=+，进而可判定③正确，④不正确.【详解】由图象可知1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，所以①不正确；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，所以②正确；由1122a c a c -=-，可得1221a c a c +=+，可得()()221221a c a c +=+，整理得22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，因为12b b >，所以1212c a a c >，所以③正确，④不正确. 故选：B.2．（2022·上海·高三专题练习）已知两定点(1,0)A -､(1,0)B ，动点(,)P x y 满足tan tan 2PAB PBA ∠⋅∠=，则点P 的轨迹方程是（） A ．2212y x -=B ．221(0)2y x y -=≠ C ．2212y x +=D ．221(0)2y x y +=≠ 【答案】D【分析】根据斜率公式可得()2(0)11PA PB y y k k y x x ⋅=⋅-=≠+-，化简即可得到答案；【详解】tan tan 2PAB PBA ∠⋅∠=，∴ ()2(0)11PA PB y yk k y x x ⋅=⋅-=≠+-， ∴221(0)2y x y +=≠，故选：D.3．（2020·上海市嘉定区第二中学高二阶段练习）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）A ．B ．6C ．D ．12【答案】C【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆23x ＋y 2＝1知，该椭圆的长半轴a =A 是椭圆的一个焦点，设另一焦点为F ，而点F 在BC 边上，点B ，C 又在椭圆上，由椭圆定义得2,2BA BF a CF CA a +=+=，所以ABC 的周长4l AB BC CA AB BF CF CA a =++=+++==故选：C4．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆22221x y a b +=分别过点(2,0)A 和点B ⎛ ⎝⎭，则该椭圆的焦距为（）A B ．2 C ．D ．【答案】C【分析】根据椭圆过点(2,0)A 和点B ⎛ ⎝⎭，得到2a =，221314a b +=联立求解.【详解】因为椭圆过点(2,0)A 和点B ⎛ ⎝⎭，所以2a =，且221314a b +=，可得：24,a =21,b =222413c a b =-=-=，所以c =2c =故选：C.5．（2022·上海·复旦附中高二期末）2021年12月29日19时13分，长征二号丁遥四十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将天绘-4卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功.已知天绘-4卫星的运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，距地球表面最近点的距离为m 千米，距地球表面最远点的距离为n 千米，地球可近似地看作一个半径为R 千米的球体，则天绘-4卫星的运动轨道的短轴长为（）千米.A ．2m n R ++ B．C ．22++m n RD【答案】B【分析】利用题意可通过近地点和远地点和地球的半径建立等式联立求得c 的表达式，进而利用222b a c =-，求得b ．【详解】解：由题意22m n Ra ++=，且22m n R c m R ++-=+，①22m n R c n R +++=+，② 2n mc -∴=，所以2b = 故选：B ．6．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知实数A ，B ，C 满足0ABC ≠，则“0ABC >”是“方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】D【分析】先求出方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断．【详解】∵方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆，化成椭圆方程的标准形式221x y C C A B+=∴00C A CB C C B A⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪≠⎪⎩，即000A B C A B >⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪≠⎩或000A B C A B <⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪≠⎩；故“0ABC >”推不出“方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”，充分性不成立； “方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”也推不出“0ABC >”，必要性不成立；即“0ABC >”是“方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”的非充分非必要条件．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记椭圆的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于基础题.7．（2022·上海·高三专题练习）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.8．（2022·上海·高三专题练习）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220cb -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．9．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）若曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（） A ．(1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(](),11,-∞-⋃+∞D ．[1,0)(1,)-+∞【答案】C【分析】先分析出||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线22:144x y C λ+=为椭圆，只需点()2,0A -落在椭圆内，列不等式求出λ的范围；若当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，只需把||2y x =+表示的射线与渐近线比较，列不等式求出λ的范围.【详解】如图示：||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线22:144x y C λ+=为椭圆时，即0λ>，只需点()2,0A -落在椭圆内，即240144λ+<，解得：1λ>；当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，即0λ<，渐近线方程：y =要使曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，1≤，解得：1λ≤-.所以实数λ的取值范围是(],1(1,)-∞-+∞ 故选：C 二、填空题10．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 在焦点为1F 、2F 的椭圆221169x y +=上，则12PF PF +=______．【答案】8【分析】根据椭圆的定义计算可得；【详解】解：因为点P 在焦点为1F 、2F 的椭圆221169x y+=上，所以216a =，所以4a =，所以1228PF PF a +==，故答案为：811．（2022·上海·高三专题练习）设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>的左顶点A ，过点A 的直线。

人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______；【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

2019-2020学年上海市松江区初三数学第一学期中考一模试卷及解析

2019-2020学年上海市松江区初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么下列判断正确的( )A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a <，0b <，0c >2．（4分）如果点(1,3)A 、(,3)B m 是抛物线2(2)y a x h =-+上两个不同的点，那么m 的值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．（4分）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内，有一点(3,4)A ，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为( ) A ．35B ．43C ．45D ．344．（4分）下列两个三角形不一定相似的是( ) A ．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形 B ．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形 C ．有一个内角为50︒的两个直角三角形D ．有一个内角是50︒的两个等腰三角形5．（4分）如果a b c +=，3a b c -=，且0c ≠，下列结论正确的是( ) A ．||||a b =B ．20a b +=C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反 6．（4分）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5．那么sin α的值为( )A ．34B ．12C ．23D ．32二、填空题：（本大题共12题，每題4分，满分48分） 7．（4分）已知：23x y =，那么2x yx y-=+ ． 8．（4分）已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果2a =，3b =，那么c = ． 9．（4分）若两个相似三角形的面积比为3:4，则它们的相似比为．10．（4分）已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，若2AP =，则BP = ． 11．（4分）已知Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，3AC =，2BC =，则A ∠的余切值为． 12．（4分）已知二次函数21()2f x x bx c =++图象的对称轴为直线4x =，则f （1） f （3）．（填“>”或“<”)13．（4分）在直角坐标平面中，将抛物线22(1)y x =+先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是．14．（4分）如图，已知D 是ABC ∆的边AC 上一点，且2AD DC =，如果AB a =，AC b =，那么向量BD 关于a 、b 的分解式是．15．（4分）如图，在正方形网格中，点A ，B ，C 是小正方形的顶点，那么tan BAC ∠的值为．16．（4分）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．17．（4分）以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”为．18．（4分）如图，矩形ABCD 中，1AD =，AB k =，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90︒得到矩形A BC D '''，联结AD '，分别交边CD ，A B '于E 、F ，如果2AE D F ='，那么k = ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：223(2cos45)3tan30260cos60cot 30sin -︒+︒︒-︒-︒20．（10分）已知二次函数241y x x =--．（1）将函数241y x x =--的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并指出该函数图象顶点B 坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线241y x x =--与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为A ，求四边形OABC 的面积．21．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒，13AD AB ==，24BD =，求边DC 的长．22．（10分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西45︒方向上，一艘船从港口P ，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B 处，在B 处测得小岛A 在它的南偏西60︒的方向上，小岛A 离港口P 有多少海里？23．（12分）已知：如图，点D ，F 在ABC ∆边AC 上，点E 在边BC 上，且//DE AB ，2CD CF CA =．（1）求证：//EF BD ；（2）如果AC CF BC CE =，求证：2BD DE BA =．24．（12分）如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)A ，点(0,3)B ．点(,0)M m 在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当BOP PBQ ∠=∠时，求PQ 的长度；（3）当PBQ ∆为等腰三角形时，求m 的值．25．（14分）已知tan 2MON ∠=，矩形ABCD 的边AB 在射线OM 上，2AD =，AB m =，CF ON ⊥，垂足为点F ．（1）如图（1），作AE ON ⊥，垂足为点E ，当2m =时，求线段EF 的长度．（2）如图（2），联结OC ，当2m =，且CD 平分FCO ∠时，求COF ∠的正弦值；（3）如图（3），当AFD∆与CDF∆相似时，求m的值．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位R 上】1．【解答】解：抛物线开口向下，因此0a <，对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，所以0b >，抛物线与y 轴交在正半轴，因此0c >，故选：C ．2．【解答】解：由点(1,3)A 、(,3)B m 是抛物线2(2)y a x h =-+上两个不同的点，得 (1,3)A 与(,3)B m 关于对称轴2x =对称， 221m -=-，解得3m =，故选：B ．3．【解答】解：过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，在Rt OAB ∆中，由题意得： AOB α∠=，(3,4)A ，3OB ∴=，4AB =， 2233cos 534OB OA α∴===+，故选：A ．4．【解答】解：A 、两条直角边之比为2:3的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；B 、两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意；C 、有一个内角为50︒的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；D 、有一个内角是50︒的两个等腰三角形，因为50︒是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意．故选：D ．5．【解答】解：a b c +=，3a b c -=，∴2a c =，b c =-， ∴2a b =-， ∴a 与b 方向相反，故选：D ．6．【解答】解：如图，过点A 作AE BC ⊥，AF CD ⊥，//AD BC ，//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 的面积是1.5，BC AE CD AF ∴⨯=⨯，且1AE AF ==， BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=， 1.5CD AF =⨯，32CD ∴=， 32AD CD ∴== 2sin 3AF AD α∴==，故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每題4分，满分48分） 7．【解答】解：23x y =， ∴设2x a =，3y a =， ∴2431235x y a a x y a a --==++．故答案为：15．8．【解答】解：线段a 是线段b 、c 的比例中项，2a bc ∴=， 2a =，3b =，243a cb ∴==故答案为：43．9．【解答】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴它们的相似比为3:2，故答案为：3:2．10．【解答】解：根据黄金分割定义，得2AP AB BP =4(2)BP BP =+ 2240BP BP +-=解得15(15BP =-±--舍去） 51BP ∴=-故答案为51-．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =， 3cot 2AC A BC ∴==，故答案为32．12．【解答】解：二次函数()y f x =的图象开口向上，对称轴为直线4x =，∴在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，134<<，f ∴（1）f >（3），故答案为：>．13．【解答】解：抛物线22(1)y x =+向上平移1个单位后的解析式为：22(1)1y x =++．再向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：221y x =+．故答案为：221y x =+． 14．【解答】解：2AD CD =，∴2233AD AC b ==， BD BA AD =+，BA a =-，∴23BD b a =-，故答案为23b a -．15．【解答】解：连接BC ，由正方形的性质可知，45ABD ∠=︒，45CBE ∠=︒， 180ABD ABC CBE ∠+∠+∠=︒， 90ABC ∴∠=︒， AB BC ∴⊥，在Rt ABC ∆中，22112AB =+=，222222BC =+=， 22tan 22BC BAC AB ∴∠===，故答案为：2．16．【解答】解：斜面AB 的坡度为20:301:1.5=，故答案为：1:1.5．17．【解答】解：如图，ABC ∆中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，ABD ∆，ACE ∆都是等边三角形，P ，Q 是ABD ∆，ACE ∆的重心．取BC 的中点H ，连接AH ．AB AC =，BH CH =，90BAC ∠=︒， HA HB HC ∴==，DA DB =，EA EC =，DH ∴垂直平分线段AB ，EH 垂直平分线段AC ， P ∴，Q 分别在DH ，EH 上，PQH ∆是等腰直角三角形， 2AB =，sin 603DF BD ∴=⋅︒=，P 是重心，3PF ∴ 112FH AB ==， 31PH QH ∴==+， 622PQ PH ∴== 62． 18．【解答】解：将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90︒得到矩形A BC D '''，1AD A D ''∴==，AB A B k '==，90A DAB DCB ABC '∠=∠=︒=∠=∠，////A D BA CD ''∴A D F FEC DEA ''∴∠=∠=∠，且90D A '∠=∠=︒，ADE ∴∆∽△FA D ''， ∴AD DE AE A F A D D F ==''''，且2AE D F ='， 22DE A D ''∴==，1222A F AD '==， 90A DCF '∠=∠=︒，A FD EFC ''∠=∠，∴△A D F CEF ''∆∽，∴EC FC A D A F='''， ∴2122122k k ---= 21k ∴=+，故答案为：21+．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：原式22233(2)323312()322-⨯+⨯=⨯-- 1313+=-23=--．20．【解答】解：（1）2241(2)5y x x x =--=--，该函数图象顶点B 坐标为(2,5)-；（2）如图，令0y =，1x =-，(0,1)C ∴-，(2,5)B -，(2,0)A ∴，∴四边形OABC 的面积11()62622AB OC OA =⨯+⨯=⨯⨯=． 21．【解答】解：如图，//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，AB AD =，ADB ABD ∴∠=∠，ABD DBC ∴∠=∠，AE BD ⊥，AB AD =，90AEB C ∴∠=∠=︒，12BE DE ==，221691445AE AB BE ∴=-=-，ABD DBC ∠=∠，90AEB C ∠=∠=︒， ABE DCB ∴∆∆∽，∴ABAEBD CD =，∴13524CD =，12013CD ∴=．22．【解答】解：作AE PB ⊥于E ，由题意得，12 1.518PB =⨯=海里，设AE x =海里，45APE ∠=︒，PE AE x ∴==，60ABE ∠=︒，由题意得，3183x x-=，解得，2793x=+，则27296AP=+，答：小岛A离港口P有(27296)+海里．23．【解答】证明：（1）//DE AB，∴CD CEAC CB=，2CD CF CA=．∴CD CF AC CD=，∴CF CE CD CB=，//EF BD∴；（2）//EF BD，CEF CBD∴∠=∠，AC CF BC CE=，∴AC CEBC CF=，且C C∠=∠，CEF CAB∴∆∆∽，CEF A∴∠=∠，DBE A∴∠=∠，//DE AB，EDB DBA∴∠=∠，且DBE A∠=∠，BAD DBE∴∆∆∽，2BD BA DE ∴=24．【解答】解：（1）将(3,0)A ，(0,3)B 分别代入抛物线解析式，得 9303b c c -++=⎧⎨=⎩．解得23b c =⎧⎨=⎩．故该抛物线解析式是：223y x x =-++；（2）设直线AB 的解析式是：(0)y kx t k =+≠，把(3,0)A ，(0,3)B 分别代入，得303k t t +=⎧⎨=⎩．解得1k =-，3t =．则该直线方程为：3y x =-+．故设(,3)P m m -+，2(,23)Q m m m -++．则BP =，23PQ m m =-+．3OB OA ==，45BAO ∴∠=︒．QM OA ⊥，90PMA ∴∠=︒．45AMP ∴∠=︒．45BPQ APM BAO ∴∠=∠=∠=︒．又BOP QBP ∠=∠，POB QBP ∴∆∆∽．于是BP OBPQ BP ==．解得195m =，20m =（舍去）． 254325PQ m m ∴=-+=；（3）由两点间的距离公式知，222BP m =，222(3)PQ m m =-+，2222(2)BQ m m m =+-+． ①若BP BQ =，22222(2)m m m m =+-+，解得11m =，23m =（舍去）．即1m =符合题意．②若BP PQ =，2222(3)m m m =-+，解得132m =-，232m =+（舍去）．即32m =-符合题意． ③若PQ BQ =，22222(3)(2)m m m m m -+=+-+，解得2m =．综上所述，m 的值为1或32-或2．25．【解答】解：（1）如图1，延长FC 交OM 于点G ，90BCG CGB ∠+∠=︒，90MON CGB ∠+∠=︒，BCG MON ∴∠=∠，则tan tan 2BCG MON ∠=∠=，24BG BC ∴==，525CG BC =在Rt AOE ∆中，设OE a =，由tan 2MON ∠=，可得5OA a =，则56OG a =+，16555OF OG a ==+， 655EF OF OE ∴=-=；（2）如图2，延长FC 交OM 于点G ，由（1）得25CG =，CD 平分FCO ∠，FCD DCO ∴∠=∠，//CD OM ，FCD CGO ∴∠=∠，DCO COG ∠=∠，CGO COG ∴∠=∠，25CO CG ∴==，在Rt COB ∆中，由222BC BO OC +=，得2222(52)(25)a ++=，解得165a =（舍去），225a = 6585OF a ∴= 4cos 5OF COF OC ∠==， 3sin 5COF ∴∠=；（3）当D 在MON ∠内部时，①如图31-，FDA FDC ∆∆∽时，此时2CD AD ==，2m∴=；②当FDA CDF∆∆∽时，如图32-，延长CD交ON于点Q，过F作FP CQ⊥于P，则135FDC FDA∠=∠=︒，45FDP∴∠=︒，tan tan22PC FP PFC FP MON FP DP CD DP =⋅∠=⋅∠===+，FP PD CD m∴===，2FD m∴=，FDA CDF∆∆∽，∴FD CDDA FD=，2 FD AD CD m∴⋅=∴22m m，1m∴=；当D在MON∠外部时，90ADF∠>︒，90DFC∠>︒，ADF DFC∴∠=∠，DFI FDI∴∠=∠，ID IF=，①如图33-，FDA DFC∆∆∽时，此时FDA DFC∆≅∆，2CF AD ∴==，DAF FCD FHD ∠=∠=∠， A ∴、O 重合，延长BC 交ON 于R ，24FR CF ∴==，25CR =，225BR =+， 1152m CD AB BR ∴====+； ②如图34-，FDA CFD ∆∆∽时，设25(0)CF t t =>，延长BC 交ON 于R ，过F 作FS CD ⊥于S ， DFC FDH ∆≅∆，DH FC ∴=，12ID IF CF ∴===，IS t ∴=，2FS t =，4CS t =，1)DS t =，DH FC ==， FDA CFD ∆∆∽， ∴ADDFDF FC =，22DF AD FC DH ∴=⋅==， 222DF DS FS =+，22241)t t ∴=++，解得1t =，20t =（舍去），52DH AD ∴==>=，矛盾，综上所述：1m =或2m =，或1m =。

上海市光明中学2019-2020学年度高一数学第一学期期末考试(详解版)

光明中学2019学年第一学期期末考试高一数学试题命题人向宪贵审题人蔡晓荣 2020.01考生注意： l ．本试卷共有19道试题，满分100分．考试时间90分钟．2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、学号、准考证号等填写清楚．友情提示：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强！一、填空题（本大题共有10道小题，1-6题填对得3分，7-10题填对得4分，满分34分）1、函数12()f x x =的定义域是；2、不等式111x <-的解集为； 3、函数2()1(0)f x x x =-≥的反函数1()f x -= ；4、函数()ln(2)f x x =-的递增区间为；5、方程96370x x -⋅-=的解是；6、已知函数()f x 为偶函数，且当0x >时2()1f x =x x -+，则当0x <时()f x = ； 7、已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为____________；8、函数2()f x x bx c =++与函数21()x x g x x ++=在区间1[,2]2上的同一点处取相同的最小值，则()f x 在区间1[,2]2上的最大值是；9、直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是；10、设函数定义域为R ，对于给定的正数K ，定义函数取函数．当=时，函数的单调递增区间为 .二、单选题（本大题共有4道题，每道题只有一个正确选项，选对得4分，满分16分）11、下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（）.A 1a b >+ .B 1a b >- .C 22a b > .D 33a b >()y f x =(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩()2x f x -=K 12()K f x12、定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且在[0,5]x ∈上是增函数，在[5,)+∞上是减函数，又(5)2f =，则()f x （）.A 在[5,0]x ∈-上增函数且有最大值-2 .B 在[5,0]x ∈-上增函数且有最小值-2.C 在[5,0]x ∈-上减函数且有最大值-2 .D 在[5,0]x ∈-上减函数且有最小值-213、若函数()f x 为R 上的偶函数，且()f x 在[)0+∞，上单调递减，则不等式(21)()f x f x -≥的解集为（）A. 113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. [)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C. (][),11,-∞+∞U D. (],1-∞ 14、有下面四个命题：①奇函数一定是单调函数；②函数3(0)xy k k =⋅>（k 为常数）图像可由3x y =的图像平移得到；③若幂函数a y x =是奇函数，则a y x =是定义域上的增函数；④既是奇函数又是偶函数的函数是0()y x R =∈．其中正确的有（）.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个三、解答题（本大题共有5道题，满分50分）15、（本题满分8分，第一问4分，第二问4分）已知1{|39}3x A x =<<， {}2|log 0B x x =>．（1）求A B ⋂和A B ⋃；（2）定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉，求A B -和B A -．16、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）函数()2x f x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，两函数的图像在第一象限只有两个交点()()111212,,,,A x y B x y x x <（1）请指出示意图中曲线12C C 、分别对应哪一个函数；（2）设函数()()()h x f x g x =-,则函数()h x 的两个零点为12x x 、，如果12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，其中,a b 为整数，指出,a b 的值，并说明理由．17、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）已知函数3()log 0,13m x f x m m x -=>≠+（）．（1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若12m =，试用定义法判断()f x 在3,+∞（）的单调性．18、（本题满分10分，第一问3分，第二问7分）科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122x x y m -=⋅+（04x ≤≤，0m >）.（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.19、（本题满分12分，第一问3分，第二问4分，第三问5分）已知函数1()22x xf x =-，()(4lg )lg ()g x x x b b R =-⋅+∈. （1）若()0f x >，求实数x 的取值范围；（2）若存在12,[1,)x x ∈+∞，使得12()()f x g x =，求实数b 的取值范围；（3）若()0<g x 对于(0,)x ∈+∞恒成立，试问是否存在实数x ，使得[()]f g x b =-成立？若存在，求出实数x 的值；若不存在，说明理由.上海市光明中学2019学年第一学期期终考试高一数学试题参考答案一、填空题（本大题共有10道小题，1-6题填对得3分，7-10题填对得4分，满分34分）1、[)0,+∞2、(,0)(2,)-∞+∞U 3、1(1)f x x -≥-4、()2,+∞5、3log 7x =6、2()1f x =x +x +7、88、49、5(1,)4 10、二、单选题（本大题共有4道题，每道题只有一个正确选项，选对得4分，满分16分）11、A 12、B 13、A 14、C三、解答题（本大题共有5道题，满分50分）15、（本题满分8分，第一问4分，第二问4分）解：（1）()1{|39}1,23x A x =<<=-； --------1分 {}()2|log 01,B x x =>=+∞ --------2分()1,2A B ⋂=, --------3分()1,A B ⋃=-+∞--------4分（2） (]1,1A B -=-, --------2分[)2,B A -=+∞--------4分16、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）【解】（1）C 1对应的函数为3()g x x =，--------2分C 2对应的函数为()2x f x =. --------4分（2）计算得1,9a b == --------1分理由如下：令3()()()2x x f x g x x ϕ=-=-， --------2分 (,1)-∞-由于93103(1)10,(2)40,(0,(10)210909)2h h h h =>=-<=<=->-，--------4分则函数()x ϕ的两个零点2(1,2),(9,10)i x x ∈∈--------5分因此整数1,9a b == --------6分17、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）【解】（1）()f x 是奇函数；证明如下：由303x x -+＞解得3,3x x <->或；所以()f x 的定义域为(,3)(3,)-∞-+∞U 关于原点对称． --------1分∵()3333m m x x f x log log x x --+-==-+-=()13()3m x log f x x -+=--， --------3分故()f x 为奇函数．--------4分（2）任取1212,3,x x x x ∈+∞<（）,且 - ()()1212123333m m x x f x f x log log x x ---=-++=()()()()12123333m x x log x x -++-， --------2分 ∵()()()()()112221333036x x x x x x -+-+-=<-，∴()()()()121203333x x x x <-+<+-，即()()()()1212330133x x x x -+<+-＜， -------4分当12m =时，()()()()12112233033x x log x x -+>+-，即()12()f x f x >．--------5分故()f x 在3,+∞（）上单调递减．--------6分18、（本题满分10分，第一问3分，第二问7分）【解】（1）由题意，当2m =，令122222252x x x xy -=⋅+=⋅+=， 04x ≤≤Q 时，解得1x =， -------2分因此，经过1分钟时间，该物质的温度为5摄氏度；--------3分（2）由题意得1222x x m -⋅+≥对一切04x ≤≤恒成立，则由1222x x m -⋅+≥，得出22222x x m ≥-，--------2分令2x t -=，则1116t ≤≤，且222m t t ≥-，--------4分构造函数()221122222f t t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当12t =时，函数()y f t =取得最大值12，则12m ≥.--------6分因此，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.--------7分19、（本题满分12分，第一问3分，第二问4分，第三问5分）【解】（1）()0f x >即22x x ->，∴x x >-，∴0x >.--------3分（2）设函数()f x ，()g x 在区间[)1,+∞上的值域分别为A ，B ，因为存在[)12,1,x x ∈+∞，使得()()12f x g x =，所以A B ⋂≠∅，--------1分∵()122x x f x =-在[)1,+∞上为增函数，∴3,2A ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭，--------2分 ∵()()2lg 24g x x b =--++，[)1,x ∈+∞，∴()(],4g x b ∈-∞+，∴(],4B b =-∞+.--------3分 ∴342b +≥即52b ≥-.--------4分（3）∵()()2lg 240g x x b =--++<对于()0,x ∈+∞恒成立，∴40b +<，4b <-，--------1分且()g x 的值域为(],4b -∞+.--------2分∵()122x x f x =-为增函数，--------3分且0x <时，()0f x <，∴()0f g x ⎡⎤<⎣⎦.--------5分∴()0f g x b ⎡⎤+<⎣⎦，-------6分∴不存在实数x ，使得()f g x b ⎡⎤=-⎣⎦成立. --------7分。

2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年华东师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（共10小题）.1．从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有种排法（用数字作答）2．若a n 是（2+x ）n（n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，则lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2na n)= ． 3．二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第项．4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．5．记∑ 5i=1a i =a 1+a 2+⋯+a 5，若a 1＝4.47，a 2＝4.51，a 3＝4.61，a 4＝4.65，a 5＝4.76．则∑ 5i=1a i =23．另有正整数A i （1≤i ≤5）的和仍是23，若以A i 来估计a i ，则“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |的最小值为．6．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG →=OE →+OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为．7．设函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，则当x ≤﹣1时，则f [f （x ）]表达式的展开式中含x 2项的系数是．8．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则ab＞13的概率为．9．从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的系数，则使得f(1)2∈Z 的概率为．10．已知当|x |＜12时，有11+2x =1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，根据以上信息，若对任意|x |＜12都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+……+a n x n +……，则a 11＝．二.选择题11．设P 1、P 2、P 3、P 4为空间中的四个不同点，则“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”是“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件12．设α﹣l ﹣β是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，则（）A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行13．函数f ：{1，2，3}→{1，2，3}满足f （f （x ））＝f （x ），则这样的函数个数共有（） A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个14．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（）A ．2√2B ．√10C ．√11D ．√12三、解答题15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan√22．（1）求PA的长度；（2）求异面直线AE与PD所成角的大小．（结果用反三角函数表示）16．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100xx+11%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1=√3，E是C1D1的中点，F 是CE的中点．（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．18．正四棱锥P﹣ABCD的底面正方形边长是3，O是在底面上的射影，PO＝6，Q是AC 上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL．（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．参考答案一.填空题1．从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 240 种排法（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a “全排列，有C 53A 44种结果．解：由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a “全排列，C 53A 44＝240，即含有“a ”的共有240种．故答案为240．2．若a n 是（2+x ）n（n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，则lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2na n )=8 ．【分析】由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2．再把要求的式子 lim n→∞(22a2+23a 3+⋯+2n a n ) 化为 lim n→∞4⋅(11+1C 32+⋯+1C n 2)，即lim n→∞8⋅(1−1n )，从而得到结果．解：∵a n 是（2+x ）n （n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，又（2+x ）n 的展开式的通项公式为T r +1=C n r •2n ﹣r •x r ，令r ＝2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2． ∴a n =C n 2⋅2n−2． ∴lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=lim n→∞(221+23C n 2⋅2+⋯+2nC n 2⋅2n−2)=lim n→∞(221+22C 32+⋯+22C n 2)=lim n→∞4⋅(11+1C 32+⋯+1C n 2)=lim n→∞4⋅(11+22×3+23×4⋯+2n(n−1))=lim n→∞8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n ) =lim n→∞8⋅(1−1n)=8，故答案为：8．3．二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第 9 项．【分析】根据二项式系数的性质可得，（x −1x）15展开式中，二项式系数最大是C 157=C 158，由此可得结论．解：根据二项式系数的性质可得，（x −1x）15展开式中，二项式系数最大是C 157=C 158，是第8项或第9项，又（x −1x ）15展开式中的奇数项为“+”，偶数项符号为“﹣”，∴二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第9项．故答案为：9．4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 1−π4 ．【分析】求出有信号的区域面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．解：扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积之和为14×π×12×2=π2，矩形的面积S＝2，则该地点无信号的面积S ＝2−π2，则对应的概率P =2−π22=1−π4，故答案为：1−π45．记∑ 5i=1a i =a 1+a 2+⋯+a 5，若a 1＝4.47，a 2＝4.51，a 3＝4.61，a 4＝4.65，a 5＝4.76．则∑ 5i=1a i =23．另有正整数A i （1≤i ≤5）的和仍是23，若以A i 来估计a i ，则“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |的最小值为 1.96 ．【分析】先将∑ 5i=1a i =23分解为a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝23，以A i 来估计a i ，根据绝对值的性质和物理上处理误差的原理，a 1＝a 2＝4，a 3＝a 4＝a 5＝5时，∑ 5i=1|A i −a i |取到最小值，代入题中的表达式即可求出这个最小值．解：根据题意，∑ 5i=1a i =a 1+a 2+a 3+a 4+a5=23当“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |取最小值时，a 1＝a 2＝4，a 3＝a 4＝a 5＝5，此时：∑ 5i=1|A i −a i |=|4﹣4.47|+|4﹣4.51|+|5﹣4.61|+|5﹣4.65|+|5﹣4.76|＝1.96，故答案为：1.966．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG →=OE →+OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为34．【分析】本题主要考查了古典概型的综合运用，属中档题．关键是列举出所有G 点的个数，及落在平行四边形ABCD 不含边界）的G 点的个数，再将其代入古典概型计算公式进行求解．解：由题意知，G 点的位置受到E 、F 点取法不同的限制，令（E ，F ）表示E 、F 的一种取法，则（A ，B ），（A ，Q ），（A ，N ），（A ，D ）（P ，B ），（P ，Q ），（P ，N ），（P ，D ）（M ，B ），（M ，Q ），（M ，N ），（M ，D ）（C ，B ），（C ，Q ），（C ，N ），（C ，D ）共有16种取法，而只有（P ，Q ），（P ，N ），（M ，Q ），（M ，N ）落在平行四边形内，故符合要求的G 的只有4个，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率P =16−416=34．故答案为：347．设函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，则当x ≤﹣1时，则f [f （x ）]表达式的展开式中含x 2项的系数是 60 ．【分析】根据分段函数的解析式先求出f [f （x ）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r +1项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r ，再代入系数求出结果解：由函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，当x ≤﹣1时，f （x ）＝﹣2x ﹣1，此时f （x ）min ＝f （﹣1）＝2﹣1＝1， ∴f [f （x ）]＝（﹣2x ﹣1）6＝（2x +1）6， ∴T r +1＝C 6r 2r x r ，当r ＝2时，系数为C 62×22＝60，故答案为：608．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则ab＞13的概率为16672000 ．【分析】P （ab ＞13）＝1﹣P （ab ≤13），由ab ≤13，得a ≤13b ，求出P （ab ≤13）=3332000，由此能求出ab＞13的概率．解：由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ， P （ab＞13）＝1﹣P （ab≤13），∵a b≤13，∴a ≤13b ，∴P （a b≤13）=3332000，则a b＞13的概率P （a b＞13）＝1−3332000=16672000．故答案为：16672000．9．从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的系数，则使得f(1)2∈Z 的概率为4181．【分析】由题意可得 f （1）＝a +b +c 是偶数，分①a ，b ，c 里面三个都是偶数和②a ，b ，c 里面一个偶数、两个奇数，两种情况，分别求得满足条件的（a ，b ，c ）的个数，相加即得所求基本事件的个数，从而可求出使得f(1)2∈Z 的概率．解：由题意可得 f （1）＝a +b +c 是偶数，若a ，b ，c 里面三个都是偶数，则（a ，b ，c ）（a ≠0）共有A 53−A 42=48个，若a ，b ，c 里面一个偶数，两个奇数，则（a ，b ，c ）（a ≠0）共有C 52C 51A 33−A 52=280个，∴使得f(1)2∈Z 的事件共有48+280＝328个，从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数的事件共A 103−A 92=648个，∴使得f(1)2∈Z 的概率为P =328648=4181，故答案为：4181．10．已知当|x |＜12时，有11+2x =1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，根据以上信息，若对任意|x |＜12都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+……+a n x n +……，则a 11＝ 1102 ．【分析】推导出|x |＜12，11−x =1+（x 3）1+（x 3）2+（x 3）3+…+（x 3）n+…，求出|x |＜12，都有x(1−x )(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n +⋯的泰勒展开式中含x 11的项是T＝（﹣2x ）10×1×x +（﹣2x ）6×x ×x 3+（﹣2x ）4×x ×x 6+（﹣2x ）1×x ×x 9＝1102x 11．由此能求出a 11．解：|x |＜12时，有11+2x=1﹣2x +4x 2﹣…+（﹣2x ）n +…|x |＜12，11−x 3=1+（x 3）1+（x 3）2+（x 3）3+…+（x 3）n +…，∴|x |＜12，都有x (1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a nx n +⋯的泰勒展开式中含x 11的项是：T ＝（﹣2x ）10×1×x +（﹣2x ）6×x ×x 3+（﹣2x ）4×x ×x 6+（﹣2x ）1×x ×x 9＝1102x 11．解得a 11＝1102．故答案为：1102．二.选择题11．设P 1、P 2、P 3、P 4为空间中的四个不同点，则“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”是“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【分析】“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”⇒“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，由此能求出结果．解：设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”⇒“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，∴“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的充分非必要条件．故选：A．12．设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【分析】利用空间中线线间的位置关系求解．解：∵α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，也有可能平行．故选：C．13．函数f：{1，2，3}→{1，2，3}满足f（f（x））＝f（x），则这样的函数个数共有（）A．1个B．4个C．8个D．10个【分析】将f（1）、f（2）、f（3）取不同的值进行讨论，得出结论．解：1、f（1）＝f（2）＝f（3）＝1或2或3，共3个．2、f（1）＝1；f（2）＝f（3）＝2或3，共2个．f（2）＝2；f（1）＝f（3）＝1或3，共2个．f（3）＝3；f（1）＝f（2）＝1或2，共2个．3、f（1）＝1；f（2）＝2；f（3）＝3；1个所以这样的函数共有10个．故选D．14．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2√2B．√10C．√11D．√12【分析】由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得到△PEQ周长的最小值．解：由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为M时，则MN是△PEQ周长的最小值，EM＝2，EN=√2，∠MEN＝135°，∴MN=4+2−2×2×√2×(−2)=√10．2∴△PEQ周长的最小值为√10．故选：B．三、解答题15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的．中点，PC与平面PAD所成的角为arctan√22（1）求PA的长度；（2）求异面直线AE 与PD 所成角的大小．（结果用反三角函数表示）【分析】（1）推导出CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面PAD ，进而是∠CPD 是PC与平面PAD 所成的角，由PC 与平面PAD 所成的角为arctan √22．得tan ∠CPD =CD PD=2PD =√22，求出PD ＝2√2，由此能求出PA ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与PD 所成角的大小．解：（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴∠CPD 是PC 与平面PAD 所成的角，∵PC 与平面PAD 所成的角为arctan √22． ∴tan ∠CPD =CD PD =2PD =√22，解得PD ＝2√2， ∴PA =√PD 2−AD 2=√(2√2)2−22=2．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），E （2，1，0），P （0，0，2），D （0，2，0），AE →=（2，1，0），PD →=（0，2，﹣2），设异面直线AE 与PD 所成角为θ，则cos θ=|AE →⋅PD →||AE →|⋅|PD →|=√5⋅√8=√1010， ∴异面直线AE 与PD 所成角的大小θ＝arccos √1010．16．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100xx+11%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？【分析】（1）求出后三组数据的频率之和，利用频率乘以样本容量得频数求得“足球迷”的人数和“铁杆足球迷”人数；（2）设票价为100+10x元，求出一般“足球迷”和“铁杆足球迷”中去现场看球的人数，根据现场观看足球比赛的人数不超过10万人，列出不等式．通过解不等式求得正整数x 的值，可得答案．解：（1）样本中“足球迷”出现的频率＝（0.16+0.10+0.06）×0.5＝16%，“足球迷”的人数＝100×16%＝16（万），“铁杆足球迷”＝100×（0.06×0.5）＝3（万）∴16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人；（2）设票价为100+10x元，则一般“足球迷”中约有13（1﹣10x%）万人，“铁杆足球迷”约有3(1−100xx+11%)万人去现场看球，令13(1−10x%)+3(1−100xx+11%)=16−13x10−3xx+11≤10，化简得：13x2+113x﹣660≥0解得：x≤−16513，或x≥4，由x∈N，∴x≥4，即平均票价至少定为100+40＝140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人．17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1=√3，E是C1D1的中点，F 是CE的中点．（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．【分析】（1）连接AC交BD于O点，连接OF，欲证EA∥平面BDF，在平面BDF内寻找一直线与直线EA平行即可，而OF是△ACE的中位线，OF∥AE，又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，满足定理条件；（2）欲证平面BDF⊥平面BCE，找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥平面BCE，又DF⊂平面BDF，从而得到结论；（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE 中的射影为FG，则∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，在三角形DGF中求出此角的正切值即可．解：（1）连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE，又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以EA∥平面BDF；（2）计算可得DE＝DC＝2，又F是CE的中点，所以DF⊥CE又BC⊥平面CDD1C1，所以DF⊥BC，又BC∩CE＝C，所以DF⊥平面BCE又DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE（理）；（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE 中的射影为FG，从而DG⊥BE，所以∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，设其大小为θ，计算得DF=√3，FG=√22，tanθ=DFFG=√618．正四棱锥P﹣ABCD的底面正方形边长是3，O是在底面上的射影，PO＝6，Q是AC 上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL．（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．【分析】（1）Q是AC上的一点，过Q作EL∥BD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作QG∥PA，交PC于点G，过点E作EF∥PA，交PB于F，过点L作HL∥PA，交PD于点H，连结FG，GH，FH，从而得到过Q且与PA，BD都平行的截面EFGHL．（2）由PA∥截面EFGHL，BD∥截面EFGHL，得PA∥EF，PA∥HL，PA∥GQ，BD ∥EL，BD∥FH，推导出PO⊥平面ABCD，BD⊥AC，PO⊥BD，从而BD⊥平面PAC，BD⊥PA，EF⊥EL，由FH∥BD，P﹣ABCD是正四棱锥，得到截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，△AEL是等腰直角三角形，由此能求出截面EFGHL的面积最大值．解：（1）由题可知，Q是AC上的一点，过Q且与PA，BD都平行的截面为五边形EFGHL，过Q作EL∥BD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作QG∥PA，交PC于点G，过点E作EF∥PA，交PB于F，过点L作HL∥PA，交PD于点H，连结FG，GH，FH，∴EF∥PA，HL∥PA，GQ∥PA，∴EF∥HL∥GQ，∴E，F，G，H，L共面，Q∈平面EFGHL，EL∥BD，EL⊂平面EFGHL，∴BD∥平面EFGHL，同理，PA∥平面EFGHL，∴过Q且与PA，BD都平行的截面EFGHL如右图．（2）由题意可知，PA∥截面EFGHL，BD∥截面EFGHL，∴PA∥EF，PA∥HL，PA∥GQ，BD∥EL，BD∥FH，∵O是P在底面上的射影，PO＝6，∴PO⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴PO⊥BD，且AC∩BD＝O，∴BD⊥平面PAC，则BD⊥PA，∴EF⊥EL，∵FH∥BD，P﹣ABCD是正四棱锥，∴PH＝PF，∴△PFG≌△PHG，∴GF＝GH，∴截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，∵EL∥BD，∴△AEL是等腰直角三角形，设EQ＝x，则QL＝x，∴EFPA =BEBA=OQOA=3√22−x3√22，∴EF＝（1−√23x）PA，同理，QG＝（1−√26x）PA，∵PA=√PO2+OA2=9√22，设截面EFGHL面积为S，则S＝（EF+QG）EQ＝（2−√22x）•9√22x，∴S=−92x2+9√2x=−92（x−√2）2+9，当且仅当x=√2时，S有最大值为9，∴截面EFGHL的面积最大值为9．。

2022上海高二数学满分攻略(沪教版2020第一册)第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)练习

第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)一、平均变化率【例1】（2018·上海市吴淞中学高三期中）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图像是（）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·北京延庆·高二期末）函数2()f x x 在区间[2,4]上的平均变化率等于（） A ．2B ．4C ．6D ．8【例3】（2021·广西河池·高二阶段练习（理））在导数定义中“当0x ∆→时，()0yf x x∆→'∆”，x ∆（） A ．恒取正值 B ．恒取正值或恒去取负值 C ．有时可取0D ．可取正值可取负值，但不能取零【例4】（2021·江苏·高二专题练习）“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 二、瞬时变化率【例1】（2021·广西·高三阶段练习（文））已知某物体位移S （米）与时间t （秒）的关系是323S t t =-，则速度为9米/秒的时刻是（） A ．1秒末 B ．0秒末 C ．3秒末D ．1秒末或3秒末【例2】（2021·全国·高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程s (t )＝4t 2＋2t －3，且s ′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（）A ．物体5 s 内共走过42 mB ．物体每5 s 运动42 mC ．物体从开始运动到第5 s 运动的平均速度是42 m/sD ．物体以t ＝5 s 时的瞬时速度运动的话，每经过1 s ，物体运动的路程为42 m 【例3】（2021·山东·高三阶段练习）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d （单位：dm ）的关系式为36V d π=，估计当1d dm =时，气球体积的瞬时变化率为（）A ．2πB ．πC ．2π D ．4π 【例4】（2021·北京海淀·高二期中）一个小球作简谐振动，其运动方程为()10sin 3x t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中()x t (单位：)cm 是小球相对于平衡点的位移，t (单位：s )为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，t =（） A ．1B ．56C ．12D ．13【例5】（2021·重庆·高二期末）1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量M （单位：太贝克）随时间t （单位：年）的衰变规律满足函数关系：()573002t M t M -=，其中0M 为0=t 时碳14的含量，已知5730t =时，碳14的含量的瞬时变化率是ln 220-（太贝克/年），则()2865M =（）太贝克.A ．573BC ．D ．1146【例6】（2021·全国·高二课时练习）枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，其路程（单位：m ）与时间（单位：s ）的关系为()212s t at =，如果枪弹的加速度52510/a m s =⨯，且当31.610t s -=⨯时，枪弹从枪口射出，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．三、导数的概念【例1】（2021·全国·高二课时练习）已知物体做直线运动的方程为()s s t =，则()410s '=表示的意义是（）A ．经过4s 后物体向前走了10mB ．物体在前4秒内的平均速度为10m/sC ．物体在第4秒内向前走了10mD ．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s【例2】（2021·北京育才学校高三阶段练习）某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________.【例3】（2021·江苏·高二课时练习）已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值.【例5】（2021·全国·高二课时练习）一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2.（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t ＝2时的瞬时速度；（3）求t ＝0到t ＝2之间的平均速度．四、导数的几何意义【例1】（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线430x y +-=平行，则l 的方程为（）A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．x －4y ＋3＝0D ．4x ＋y ＋4＝0【例2】（2022·浙江·温州中学高三期末）如图，函数()3f x x =的图象Γ上任取一点()3,,0A m m m ≠，过点A 作其切线1l ，交Γ于点B ，过点B 作其切线2l ，交Γ于点C ，过点C 作其切线3l ，交1l 于点D ，则AD AB的取值（）A ．与m 有关，且存在最大值B ．与m 有关，且存在最小值C ．与m 有关，但无最值D ．与m 无关，为定值【例3】（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（）A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【例4】（2022·上海·高三专题练习）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【例5】（江西省抚州市2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题）已知曲线()1e ln 1e=-+x f x x x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率为1e ，则00ln x x +=______．【例6】（2022·山西吕梁·高二期末）若直线y kx b =+是曲线2e x y -=的切线，也是曲线1e 1x y +=-的切线，则b =__________．【例7】（2022·山东滨州·高二期末）曲线cos x y x =在点π,02M ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______．【例8】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））设曲线212y x =在点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与曲线ln y x x =在点P 处的切线互相平行，则点P 的坐标为___________. 【例9】（2022·辽宁·东北育才学校高三期末）若函数()()320,0f x mx nx px q m n =+++≠≠上相异的点()()(),1,2,3,4,5,6i i x f x i =，满足如下条件：①()()()1230f x f x f x ===；②函数()f x 关于点()()44,x f x 对称；③函数()f x 在点()()55,x f x 处的切线与其相交于点()()66,x f x ；则()12356412x xx x x x ++++=___________.【例10】（2022·山西·康杰中学高二期末）若实数a ，b ，c ，d 满足ln 11a c b d+==，则()()22a cb d -+-的最小值为______.【例11】．（2021·上海·高二专题练习）已知直线()()()11410a x a y a -++-+= （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数1y x x=+的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是___________．【例12】（2022·陕西·高三期末（理））若曲线ln y x =在点()e,1P 处的切线与曲线e ax y =相切，则=a ______．【例13】（2022·湖南·高二期末）已知函数()()21e ,e 1x xf xg x -+==-.(1)O 是坐标原点，()f x 的图象在2x =处的切线与,x y 轴分别交于,A B 两点，求OAB 的面积；(2)若直线y kx b =+是曲线()y f x =与()y g x =的公切线，求,k b 的值.【例14】（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)e (1)=-+-x f x x a x ，a R ∈． (1)求曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程； (2)若0a ≥，求()f x 的零点个数；(3)若()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：122x x +<．【例15】（2021·全国全国·模拟预测）已知函数()sin cos f x ax x b x =-，()ln 3g x x x =++．在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题．①0a b +=，②1a b -=，③1a b +=-．(1)（ⅰ）______，曲线()f x 在点()()π,πf 处的切线经过点()0,π1-，求实数a 的值；（ⅱ）求证：22y x =+是曲线()g x 的一条切线．(2)π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当2a =，0b =时，求证：()()πf x g x +>．一、单选题1．（2022·江苏徐州·高二期末）已知函数()f x 的定义域为R ，若()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·山西临汾·一模（文））已知函数22()2ln f x e x x =+，则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为（）A ．240ex y e -+=B ．240ex y e --=C ．240ex y e ++≡D ．240ex y e +-=3．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（河南省驻马店市2021-2022学年高三上学期期末数学（理科）试题）已知函数()222e x f x x -=，则曲线()y f x =在x =1处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．23B ．98C ．43D ．945．（2022·江西赣州·高三期末（理））曲线222e -=+x y x 在1x =处的切线与坐标轴围成的面积为（） A ．13B ．12C ．23D ．16．（2022·江苏镇江·高二期末）若点A 是函数4x y x e =-图象上的动点（其中e 的自然对数的底数），则A 到直线33y x =-的距离最小值为（）A B ．4910C D ．177．（2022·浙江·镇海中学高二期末）点A 是曲线23ln 2y x x =-上任意一点，则点A 到直线21y x =-的最小距离为（）A B C D 8．（2019·上海交大附中高一期末）函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知反双曲正切函数11()ln 21xf x x+=-，则（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的定义域是[1,1]-C ．曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =D ．函数()()sin g x f x x =-有且仅有3个零点三、填空题10．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习（理））曲线()e cos 1xf x x =+在点()()0,0f 处的切线方程为______.11．（2022·重庆南开中学高二期末）曲线()1e xf x +=在点()()0,0f 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为__________.12．（2022·福建福清·高二期末）若()()0002lim1t f x t f x t→+-=，则()0f x '=___．13．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））已知曲线()y f x =在点()()2,2M f 处的切线方程是25y x =+，则()()22f f '+的值为______．14．（2022·河南南乐·高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，直线y x b =-与曲线()ln y x a =+相切，则125221b a b +++的最小值是______． 15．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．16．（2015·上海·高三阶段练习）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+(k ，b 为常数)，对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x mh x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：①()2f x x =，()g x = ②()102xf x -=+，()23x g x x-=； ③21()x f x x+=,ln 1()ln x x g x x +=；④22()1x f x x =+,()()21xg x x e -=--其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是________．四、解答题17．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）设点P 是曲线()32f x x =-+上的任意一点，k 是该曲线在点P 处的切线的斜率． (1)求k 的取值范围；(2)求当k 取最大值时，该曲线在点P 处的切线方程．18．（2022·江苏·高二）设函数()2ln f x x a x =-，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线2710x y ++=垂直．(1)求()f x 的解析式；(2)设曲线()y f x =在1x =处的切线为l ，求l 与两直线0x =和1y x =-+所围成的三角形的面积．19．（2022·河北衡水·高二期末）设()sin cos f x x x x =-，证明：曲线()f x 在点ππ,22P f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1．20．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ． (1)当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程；(2)若0(P x ，0)y 是C 上的任意点，求证：P 点处的切线的斜率为012k x =； (3)证明：以AB 为直径的圆恒过点M ．21．（2022·江西吉安·高二期末（理））（1）求与直线112y x =-+垂直，且与曲线ln y x =相切的直线方程；（2）求过原点，且与曲线x y e =相切的直线方程.22．（2022·全国·高三专题练习）已知222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使04()5f x ≤，求a 的值．23．（江西省重点中学协作体2022届高三2月第一次联考数学（理）试题）已知函数2()e sin ,()31x f x x x g x ax x =++=++．(1)求()f x 在x ＝0处的切线方程；(2)当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求a 取值范围．24．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()ln f x x =，()bg x a x=+(1)若函数()f x 在e x =处的切线与函数()·y x g x =的图象平行，求a ，b 满足的条件； (2)若()10g =，且()()(1)f x g x x >>恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当1b =-时，讨论方程()()af x g x =的根的个数.25．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知函数()()ln 2f x x x =+. (1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若12,x x 为方程()f x k =的两个不相等的实根，证明：（i ）()1f x x --；（ii ）12111ln2x x k ⎛⎫-≤++ ⎪⎝⎭.。

考点17 分组求和法(1月)(期末复习热点题型)(人教A版2019)(解析版)

考点17 分组求和法一、单选题1．若数列{}n a 的通项公式是()()131nn a n =--，则1210···+a a a ++= A ．15 B ．12 C ．12-D ．15-【试题来源】吉林省蛟河市第一中学校2020-2021学年第一学期11月阶段性检测高二（理）【答案】A【解析】因为()()131nn a n =--，所以12253a a +=-+=，348113a a +=-+=，5614173a a +=-+=，7820233a a +=-+=，91026293a a +=-+=，因此1210···+3515a a a ++=⨯=．故选A ． 2．已知数列{}n a 满足11n n a a λ+=+，且11a =，23a =，则数列{}n a 前6项的和为 A ．115 B ．118 C ．120D ．128【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期12月质量检测（文）【答案】C【分析】由题干条件求得2λ=，得到121n n a a +=+，构造等比数列可得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列{}n a 前6项的和．【解析】21113a a λλ=+=+=，则2λ=，可得121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，有12nn a +=，得21n n a =-，则数列{}n a 前6项的和为()()6262122226612012⨯-+++-=-=-．故选C ．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+【试题来源】河南省濮阳市2019-2020学年高二下学期升级考试（期末）（文）【答案】C【分析】根据递推公式a n +a n +1 ＝2n （n ∈N *）的特点在求S 2020时可采用分组求和法，然后根据等比数列的求和公式即可得到正确选项．【解析】由题意，可知2020122020123420192020()()()S a a a a a a a a a =+++=++++++132019222=+++2021223-=．故选C ． 4．定义：在数列{}n a 中，0n a >，且1n a ≠，若1n an a +为定值，则称数列{}n a 为“等幂数列”．已知数列{}n a 为“等幂数列”，且122,4,n a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则2009S 为 A ．6026 B ．6024 C ．2D ．4【试题来源】山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末（文）【答案】A【分析】根据数列新定义求出数列的前几项，得出规律，然后求和．【解析】因为122,4a a ==，所以334242a a a ==，32a =，4216a =，44a =，所以212n a -=，24n a =，*n N ∈，2009(24)100426026S =+⨯+=．故选A ．【名师点睛】本题考查数列的新定义，解题关键是根据新定义计算出数列的项，然后寻找出规律，解决问题． 5．数列111111,2,3,4,,248162n n +++++的前n 项和等于 A ．21122n n n +-++B ．2122n n n++C ．2122n n n +-+D ．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一6月月考（期末适应性）【答案】A 【解析】因，故，故选A ．6．已知一组整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足130m m a a +++=，其中m 为正整数，若12a =，则这组数前50项的和为 A ．-50 B ．-73 C ．-75D ．-77【试题来源】四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试【答案】C【分析】先利用已知条件写出整数列的前五项，得到其周期性，再计算这组数前50项的和即可．【解析】因为130m m a a +++=，12a =，所以2130a a ++=，得25a =-；3230a a ++=，得32a =-；4330a a ++=，得41a =-；5430a a ++=，得52a =-，由此可知，该组整数从第3项开始，以-2，-1，-2，-1，…的规律循环，故这组数的前50项和为()()25212475+-+--⨯=-．故选C ．7．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，23a =，23n n a a +=，则2020S = A ．1010232⨯-B ．101023⨯C ．2020312-D ．1010312+【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末【答案】A【分析】利用递推关系得出数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，对2020S 进行分组求和．【解析】因为11a =，23a =，23n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，且仅比均为3，所以101010102020132019242020133(13)()()1313S a a a a a a --=+++++++=+--1010232=⨯-．故选A ．【名师点睛】本题考查等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，考查分组求和法，解题时注意对递推式23n n a a +=的认识，它确定数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，而不是数列{}n a 成等比数列．8．已知数列{(1)(21)}n n -+的前n 项和为n S ，*N n ∈，则11S = A ．13- B ．12- C ．11-D ．10-【试题来源】山东省青岛胶州市2019-2020学年高二下学期期末考试【答案】A【分析】本题根据数列通项公式的特点可先求出相邻奇偶项的和，然后运用分组求和法可计算出11S 的值，得到正确选项．【解析】由题意，令(1)(21)nn a n =-+，则当n 为奇数时，1n +为偶数， 1(21)[2(1)1]2n n a a n n ++=-++++=，111211S a a a ∴=++⋯+ 123491011()()()a a a a a a a =++++⋯+++222(2111)=++⋯+-⨯+2523=⨯-13=-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查正负交错数列的求和问题，考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，13nn n a a +=，那么100S 的值为A ．()50231-B ．5031-C ．5032-D ．50342-【试题来源】吉林省四平市公主岭范家屯镇第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试【答案】A【分析】根据题中条件，得到23n na a +=，推出数列{}n a 的奇数项和偶数项都是成等比数列，由等比数列的求和公式，分别计算奇数项与偶数项的和，即可得出结果．【解析】因为11a =，13nn n a a +=，所以23a =，1123n n n a a +++=，所以1213n n n n a a a a +++=，即23n na a +=，所以135,,,a a a ⋅⋅⋅成以1为首项、3为公比的等比数列，246,,,a a a ⋅⋅⋅也成以3为首项、3为公比的等比数列，所以()()()5050100139924100313131313Sa a a a a a --=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+--505050313532322-+⋅-==⋅-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查等比数列求和公式的基本量运算，考查分组求和，熟记公式即可，属于常考题型．10．已知数列{}n a 满足12321111222n n a a a a n -++++=，记数列{2}n a n -的前n 项和为n S ，则n S =A ．2222nn n--B ．22122nn n---C ．212222n n n +--- D ．2222nn n--【试题来源】河北省秦皇岛市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】C【分析】利用递推关系求出数列{}n a 的通项公式，然后利用等差数列和等比数列的前n 项和公式进行求解即可．【解析】因为12321111(1)222n n a a a a n -++++=，所以有11a =，当2,n n N *≥∈时，有1231221111(2)222n n a a a a n --++++=-，(1)(2)-得，111122n n n n a a --=⇒=，显然当1n =时，也适合，所以12()n n a n N -*=∈，令 2n n a n b -=，所以2n n b n =-，因此有：2323(21)(22)(23)(2)(2222)(123)n n n n S n =-+-+-++-=++++-++++22112(12)(1)222 2.1222222n n n n n n n n n ++-+=-=---=----故选C.【名师点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，则n S =A ．2122n n ++-B ．212n n ++C ．22n -D ．22n n +【试题来源】四川省仁寿第二中学2020-2021学年高三9月月考（理）【答案】A【分析】根据已知条件求得n a ，利用分组求和法求得n S【解析】因为(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，所以()212nn a n =-+，则()()121212322121321222nnn S n n =++++⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()212121212nn n -+-=+-1222n n +=+-．故选A ．12．数列112、134、158、1716、的前n 项和n S 为A ．21112n n -+-B ．2122n n +-C ．2112n n +-D ．21122n n -+-【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期线上学习质量检测【答案】C【分析】归纳出数列的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用分组求和法可求得n S ．【解析】数列112、134、158、1716、的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，2341111113572122222n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()231111211111221352112222212n n n n n ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=++++-+++++=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-2112n n =+-．故选C ．13．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(32)n n a n +=-⋅-，则122020a a a ++⋯+=A ．-3027B ．3027C ．-3030D ．3030【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试【答案】C【分析】分组求和，结合等差数列求和公式即可求出122020a a a ++⋯+．【解析】12202014710...60556058a a a ++⋯+=-+-++-()()101010091010100917...6055410...60551010610104622⨯⨯⎛⎫=+++-+++=+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭3030=-．故选C ．14．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=A ．10B ．145C ．300D ．320【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期中【答案】C【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解．【解析】因为129a =-，()*13n n a a n N +=+∈，所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列，所以()11332n a a n d n =+-=-，所以当10n ≤时，0n a <；当11n ≥时，0n a >；所以()()12201210111220a a a a a a a a a +++=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+1101120292128101010103002222a a a a ++--+=-⨯+⨯=-⨯+⨯=．故选C ． 15．数列{}n a 的通项公式为2π1sin 2n n a n =+，前n 项和为n S ，则100S = A ．50 B ．-2400 C ．4900-D ．9900-【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理）【答案】C【分析】由πsin2n y =的周期为4，可得22222210010013579799S =+-+-+⋅⋅⋅+-，利用并项求和可得解．【解析】2111a =+，21a =，2313a =-，41a =，…，考虑到πsin2n y =的周期为4，所以()222222100100135797991002135799S =+-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯++++⋅⋅⋅+(199)50100249002+⨯=-⨯=-．故选C ．16．已知{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】广东省广州市增城区增城中学2020-2021学年高二上学期第一次段考【答案】C【分析】由2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，结合题设条件，推得11n n a a -+=，进而求得2019S 的值，得到答案．【解析】由题意，当2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，因为12n n a S n -+=，所以2()n n n S a a n +-=，即2n n S a n =+，当2n ≥时，1121n n S a n --=+-，两式相减，可得121n n n a a a -=-+，即11n n a a -+=，所以2345671,1,1,a a a a a a +=+=+=，所以()()()12345201820120991201911110102a a a a a a a S -=+++++++=+⨯=．故选C ． 17．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人 A ．225 B ．255 C ．365D ．465【试题来源】山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末月考【答案】B【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解析】当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==⋅⋅⋅==， 2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=，故选B 18．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为 A ．1348 B ．1358 C ．1347D ．1357【试题来源】江苏省镇江市八校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】C【分析】由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又202067331=⨯+，由此可得答案.【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=，故选C. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，，则S 2019的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中考前热身【答案】C【分析】由2n ≥时，12n n a S n -+=，得到121n n a S n ++=+，两式相减，整理得()112n n a a n ++=≥，结合并项求和，即可求解．【解析】当2n ≥时，12n n a S n -+=，①，可得121n n a S n ++=+，②，由②－①得，112()1n n n n a a S S +--+-=，整理得()112n n a a n ++=≥，又由11a =，所以20191234520182019()()()1010S a a a a a a a =+++++++=．故选C ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =．则正确的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）（文）试卷【答案】D【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断．【解析】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确．故选D.21．已知正项数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且当*2,n n N ≥∈时，2n a =，数列()1cos 12n n n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前64项和为 A ．240 B ．256 C ．300D ．320【试题来源】重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】D【分析】由题意结合数列n a 与n S 2-=，由等差数列的性质即可得21n =-，进而可得当2n ≥时，88n a n =-，结合余弦函数的性质、分组求和法可得()()()642664648264T a a a a a a --=+++⋅⋅⋅+-，即可得解．【解析】由题意，当*2,n n N ≥∈时，12n n n S a S -==-，即2=，由0n S >2=，所以数列1=，公差为2的等差数列，()12121n n =+-=-，所以当2n ≥时，()222121188n a n n n ==-+--=-⎡⎤⎣⎦，设数列()1cos12nn n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为数列n T ，所以该数列前64项的和为 164234234cos 1cos 1cos 1cos 12222T a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++⋅++-⋅++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6464cos 12a π⎛⎫+⋅⋅⋅+⋅+ ⎪⎝⎭ ()()()262642664624486464a a a a a a a a a a =-+-⋅⋅⋅-+=+++⋅⋅⋅--+-641616320=+⨯=．故选D ．【名师点睛】本题考查了数列n a 与n S 的关系、等差数列的判断及性质的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题． 22．数列{}n a 的前n 项和为n S ，项n a 由下列方式给出1121231234,,,,,,,,,,2334445555⋅⋅⋅⋅⋅⋅．若100k S ≥，则k 的最小值为 A ．200 B ．202 C ．204D ．205【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测【答案】C【分析】首先观察数列中项的特征，先分组求和，之后应用等差数列求和公式，结合题中所给的条件，建立不等关系式，之后再找其满足的条件即可求得结果．【解析】11212312112312334442222n n S n nn --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)1004n n -=≥．所以(1)400n n -≥，21n ≥．而当20n =时，95S =，只需要125212121m++⋅⋅⋅+≥，解得14m ≥．所以总需要的项数为1231914204+++⋅⋅⋅++=，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列求和公式，分组求和法，属于中档题目．23．已知数列{} n a 中，10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和为A ．10311102-+B ．1131902-+C ．1031902-+D ．11311102-+【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测【答案】C【分析】根据n 为奇数时，22n n a a +-=；n 为偶数时，23n n a a +=，得到数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；然后分别利用等差数列和等比数列前n 项和求解．【解析】因为10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和：数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；数列{}n a 中所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；所有()()2013192420......S a a a a a a =+++++++()()10113101012100213⨯-+=⨯++-1031902-=+，故选C ． 24．已知数列{}n a 的通项公式为2(1)n n a n =-，设1n n n c a a +=+，则数列{}n c 的前200项和为 A ．200- B ．0 C ．200D ．10000【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期期中（理）【答案】A【分析】利用分组求和法及等差数列求和公式求解．【解析】记数列{}n c 的前200项和为n T ，122001223199200200201n T c c c a a a a a a a a =++=++++++++123419920012012[()()()]a a a a a a a a =++++++-+()()()2222[41169200199]1201=-+-++-+-22[3711399]1201=⨯+++++-()2100339921201402004040112002+=⨯+-=-+=-．故选A ．25．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，记n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，且存在*k N ∈，使得10k S +=成立，则 A ．10a d > B ．10a d < C ．1a d >D ．1a d <【试题来源】浙江省浙考交流联盟2020-2021学年高三上学期8月线上考试【答案】B【分析】由题意按照k 为奇数、k 为偶数讨论，利用并项求和法可得1k S +，转化条件得存在*k N ∈且k 为偶数时，102ka d --=，即可得解．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，所以当*k N ∈且k 为奇数时，112341k k k S a a a a a a ++=-+-++⋅⋅⋅-+()()()12341102k k k a a a a a a d ++=-++-++⋅⋅⋅+-+=≠；当*k N ∈且k 为偶数时，1123411k k k k S a a a a a a a +-+=-+-++⋅⋅⋅-+-()()()()1234111122k k k k ka a a a a a a d a kd a d -+=-++-++⋅⋅⋅+-+-=-+=--；所以存在*k N ∈且k 为偶数时，102k a d --=即102ka d =-≠，当2k =时，1a d =-，此时1a d =，故排除C 、D ；所以1a 与d 异号即10a d <，故A 错误，B 正确．故选B ． 26．已知函数()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++，则1232020a a a a ++++的值为A ．4040B ．4040-C ．2020D ．2020-【试题来源】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高二上学期开学考试（文）【答案】A【分析】由题意得2222(1)sin(1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++，从而可求出11a =，222232018201920203,,2019,2021a a a a a ==-⋅⋅⋅==-=，然后通过分组求和可得答案．【解析】因为()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++，所以2222(1)sin (1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++，所以11a =，222223452018201920203,5,,2019,2021a a a a a a a ==-==⋅⋅⋅==-=，所以1232020a a a a ++++13520192462020()()a a a a a a a a =+++++++++22222222222[(13)(57)(20172019)][(35)(79)(20192021)]=-+-+⋅⋅⋅+-+-++-++⋅⋅⋅+-+2(135720172019)2(35720192021)=-++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++10102020101020242222⨯⨯=-⨯+⨯1010202010102024=-⨯+⨯4040=，故选A.27．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，*122(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，设211(2)(2)n n n b a a n n --=-≥，则数列{}n b 的前40项的和为A ．860B ．820C ．820-D ．860-【试题来源】河南省开封市河南大学附属中学2020-2021学年高二9月质检【答案】A【分析】本题先对数列{}n a 的递推公式进行转化可发现数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列，通过计算出数列{}12n n a a --的通项公式可得1n b -的表达式，进一步可得数列{}n b 的通项公式，最后在求和时进行转化并应用平方差公式和等差数列的求和公式即可得到前40项的和．【解析】由题意，可知当3n ≥时，122n n n a a a --=+，两边同时减去12n a -，可得112112222(2)n n n n n n n a a a a a a a -------=+-=--，2123211a a -=-⨯=，∴数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列， 11121(1)(1)n n n n a a ---∴-=⋅-=-，*(2,)n n ≥∈N ，21211(2)(1)n n n n b a a n n ---∴==-⋅-，故2(1)(1)n n b n ⋅=-+，令数列{}n b 的前n 项和为n T ，则4012343940T b b b b b b =++++⋯++22222223454041=-+-+-⋯-+222222[(23)(45)(4041)]=--+-+⋯+-[(23)(45)(4041)]=--+-+-⋯-+23454041=++++⋯++40(241)2⨯+=860=．故选A ．【名师点睛】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，定义法，平方差公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．28．在数列{}n a 中，122,2a a ==，且11(1)(*),nn n a a n N +-=+-∈则100S =A ．5100B ．2600C ．2800D ．3100【试题来源】河南省洛阳市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考【答案】A【分析】转化条件为22n n a a +-=，进而可得21k a -，2k a ，由分组求和法结合等差数列的前n 项和公式即可得解．【解析】因为11(1)(*)n n n a a n N +-=+-∈，所以1211(1)n n n a a +++-=+-，所以()()122121n n n n a a ++-=+--+=，因为122,2a a ==，所以()211212k a a k k -=+-=，()22212k k a k a =+-=，*k N ∈，所以()()100123499100139924100S a a a a a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2100241002410025051002+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=⨯⨯=．故选A ．【名师点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了分组求和法的应用及转化化归思想，属于中档题．29．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为A ．20192020-B ．20202019-C ．20202021-D ．20212020-【试题来源】2020届广东省华南师范大学附属中学高三年级月考（三）（理）【答案】C【分析】先根据和项与通项关系得11n n a a --=，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,n n a S ，代入化简n c ，最后利用分组求和法求结果．【解析】因为()2*2,0n n n nS a a n Na=+∈>，所以当1n =时，21112a a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，所以 ()()1110n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为1，首项为1，所以()()111,2n n n n a n n S +=+-==，所以()()21111121n n n n na c s n n +⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项的和11111111202011223342020202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选C ． 30．若数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值是 A ．4B ．5C ．6D ．7【试题来源】山西省运城市2021届高三（上）期中（理）【答案】B【分析】求得1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，利用数列的单调性可求得满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值．【解析】数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，所以()()2121212121iji j i jij i j i j c a a a a +=⋅++=--+-+-=-．令1122n nn S c c c =+++，则()102,n n nn S S c n n N *--=>≥∈，所以，数列{}n S 为递增数列，当11222021nn c c c +++<时，所有的元素之和为246212121212021n n n S +=-+-+-++-<，当4n =时，24684222243362021S =+++-=<，当5n =时，246810522222513592021S =++++-=<，当6n =时，246810126222222654542021S =+++++-=>，故n 的最大值为5，故选B ．【点评】关键点【名师点睛】本题考查数列不等式的求解，解题的关键在于求出1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，在求解数列不等式时，要充分结合数列的单调性求解．31．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即11a =，21a =，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用．若将此数列{}n a 的各项除以2后的余数构成一个新数列{}n b ，设数列{}n b 的前n 项的和为n T ；若数列{}n a 满足：212n n n n c a a a ++=-，设数列{}n c 的前n 项的和为n S ，则20202020T S +=A ．1348B ．1347C ．674D ．673【试题来源】浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期期中【答案】B【分析】根据题意写出数列{}n a 的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，可得2020T ，再计算1n nc c +，结合等比数列的通项公式和求和公式，可得2020S ，进而得到所求和．【解析】“兔子数列”的各项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，∴此数列被2除后的余数依次为1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯⋯，即11b =，21b =，30b =，41b =，51b =，60b =，⋯⋯， ∴数列{}n b 是以3为周期的周期数列，20201231673()673211347T b b b b ∴=+++=⨯+=，由题意知22212112221121222121212()()1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c a a a a a a a a a a a c a a a a a a a a a +++++++++++++++++-+---====----，由于212131c a a a =-=-，所以(1)n n c =-，所以2020(11)(11)(11)0S =-++-++⋯+-+=．则202020201347T S +=．故选B.【名师点睛】确定数列数列{}n b 是以3为周期的周期数列，利用周期性求出数列的和，摆动数列(1)n n c =-可以利用分组求和，是解决问题的关键，属于中档题． 32．已知函数()()()22,,n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为奇数时当为偶数时且()(1)n a f n f n =++，则121100a a a a ++++等于A ．0B ．100C ．-100D ．10200【试题来源】广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中质量测试【答案】B【分析】先求出通项公式n a ，然后两项一组，即可求解数列的前100项的和【解析】()(1)n a f n f n =++，∴由已知条件知，2222(1),(1),n n n n a n n n ⎧-+=⎨-++⎩为奇数为偶数，即()21,21,n n n a n n ⎧-+=⎨+⎩为奇数为偶数，(1)(21)n n a n ∴=-+，12(n n a a n +∴+=是奇数），123100123499100()()()2222100a a a a a a a a a a ∴+++⋯+=++++⋯++=+++⋯+=故选B ．【名师点睛】解答本题的关键是求出数列{}n a 的通项(1)(21)n n a n =-+，即得到12(n n a a n ++=是奇数）．33．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是 A ．8 B ．9 C ．10D ．11【试题来源】山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试（A ）【答案】A【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案．【解析】由题意得323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2nn +-()212312n n ⨯-=⨯-- 1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<；当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8．故选A ．【名师点睛】本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T ．34．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n b π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =A ．1B ．12C ．12-D ．-1【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末【答案】C【分析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S ．【解析】1(1)(1)n n na n a n n +=+++，111n na a n n+∴-=+， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为1，21(1)n n a n a n n ∴=+-⇒=，2cos3n n b n π∴=，3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，33cos 23k b k k k π==， 3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-=， ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故选C ．35．设()f n ()*n ∈N 的整数，如()()()()()11,21,324252f f f f f =====，，，若正整数m 满足()()()()11114034123f f f f m ++++=，则m = A ．20162017⨯ B ．20172018⨯ C ．20182019⨯D ．20192020⨯【试题来源】陕西省西安市高新一中2018-2019学年高二上学期期末（理）【答案】B【解析】设()f x j =，,*x j N ∈，n 是整数，则221124n n n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭不是整数，因此任意正整数的正的平方根不可能是1()2n n Z +∈形式，所以1122j j -<<+，221144j j x j j -+<<++，因为,*x j N ∈，所以221j j x j j -+≤≤+，故()f x j =时，2221,2,,x j j j j j j =-+-++共2j 个，设222111(1)(2)()p a f j j f j j f j j =+++-+-++，则22p ja j==，*p N ∈，由题意()()()()11114034123f f f f m ++++=，403422017=⨯，所以()()()()1111111111123(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f m f f f f f f ⎡⎤⎡⎤++++=+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1114034(220171)(220172)()f m f m f m ⎡⎤+++=⎢⎥-⨯+-⨯+⎣⎦，故()2017f m =，m 为方程2017f =的最大整数解，所以22017201720172018m =+=⨯．故选B ．【名师点睛】本题主要考查数列与函数的关系、数列的应用，解题关键是设()f x j =，,*x j N ∈，确定x 的范围，得出x 的个数，然后计算出满足()f x j =的所有1()f x 的和为2．二、多选题1．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）．已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S ．下列结论正确的有A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 【试题来源】湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三上学期月考（三）【答案】ACD【解析】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的；又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．2．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）．已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S ．下列结论正确的有A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【试题来源】江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二上学期期中模拟（2）【答案】ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【解析】因为a 11＝2，a 13＝a 61+1，所以2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），所以a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，所以a 67＝17×36，所以S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（）12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1），故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．三、填空题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足112a =-，且()1222n n a a n N n n *++=∈+，则10S =__________．【试题来源】广西桂林市第十八中学2021届高三上学期第二次月考（理）【答案】1011【分析】根据题中条件，由裂项的方法得到1112n n a a n n ++=-+，根据裂项相消与并项求和的方法，即可得出结果．【解析】因为()122211222n n a a n n n n n n ++===-+++，则()()()()()1012345678910S a a a a a a a a a a =+++++++++11111111113355779911⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11011111=-=．2．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，10a =，若11(1)(2)n n n na a +⎡⎤=+-+-⎣⎦（*n N ∈），则100S =__________．【试题来源】江苏省徐州市沛县2020-2021学年高三上学期第一次学情调研【答案】101223- 【分析】分n 为奇数、n 为偶数两种情况讨论，可得数列{}n a 的特点，然后可算出答案．【解析】当n 为奇数时，()12nn a +=-，则()122a =-，()342a =-，，()991002a =-，当n 为偶数时，()12222nn n n n a a a +=+-=+，则232220a a =+=，454220a a =+=，，989998220a a =+=，又10a =，所以10110024100223S a a a -=+++=． 3．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =__________．【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期第二次质量检测（理）【答案】122n n +--【分析】根据题中条件，得到11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，判定数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，求出121n na =-，由分组求和的方法，即可求出结果．【解析】由12n n n a a a +=+得12121n n n n a a a a ++==+，所以11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，因此数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，又11a =，所以1112a +=，因此111222n n n a -+=⨯=，所以121n n a =-，因此()()2121222 (22212)n nn n n n S n +-=+++-=-=---．故答案为122n n +--．【名师点睛】求解本题的关键在于，根据12n n n a a a +=+，由构造法，得到111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法求解即可． 4．数列{}n a 的通项公式22cos4n n a n n π=-，其前n 项和为n S ，则2021S =__________．【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题【答案】1010．【分析】由于22cos(1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，可得数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项，从而可求得其结果【解析】因为22cos (1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，所以数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项，所以2021246820182020S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++246820182020=-+-+-⋅⋅⋅-+(24)(68)(20182020)=-++-++⋅⋅⋅+-+1010210102=⨯=．故答案为1010 5．2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足21(1)nn n a a +-=--，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有__________．【试题来源】山东省聊城市2020-2021学年高三上学期期中【答案】255【分析】根据题目所给递推关系式，求得数列{}n a 项的规律，由此进行分组求和，求得数列前30项的和．【解析】由于()211nn n a a +-=--，当n 为偶数时，20n na a +-=，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于22a =，共有15项，和为15230⨯=；当n 为奇数时，22n n a a +-=；又11a =，所以前30项中的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，共有15项，和为151415122252⨯⨯+⨯=．故30天的总人数为30225255+=．故答案为255． 6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1cos2n n a n n N π=+⋅∈，则2020S =__________．【试题来源】上海市复兴高级中学2021届高三上学期期中【答案】3030【分析】根据题意，先确定cos2n π的周期，再求出一个周期的和，即可得出结果．【解析】由()4coscos 2cos 222n n n ππππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，知cos 2n π的周期为4，又11cos12a π=+=，212cos 12a π=+=-， 3313cos12a π=+=， 414cos 214a π=+=+，则1234426a a a a +++=+=，所以20202020630304S =⨯=．故答案为3030．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-．则数列{}n S 的前n 项和n T =__________．【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期适应性月考（四）【答案】122n n +--【分析】通过前n 项和n S 与n a 的关系式以及等比数列的定义得出{}n a 及{}n S 的表达式，进而利用分组求和即可．【解析】由21n n S a =-，得111211a a a =-⇒=，由21n n S a =-，有1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减，11222(2)n n n n n a a a a a n --=-⇒=，故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n na ，122112nn n S -==--，()12122212n n n T n n +-∴=-=---．8．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a 、2a 、3a 、、n a 、，并记相应的极大值为1b 、2b 、3b 、、n b 、，则数列{}n n a b +前9项的和为__________．【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考【答案】11032【分析】求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N*-∈上的解析式，利用导数求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N *-∈上的极大值点与极大值，可得出数列{}n n a b +的通项公式，再利用分组求和法可求得数列{}n n a b +的前9项的和．【解析】函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，则()()21=-f x f x ，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，则当[)()1,x n n n N *∈-∈，()[)10,1x n --∈，()()()()()2112122212sin 1n n f x f x f x f x n x n ππ--=-=-==--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()12cos 1n f x x n πππ-'=--⎡⎤⎣⎦，当[)()1,x n n n N*∈-∈时，()[)10,1x n --∈，则()[)10,x n πππ--∈⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，可得()12x n πππ--=，解得12x n =-，当112n x n -<<-时，()0f x '>，当12n x n -<<时，()0f x '<．所以，函数()y f x =在12x n =-处取得极大值，即1122n n b f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又12n a n =-，1122n n n a b n -∴+=-+，因此，数列{}n n a b +的前9项的和991199121103222122S ⎛⎫+-⨯ ⎪-⎝⎭=+=-．【名师点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题．9．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________．【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可．【解析】因为121,(1)2nn n a a a +=+-=，所以当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，所以1002500502550S =+=，故答案为2550．【名师点睛】（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列；（2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21122n n a a a =＋，=+，则5S 的值为__________．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（理）【答案】732【解析】122n n a a +=+，()1222n n a a +∴+=+，故数列{}2n a +是以2为公比，以223a +=为第二项的等比数列，故2232n n a -+=⋅，故2322n n a -=⋅-，()5531273225122S -∴=-⨯=-，故答案为732. 【名师点睛】1n n a pa q +=+(1,0p q ≠≠的常数)递推关系求通项，构造等比数列是解题关键，属于基础题． 11．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为__________．【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试【答案】3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案．【解析】由等比数列的前n 项和公式得()1314112821112n nn na q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===---，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，。

人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题【答案】C3．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷【答案】B20．-300° 化为弧度是（） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为（） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________．【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______．【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），则该容器盛满水时的体积是．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________．【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求：（1）扇形的弧长；（2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料专题十五任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。

2019-2020学年上海市宝山区初三数学一模(试卷+参考答案)

2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟 2020.1）考生注意：1．本试卷含四个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一. 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．符号A sin 表示………………………………………………………………… （） A ．∠A 的正弦； B ．∠A 的余弦； C ．∠A 的正切； D ．∠A 的余切．2．如果b a 32-=，那么ba=………………………………………………………（） A ．3-； B ．2-； C ．5； D ．1-．3．二次函数221x y -=的图像的开口方向…………………………………… （） A ．向左； B ．向右； C ．向上； D ．向下．4．直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA =67°，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的……………… （） A ．俯角67°方向； B ．俯角23°方向； C ．仰角67°方向； D ．仰角23°方向． 5．已知a 、b 为非零向量，如果5b a =-，那么向量a 与b 的方向关系是……………………………………… （）a b a b a b a b C ．a 和b 方向互相垂直； D ．a 和b 之间夹角的正切值为5． 6．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB =2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积………（） A ．3+π B ． 3-π C ．322-π D ．32-π第6题图第4题图ABDECCA BD 二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．已知1:2=3：x ，那么x = ▲ ．8．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为 ▲ ． 9．如图，△ABC 中∠C =90°，如果CD ⊥AB 于D ，那么AC 是AD 和 ▲ 的比例中项． 10．在△ABC 中，AB BC CA ++= ▲ ．11．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的 ▲ 方向．12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 是∠ABC 的平分线．如果x AC =，那么=CD ▲ （用x 表示）．13．如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，联结BE ．如果BE =9，BC =12，那么cosC = ▲ ． 14．若抛物线2()(1)y x m m =-++的顶点在第二象限，则m 的取值范围为 ▲ ． 15．二次函数=y 322++x x 的图像与y 轴的交点坐标是__▲__．16. 如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，如果P 是AB 的中点，PD 与AB 交于E 点，那么PEDE＝ ▲ ． 17. 如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果AC <BC ，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边△ACD 、△BCE ，联结DE ，当△CDE 的面积为33时，线段AC 的长度是 ▲ ．18. 如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．第9题图第18题图第16题图第17题图第12题图第13题图三、（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（本题满分10分）计算：21245cos 260tan 6-︒-︒20．（本题满分10分，每小题各5分）已知：抛物线m x x y +-=22与y 轴交于点C(0,-2)，点D 和点C 关于抛物线对称轴对称．（1）求此抛物线的解析式和点D 的坐标；（2）如果点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，求△MCD 的周长．第20题图21．（本题满分10分，每小题各5分）某仓储中心有一个坡度为2:1=i 的斜坡AB ，顶部A 处的高AC 为4米，B 、C 在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB 的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG 的长方体货柜，其中长 DE =2.5米，高EF =2米.该货柜沿斜坡向下时，点D 离BC 所在水平面的高度不断变化，求当BF =3.5米时，点D 离BC 所在水平面的高度DH ．22．（本题满分10分，每小题各5分）如图，直线l :3y x =，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，O 1B 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，O 2B 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去．求：（1）点1B 的坐标和∠1A O 1B 的度数；（2）弦43A B 的弦心距的长度．第21题图第22题图23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB=AC ，AM 为BC 边的中线，点D 在边A C 上，联结BD 交AM 于点F ，延长BD 至点E ，使得DCADDE BD =，联结CE ．求证：（1）∠ECD=2∠BAM ；（2） BF 是DF 和EF 的比例中项．24．（本题共12分，每小题各4分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数)1(2-+=x x a y 的图像交于点A （1，a ）和点B （﹣1，﹣a ）．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图像的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．第23题图25．（本题共14分，其中第（1）、（3）小题各4分，第（2）小题6分）如图，OC 是△ABC 中AB 边的中线，∠ABC=36°，点D 为OC 上一点，如果OD ＝k ·OC ，过D 作DE ∥CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点．将△ODE 绕点O 顺时针旋转α度（其中︒<<︒1800α）后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果△ABC 的面积为26，求△ODE 的面积（用k 的代数式表示）；（2）当N 和B 不重合时，请探究∠ONB 的度数y 与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB 为等腰三角形时，旋转角α的度数．第25题图2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． A ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5． B ； 6．C ；二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．6； 8．1:2； 9．AB ； 10．0； 11．南偏西14°； 12．x 31-； 13．32；14．01<<-m ； 15．（3,0）； 16．212-； 17．2； 18．3)4(2+-=x y . 三、简答题（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分．第25题14分；满分78分） 19．解：原式=2236-- ……………………6分=2)23)(23()23(6-+-+⋅ ……………………2分=322221218+=-+ ……………………2分20．（1）∵点C(0,-2)在抛物线m x x y +-=22上，∴2-=m ，此抛物线的解析式为222--=x x y ……………………………2分 ∵222--=x x y =3)1(2--=x y ，∴对称轴为直线1=x ，………………1分和点C 关于抛物线对称轴对称的点D 的坐标为：D （2，-2）．………………2分（2）根据题意点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，∴M （1,0）……………2分 ∴MC=MD=52122=+， CD=2 …………………………2分 △MCD 的周长为252+． ……………………………………………………1分 21. 解：（1）根据题意斜坡高AC 为4m ，2:1=i ，∴水平宽度BC =8；……………2分坡面AB=5422=+BC AC ………………………………………………3分（2）过D 作DH ⊥BC 于H 交AB 于点M∵∠DMG =∠BAC ∠DGM =∠BCA∴△ DGM ∽△BCA …………………………1分 ∵ 矩形DEFG 中长DE =2.5m ，高EF =2m BF =3.5m∴GM=1， DM=5， FM=1.5， BM=5， MH=5 …………………3分点D 离BC 所在水平面的高度为52米。

2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第3章空间向量及其应用(压轴题专练)练习

第３章空间向量及其应用压轴题专练一、单选题1．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B C D 2．（2021·上海·模拟预测）设向量(),,0u a b =，(),,1c d υ=，其中22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是A ．向量υ与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关）B ．u υ⋅C ．u 与υ夹角的最大值为34π D ．ad bc -的最大值为l3．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且0a b c ++=，则a d b d c d -+-+-不可能等于A ．3B ．C ．4D ．4．（2021·上海市控江中学高二期中）如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是（）A B ．15C D ．13二、填空题5．（2021·上海交大附中高二开学考试）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.6．（2019·上海交大附中高二期中）已知,,,A B C P 为半径为R 的球面上的四点，其中,,AB AC BC 间的球面距离分别为3R π，2R π，2R π，若OP xOA yOB zOC =++，其中O 为球心，则x y z ++的最大值是__________．7．（2018·上海市张堰中学高二阶段练习）如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,点E 、F 分别是线段11AB C D 、上的动点,点P 是上底面1111D C B A 内一动点,且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离,则当点P 运动时,PE 的最小值是__________.8．（2022·上海·高三专题练习）在空间直角坐标系中，点(,,)P x y z 满足：22216x y z ++=，平面α过点(1,2,3)M ，且平面α的一个法向量(1,1,1)n =，则点P 在平面α上所围成的封闭图形的面积等于__________.9．（2021·上海中学高二期中）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=且对任意x 、y R ∈，12010200|()||()|1(,),b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈则00b x y ++=______三、解答题10．（2021·上海·华师大二附中高二期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱 PD ⊥底面ABCD ，且 PD CD =，过棱PC 的中点 E ，作EF PB ⊥交 PB 于点F ，连接 ,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．11．（2022·上海·高三专题练习）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，AB AC ⊥，,,D E F 分别是111,,A B CC BC 的中点．（1）求证：AE DF ⊥；（2）求AE 与平面DEF 所成角的大小及点A 到平面DEF 的距离．12．（2020·上海·高三专题练习）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．（1）11B D 与1A D 能否垂直？说明理由；（2）当111A B C ∠在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求异面直线1AC 与11A B 所成角的取值范围．13．（2021·上海交大附中高二开学考试）如图，在Rt SOA 中，6OSA π∠=，斜边4SA =，半圆H 的圆心H 在边OS 上，且与SA 相切，现将Rt SOA 绕SO 旋转一周得到一个几何体，点B 为圆锥底面圆周上一点，且90AOB ∠=︒．（1）求球H 的半径；（2）求点O 到平面SAB 的距离；（3）设Р是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围．14．（2018·上海交大附中高二期末）设全体空间向量组成的集合为V ，()123,,a a a a =为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”()()()():2f x f x x x a a x V =-+⋅∈.（1）设()1,0,0u =，()0,0,1v =，若()f u v =，求向量a ；（2）对于V 中的任意两个向量x ，y ，证明：()()f x f y x y ⋅=⋅；（3）对于V 中的任意单位向量x ，求()f x x -的最大值.15．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）如图，ABC 是边长为4的正三角形，点D 是ABC 所在平面外一点，3AD =且AD ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点.(1) 求证：CE ⊥平面ABD ；(2) 求直线AD 和平面CDE 所成角的大小； (3) 求点A 到平面BCD 的距离.16．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，1AB =，1PA AC ⋅=，()090ABC θθ∠=︒<≤︒.（1）若90θ=︒，E 为PC 的中点，求异面直线PA 与BE 所成角的大小；（2）若90θ=︒，求二面角A PC B --的大小；（3）试求四棱锥P ABCD -的体积V 的取值范围.17．（2021·上海市西南位育中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，04,45AB AD CD CDA +==∠=.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设AB AP t ==，若直线PB 与平面PCD 所成角大小为30°，求线段AB 的长.18．（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD 中，E ，F 分别是棱AD 、BC 中点．求：（1）AF 与CE 所成角的余弦值；（2）CE 与底面BCD 所成角的正弦值．19．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）长方体OABC O A B C ''''-中，AB BC a ==，BB b '=，,E F 分别为棱,AB BC 上的动点，且AE BF x == (0)x a ≤≤，（1）当a b =时，求证：直线O B '⊥平面B AC '；（2）当2a b ==，且BEF 的面积取得是大值时，求点B 到平面B EF '的距离；（3）当2,1a b ==时，求从E 点经此长方体表面到达O '点最短距离．20．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC 的重心，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）在线段1A B 上是否存在点N （N 不与端点1A 、B 重合），使平面CMN 与平面DEN 垂直?若存在，求出1A N 与BN 的比值；若不存在，请说明理由.21．（2021·上海·格致中学高二期中）如图，ABCD 与ADEF 是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直．（1）求异面直线AE与BD所成角的大小；（2）在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，且BMxBD=，ENyEA=，试用x，y来表示线段MN的长度；（3）在（2）的条件下，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段?。

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