1998年全国统一高考数学试卷(理科)

1998年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）（2008•陕西）sin330°等于（）A ．B．C．D．2．（4分）函数y=a|x|（a＞1）的图象是（）A ．B．C．D．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程为（）A ．（x+2）2+y2=4B．（x﹣2）2+y2=4C．（x+4）2+y2=16D．（x﹣4）2+y2=164．（4分）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是（）A ．A1A2+B1B2=0B．A1A2﹣B1B2=0C．D．5．（4分）函数f（x）=（x≠0）的反函数f﹣1（x）=（）A ．x（x≠0）B．（x≠0）C．﹣x（x≠0）D．﹣（x≠0）6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A．* B．C．D．7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A ．120°B．150°C．180°D．240°8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A ．i B．﹣iC．±i D．±i9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A ．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S'S10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A ．B．C．D．11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A ．90种B．180种C．270种D．540种12．（4分）（2014•邯郸一模）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A ．7倍B．5倍C．4倍D．3倍13．（4分）（2007•崇文区二模）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A ．4B．2C．2 D．14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）A ．arccos B．arcsin C．arccos D．arcsin15．（4分）在等比数列{a n}中，a1＞1，且前n 项和S n 满足S n=，那么a1的取值范围是（）A ．（1，+∞）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16．（5分）（2014•云南一模）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________．17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为_________（用数字作答）．18．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）19．（5分）（2010•江西模拟）关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是_________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（共6小题，满分70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，A﹣C=．求sinB的值．以下公式供解题时参考：sinθ+sin∅=2sin cos，sinθ﹣sin∅=2cos sin，cosθ+cos∅=2cos cos，cosθ﹣cos∅=﹣2sin sin．21．（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．24．（12分）设曲线C的方程是y=x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称；（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=﹣t且t≠0．25．（12分）已知数列{b n}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（1）求数列{b n}的通项b n；（2）设数列{a n}的通项a n=log a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S n是数列{a n}的前n项和．试比较S n与log a b n+1的大小，并证明你的结论．1998年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）（2008•陕西）sin330°等于（）A ．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．分析：根据330°=360°﹣30°，由诱导公式一可得答案．解答：解：∵故选B．点评：本题主要考查根据三角函数的诱导公式进行化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．2．（4分）函数y=a|x|（a＞1）的图象是（）A ．B．C．D．考点：指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：可以先由函数的解析式判断函数是偶函数，图象关于y 轴对称，再考虑x≥0时，函数是指数函数，据它的图象特征，从而选出正确的答案．解答：解：法一：由题设知y=，又a＞1．由指数函数图象易知答案为B．法二：因y=a|x|是偶函数，又a＞1．所以a|x|≥1，排除AC．当x≥0，y=a x，由指数函数图象知选B点评：本题考查指数函数的图象特征．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程为（）A ．（x+2）2+y2=4B．（x﹣2）2+y2=4C．（x+4）2+y2=16D．（x﹣4）2+y2=16考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将原极坐标方程ρ=4cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．解答：解：将原极坐标方程ρ=4cosθ，化为：ρ2=4ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，即y2+（x﹣2）2=4．故选B ．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．4．（4分）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是（）A ．A1A2+B1B2=0B．A1A2﹣B1B2=0C．D．考点：两条直线垂直的判定．专题：常规题型；计算题．分析：两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，求解即可得到选项．解答：解：直线A1x+B1y+C1=0的方向向量为（﹣B1，A1），直线A2x+B2y+C2=0的方向向量为（﹣B2，A2），两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C 2=0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，即：（﹣B1，A1）（﹣B2，A2）=0 可得A1A2+B1B2=0故选A．点评：本题考查两条直线垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．5．（4分）函数f（x）=（x≠0）的反函数f﹣1（x）=（）A ．x（x≠0）B．（x≠0）C．﹣x（x≠0）D．﹣（x≠0）考点：反函数．专题：计算题．分析：先求出函数f（x ）=的值域y≠0，再由函数y=解出x后，将x与y互换位置即可得到答案．解答：由y=得x=且y≠0，所以反函数f﹣1（x）=且x≠0 故选则B点评：本题主要考查反函数的求法，属于基础题．6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A．* B．C．D．考点：正弦函数的单调性；象限角、轴线角；正切函数的单调性．专题：计算题．分析：先根据点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，得到sinα﹣cosα＞0，tanα＞0，进而可解出α的范围，确定答案．解答：解：∵故选B．点评：本题主要考查正弦、正切函数值的求法．考查基础知识的简单应用．7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A ．120°B．150°C．180°D．240°考点：扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角．解答：解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°故选C．点评：本题考查圆锥的侧面展开图，及其面积等知识，考查空间想象能力，是基础题．8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A ．i B．﹣iC．±i D．±i考点：复数乘法的棣莫弗公式；复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：先把复数化简成标准的三角形式，再利用棣莫弗定理，求其立方根．解答：解：∵﹣i=cos+isin，其立方根是cos+isin ，k∈0，1，2，即i，﹣﹣i，﹣i，故选D．点评：本题考查复数的三角形式，棣莫弗定理得应用．9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A ．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S'S考点：棱台的结构特征．专题：计算题；综合题．分析：棱台不妨看做三棱台，利用相似的性质，面积之比是相似比的平方，化简即可．解答：解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：消去r，然后代入一个方程，可得2故选A．点评：本题考查棱台的结构特征，结论可作公式应用，是基础题．10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A ．B．C．D．考点：函数的图象；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：数形结合．分析：本题利用排除法解．从所给函数的图象看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项．解答：解：如果水瓶形状是圆柱，V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．故选：B．点评：本题主要考查知识点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）等简单几何体和函数的图象，属于基础题．本题还可从注水一半时的状况进行分析求解．11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A ．90种B．180种C．270种D．540种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；综合题．分析：三所学校依次选1名医生、2名护士，同一个学校没有顺序，可得不同的分配方法数．解答：解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．故选D．点评：不同考查组合及组合数公式，考查计算能力，是基础题．12．（4分）（2014•邯郸一模）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A ．7倍B．5倍C．4倍D．3倍考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），由线段PF1的中点在y轴上，设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆=1，得．再由两点间距离公式分别求出|P F1|和|P F2|，由此得到|P F1|是|P F2|的倍数．解答：解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），如图，∵线段PF1的中点M在y轴上，∴可设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆=1，得．∴|PF1|=，|PF2|=．．故选A．点评：本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．13．（4分）（2007•崇文区二模）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A ．4B．2C．2 D．考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：解法一：利用大小排除，解法二：这三个点满足等边三角形，即可求解角的大小，进而求解R，解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．解答：解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=，OA=OC知OA=AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OA＞O′A．所以O′A＜OA＜2O′A．因为OA=R，所以2＜R＜4．因此，排除A、C、D，得B．解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=2．因为∠AOB=θ=，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=2．解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点．在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=2．故选B．点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是基础题．14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）A ．arccos B．arcsin C．arccos D．arcsin考点：等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；压轴题．分析：设Rt△ABC中，C=，则A与B互余且A为最小内角．根据等比数列的性质得sin2B=sinA，求的sinA，进而求的A ．解答：解：设Rt△ABC中，C=，则A与B互余且A为最小内角．又由已知得sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1﹣sin 2A=sinA，解得sinA=或sinA=（舍）．故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质和同角三角函数基本关系的应用．属基础题．15．（4分）在等比数列{a n}中，a 1＞1，且前n项和S n满足S n=，那么a1的取值范围是（）A（1，+∞）B（1，4）C（1，2）D（1，）．．．．考点：极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：在等比数列{a n}中，S n=，由题意可知，=，再由a1＞1，|q|＜1能够推导出a1的取值范围．解答：解：由题意知S n==，∴a12=1﹣q，∵a1＞1，|q|＜1，∴1＜a12＜2，∴．故选D．点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意掌握极限的逆运算．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16．（5分）（2014•云南一模）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．由此可求出它到双曲线中心的距离．解答：解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用．17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为179（用数字作答）．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令r=0，2得展开式系数．解答：解：（x+2）10（x2﹣1）=x2（x+2）10﹣（x+2）10∴（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数是（x+2）10展开式的x8的系数﹣x10的系数∵（x+2）10展开式的通项为T r+1=C10r x10﹣r2r=2r C10r x10﹣r∴令r=0，2分别得x10，x8的系数为1，180故展开式中x10的系数为180﹣1=179，故答案为179点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．18．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：压轴题；开放型．分析：根据题意，由A1C⊥B1D1，结合直棱柱的性质，分析底面四边形ABCD得到BD⊥AC，进而验证即可得答案．解答：解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱，∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1则B1D1⊥平面A1AC1C∴B1D1⊥AC，又由B1D1∥BD，则有BD⊥AC，反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1故答案为：BD⊥AC．点评：本题主要通过开放的形式来考查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．19．（5分）（2010•江西模拟）关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是②．（把你认为正确的命题序号都填上）考点：三角函数的周期性及其求法；命题的真假判断与应用；运用诱导公式化简求值；正弦函数的对称性．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据函数求出最小正周期，然后根据诱导公式求出对称中心，然后根据图象分别求出最大值和最小值，最后综合判断选项．解答：解：函数f（x）=4sin的最小正周期T=π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是=知①错．利用诱导公式得f（x）=4cos=4cos=4cos，知②正确．由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x=代入得f（x）=4sin≠0，因此点（，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故命题③错误．曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x=﹣时y=0，点（﹣，0）不是最高点也不是最低点，故直线x=﹣不是图象的对称轴，因此命题④不正确．故答案为：②点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，诱导公式的利用，以及正弦函数的对称性问题，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，A﹣C=．求sinB的值．以下公式供解题时参考：sinθ+sin∅=2sin cos，sinθ﹣sin∅=2cos sin，cosθ+cos∅=2cos cos，cosθ﹣cos∅=﹣2sin sin．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．分析：先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦的关系，再经过和差化积和诱导公式转化即可求出的余弦和正弦值，再由正弦的二倍角公式可得答案．解答：解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB．由和差化积公式得2sin cos=2sinB．由A+B+C=π得sin=cos，又A﹣C=得cos=sinB，所以cos=2sin cos．因为0＜＜，cos≠0，所以sin=，从而cos=所以sinB=．点评：本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．21．（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．考点：轨迹方程．专题：应用题．分析：方法一：由抛物线的定义知该曲线段是一段抛物线，建立适当的坐标系，依据题意求参数值．用定义法写出抛物线的方程．方法二：建立相应的坐标系，设出曲线段C上的任意一点的坐标（x，y），依据题意曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等得出方程整理即得抛物线的方程．解答：解：法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．设曲线段C的方程为y2=2px（p＞0），（x A≤x≤x B，y＞0），其中x A，x B分别为A，B的横坐标，p=|MN|．所以M（，0），N（，0）．由|AM|=，|AN|=3得（x A+）2+2px A=17，①（x A﹣）2+2px A=9．②由①，②两式联立解得x A=．再将其代入①式并由p＞0解得因为△AMN是锐角三角形，所以＞x A，故舍去所以p=4，x A=1．由点B在曲线段C上，得x B=|BN|﹣=4．综上得曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y＞0）．解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．设A（x A，y A）、B（x B，y B）、N（x N，0）．依题意有x A=|ME|=|DA|=|AN|=3，y A=|DM|=，由于△AMN为锐角三角形，故有x N=|ME|+|EN|=|ME|+=4x B=|BF|=|BN|=6．设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合{（x，y）|（x﹣x N）2+y2=x2，x A≤x≤x B，y＞0}．故曲线段C的方程为y2=8（x﹣2）（3≤x≤6，y＞0）．点评：考查利用坐标法求轨迹方程，以及抛物线的定义，本题主要是训练利用符号语言进行运算的能力．22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：先将实际问题转化成数学中的函数的最值问题，再利用基本不等式求．解答：解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小．根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），得b=（0＜a＜30）．①于是y====≥=，当a+2=时取等号，y达到最小值．这时a=6，a=﹣10（舍去）．将a=6代入①式得b=3．故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．因为a+2b≥2，所以+ab≤30，当且仅当a=2b时，上式取等号．由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18．所以2b2=18．解得b=3，a=6．故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．点评：本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；证明题；综合题；转化思想．分析：（1）要求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；必须先找出线面角，就是∠A1AC；（2）要求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；利用三垂线定理作出角，即作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．求解即可；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离，可以应用等体积法求解，也可以直接作出距离解三角形即可．解答：（1）解：如图作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．因为AA1⊥A1C，AA1=A1C，所以∠A1AD=45°为所求．（2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC=2，AC=2，所以DE=1，AD=A1D=，tan∠A1ED==．故∠A1ED=60°为所求．（3）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离．连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，所以∠HBC=∠A1ED=60°所以CH=BCsin60°=为所求．解法二：连接A1B．根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C﹣A1AB的高h．由得，即所以为所求．点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．24．（12分）设曲线C的方程是y=x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称；（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=﹣t且t≠0．考点：曲线与方程；函数的图象．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后，x变为x﹣t，y变为y﹣s，（2）在曲线C上任取一点B1（x1，y1），利用中点公式求出它关于点A的对称点B2，证明点B2在曲线C1上，同样证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．（3）曲线C与C1有且仅有一个公共点，即方程组有唯一解，对应的一元二次方程的判别式等于0，解答：（1）解：曲线C1的方程为y=（x﹣t）3﹣（x﹣t）+s．（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有，，所以x1=t﹣x2，y1=s﹣y2．代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：s﹣y2=（t﹣x2）3﹣（t﹣x2），即y2=（x2﹣t）3﹣（x2﹣t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上．反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．因此，曲线C与C1关于点A对称．（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解．消去y，整理得3tx2﹣3t2x+（t3﹣t﹣s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．所以t≠0并且其根的判别式△=9t4﹣12t（t3﹣t﹣s）=0，即所以且t≠0．点评：本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力．25．（12分）已知数列{b n}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（1）求数列{b n}的通项b n；（2）设数列{a n}的通项a n=log a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S n是数列{a n}的前n项和．试比较S n与log a b n+1的大小，并证明你的结论．考点：等差数列的通项公式；数列的求和；数学归纳法．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）根据数列{b n}是等差数列，建立b1与d的方程组，解之即可；（2）因此要比较S n与log a b n+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小，利用用数学归纳法证明此式，当a＞1时，S n＞log a b n+1，当0＜a＜1时，S n＜log a b n+1．解答：解：（1）设数列{b n}的公差为d，由题意得解得所以b n=3n﹣2．（2）由b n=3n﹣2，知S n=log a（1+1）+log a（1+）++log a（1+）=log a[（1+1）（1+）（1+）]，log a b n+1=log a．因此要比较S n与log a b n+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小．取n=1有（1+1）＞，取n=2有（1+1）（1+）＞，由此推测（1+1）（1+）（1+）＞．①若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a＞1时，S n＞log a b n+1．当0＜a＜1时，S n＜log a b n+1．下面用数学归纳法证明①式．（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+）（1+）＞．那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）（1+）（1+）＞（1+）=（3k+2）．因为==，所以（3k+2）＞．因而（1+1）（1+）（1+）（1+）＞．这就是说①式当n=k+1时也成立．由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：当a＞1时，S n＞log a b n+1．当0＜a＜1时，S n＜log a b n+1．点评：本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．。