最新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(包含答案解析)
新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(答案解析)(2)
一、选择题1．已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞ 2．若命题P :1x ≠或2y ≠，命题Q :3x y +≠，则P 是Q 的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必有3．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．0x R ∃∈，200220x x -+≥B ．设1a >，则“b a <”是“log 1a b <”的充要条件C ．若0a b <<，则11a b> D ．命题“[]1,3x ∀∈，2430x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈，200430x x -+>”5．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）A ．原命题与逆命题均为真命题B ．原命题真，逆命题假C ．原命题假，逆命题真D ．原命题与逆命题均为真命题6．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④7．全集U =R ，集合04xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞8．定义：若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合2200{(,)()()}x y x x y y r A -+-<⊆，则称A 为一个开集.给出下列集合：①22{(,)|1}x y x y +=；②{(,)|20}x y x y ++≥；③{(,)|6}x y x y +<； ④22{(,)|0(3)1}x y x y <+<. 其中是开集的是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④9．已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A =，则集合B 可以是（ ）A ．{}|21xx >B ．{}21x xC ．{}2log 1x xD ．{}1,2,310．函数()31f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．[]0,3a ∈B ．()0,5a ∈C ．()0,3a ∈D ．()1,2a ∈11．下列命题中，不正确的是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+≥B ．若0a b <<则11a b> C ．设0a >，1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的必要不充分条件D ．命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”12．命题“∀a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为（ ）A ．∀a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立B ．∀a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立C ．∃a ，b >0，a ＋1b<2和b ＋1a <2至少有一个成立D ．∃a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立二、填空题13．若“存在x ∈[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．14．集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为__________．15．已知1a ≤，集合{}2x a x a ≤≤-中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围为________. 16．方程2210ax x 至少有一个正实数根的充要条件是________；17．已知集合1,2,3,{}4,5,6X Y Z ⋃⋃=，若1,21,2,3,4,5}{},3{,X Y X Y X ⋂=⋃=∉，则集合X Y Z 、、所有可能的情况有_________种.18．写出命题“,20x x R ∀∈>”的否定：______．19．已知{|12},[0,4]M x m x m N =-≤≤=，且M N M ⋂=,则实数m 的取值范围_____________； 20．设{}1,2,3,M n =，则M 的所有子集的最小元素之和为__________三、解答题21．已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围.22．已知m R ∈，命题:p 对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-成立；命题:q 存在[]–1,1x ∈，使得m x ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围；23．设命题p ：12≤x ≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若q 是p 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围.24．已知命题20:{100x p x +≥-≤，命题:11,0q m x m m -≤≤+>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数的取值范围．25．设集合A {x |a 11}x a =-<<+，B {x |x 1=<-或x 2}>． （1）若A B ∅⋂=，求实数a 的取值范围； （2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围． 26．已知函数()()6lg 3f x x x =++-的定义域为集合A ，又集合{}216B x x =≤，{}30C x x m =+<.（1）求AB ，()RA B ⋃；（2）若x C ∈是x A ∈的必要条件，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果. 【详解】因为211xx <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<， 当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >，因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<， 当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意， 当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意， 综上所述：1a ≥. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．B解析：B 【分析】通过举反例，判断出P 成立推不出Q 成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论． 【详解】当0x =，3y =时，Q 不成立，即P Q ⇒不成立，即充分性不成立； 判断必要性时，写出原命题：3x y +≠时，则1x ≠或2y ≠， 由于原命题不好判断，故转化为逆否命题进行判断，即原命题变为：若1x =且2y =，则有3x y +=，对于该命题，明显成立，所以，原命题也成立；即必要性成立；所以P 是Q 的必要而不充分条件， 故选:B关键点睛：判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立；本题难点在于：利用逆否命题的真假性判断原命题的真假性，属于中档题．3．A解析：A 【详解】因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或， 因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A. 4．B解析：B 【分析】由()2200022110x x x -+=-+≥，可判断A ；由对数函数的定义域和对数函数的单调性得充分性不一定成立，必要性成立，可判断B ；运用作差法，判断其差的符号可判断C ；根据全称命题的否定是特称命题可判断D. 【详解】由()2200022110x x x -+=-+≥，得A 为真命题；由“b a <”不能推出“log 1a b <”，所以充分性不一定成立，由“log 1a b <”得“b a <”，所以必要性成立，故B 不正确；由0a b <<，则110b aa b ab --=>，∴11a b>，故C 正确； 根据全称命题的否定是特称命题知D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查判断命题的真假，对数函数的定义域，单调性，全称命题与特称命题的关系，属于中档题．5．B解析：B 【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真. 【详解】原命题的逆否命题为：若,a b 中没有一个大于等于1，则2a b +<，等价于“若1,1a b <<，则2a b +<”，显然这个命题是对的，所以原命题正确； 原命题的逆命题为：“若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”，取5,5a b ==-则,a b 中至少有一个不小于1，但0a b +=，所以原命题的逆命题不正确.至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.6．B解析：B 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．7．C解析：C 【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃. 【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >，()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.8．D解析：D 【分析】根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案. 【详解】①：22{(,)|1}x y x y +=表示以原点为圆心，1为半径的圆， 则在该圆上任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)}x y r A <⊆故①不是开集；②{(,)|20}x y x y ++≥，在曲线20x y ++=任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合不是开集； ③{(,)|6}x y x y +<平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到直线的距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)|}x y r A ⊆，故该集合是开集；④22{(,)|0(1}x y x y <+<表示以点()0,3为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到圆周上的点的最短距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合是开集． 故答案选D 项. 【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查对新定义的理解并解决问题，属于中档题.9．A解析：A 【分析】 由A B A =可知，A B ⊆，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可. 【详解】由AB A =可知，A B ⊆，对于A ：0{|212}x x >=＝{|0}x x A ⊇＞，符合题意.对于B ：{}21x x ＝{|11}x x x <->或，没有元素1，所以不包含A ； 对于C ：22{|log 1log 2}x x >=＝{|2}x x >，不合题意； D 显然不合题意， 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，当()1,1x ∈-时，()[)23,3f x x a a a '=-∈--，当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥，故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，A ､B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.11．C解析：C 【分析】根据存在性命题的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；根据对数的运算性，可判定C 不正确；根据含有一个量词的否定，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由2000131()024x x x -+=-+≥，所以A 为真命题； 对于B 中，由0a b <<，则110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以B 是正确的； 对于C 中，设0a >，1a ≠，例如11,24a b ==，则121log log 24a b ==，所以充分性不成立，又如1,22a b ==，此时12log log 21a b ==-，所以必要性不成立，所以“log 1a b >”是“b a >”的既不充分也不必要条件，所以C 是错误的；对于D 中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”，所以是正确的.故选：C. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到含有一个量词的真假判定及否定，对数的运算性质，不等式的性质等知识的综合应用，属于中档试题.12．D解析：D 【分析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到. 【详解】 “∀a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为：∃a ，b >0，a ＋1b≥2和b ＋1a ≥2都不成立.故选：D 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.二、填空题13．【分析】转化为在上有解不等式右边构造函数利用单调性求出最大值即可得解【详解】存在x ∈﹣11成立即在上有解设易得y ＝f(x)在﹣11为减函数所以即即即所以故答案为：【点睛】关键点点睛：将问题转化为在上解析：9(,)2-+∞【分析】转化为213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解，不等式右边构造函数，利用单调性求出最大值即可得解. 【详解】存在x ∈[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数，所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞． 【点睛】关键点点睛：将问题转化为213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解进行求解是解题关键. 14．【分析】集合A 中所有元素被选取了次可得集合中所有3个元素的子集的元素和为即可得结果【详解】集合中所有元素被选取了次∴集合中所有3个元素的子集的元素和为故答案为【点睛】本题考查了集合的子集正整数平方和 解析：(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++【分析】集合A 中所有元素被选取了21n C -次，可得集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()222122123n n C -+++⋯+即可得结果.【详解】集合{}22221,2,3,,A n =中所有元素被选取了21n C -次，∴集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()()()()()2222211212112326n n n n n n C n ---+++++⋯+=⨯()()()()2112112n n n n n --++=，故答案为(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++．【点睛】本题考查了集合的子集、正整数平方和计算公式，属于中档题．15．【分析】首先分析出集合里面必有元素1再讨论集合为三种情况讨论求的取值范围【详解】所以集合里的元素一定有1集合有3个元素当集合是时有集合是空集；当集合是时有解得：；当集合是时有集合是空集；综上：的取值 解析：(]1,0-【分析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为{}1,2,3，{}0,1,2，{}1,0,1- 三种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】1a ≤ ，21a ∴-≥ ，所以集合里的元素一定有1， 集合有3个元素，当集合是{}1,2,3时，有01324a a <≤⎧⎨≤-<⎩ ，集合是空集； 当集合是{}0,1,2时，有10223a a -<≤⎧⎨≤-<⎩ ，解得：10a -<≤ ； 当集合是{}1,0,1-时，有21122a a -<≤-⎧⎨≤-<⎩，集合是空集； 综上：a 的取值范围是(]1,0- 故答案为(]1,0- 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.16．【分析】讨论和三种情况计算得到答案【详解】当时方程为满足条件当时方程恒有两个解且两根一正一负满足条件当时即此时两根均为正数满足条件综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了充要条件分类讨论是一个常用的方解析：[)1,a ∈-+∞【分析】讨论0a =，0a >和0a <三种情况，计算得到答案.【详解】当0a =时，方程为1210,2x x -==满足条件. 当0a >时，2210,440ax x a 方程恒有两个解，且1210x x a =-<，两根一正一负，满足条件当0a <时，2210,4401ax x a a ，即01a ，此时，1210x x a=->， 1220x x a +=->，两根均为正数，满足条件 综上所述：1a ≥-故答案为：[)1,a ∈-+∞【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.17．【分析】通过确定XYZ 的子集利用乘法公式即可得到答案【详解】根据题意可知由于可知Z 共有种可能而有4种可能故共有种可能所以答案为128【点睛】本题主要考查子集相关概念乘法分步原理意在考查学生的分析能力 解析：128【分析】通过确定X,Y ,Z 的子集，利用乘法公式即可得到答案.【详解】根据题意，可知1,2,1,236{}{},{}Z X Y ⊆⊆⊆，，由于{6}Z ⊆，可知Z 共有 52=32种可能，而(){4},5X Y ⊆⋃有4种可能，故共有432=128⨯种可能，所以答案为128.【点睛】本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大.18．【解析】因为命题的否定为所以命题的否定为解析：,20x x R ∃∈≤【解析】因为命题“p x ∀，”的否定为“p x ∃⌝，”，所以命题“,20x x R ∀∈>”的否定为,20x x R ∃∈≤19．【分析】先根据条件确定集合包含关系再分类讨论得结果【详解】当时满足条件此时当时综上实数m 的取值范围为【点睛】本题考查集合包含关系考查基本分析求解能力属基础题解析：()[],11,2-∞-⋃【分析】先根据条件确定集合包含关系，再分类讨论得结果.【详解】M N M M N ⋂=∴⊂当M φ=时，满足条件，此时12,1m m m -><-当M φ≠时， 10,2412m m m -≥≤∴≤≤综上，实数m 的取值范围为(,1)[1,2]-∞-⋃【点睛】本题考查集合包含关系，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【分析】先确定元素再确定该元素为最小时对应子集个数最后利用错位相减法求和【详解】若1为最小元素则对应子集个数为个；若2为最小元素则对应子集个数为个；…若n 为最小元素则对应子集个数为个；所以的所有子集 解析：122n n +--【分析】先确定元素，再确定该元素为最小时对应子集个数，最后利用错位相减法求和.【详解】若1为最小元素，则对应子集个数为12n -个；若2为最小元素，则对应子集个数为22n -个；…...若n 为最小元素，则对应子集个数为02个；所以M 的所有子集的最小元素之和为2301223222n n n n ---+⨯+⨯++⨯ 设1230222322n n n n S ---+⨯+=⨯++⨯1212232222n n n n S --+⨯+⨯++⨯= 相减得231112(12)222222212n n n n n n n n n S ---+-++++-==-=--+- 故答案为：122n n +--【点睛】本题考查错位相减法求和以及子集个数，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】 （1）由存在实数x ∈R ，使210x ax -+成立得0∆，得实数a 的取值范围； （2）由对勾函数单调性得1522x x +，得54a ，由已知得p 假q 假，两范围的补集取交集即可．【详解】解：（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x ≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥， 由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查了简易逻辑的判定、对勾函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式△的关系，考查了推理能力，属于基础题．22．（1）[]1,2（2）(,1)(1,2]-∞ 【分析】（1）对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m --恒成立，2(22)3min x m m --．利用函数的单调性与不等式的解法即可得出．（2）存在[]–1,1x ∈，使得m x 成立，可得1m ，命题q 为真时，1m ．由p 且q 为假，p 或q 为真，p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，再分别求出参数的取值范围最后取并集即可．【详解】解（1）∵对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，∴2min (22)3x m m -=-．即23m 2m -≤-．解得12m ≤≤．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2． （2）存在[1,1]x ∈-，使得m x ≤成立，∴1m ，命题q 为真时，1m ．∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩解得12m <≤; 当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨≤⎩或，即1m <． 综上所述，m 的取值范围为(,1)(1,2]-∞． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．[0，1]2【分析】求出q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可．【详解】由2(21)(1)0x a x a a -+++得1a x a +，若q 是p 的必要不充分条件， 则1[2，1][a ，1]a +， 即1211a a ⎧⎪⎨⎪+⎩，得120a a ⎧⎪⎨⎪⎩，得102a ， 即实数a 的取值范围是[0，1]2， 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合关系是解决本题的关键，属于容易题．24．{}|9m m ≥【分析】化简命题p ：－2≤x ≤10，若￢p 是￢q 的必要不充分条件等价于q 是p 的必要不充分条件，从而可列出不等式组，求解即可.【详解】由题意得p ：－2≤x ≤10.∵￢p 是￢q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴p ⇒q ，qp . ∴12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩∴39m m ≥⎧⎨≥⎩∴m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，逆否命题，属于中档题.25．（1）[]0,1；（2）][(),23,-∞-⋃+∞.【分析】（1）若A∩B=∅，则{1112a a -≥-+≤，解不等式即可得到所求范围；（2）若A ∪B=B ，则A ⊆B ，则a+1≤﹣1或a ﹣1≥2，解不等式即可得到所求范围．【详解】 ()1集合{|11}A x a x a =-<<+，{|1B x x =<-或2}x >，若A B ⋂=，则{1112a a -≥-+≤即{01a a ≥≤，解得：01a ≤≤，实数a 的取值范围时[]0,1； ()2若A B B ⋃=，A B ∴⊆则11a +≤-或12a -≥，解得：2a ≤-或3a ≥，则实数a 的取值范围为][(),23,-∞-⋃+∞．【点睛】本题考查集合的运算，主要是交集、并集，同时考查集合的包含关系，注意运用定义法，考查计算能力，属于基础题．与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 26．（1）{}43A B x x ⋂=-≤<，(){ 6R A B x x ⋃=<-或}4x >；（2）9m ≤-. 【分析】（1）由定义域的性质求出集合A ，再由集合的基本运算求解即可；（2）由必要条件的性质得出A C ⊆，再由包含关系求出m 的取值范围.【详解】解：（1）由6030x x +≥⎧⎨-<⎩得{}63A x x =-≤<，{}44B x x =-≤≤ {}43A B x x ⋂=-≤<，{}64A B x x ⋃=-≤≤，(){ 6R A B x x ⋃=<-或}4x >. （2）由30x m +<得，3m x <-∴3m C x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭. ∵x C ∈是x A ∈的必要条件，∴A C ⊆ ∴33m -≥ 得9m ≤-. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及利用必要条件求参数范围，属于中档题.。
人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．“不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A ．12m >B ．01m <<C ．14m >D ．1m 2．“21x >”是“2x >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“m =是“点P 到直线l ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞ 8．“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．已知p ：02x ≤≤，q ：2230x x --≥，则p 是q ⌝的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．充分必要条件10．已知在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则“113a =”是“数列{}n a 唯一”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．在下列三个结论中，正确的有（ ）①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 二、填空题13．①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真：②在ABC 中，“60B ∠=︒”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件； ③1{2x y >>是3{2x y xy +>>的充要条件；④“22am bm <”是“a b <”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________.14．已知：条件p ：120x-≥和q ：()()22110x a x a a -+++<，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______. 15．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则R A B =__________．16．已知命题“0x ∃∈[1，2]， 200210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为______．17．集合{}|20M x N x =∈-≤≤的子集个数为__________．18．写出命题“,20x x R ∀∈>”的否定：______．19．在正项等比数列{}n a 中，已知120151a a <=，若集合1212111|0,t t A t a a a t N a a a *⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-++-≤∈⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则A 中元素个数为______． 20．给出下列四个命题： ⑴“直线a ∥直线b ”的必要不充分条件是“a 平行于b 所在的平面”；⑵“直线l ⊥平面α”的充要条件是“l 垂直于平面α内的无数条直线”；⑶“平面α∥平面β”是“α内有无数条直线平行于平面β”的充分不必要条件；⑷“平面α⊥平面β”的充分条件是“有一条与α平行的直线l 垂直于β”．上面命题中，所有真命题的序号为______．三、解答题21．设命题0:p x R ∃∈，2020x -=；命题:q 函数22sin y x =在,62ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上先增后减． （1）判断p ，q 的真假，并说明理由；（2）判断p q ∨，p q ∧，()p q ∧⌝的真假．22．已知全集U =R ，集合{}22A x x a =-≥，103x B xx ⎧⎫-=>⎨⎬-⎩⎭ （1）当3a =时，求A B ;（2）若U ()A B A =，求实数a 的取值范围.23．已知命题20:{100x p x +≥-≤，命题:11,0q m x m m -≤≤+>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数的取值范围．24．设集合A {x |a 11}x a =-<<+，B {x |x 1=<-或x 2}>．（1）若A B ∅⋂=，求实数a 的取值范围；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．25．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.26．已知集合13279x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，函数()lg 14x f x x -=-B . （1）求A B ，()R B A ；（2）已知集合{}433C x m x m =-≤≤+，若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.【详解】因为“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，所以当0m =时，原不等式为0x>在R 上不是恒成立的，所以0m ≠，所以“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，等价于2>0140m m ⎧⎨∆=-<⎩，解得12m >. A 选项是充要条件，不成立； B 选项中，12m >不可推导出01m <<，B 不成立； C 选项中，12m >可推导14m >，且14m >不可推导12m >，故14m >是12m >的必要不充分条件，正确；D 选项中，1m 可推导1>2m ，且1>2m 不可推导1m ，故>1m 是12m >的充分不必要条件，D 不正确.故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 2．B解析：B【分析】 设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性.【详解】 设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ， 所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件.故选：B .【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.3．B解析：B【详解】 试题分析：12log (2)0x +<211x x ⇒+>⇒>-，故正确答案是充分不必要条件，故选B.考点：充分必要条件.4．B解析：B【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 5．B解析：B【分析】“点P 到直线l ”解得：m =±.【详解】点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，考虑“点P 到直线l ”设()[)2cos ,sin ,0,2P θθθπ∈，点P 到直线l 的距离d ϕϕ===点P 到直线l ()m θϕ++的最小值()m θϕ++符号恒正或恒负，()m m m θϕ⎡++∈⎣当0m <时，m =-，当0m >时，m =综上所述：m =±所以“m =是“点P 到直线l ”的充分不必要条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围. 6．B解析：B【分析】先将//a b 等价化简为cos 0θ=或1tan 2θ=，再判断解题即可. 【详解】 //a b ⇔(sin 2,cos )//(cos ,1)θθθ⇔2sin 2cos θθ=⇔cos 0θ=或1tan 2θ=，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】 本题考查向量平行的坐标表示、判断p 是q 的什么条件、三角恒等变换化简，是中档题. 7．B解析：B【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围.【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >，则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B.【点睛】 本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系. 8．C解析：C【分析】先将根据函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数求参数0a =，判断前后两个条件相互等价，即可解题.【详解】解：∵函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴(0)0f =即2sin0cos 00a +=，解得：0a =，∴ 0a =⇔函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断p 是q 的什么条件，是中档题.9．C解析：C【分析】设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，根据集合之间的包含关系，即可求解.【详解】因为q ：2230x x --≥，所以q ⌝：2230x x --<，设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，则(1,3)N =-，所以M N ,所以p 是q ⌝的充分不必要条件，故选：C【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，集合的真子集，考查了推理能力，属于中档题. 10．C解析：C【分析】根据条件“在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项”求解数列{}n a ，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则2213(2)(1)(3)a a a +=++，22213134433a a a a a a ++=+++，设{}n a 的公比为q ，则22222111114433a q a q a q a a q ++=+++，211430q q a -+-=（*），10a >，因为1114164(3)40a a ∆=--=+>，所以此方程一定有两不等实解，当等比数列{}n a 只有一解时，方程（*）的两解中一解为0q =需舍去，此时113a =； 若113a =，方程（*）有一个解是0q =，另一解4q =．数列{}n a 只有一解， 由上分析知113a =是数列{}n a 唯一的充要条件． 故选：C ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．11．B解析：B【分析】根据异面直线的定义及直线与平面平行的定义即可判定.【详解】因为满足“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”这样条件的直线可以和平面相交，所以推不出“这条直线与平面α平行”，当直线满足与平面α平行时，可以推出这条直线与平面α内无数条直线异面，所以“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，直线与平面的位置关系，属于中档题.12．C解析：C【分析】①，证明x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；②，在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；③,证明“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确.【详解】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确. ②， AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确.故选：C.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．③④【解析】对于①一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题则若其逆命题为真其否命题也一定为真①正确；对于②若则有则三个角成等差数列反之若三个角成等差数列有又由则故在中是三个角成等差数列的充要条件②正确解析：③④【解析】对于①，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；对于②，若60B ∠=，则120A C ∠+∠=，有2A C B ∠+∠=∠，则,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列，反之若,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列，有2A C B ∠+∠=∠，又由3=180A B C B ∠+∠+∠=∠，则60B ∠=，故在ABC ∆中，“60B ∠=”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③， 当19,22x y ==，则满足32x y xy +>⎧⎨>⎩，而不满足12x y >⎧⎨>⎩，则12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的不必要条件，③错误；对于④，若a b <，当0m =时，有22am bm =，则“22am bm <”是“a b <”的不必要条件，④错误，故答案为③④.14．【分析】根据是的必要不充分条件得到计算得到答案【详解】即；即是的必要不充分条件故得到解得故答案为：【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数意在考查学生的推断能力 解析：102-<≤a【分析】根据p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得到{}1012x x x a x a ≠⎧⎫<≤⊂<<+⎨⎬⎩⎭，计算得到答案. 【详解】120x-≥，即102x <≤；()()22110x a x a a -+++<，即1a x a <<+. p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，故{}1012x x x a x a ≠⎧⎫<≤⊂<<+⎨⎬⎩⎭， 得到0112a a ≤⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得102-<≤a . 故答案为：102-<≤a . 【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数，意在考查学生的推断能力.15．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解.【详解】 因为{}2B x x =<，所以R B ={}2x x ≥因此R A B ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.16．【分析】由题意可得2a ＜x0在12的最大值运用对勾函数的单调性可得最大值即可得到所求a 的范围【详解】命题∃x0∈12x02﹣2ax0+1＞0是真命题即有2a ＜x0在12的最大值由x0在12递增可得x 解析：5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】由题意可得2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围．【详解】命题“∃x 0∈[1，2]，x 02﹣2ax 0+1＞0”是真命题，即有2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值， 由x 001x +在[1，2]递增，可得x 0＝2取得最大值52， 则2a 52＜，可得a 54＜，则实数a 的取值范围为（﹣∞，54）． 故答案为（﹣∞，54）． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 17．2【解析】因为集合所以集合子集有两个：空集与故答案为解析：2【解析】因为集合{}{}|200M x N x =∈-≤≤=，所以集合M 子集有两个：空集与{}0，故答案为2.18．【解析】因为命题的否定为所以命题的否定为解析：,20x x R ∃∈≤【解析】因为命题“p x ∀，”的否定为“p x ∃⌝，”，所以命题“,20x x R ∀∈>”的否定为,20x x R ∃∈≤19．4029【解析】试题分析：设等比数列公比为的公比为因为所以即所以解得考点：等比数列求和公式解析：4029【解析】试题分析：设等比数列公比为{}n a 的公比为，因为，所以,,即，所以，解得.考点：等比数列求和公式. 20．⑶⑷【分析】根据线面位置关系以及充要关系概念进行逐一判断【详解】（1）a 平行于b 所在的平面是直线a ∥直线b 的既不充分也不必要条件；所以（1）错；（2）l 垂直于平面α内的无数条直线是直线l ⊥平面α的必 解析：⑶⑷【分析】根据线面位置关系以及充要关系概念进行逐一判断.【详解】（1）“a 平行于b 所在的平面” 是“直线a ∥直线b ”的既不充分也不必要条件；所以（1）错；（2）“l 垂直于平面α内的无数条直线” 是“直线l ⊥平面α”的必要不充分条件；所以（2）错；（3）若“平面α∥平面β”则“α内有无数条直线平行于平面β”，若 “α内有无数条直线平行于平面β”则“平面α，平面β不一定平行”，所以“平面α∥平面β”是“α内有无数条直线平行于平面β”的充分不必要条件；（4）若“有一条与α平行的直线l 垂直于β”，则α内存在一条直线垂直于β，即“平面α⊥平面β”，所以“平面α⊥平面β”的充分条件是“有一条与α平行的直线l 垂直于β”． 综上填（3）（4）【点睛】本题考查线面位置关系以及充要关系，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题21．（1）p 为真，q 为假，理由见解析；（2）p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真．【分析】（1）由22x =有解知命题p 为真命题，22sin 1cos 2y x x ==-，在(,)62ππ-上先减后增．即命题q 为假命题；（2）由p 为真q 为假，结合复合命题的真假可得.【详解】（1）易知0x R ∃=，故p 为真．∵22sin 1cos2y x x ==-，且23x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,， ∴1cos2y x =-在,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上先减后增，故q 为假． （2）∵p 真q 假， ∴p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真．【点睛】本题考查了三角函数的单调性及复合命题的真假，属中档题．22．（1）532xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭；（2）{}4. 【分析】（1）先求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据集合的交集概念求解出A B 的结果；（2）根据U ()A B A =确定出U ,A B 之间的包含关系，由此列出不等式求解出a 的取值范围.【详解】 （1）3a =时，232x -≥，解得12x ≤或52x ≥，所以12A x x ⎧=≤⎨⎩或52x ⎫≥⎬⎭， 因为103x x->-，所以()()130x x --<，解得13x <<，所以{}13B x x =<<， 所以532A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭； （2）由{}22A x x a =-≥得12a A x x ⎧=≤-⎨⎩或12a x ⎫≥+⎬⎭，又{U 1B x x =≤或}3x ≥由U ()A B A =可知B A ⊆U ，所以112132a a ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩， 即4a =，所以a 的取值范围是{}4.【点睛】结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系：（1）若A B A ⋃=，则有B A ⊆；（2）若A B A =，则有A B ⊆.23．{}|9m m ≥【分析】化简命题p ：－2≤x ≤10，若￢p 是￢q 的必要不充分条件等价于q 是p 的必要不充分条件，从而可列出不等式组，求解即可.【详解】由题意得p ：－2≤x ≤10.∵￢p 是￢q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴p ⇒q ，qp . ∴12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩∴39m m ≥⎧⎨≥⎩∴m ≥9. 所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，逆否命题，属于中档题.24．（1）[]0,1；（2）][(),23,-∞-⋃+∞.【分析】（1）若A∩B=∅，则{1112a a -≥-+≤，解不等式即可得到所求范围；（2）若A ∪B=B ，则A ⊆B ，则a+1≤﹣1或a ﹣1≥2，解不等式即可得到所求范围．【详解】 ()1集合{|11}A x a x a =-<<+，{|1B x x =<-或2}x >，若A B ⋂=，则{1112a a -≥-+≤即{01a a ≥≤，解得：01a ≤≤，实数a 的取值范围时[]0,1； ()2若A B B ⋃=，A B ∴⊆则11a +≤-或12a -≥，解得：2a ≤-或3a ≥，则实数a 的取值范围为][(),23,-∞-⋃+∞．【点睛】本题考查集合的运算，主要是交集、并集，同时考查集合的包含关系，注意运用定义法，考查计算能力，属于基础题．与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 25．（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【分析】（1）命题p 为真，只需[]()2min 21,20,3x m m x -≥-∈，根据一次函数的单调性，转化为求关于m 的一元二次不等式；（2）命题q 为真，只需[]()2min 1,1,10x x m x -+-∈-≤，根据二次函数的性质，求出m 的范围，依题意求出p 真q 假，和p 假q 真时，实数m 的取值范围.【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假， 若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤. 【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题. 26．（1）[)2,4A B =-，()[]2,1R B A =-；（2）()5,7,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出集合A 、B ，利用补集的定义可得出集合A B ，利用补集和交集的定义可得出集合()R B A ；（2）分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，根据题意得出关于实数m 的不等式（组），解出即可.【详解】（1）解不等式13279x ≤≤，即23333x -≤≤，解得23x -≤≤，得[]2,3A =-. 对于函数()lg 1x f x -=1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<，则()1,4B =. [)2,4A B ∴=-，(][),14,R B =-∞+∞，则()[]2,1R B A =-；（2）当C =∅时，433m m ->+，得到72m <-，符合题意； 当C ≠∅时，433332m m m -≤+⎧⎨+<-⎩或43343m m m -≤+⎧⎨->⎩，解得7523m -≤<-或7m >. 综上所述，实数m 的取值范围是()5,7,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查交集、补集与并集的计算，同时也考查了利用交集的结果求参数，解题的关键就是对集合C 是否为空集进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.。
新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，则对于实数a ，b ，“a b >”是“()()f a f b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知,αβR ∈，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ∈R ，则“2a ≤”是“方程2210ax x ++=至少有一个负根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知p ：02x ≤≤，q ：2230x x --≥，则p 是q ⌝的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．充分必要条件 6．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠ ，则2320x x -+≠”B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．对于命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 7．下列命题中，不正确的是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+≥B ．若0a b <<则11a b> C ．设0a >，1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的必要不充分条件D ．命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”8．设,a b 是向量，“a a b =+”是“0b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，则“230a b -≤”是“()f x 在R 上只有一个零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()31f x x ax =--，则()f x 在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．[]0,3a ∈B ．()0,5a ∈C ．()0,3a ∈D ．()1,3a ∈11．已知a ，b R ∈，“1a b +<”是“11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题，则实数m 的取值范围为________. 14．已知1a ≤，集合{}2x a x a ≤≤-中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围为________.15．若集合{}{}2|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数a =_____.16．已知集合{}{}21,,A m B m ==，若B A ⊆，则实数m 的值是__________．17．已知:p x R ∃∈，10x me +≤，:q x R ∀∈，2210x mx -+>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是__________．18．已知集合{}1A x x =>，{}22B x x x =<，则A B =__________．19．已知命题，则为_______．20．某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有__人．参考答案三、解答题21．已知集合{|22}A x a x a =-+，2{|540}B x x x =-+（1）当3a =时，求A B ，()R A B ⋃；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．22．如果():30p x x -<是:23q x m -<的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.23．设集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，若A B =∅，求m 的范围.参考答案24．已知{}2680A x x x =-+≤，201B x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}260C x x mx =-+<，且“x AB ∈”是“xC ∈”的充分不必要条件.（1）求AB ；（2）求实数m 的取值范围.25．已知命题:p 实数t 满足22540t at a -+<，:q 实数t 满足曲线22126x y tt+=--为双曲线.（1）若1a =，且p ⌝为假，求实数t 的取值范围；（2）若0a >，且q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.26．已知命题}{:210p x x -<<，命题{:1q x x a ≤-或}1x a ≥+，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解. 【详解】解：∵定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，∴()y f x =在(),0-∞上单调递增，∴当(),0a ∈-∞，(),0b ∈-∞时，如1,2a b =-=-，满足a b > ，但()()>f a f b ，所以由“a b >”推不出“()()f a f b <”，反之，当a R ∈，b R ∈时，“()()f a f b <”⇒“a b >”⇒“a b >”， 故对于实数a ，b ，“a b >”是“()()f a f b <”的必要不充分条件， 故选：B . 【点睛】本题以函数的奇偶性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于中档题.2．D解析：D 【详解】 若2παβ==则tan ,tan αβ不存在，若tan tan αβ=，可得k απβ=+，故选D3．B解析：B 【分析】分类讨论a 的正负，利用两根与系数的关系、判别式，进而求解判断即可. 【详解】（1）当0a =时，方程变为210x +=，有一负根12x =-，满足题意；（2）当0a <时，440∆=->a ，方程的两根满足1210x x a=<，此时有且仅有一个负根，满足题意；（3）当0a >时，由方程的根与系数关系可得2010aa⎧-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，∴方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件440a ∆=-≥，01a ∴<≤.综上可得，1a ≤.因此，“2a ≤”是“方程2210ax x ++=至少有一个负根”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.4．C解析：C 【分析】先将根据函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数求参数0a =，判断前后两个条件相互等价，即可解题.【详解】解：∵函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数， ∴(0)0f =即2sin0cos 00a +=，解得：0a =， ∴ 0a =⇔函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断p 是q 的什么条件，是中档题.5．C解析：C 【分析】设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，根据集合之间的包含关系，即可求解.【详解】因为q ：2230x x --≥， 所以q ⌝：2230x x --<，设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，则(1,3)N =-， 所以M N ,所以p 是q ⌝的充分不必要条件， 故选：C 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，集合的真子集，考查了推理能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】由原命题与逆否命题的关系即可判断A ；由复合命题的真值表即可判断B ; 由特称命题的否定是全称命题即可判断C ；根据充分必要条件的定义即可判断D ；． 【详解】A ．命题：“若p 则q ”的逆否命题为：“若￢q 则￢p ”，故A 正确；B ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故B 错．C ．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0，则￢p 为：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0，故C 正确；D ．由x 2﹣3x +2＞0解得，x ＞2或x ＜1，故x ＞2可推出x 2﹣3x +2＞0，但x 2﹣3x +2＞0推不出x ＞2，故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，即D 正确 故选B ． 【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．7．C解析：C 【分析】根据存在性命题的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；根据对数的运算性，可判定C 不正确；根据含有一个量词的否定，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由2000131()024x x x -+=-+≥，所以A 为真命题； 对于B 中，由0a b <<，则110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以B 是正确的； 对于C 中，设0a >，1a ≠，例如11,24a b ==，则121log log 24a b ==，所以充分性不成立，又如1,22a b ==，此时12log log 21a b ==-，所以必要性不成立，所以“log 1a b >”是“b a >”的既不充分也不必要条件，所以C 是错误的；对于D 中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”，所以是正确的.故选：C. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到含有一个量词的真假判定及否定，对数的运算性质，不等式的性质等知识的综合应用，属于中档试题.8．B解析：B 【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案. 【详解】 当12a b =-时，1122a b b b b a +=-+==，推不出0b =当0b =时，0b =，则0a b a a +=+= 即“a a b =+”是“0b =”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.9．A解析：A 【分析】求出()f x '，由230a b -≤知()0f x '≥恒成立，即函数()f x 在R 上单调递增，只有一个零点，然后可举例说明在230a b ->，即()f x 有两个极值点时，()f x 也可能只有一个零点，由此可得结论． 【详解】因为32()f x x ax bx c =+++，2()32f x x ax b '=++，若230a b -≤， 则24120a b ∆=-≤，则()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增． 当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞， 所以()f x 在R 上只有一个零点，即充分性成立． 令32a =，0b =，1c =-，则323()12f x x x =+-，2()333(1)f x x x x x '=+=+， 则()f x 在(,1)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又1(1)02f -=-<， 3(1)02f =>，则()f x 在R 上只有一个零点，但不满足“230a b -≤”，即必要性不成立， 所以“230a b -≤”是“()f x 在R 上只有一个零点”的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断、函数的零点的概念．注意区别A 是B 的充分不必要条件（A B ⇒且B A ⇒/）与A 的充分不必要条件是B （B A ⇒且A B ⇒/）两者的不同．10．D解析：D 【分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，()23[,3)f x x a a a =-∈--‘，当0a ≤时，'()0f x ≥，当3a ≥时，'()0f x ≤，所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥，故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为(0,3)，A 、B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.11．C解析：C 【分析】由绝对值不等式的基本性质，集合充分必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，a ，b R ∈，1a b +<，可得1a b a b +≤+<且1a b a b -≤+<，所以充分性是成立的；反之11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩，可得1111a b a b -<+<⎧⎨-<-<⎩，即1a b +<，所以必要性是成立的，综上可得：a ，b R ∈，1a b +<是11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩成立的充要条件．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的基本性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，其中解答中熟练应用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．12．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题13．【分析】根据题意写出原命题的否定则其是一个真命题再据此求范围即可【详解】因为使得是假命题所以其否定:是真命题又时所以故答案为:【点睛】本题考查命题的真假关系考查三角函数求最值属于简单题在解决命题真假解析：【分析】根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可. 【详解】 因为“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题, 所以其否定:“,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m <”是真命题,又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,tan 3x ∈,所以m >故答案为:)+∞.【点睛】本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等.14．【分析】首先分析出集合里面必有元素1再讨论集合为三种情况讨论求的取值范围【详解】所以集合里的元素一定有1集合有3个元素当集合是时有集合是空集；当集合是时有解得：；当集合是时有集合是空集；综上：的取值 解析：(]1,0-【分析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为{}1,2,3，{}0,1,2，{}1,0,1- 三种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】1a ≤ ，21a ∴-≥ ，所以集合里的元素一定有1， 集合有3个元素，当集合是{}1,2,3时，有01324a a <≤⎧⎨≤-<⎩ ，集合是空集；当集合是{}0,1,2时，有10223a a -<≤⎧⎨≤-<⎩ ，解得：10a -<≤ ； 当集合是{}1,0,1-时，有21122a a -<≤-⎧⎨≤-<⎩ ，集合是空集；综上：a 的取值范围是(]1,0- 故答案为(]1,0- 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.15．或【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包含关系重解析：0或1 【分析】先解二次不等式可得{}|23A x x =≤≤，再由B A ⊆，讨论参数0a =，0a ≠两种情况，再结合a Z ∈求解即可. 【详解】解：解不等式2560x x -+≤，得23x ≤≤，即{}|23A x x =≤≤， ①当0a =时，B φ=，满足B A ⊆， ②当0a ≠时，2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，则223a ≤≤，解得213a ≤≤，又a Z ∈，则1a =，综上可得0a =或1a =， 故答案为：0或1. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.16．【解析】分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系再结合元素互异性得结果详解：因为所以点睛：注意元素的互异性在解决含参数的集合问题时要注意检验集合中元素的互异性否则很可能会因为不满足互异性而导致解题 解析：0【解析】分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系，再结合元素互异性得结果. 详解：因为B A ⊆，所以22110.m m m m m m m=≠⎧⎧∴=⎨⎨≠=⎩⎩或 点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.17．【解析】由题设可得都为假命题因则恒成立是真命题即；又故是真命题即入故应填答案点睛：本题的解答过程体现了等价转化与化归的数学思想及命题真假判定与复合命题的真假的判定规律以此为依据建立不等式组使得问题获解 解析：[)1,+∞【解析】由题设可得,p q 都为假命题，因:p x R ∃∈，10x me +≤，则:p ⌝x R ∀∈，10x me +>恒成立是真命题，即100x m m e>-<⇒≥；又:q x R ∀∈，2210x mx -+>是假命题，故:q ⌝x R ∃∈，2210x mx -+≤是真命题，即，2440m -≥入11m m ≥≤-或，故0111m m m m ≥⎧⇒≥⎨≥≤-⎩或，应填答案[1,)+∞。
最新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(有答案解析)
一、选择题1．“21x >”是“2x >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，那么“10a >”是“数列{}n S 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y }，则（C U M ）∪N 等于（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ≥0} B ．{x |x ＞1} C ．{x |x ＜﹣1或1＜x ≤3}D ．R4．下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．0x R ∃∈，200220x x -+≥B ．设1a >，则“b a <”是“log 1a b <”的充要条件C ．若0a b <<，则11a b> D ．命题“[]1,3x ∀∈，2430x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈，200430x x -+>”5．设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 3log 31a b >>”是“33a b <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．设向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A =，则集合B 可以是（ ）A ．{}|21xx >B ．{}21x xC ．{}2log 1x xD ．{}1,2,38．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件 9．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠ ，则2320x x -+≠”B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．对于命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 10．下列命题中，不正确的是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+≥B ．若0a b <<则11a b> C ．设0a >，1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的必要不充分条件D ．命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”11．以下四个命题中错误．．的是（ ） A ．若样本1x 、2x 、、5x 的平均数是2，方差是2，则数据12x 、22x 、、52x 的平均数是4，方差是4B ．ln 0x <是1x <的充分不必要条件C ．样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率D ．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”和事件“向上点数不小于4”是对立事件12．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}二、填空题13．已知()()21f n n n N*=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，记()(){}()(){},f A n f n A f B m f m B =∈=∈， 则()()f A f B ⋂=_________.14．若集合A ＝{x|2≤x≤3}，集合B ＝{x|ax －2＝0，a ∈Z}，且B ⊆A ，则实数a ＝________. 15．已知集合{}{}22,1,A B a==，若{}0,1,2AB =,则实数a =________.16．已知集合{}12A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，则AB =__________．17．若命题：“2000,10x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．18．已知命题q ：2,10.x R x mx ∀∈++>是真命题，则实数m 的取值范围为__________ 19．以下四个关于圆锥曲线命题：①“曲线221ax by +=为椭圆”的充分不必要条件是“0,0a b >>”；②若双曲线的离心率2e =，且与椭圆221148y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为y =；③抛物线22x y =-的准线方程为18x； ④长为6的线段AB 的端点,A B 分别在x 、y 轴上移动，动点(,)M x y 满足2AM MB =，则动点M 的轨迹方程为221416x y +=．其中正确命题的序号为_________．20．非空集合*S N ⊆，且满足条件“x S ∈，则()10x S -∈”，则集合S 的所有元素之和的总和为______.三、解答题21．已知命题:p 关于x 的不等式()()21120k x k x ---+>的解集为R ，:2q x ∃>，2272x k x -<-，试判断“p 为真命题”与“q ⌝为真命题”的充分必要关系． 22．已知集合2102x a A xx a ⎧⎫--⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，集合{}|32B x x =-<． （Ⅰ）当2a =时，求A B ；（Ⅱ）设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 23．设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩. （1）若2a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 24．已知原命题是“若260x x --≤则2280x x --≤”.（1）试写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断所写命题的真假；（2）若“()(2)0x a x -+≤”是“260x x --≤”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 25．设集合{|33},{|13}A x x B x a x a =-≤≤=-≤≤+． （1）若1a =，求,A B A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围．26．已知集合{}2650A x x x =+->，集合()(){}110B x x a x a =-+-->，其中0a >.（1）若2a =，求()RAB ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈.若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【分析】设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性. 【详解】设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ，所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.2．B解析：B 【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，充分性：当10a >，0q <时，111n n nn S a S a q ++-==，无法判断其正负，显然数列{}n S 为不一定是递增数列，充分性不成立；必要性：当数列{}n S 为递增数列时，10n n n S S a --=>，可得10a >，必要性成立. 故“10a >”是“数列{}n S 为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：证明或判断充分性和必要性的常用方法：①定义法，②等价法，③集合包含关系法.3．A解析：A 【分析】解出不等式x 2+x ﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解. 【详解】解不等式x 2+x ﹣2≤0得：-2≤x ≤1，C U M=()(),21,-∞-+∞，N ＝{y |y }[)0,=+∞， （C U M ）∪N={x |x ＜﹣2或x ≥0}. 故选：A 【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.4．B解析：B 【分析】由()2200022110x x x -+=-+≥，可判断A ；由对数函数的定义域和对数函数的单调性得充分性不一定成立，必要性成立，可判断B ；运用作差法，判断其差的符号可判断C ；根据全称命题的否定是特称命题可判断D. 【详解】由()2200022110x x x -+=-+≥，得A 为真命题；由“b a <”不能推出“log 1a b <”，所以充分性不一定成立，由“log 1a b <”得“b a <”，所以必要性成立，故B 不正确；由0a b <<，则110b aa b ab --=>，∴11a b>，故C 正确； 根据全称命题的否定是特称命题知D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查判断命题的真假，对数函数的定义域，单调性，全称命题与特称命题的关系，属于中档题．5．B解析：B 【分析】由已知结合对数不等式的性质可得13a b <<<，得到33a b <；反之，由33a b <，不一定有log 3log 31a b >>成立，再由充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：a ，b 都是不等于1的正数，由log 3log 31a b >>，得13a b <<<，33a b ∴<；反之，由33a b <，得a b <，若01a <<，1b >，则log 30a <，故log 3log 31a b >>不成立．∴ “log 3log 31a b >>”是“33a b <”的充分不必要条件．故选：B ． 【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．6．B解析：B 【分析】先将//a b 等价化简为cos 0θ=或1tan 2θ=，再判断解题即可. 【详解】//a b ⇔(sin 2,cos )//(cos ,1)θθθ⇔2sin 2cos θθ=⇔cos 0θ=或1tan 2θ=，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示、判断p 是q 的什么条件、三角恒等变换化简，是中档题.7．A解析：A 【分析】 由A B A =可知，A B ⊆，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可. 【详解】由AB A =可知，A B ⊆，对于A ：0{|212}x x >=＝{|0}x x A ⊇＞，符合题意.对于B ：{}21x x ＝{|11}x x x <->或，没有元素1，所以不包含A ； 对于C ：22{|log 1log 2}x x >=＝{|2}x x >，不合题意； D 显然不合题意， 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【分析】根据逆否命题的概念，准确改写，可判定A 正确的；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B 不正确；根据复合命题的真假判定方法，可判定C 是正确的；根据充要条件的判定方法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，根据逆否命题的概念，可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，所以A 正确的；对于B 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+≤”，所以B 不正确；对于C 中，根据复合命题的真假判定方法，若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题，所以C 是正确的；对于D 中，不等式2430x x ++>，解得3x <-或1x >-，所以“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件，所以D 正确. 综上可得，命题错误为选项B.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到四种命题的改写，全称命题与存在性命题的关系，以及复合命题的真假判定和充分条件、必要条件的判定等知识的综合应用，属于基础题.9．B解析：B 【分析】由原命题与逆否命题的关系即可判断A ；由复合命题的真值表即可判断B ; 由特称命题的否定是全称命题即可判断C ；根据充分必要条件的定义即可判断D ；． 【详解】A ．命题：“若p 则q ”的逆否命题为：“若￢q 则￢p ”，故A 正确；B ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故B 错．C ．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0，则￢p 为：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0，故C 正确；D ．由x 2﹣3x +2＞0解得，x ＞2或x ＜1，故x ＞2可推出x 2﹣3x +2＞0，但x 2﹣3x +2＞0推不出x ＞2，故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，即D 正确 故选B ． 【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．10．C解析：C 【分析】根据存在性命题的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；根据对数的运算性，可判定C 不正确；根据含有一个量词的否定，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由2000131()024x x x -+=-+≥，所以A 为真命题； 对于B 中，由0a b <<，则110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以B 是正确的； 对于C 中，设0a >，1a ≠，例如11,24a b ==，则121log log 24a b ==，所以充分性不成立，又如1,22a b ==，此时12log log 21a b ==-，所以必要性不成立，所以“log 1a b >”是“b a >”的既不充分也不必要条件，所以C 是错误的；对于D 中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”，所以是正确的.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到含有一个量词的真假判定及否定，对数的运算性质，不等式的性质等知识的综合应用，属于中档试题.11．A解析：A 【分析】利用平均数和方差公式可判断A 选项的正误；解不等式ln 0x <，利用集合的包含关系可判断B 选项的正误；根据频率直方图的概念可判断C 选项的正误；根据对立事件的概念可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，样本1x 、2x 、、5x 的平均数为1234525x x x x x x ++++==，方差为()()()()()222221234522222225x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==， 数据12x 、22x 、、52x 的平均数是1234522222245x x x x x x x ++++'===，方差为()()()()()2222212345224242424245x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦'=()()()()()2222212345242222244285x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦===⨯=，A 选项错误；对于B 选项，解不等式ln 0x <，得01x <<，{}01x x << {}1x x <，所以，ln 0x <是1x <的充分不必要条件，B 选项正确；对于C 选项，由频率分布直方图的概念可知，样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率，C 选项正确；对于D 选项，抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”即为：向上的点数为1或2或3，事件“向上点数不小于4”即为：向上的点数为4或5或6， 这两个事件互为对立事件，D 选项正确. 故选：A. 【点睛】本题考查命题正误的判断，涉及平均数、方差的计算、充分不必要条件的判断、频率直方图和对立事件概念的理解，考查推理能力，属于中等题.12．B解析：B根据补集的运算，求得{3,5}U C A =，再根据集合交集的运算，即可求得()U C A B ⋂. 【详解】由题意，全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，可得{3,5}U C A =， 所以()U C A B {3,5}.故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由题意求得所再根据集合的交集的运算即可求解【详解】由题意知集合所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算其中解答中正确求解集合是解答的关键着重考查了推理与运算能力属于基础题 解析：{}7,9,11【分析】由题意求得所(){}3,5,7,9,11f A =，(){}7,9,11,13,15f B =，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，知()()21f n n n N*=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，所以()(){}{}3,5,7,9,11f A n f n A =∈=，()(){}{}7,9,11,13,15f B m f m B =∈=， 所以()(){}7,9,11f A f B ⋂=. 故答案为：{}7,9,11. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．0或1【分析】根据B ⊆A 讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A 若B=∅则a=0；若B≠∅则因为若2∈B ∴2a ﹣2=0∴a=1若3∈B 则3a ﹣2=0∴a=∵a ∈Z ∴a≠∴a解析：0或1 【分析】根据B ⊆A ，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a 的范围； 【详解】 ∵B ⊆A ， 若B=∅，则a=0；若B≠∅，则因为若2∈B ，∴2a ﹣2=0，∴a=1， 若3∈B ，则3a ﹣2=0，∴a=32，∵a ∈Z ，∴a≠32， ∴a=0或1， 故答案为a=0或1． 【点睛】此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a 是整数．15．0【解析】分析：根据集合的并集的含义有集合A 或B 必然含有元素0又由集合AB 可得从而求得结果详解：根据题意若则A 或B 必然含有元素0又由则有即故答案是0点睛：该题考查的是有关集合的运算问题利用两个集合的解析：0. 【解析】分析：根据集合的并集的含义，有集合A 或B 必然含有元素0，又由集合A,B 可得20a =，从而求得结果.详解：根据题意，若{}=0,1,2A B ⋃，则A 或B 必然含有元素0， 又由{}{}22,1,A B a==，则有20a=，即0a =，故答案是0.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.16．【解析】分析：利用交集的运算直接求解即可详解：由题所以即答案为点睛：本题考查交集的运算属基础题 解析：{}0,1【解析】分析：利用交集的运算直接求解即可详解：由题{}12A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，所以{}0,1A B ⋂=. 即答案为{}0,1点睛：本题考查交集的运算，属基础题.17．【解析】由题意得 解析：[]4,0-【解析】由题意得2004040a a a a a <⎧=∴-≤≤⎨∆=+≤⎩或 18．【解析】【分析】因为命题：是真命题可得即可求得答案【详解】命题：是真命题解得则实数的取值范围为故答案为【点睛】这是一道关于命题的真假判断与应用的题目关键是根据已知命题为真命题构造关于的不等式是解题的解析：[2,2]-【解析】 【分析】因为命题q ：210x R x mx ∀∈++>，，是真命题，可得240m =-<即可求得答案【详解】命题q ：210x R x mx ∀∈++>，，是真命题240m ∴=-<，解得22m -<<则实数m 的取值范围为()22-，故答案为()22-，【点睛】这是一道关于命题的真假判断与应用的题目，关键是根据已知命题为真命题，构造关于m 的不等式是解题的关键19．③④【分析】对于①求出曲线为椭圆的充要条件判断与关系即得①的正误；对于②根据已知条件求出双曲线的方程从而求出渐近线方程即得②的正误；对于③把抛物线的方程化为标准式求出准线方程即得③的正误；对于④设根解析：③④ 【分析】对于①， 求出“曲线221ax by +=为椭圆”的充要条件，判断与“0,0a b >>”关系，即得①的正误；对于②，根据已知条件求出双曲线的方程，从而求出渐近线方程，即得②的正误；对于③，把抛物线的方程化为标准式，求出准线方程，即得③的正误；对于④，设,0,0,A a B b ，根据2AM MB =，可得()33,0,0,2A x B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入6AB =，求出动点M 的轨迹方程，即得④的正误. 【详解】对于①， “曲线221ax by +=为椭圆”的充要条件是“0,0a b >>且a b ”.所以“曲线221ax by +=为椭圆”的必要不充分条件是“0,0a b >>”，故①错误；对于②，椭圆221148y x +=的焦点为(0,，又双曲线的离心率22292,2,22e c a b c a a ==∴=∴=∴=-=，所以双曲线的方程为2222139y x -=，所以双曲线的渐近线方程为y x =，故②错误； 对于③，抛物线22x y =-的方程化为标准式212y x =-，准线方程为18x ，故③正确；对于④，设,0,0,A a B b ，()()()322,,2,,322a xx a x AM MB x a y x b y y b y b y =⎧-=-⎧⎪=∴-=--∴∴⎨⎨=-=⎩⎪⎩，()33,0,0,,6,62A x B y AB ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，即221416x y +=，即动点M 的轨迹方程为221416x y +=.故④正确.故答案为：③④. 【点睛】本题考查充分必要条件、圆锥曲线的性质和求轨迹方程的方法，属于中档题.20．720【分析】欲求中所有元素和的总和需要知道中的元素和分别是多少；中的元素都可以通过题中已知条件：则求出【详解】解：依题意得为正整数集且及均为正整数即可可取的任意正整数1和9要么必须同时出现要么都不解析：720. 【分析】欲求S 中所有元素和的总和，需要知道S 中的元素和分别是多少；S 中的元素都可以通过题中已知条件：x S ∈，则(10)x S -∈求出． 【详解】解：依题意得S 为正整数集， x S ∈，且10x S -∈x 及10x -均为正整数即可 x 可取19→的任意正整数，1和9要么必须同时出现，要么都不出现；同理：2和8、3和7、4和6依此类推5……单独考虑，共5组． 那么：只选1组是45，即(19)(28)545++++⋯⋯+= 依此类推： 选2组是180， 选3组是270， 选4组是180， 选5组是45，共计4518027018045720++++=． 故答案为：720． 【点睛】首先要明确*N 所代表的数集，然后根据已知条件将所有的可能考虑全面即可，属于中档题．三、解答题21．充分不必要 【分析】 分10k -=和10k ->⎧⎨∆<⎩可求出当命题p 为真命题时对应的实数k 的取值范围，利用基本不等式求出2272x x --在2x >时的最大值，可求出当命题q ⌝为真命题时对应的实数k 的取值范围，再利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】若p 为真命题：当1k =时，对于任意x ∈R ，则有20>恒成立；当1k ≠时，根据题意，有()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k <<. 所以19k ≤<；若q ⌝为真命题：2x ∀>，2272x k x -≥-．()()()22228212712288222x x x x x x x -+-+-==-++≥---，当且仅当22x =+时，等号成立，所以8k ≤+ {}19k k ≤< {8k k ≤+，所以，“p 为真命题”是“q ⌝为真命题”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了利用命题的真假求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.22．（Ⅰ）{|45}A B x x ⋂=<<；（Ⅱ）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（Ⅰ）当2a =时，求出集合A ，集合B ，由此能求出AB ．（Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，从而A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）当2a =时，集合215|0{|0}{|45}24x a x A x x x x x a x ⎧⎫---=<=<=<<⎨⎬--⎩⎭， 集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<． {|45}AB x x ∴=<<．（Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，A B ∴⊆，当221a a <+时，1a ≠，集合221|0{|21}2x a A x x a x a x a ⎧⎫--=<=<<+⎨⎬-⎩⎭， 集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<．∴22115a a ⎧⎨+⎩，且1a ≠，解得122a ．且1a ≠， 当1a =时，A =∅，成立．综上，实数a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查充分条件、交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．23．（1）(]2,3；（2）[)20,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）解一元二次不等式和不等式组分别求得,p q ，由p q ∧为真可知,p q 均为真，由此可得取值范围；（2）解一元二次不等式可求得p ，进而得到p ⌝，根据推出关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当2a =时，由28120x x -+<得：26x <<，{}:26p x x ∴<<；由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得：23x <≤，{}:23q x x ∴<≤. p q ∧为真，,p q ∴均为真，∴实数x 的取值范围为(]2,3.（2）由22430x ax a -+<得：3a x a <<，{:p x x a ∴⌝≤或}3x a ≥， 由（1）知：{}:23q x x <≤p ⌝是q 的必要不充分条件，pq ∴⌝且q p ⇒⌝032a a >⎧∴⎨≤⎩或03a a >⎧⎨≥⎩，解得：203a <≤或3a ≥，∴实数a 的取值范围为[)20,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查根据含逻辑联结词的命题的真假性、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够根据含逻辑联结词得到原命题的真假性、根据必要不充分条件的定义得到推出关系.24．（1）逆命题：“若2280x x --≤则260x x --≤”，假命题；否命题：“若260x x -->则2280x x -->”，假命题；逆否命题：“若2280x x -->则260x x -->”，真命题；（2）3a >【分析】（1）根据逆命题，否命题，逆否命题的定义，可得逆命题，否命题，逆否命题，求解对应不等式的范围，以及原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得解； （2）若“()(2)0x a x -+≤”是“260x x --≤”的必要不充分条件，则不等260x x --≤的解23x -≤≤构成的集合为()(2)0x a x -+≤的解集的真子集.分2a =-，2a <-，2a >-三种情况讨论即得解. 【详解】（1）根据逆命题，否命题，逆否命题的定义， 逆命题：“若2280x x --≤则260x x --≤”； 否命题：“若260x x -->则2280x x -->”； 逆否命题：“若2280x x -->则260x x -->”.260x x --≤即：23x -≤≤；2280x x --≤即：24x -≤≤可得：原命题“若260x x --≤则2280x x --≤”是真命题， 逆命题“若2280x x --≤则260x x --≤”是假命题，根据原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得：逆否命题为真，否命题为假. （2）若“()(2)0x a x -+≤”是“260x x --≤”的必要不充分条件，则不等式260x x --≤的解23x -≤≤构成的集合为()(2)0x a x -+≤的解集的真子集.()(2)0x a x -+≤对应方程的根为12,2x a x ==-若2a =-，不等式的解为2x =-,不成立； 若2a <-，不等式的解为2a x ≤≤-，不成立；若2a >-，不等式的解为2x a -≤≤，若23x -≤≤构成的集合是2x a -≤≤构成的集合的真子集，则3a >.综上：实数a 的取值范围是3a >. 【点睛】本题考查了命题的四种形式以及充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理，转化划归，分类讨论的能力，属于中档题.25．（1）{}34A B x x ⋃=-≤≤,{}03A B x x ⋂=≤≤；（2）20a -≤≤. 【分析】（1）代入a 的值，根据交集和并集的概念以及运算求解出,A B A B ；（2）根据A B B =分析出B A ⊆，由此列出关于a 的不等式，求解出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}04B x x =≤≤且{}33A x x =-≤≤，所以{}34A B x x ⋃=-≤≤，{}03A B x x ⋂=≤≤； （2）因为AB B =，所以B A ⊆，且31a a +>-，所以B ≠∅，所以1333a a -≥-⎧⎨+≤⎩，所以20a -≤≤.【点睛】结论点睛：常见集合的交集、并集运算性质： （1）若AB B =，则B A ⊆；（2）若A B B ⋃=，则A B ⊆.26．（1）{}13x x -<≤；（2）(0，2]. 【分析】分别求解一元二次不等式化简A 与B ．（1）把2a =代入集合B ，再由交、并、补集的混合运算得答案； （2）由p ⌝是q 的充分不必要条件，得RA B ，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解． 【详解】2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<，{|(1)(1)0}{|1B x x a x a x x a =-+-->=<-或1}x a >+．（1）若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{|13}R B x x =-， (){|16}{|13}{|13}R A B x x x x x x ∴⋂=-<<⋂-=-<；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，A R1{|x x =≤-或6}x ≥则RAB ．∴01116a a a >⎧⎪--⎨⎪+⎩且不等式组中两等号不同时成立，解得02a <． a ∴的取值范围是(0，2]．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算以及利用包含关系求参数，考查充分条件与必要条件的判定方法，考查数学转化思想方法，是中档题．。
新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>是真命题，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．13a < B ．103a <≤ C ．13a > D ．13a ≤ 2．已知命题2:11x p x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞ 3．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（i ）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅； （ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(),A B 的个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．105．函数3()1f x ax x =++有极值的充分但不必要条件是（ ）A ．1a <-B ．1a <C ．0a <D ．0a > 6．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④ 8．全集U =R ，集合04x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞9．已知集合{} 1A x x =>-，{}2B x x =<，则A B =（ ） A ．()1,-+∞ B ．(),2-∞ C ．1,2D ．R 10．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 12．命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为A ．对任意x ∈R ,都有20x <B ．不存在x ∈R ,都有20x <C ．存在0x ∉R ,使得200x <D ．存在0x ∈R ,使得200x < 二、填空题13．①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真：②在ABC 中，“60B ∠=︒”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件； ③1{2x y >>是3{2x y xy +>>的充要条件；④“22am bm <”是“a b <”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________.14．已知集合U =R ，集合[]5,2A =-，()1,4B =，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．15．若“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题，则实数m 的取值范围为________. 16．已知命题:44,:(2)(3)0p x a q x x -<-<-->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围________.17．已知集合{}2,M y y x x R ==∈,221,4y N y x x R ⎧⎫⎪⎪=+=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则M N =__________.18．已知命题“0x ∃∈[1，2]， 200210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为______．19．已知集合{}ln(21)A x y x ==-，{}2230B x x x =--≤，则A B __________． 20．已知“x m ≥”是“121x +>”的充分不必要条件，且m Z ∈，则m 的最小值是________．三、解答题21．已知函数()f x =A ，函数2()41,[0,3]g x x x x =-+-∈的值域为B .（Ⅰ）设集合()M A B Z =⋂⋂，其中Z 是整数集，写出集合M 的所有非空子集； （Ⅱ）设集合{|121}C x a x a =-<<+，且B C =∅，求实数a 的取值范围. 22．已知集合A 是函数2lg 20()8y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，:,:p x A q x B ∈∈．（1）若A B =∅，求a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．23．已知命题:P 实数x 满足2280x x --≤，命题:q 实数x 满足2(0)x m m -≤> （1）当m=3时，若“p 且q”为真，求实数x 的取值范围;（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．24．已知集合{}30A x x a =->，{}260B x x x =-->．（Ⅰ）当3a =时，求A B ，A B ； （Ⅱ）若()R A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．25．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.26．已知集合13279x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，函数()lg 1x f x -=B . （1）求A B ，()R B A ；（2）已知集合{}433C x m x m =-≤≤+，若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由题意可得2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠即可求解.【详解】若命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>是真命题，则2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，当0a =时，230x +>可得：32x >-不满足对于x ∈R 恒成立，所以0a =不符合题意； 当0a ≠时，需满足04430a a >⎧⎨∆=-⨯<⎩解得13a >， 所以实数a 的取值范围是13a >， 故选：C【点睛】关键点点睛：对于2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，需讨论0a =和0a ≠，当0a ≠时，结合二次函数图象即可得等价条件. 2．C解析：C【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果.【详解】 因为211x x <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<， 当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<，当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意，当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意，综上所述：1a ≥.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．A解析：A【详解】 因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或，因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A.4．B解析：B【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解.【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉，故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉，故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =；③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ，故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B ；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉，故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种．所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=.故选：B.【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.5．A解析：A【分析】求导2()31f x ax '=+，所以要使函数3()1f x ax x =++有极值，则需3012>0a a ≠∆=-，，可求得a 的范围，再由充分必要条件可得选项.【详解】因为2()31f x ax '=+，所以要使函数3()1f x ax x =++有极值，则需3012>0a a ≠∆=-，，解得0a <，又由1a <-可推得0a <，而由0a <不能推得1a <-，所以函数3()1f x ax x =++有极值的充分但不必要条件是1a <-，故选：A ．【点睛】本题考查函数有极值的条件，以及命题的充分必要条件的判断，属于中档题.6．A解析：A【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】 若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要.故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.7．B解析：B【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确；“2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．8．C解析：C【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃.【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >， ()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.9．C解析：C【分析】由集合的交集运算即可得出结果.【详解】{|12}=(1,2)=-<<-A B x x故选：C【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了计算能力，属于一般题目.10．B解析：B【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 11．C解析：C【分析】结合等差数列的单调性，根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】在{}n a 是等差数列，若123a a a <<，可得21320d a a a a =-=->，所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立；若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立，所以“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及等差数列的单调性判定及应用，其中解答中熟记等差数列的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．D解析：D【解析】命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为:存在0x R ∈,使得200x <,选D.二、填空题13．③④【解析】对于①一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题则若其逆命题为真其否命题也一定为真①正确；对于②若则有则三个角成等差数列反之若三个角成等差数列有又由则故在中是三个角成等差数列的充要条件②正确解析：③④【解析】对于①，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；对于②，若60B ∠=，则120A C ∠+∠=，有2A C B ∠+∠=∠，则,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列，反之若,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列，有2A C B ∠+∠=∠，又由3=180A B C B ∠+∠+∠=∠，则60B ∠=，故在ABC ∆中，“60B ∠=”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③， 当19,22x y ==，则满足32x y xy +>⎧⎨>⎩，而不满足12x y >⎧⎨>⎩，则12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的不必要条件，③错误；对于④，若a b <，当0m =时，有22am bm =，则“22am bm <”是“a b <”的不必要条件，④错误，故答案为③④.14．【解析】因为所以或则图中阴影部分所表示的集合为应填答案解析：[]5,1-【解析】因为[]5,2A =-，()1,4B =，所以{|1U C B x x =≤或4}x ≥，则图中阴影部分所表示的集合为(){|51}U C B A x x ⋂=-≤≤，应填答案[]5,1-． 15．【分析】根据题意写出原命题的否定则其是一个真命题再据此求范围即可【详解】因为使得是假命题所以其否定:是真命题又时所以故答案为:【点睛】本题考查命题的真假关系考查三角函数求最值属于简单题在解决命题真假解析：【分析】根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可.【详解】因为“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题,所以其否定:“,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m <”是真命题,又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,tan x ∈,所以m >故答案为:)+∞. 【点睛】本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等. 16．【分析】是的充分不必要条件可转化为是的充分不必要条件再化简两命题对应的取值范围进一步判断即可【详解】是的充分不必要条件是的充分不必要条件命题中：命题中：由是的充分不必要条件可知应满足解得故答案为：【 解析：[1,6]-【分析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件可转化为q 是p 的充分不必要条件，再化简两命题对应x 的取值范围，进一步判断即可【详解】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”⇔q 是p 的充分不必要条件，命题p 中：44a x a -<<+，命题q 中：23x <<，由q 是p 的充分不必要条件可知，应满足4243a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得[1,6]a ∈- 故答案为：[1,6]-【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围，属于中档题17．【分析】根据函数的值域以及椭圆的性质求得集合再根据集合的运算即可求解【详解】由题意集合所以【点睛】本题主要考查了集合的运算其中解答中根据函数的值域以及椭圆的性质求得集合是解答的关键着重考查了推理与运 解析：[]0,2【分析】根据函数的值域，以及椭圆的性质求得集合,M N ，再根据集合的运算，即可求解．【详解】 由题意，集合{}2,{|0}M y y x x R y y ==∈=≥，221,{|22}4y N y x x R y y ⎧⎫⎪⎪=+=∈=-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 所以{|02}[0,2]M N y y =≤≤=．【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中根据函数的值域，以及椭圆的性质求得集合,M N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．【分析】由题意可得2a ＜x0在12的最大值运用对勾函数的单调性可得最大值即可得到所求a 的范围【详解】命题∃x0∈12x02﹣2ax0+1＞0是真命题即有2a ＜x0在12的最大值由x0在12递增可得x 解析：5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】由题意可得2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围．【详解】命题“∃x 0∈[1，2]，x 02﹣2ax 0+1＞0”是真命题，即有2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值， 由x 001x +在[1，2]递增，可得x 0＝2取得最大值52， 则2a 52＜，可得a 54＜，则实数a 的取值范围为（﹣∞，54）． 故答案为（﹣∞，54）． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 19．(或用区间表示为【解析】分析：先根据真数大于零得集合A 再解一元二次不等式得集合B 最后根据交集定义求结果详解：因为所以因为所以因此点睛：求集合的交并补时一般先化简集合再由交并补的定义求解在进行集合的运 解析：13|22x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭(或用区间表示为13(,]22. 【解析】分析：先根据真数大于零得集合A,再解一元二次不等式得集合B ，最后根据交集定义求结果.详解：因为210x ->，所以12x >因为2230x x --≤，所以312x -≤≤因此13(,]22A B ⋂=. 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 20．0【分析】根据是的充分不必要条件且即可得出【详解】由是的充分不必要条件且则的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了充分不必要条件的判定方法考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：0.【分析】1121221x x x +->⇔>⇔>-．根据x m ”是“+121x >”的充分不必要条件，且m Z ∈，即可得出．【详解】由1211x x +>⇒>-，“x m ”是“+121x >”的充分不必要条件，且m Z ∈，0m ∴，则m 的最小值是0．故答案为：0．【点睛】本题考查了充分不必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题21．（Ⅰ）{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1；（Ⅱ）(][),14,-∞-+∞【分析】（Ⅰ）计算得到(]3,log 8A =-∞，[]1,3B =-，再计算交集得到{}1,0,1M =-，得到答案.（Ⅱ）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，得到121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得答案. 【详解】（Ⅰ）函数()f x =830x -≥，即3log 8x ≤，即(]3,log 8A =-∞，()22()4123,[0,3]g x x x x x =-+-=--+∈，[]1,3y ∈-，即[]1,3B =-，[]{}31,log (1,0,8)1M A B Z Z =⋂⋂=--⋂=.故集合M 的所有非空子集为{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1. （Ⅱ）{|121}C x a x a =-<<+，B C =∅，当C =∅时，121a a -≥+，解得2a ≤-；当C ≠∅时，121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得(][)2,14,a ∈--+∞. 综上所述：(][),14,a ∈-∞-+∞.【点睛】 本题考查了函数的定义域，值域，子集，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集是容易发生的错误.22．（1）9a ≥（2）03a <≤【解析】分析：（1）分别求函数2lg 20()8y x x =+-的定义域和不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，从而确定集合A,B ，由A B φ⋂=，得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a 的取值范围；（2）求出p ⌝对应的x 的取值范围，由p ⌝是q 的充分不必要条件得到对应的集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a 的取值范围.详解：（1）由题意得{}{}|210,|11A x x B x x a x a =-<<=≥+≤-或． 若A B ⋂=∅，则必须满足110120a a a +≥⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩，解得9a ≥．∴a 的取值范围为9a ≥．（2）易得:102p x x ⌝≥≤-或．∵p ⌝是q 的充分不必要条件，∴{}|102x x x ≥≤-或是{}|11B x x a x a =≥+≤-或的真子集，则101210a a a ≥+⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩，解得03a <≤，∴a 的取值范围是03a <≤．点睛：该题所涉及的考点有交集及其运算，充分不必要条件，复合命题的真假，解题的关键是先确定集合中的元素，再者就是两集合交集为空集时对应参数的取值范围，可以借助于数轴来完成.23．（1）[1,4]-（2）4m ≥【详解】试题分析：（1）先转化，q ，由且q 为真，得真q 真，解出x （2）由p ⌝是q⌝的必要不充分条件 得是q 的充分不必要条件，根据数轴列出不等式解出m 试题解：（1）若真：24x -≤≤；当3m =时，若q 真：15x -≤≤ ∵且q 为真 ∴24{15x x -≤≤-≤≤ ∴实数x 的取值范围为：[1,4]-（2）∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴是q 的充分不必要条件 ∵若q 真：22m x m -≤≤+∴22{42m m-≤-≤+且等号不同时取得 （不写“且等号不同时取得”，写检验也可） ∴4m ≥．考点：复合命题，充要条件，解不等式24．（Ⅰ）{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >；（Ⅱ）(),9-∞.【分析】（Ⅰ）解不等式求得集合,A B ，再由交并集的定义求解；（Ⅱ）求出A 与B R ，然后分析两集合有公共元素时的不等关系，可得a 的范围． 【详解】由30x a ->得3a x >，所以3a A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭ 由260x x -->，得()()230x x +->，解得2x <-或3x >，所以{}2B x x =<-或3}x >．（Ⅰ）当3a =时，{}1A x x =>， 所以{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >（Ⅱ）因为{|2B x x =<-或3}x >， 所以{}23B x x =-≤≤R ．又因为()R A B ⋂≠∅，所以33a <，解得9a <． 所以实数a 的取值范围是(),9-∞．【点睛】本题考查集合的表示、运算，考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法．属于基础题．25．（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【分析】（1）命题p 为真，只需[]()2min 21,20,3x m m x -≥-∈，根据一次函数的单调性，转化为求关于m 的一元二次不等式；（2）命题q 为真，只需[]()2min 1,1,10x x m x -+-∈-≤，根据二次函数的性质，求出m 的范围，依题意求出p 真q 假，和p 假q 真时，实数m 的取值范围.【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假， 若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤. 【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题. 26．（1）[)2,4A B =-，()[]2,1R B A =-；（2）()5,7,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出集合A 、B ，利用补集的定义可得出集合A B ，利用补集和交集的定义可得出集合()R B A ；（2）分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，根据题意得出关于实数m 的不等式（组），解出即可.【详解】（1）解不等式13279x ≤≤，即23333x -≤≤，解得23x -≤≤，得[]2,3A =-. 对于函数()lg 1x f x -=1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<，则()1,4B =.[)2,4A B ∴=-，(][),14,R B =-∞+∞，则()[]2,1R B A =-；（2）当C =∅时，433m m ->+，得到72m <-，符合题意； 当C ≠∅时，433332m m m -≤+⎧⎨+<-⎩或43343m m m -≤+⎧⎨->⎩，解得7523m -≤<-或7m >. 综上所述，实数m 的取值范围是()5,7,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查交集、补集与并集的计算，同时也考查了利用交集的结果求参数，解题的关键就是对集合C 是否为空集进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知命题2:2,:2320p x q x x <--<，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．“21x >”是“2x >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知:250p x ->，2:20q x x -->，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数3()1f x ax x =++有极值的充分但不必要条件是（ ） A ．1a <- B ．1a < C ．0a < D ．0a > 6．已知集合A ={x |x 2-4|x |≤0}，B ={x |x ＞0}，则A ∩B =（ ）A ．(]0,4B ．[]0,4C ．[]0,2D ．(]0,27．已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“m =是“点P 到直线l ”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案9．函数()31f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A ．[]0,3a ∈B ．()0,5a ∈C ．()0,3a ∈D ．()1,2a ∈10．不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，则a 的取值范围为（ ） A ．–11a ≤≤ B ．–11a ≤<C ．–11a <<D ．11a -<≤11．以下四个命题中错误．．的是（ ） A ．若样本1x 、2x 、、5x 的平均数是2，方差是2，则数据12x 、22x 、、52x 的平均数是4，方差是4B ．ln 0x <是1x <的充分不必要条件C ．样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率D ．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”和事件“向上点数不小于4”是对立事件12．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}二、填空题13．已知：条件p ：120x-≥和q ：()()22110x a x a a -+++<，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______.14．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 15．方程2210ax x 至少有一个正实数根的充要条件是________；16．已知集合{}ln(21)A x y x ==-，{}2230B x x x =--≤，则AB __________．17．已知函数1,()1,M x Mf x x M ∈⎧=⎨-∉⎩（M 为非空数集），对于两个集合,A B ，定义{}()?()1A B A B x f x f x ∆==-，已知{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B ∆=__________．18．已知命题，则为_______．19．若命题“[]01,1x ∃∈-，033x a ≤”为真命题，则实数a 的取值范围为______. 20．已知命题“[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥”为真命题，则a 的取值范围为_______.三、解答题21．已知命题p ：01x ≤≤；q ：()120a x a a -≤≤>. （1）若1a =，写出命题“若p 则q ”的逆否命题，并判断真假；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22．已知命题:p 关于x 的不等式()()21120k x k x ---+>的解集为R ，:2q x ∃>，2272x k x -<-，试判断“p 为真命题”与“q ⌝为真命题”的充分必要关系． 23．已知集合{|22}A x a x a =-+，2{|540}B x x x =-+（1）当3a =时，求A B ，()R A B ⋃；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围．24．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 25．已知集合13279x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，函数()lg 1x f x -=B .（1）求AB ，()R B A ；（2）已知集合{}433C x m x m =-≤≤+，若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围． 26．已知集合A ＝{x |y ＝ln （﹣x 2﹣x +12）}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1，m ∈R }． （1）若m ＝2，求（∁R A ）∩B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出q 成立的x 的范围，然后根据集合包含关系判断． 【详解】2:2320q x x --<，(21)(2)0x x +-<，122x -<<，由于1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭是(,2)-∞的真子集，因此应是必要不充分条件． 故选：C ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则 （1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．2．B解析：B【分析】设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性. 【详解】设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ，所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.3．A解析：A 【分析】先求出,p q 对应的不等式的解，再利用集合包含关系，进而可选出答案. 【详解】由题意，5:2502p x x ->⇒>，设5|2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭2:20q x x -->，解得：2x >或1x <-，设{|2B x x =>或}1x <-显然A 是B 的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．4．A解析：A 【分析】计算直线平行等价于1a =或2a =-，根据范围大小关系得到答案. 【详解】直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行，则()12a a +=，1a =或2a =-，验证均不重合，满足.故“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.5．A解析：A 【分析】求导2()31f x ax '=+，所以要使函数3()1f x ax x =++有极值，则需3012>0a a ≠∆=-，，可求得a 的范围，再由充分必要条件可得选项. 【详解】因为2()31f x ax '=+，所以要使函数3()1f x ax x =++有极值，则需3012>0a a ≠∆=-，，解得0a <，又由1a <-可推得0a <，而由0a <不能推得1a <-，所以函数3()1f x ax x =++有极值的充分但不必要条件是1a <-， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数有极值的条件，以及命题的充分必要条件的判断，属于中档题.6．A解析：A 【分析】先求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 A={x|-4≤x≤4}； ∴A∩B=（0，4]． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了集合描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于中档题．7．B解析：B 【分析】“点P 到直线l ”解得：m =±. 【详解】点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，考虑“点P 到直线l ” 设()[)2cos ,sin ,0,2P θθθπ∈，点P 到直线l 的距离d ϕϕ===点P 到直线l ()m θϕ++的最小值()m θϕ++符号恒正或恒负， ()m m m θϕ⎡++∈⎣当0m <时，m =-，当0m >时，m =综上所述：m =±所以“m =是“点P 到直线l ”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围.8．D解析：D 【分析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解. 【详解】 解：命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<，p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ． 【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．9．D解析：D 【分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，当()1,1x ∈-时，()[)23,3f x x a a a '=-∈--，当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥，故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，A ､B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.10．D解析：D 【分析】求解一元二次不等式可得220x x --<的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解即可. 【详解】由不等式220x x --<，得12x -<<，∵不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，∴()2,1a a +⫋()12-，， 则221112a a a a ⎧<+⎪≥-⎨⎪+≤⎩且1a ≥-与212a +≤的等号不同时成立，解得11a -<≤， ∴a 的取值范围为11a -<≤， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.11．A解析：A 【分析】利用平均数和方差公式可判断A 选项的正误；解不等式ln 0x <，利用集合的包含关系可判断B 选项的正误；根据频率直方图的概念可判断C 选项的正误；根据对立事件的概念可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，样本1x 、2x 、、5x 的平均数为1234525x x x x x x ++++==，方差为()()()()()222221234522222225x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==， 数据12x 、22x 、、52x 的平均数是1234522222245x x x x x x x ++++'===，方差为()()()()()2222212345224242424245x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦'=()()()()()2222212345242222244285x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦===⨯=，A 选项错误；对于B 选项，解不等式ln 0x <，得01x <<，{}01x x << {}1x x <，所以，ln 0x <是1x <的充分不必要条件，B 选项正确；对于C 选项，由频率分布直方图的概念可知，样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率，C 选项正确；对于D 选项，抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”即为：向上的点数为1或2或3，事件“向上点数不小于4”即为：向上的点数为4或5或6， 这两个事件互为对立事件，D 选项正确. 故选：A. 【点睛】本题考查命题正误的判断，涉及平均数、方差的计算、充分不必要条件的判断、频率直方图和对立事件概念的理解，考查推理能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】根据补集的运算，求得{3,5}U C A =，再根据集合交集的运算，即可求得()U C A B ⋂. 【详解】由题意，全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，可得{3,5}U C A =， 所以()U C A B {3,5}.故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据是的必要不充分条件得到计算得到答案【详解】即；即是的必要不充分条件故得到解得故答案为：【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数意在考查学生的推断能力 解析：102-<≤a【分析】根据p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得到{}1012x x x a x a ≠⎧⎫<≤⊂<<+⎨⎬⎩⎭，计算得到答案. 【详解】120x-≥，即102x <≤；()()22110x a x a a -+++<，即1a x a <<+.p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，故{}1012x x x a x a ≠⎧⎫<≤⊂<<+⎨⎬⎩⎭，得到0112a a ≤⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得102-<≤a .故答案为：102-<≤a .【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数，意在考查学生的推断能力.14．【分析】对分类讨论计算可得【详解】解：因为命题使得不等式是真命题当时恒成立满足条件；当时则解得综上可得即故答案为：【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围属于中档题 解析：[]0,4【分析】对m 分类讨论，计算可得. 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题 当0m =时，10≥恒成立，满足条件；当0m ≠时，则2040m m m >⎧⎨-≤⎩解得04m <≤综上可得04m ≤≤即[]0,4m ∈ 故答案为：[]0,4 【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，属于中档题.15．【分析】讨论和三种情况计算得到答案【详解】当时方程为满足条件当时方程恒有两个解且两根一正一负满足条件当时即此时两根均为正数满足条件综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了充要条件分类讨论是一个常用的方 解析：[)1,a ∈-+∞【分析】讨论0a =，0a >和0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】当0a =时，方程为1210,2x x -==满足条件. 当0a >时，2210,440axx a 方程恒有两个解，且1210x x a=-<，两根一正一负，满足条件 当0a <时，2210,4401axx a a ，即01a ，此时，1210x x a=->， 1220x x a+=->，两根均为正数，满足条件 综上所述：1a ≥- 故答案为：[)1,a ∈-+∞ 【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.16．(或用区间表示为【解析】分析：先根据真数大于零得集合A 再解一元二次不等式得集合B 最后根据交集定义求结果详解：因为所以因为所以因此点睛：求集合的交并补时一般先化简集合再由交并补的定义求解在进行集合的运解析：13|22x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭(或用区间表示为13(,]22. 【解析】分析：先根据真数大于零得集合A,再解一元二次不等式得集合B ，最后根据交集定义求结果.详解：因为210x ->，所以12x >因为2230x x --≤，所以312x -≤≤ 因此13(,]22A B ⋂=.点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．17．【解析】∵函数（为非空数集）对于两个集合定义∴故答案为 解析：{0,1,4,5}【解析】∵函数()1,1,M x Mf x x M∈⎧=⎨-∉⎩（M 为非空数集）．对于两个集合,A B ，定义()(){}•1A B A B x f x f x ∆==-，{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，∴{}0145A B ，，，=，故答案为{}0,1,4,5．18．【解析】试题分析：根据全称命题的定义得为故答案为考点：全称命题的否定解析：00,sin 1x R x ∃∈>【解析】试题分析：根据全称命题的定义得为00,sin 1x R x ∃∈>，故答案为00,sin 1x R x ∃∈>．考点：全称命题的否定．19．【分析】由题意结合指数函数的单调性可得的最大值可得的范围【详解】命题为真命题可得的最大值由可得故答案为：【点睛】本题考查不等式能成立问题考查转化与化归思想属于中等题型 解析：(],1-∞【分析】由题意结合指数函数的单调性，可得0a x ≤的最大值，可得a 的范围. 【详解】命题“[]01,1x ∃∈-，033x a ≤”为真命题， 可得0a x ≤的最大值， 由[]01,1x ∈-，可得1a ≤， 故答案为：(],1-∞ 【点睛】本题考查不等式能成立问题，考查转化与化归思想，属于中等题型20．【分析】令则对称轴为分对称轴在区间之间区间左边和区间右边三种情况讨论可得【详解】解：令则对称轴为要使不等式恒成立即当时解得；当时解得；当时解得；综上可得：故答案为：【点睛】本题考查的知识点是命题的真 解析：(,4]-∞【分析】令()24f x x ax =-+，则对称轴为2ax =，分对称轴在区间之间，区间左边和区间右边三种情况讨论可得. 【详解】解：令()24f x x ax =-+，则对称轴为2a x =， 要使[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥恒成立，即[1,3]x ∀∈，()240f x x ax =-+≥当12a x =≤时()21140f a =-+≥解得2a ≤； 当132ax <=<时240222a a a f a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得24a <≤；当32ax =≥时()233340f a =-+≥解得a ∈∅； 综上可得：(,4]a ∈-∞故答案为：(,4]-∞ 【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，属于基础题.三、解答题21．（1）逆否命题为“若0x <或2x >，则0x <或1x >”，真命题；（2）112a ≤≤. 【分析】（1）直接写出命题“若p 则q ”逆否命题并判断真假即可； （2）由题意得{}|01x x ≤≤(){}|120x a x a a -≤≤>，即1021a a -≤⎧⎨≥⎩解不等式组可得答案. 【详解】（1）若1a =，则q ：02x ≤≤，命题“若p 则q ”为“若01x ≤≤，则02x ≤≤”， 命题“若p 则q ”的逆否命题为“若0x <或2x >，则0x <或1x >”，是真命题； （2）若p 是q 的充分不必要条件，{}|01x x ≤≤(){}|120x a x a a -≤≤>则1021a a -≤⎧⎨≥⎩，解得112a ≤≤，实数a 的取值范围为112a ≤≤. 【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含. 22．充分不必要 【分析】分10k -=和10k ->⎧⎨∆<⎩可求出当命题p 为真命题时对应的实数k 的取值范围，利用基本不等式求出2272x x --在2x >时的最大值，可求出当命题q ⌝为真命题时对应的实数k 的取值范围，再利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】若p 为真命题：当1k =时，对于任意x ∈R ，则有20>恒成立；当1k ≠时，根据题意，有()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k <<. 所以19k ≤<；若q ⌝为真命题：2x ∀>，2272x k x -≥-．()()()22228212712288222x x x x x x x -+-+-==-++≥---，当且仅当22x =+时，等号成立，所以8k ≤+ {}19k k ≤< {8k k ≤+，所以，“p 为真命题”是“q ⌝为真命题”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了利用命题的真假求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.23．（1）{|11A B x x =-或45}x ；(){}|15RA B x x =-；（2） (,1)-∞.【分析】（1）3a =时求出集合A ，B ，再根据集合的运算性质计算A B 和()R A B ⋃；（2）根据A B =∅，讨论A =∅和A ≠∅时a 的取值范围，从而得出实数a 的取值范围． 【详解】解：（1）当3a =时，{|22}{|15}A x a x a x x =-+=-，2{|540}{|1B x x x x x =-+=或4}x ， {|11A B x x =-或45}x ；又{|14}R B x x =<<， (){}|15RAB x x =-；（2）A B =∅，当22a a ->+，即0a <时，A =∅，满足题意；当0a 时，应满足2124a a ->⎧⎨+<⎩，此时得01a <；综上，实数a 的取值范围是(,1)-∞．【点睛】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题． 24．（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【分析】（1）命题p 为真，只需[]()2min 21,20,3x m m x -≥-∈，根据一次函数的单调性，转化为求关于m 的一元二次不等式；（2）命题q 为真，只需[]()2min 1,1,10x x m x -+-∈-≤，根据二次函数的性质，求出m 的范围，依题意求出p 真q 假，和p 假q 真时，实数m 的取值范围. 【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤， 所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立， 只需()2min10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤，即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤，综上，1m <或524m <≤. 【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题. 25．（1）[)2,4A B =-，()[]2,1R B A =-；（2）()5,7,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求出集合A 、B ，利用补集的定义可得出集合AB ，利用补集和交集的定义可得出集合()RB A ；（2）分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，根据题意得出关于实数m 的不等式（组），解出即可. 【详解】 （1）解不等式13279x ≤≤，即23333x -≤≤，解得23x -≤≤，得[]2,3A =-. 对于函数()lg 1x f x -=1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<，则()1,4B =.[)2,4A B ∴=-，(][),14,R B =-∞+∞，则()[]2,1R B A =-；（2）当C =∅时，433m m ->+，得到72m <-，符合题意； 当C ≠∅时，433332m m m -≤+⎧⎨+<-⎩或43343m m m -≤+⎧⎨->⎩，解得7523m -≤<-或7m >.综上所述，实数m 的取值范围是()5,7,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查交集、补集与并集的计算，同时也考查了利用交集的结果求参数，解题的关键就是对集合C 是否为空集进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题. 26．（1）{x |3≤x ＜5}；（2）（﹣∞，1] 【分析】（1）先化简集合A ，再求得∁R A ，由m ＝2，得B ＝{x |1＜x ＜5}，然后求（∁R A ）∩B. （2）由A ∩B ＝B ，得到B ⊆A ，再分B ＝∅时，由m ﹣1≥2m +1求解，当B ≠∅时，有12114213m m m m -+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩＜求解，最后取并集. 【详解】（1）集合A ＝{x |y ＝ln （﹣x 2﹣x +12）}＝{x |﹣x 2﹣x +12＞0}＝{x |﹣4＜x ＜3}， 所以∁R A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，当m ＝2时，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1，m ∈R }＝{x |1＜x ＜5}， 所以（∁R A ）∩B ＝{x |3≤x ＜5}. （2）因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ， 当B ＝∅时，m ﹣1≥2m +1，解得m ≤﹣2；当B ≠∅时，有12114213m m m m -+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩＜，解得﹣2＜m ≤1，综上：实数m 的取值范围是（﹣∞，1]. 【点睛】本题主要考查了集合的关系及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
新版高中数学第一册第一章单元测试卷---集合与常用逻辑用语(含答案)
新版高中数学第一册第一章单元测试卷--集合与常用逻辑用语一．选择题（共9小题）1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}2．集合P＝{﹣1，0，1}，Q＝{y|y＝cos x，x∈R}，则P∩Q＝（）A．P B．Q C．{﹣1，1}D．[0，1]3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤24．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（）A．1B．3C．4D．85．设全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，则∁R（A∪B）等于（）A．{x|0≤0＜1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤﹣1}D．{x|x＞﹣1}6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．7．已知P＝{|＝（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q＝{|＝（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（）A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}8．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A ∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n9．定义A⊗B＝{z|z＝xy+，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A．3B．9C．18D．27二．填空题（共5小题）10．若集合A＝{x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有个元素．11．设集合A＝{5，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝．12．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝．13．设全集I＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{2，|a+1|}，∁I A＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是．14．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝．三．解答题（共6小题）15．一个无重复数字的五位数，如果满足万位和百位上的数字都比千位上的数字小，百位和个位上的数字都比十位上的数字小，则这个五位数称为“倒W型数”，问：一共有多少个倒W 型数？16．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）＝﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）＝x2﹣4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y＝f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．17．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁U B）＝{1，3，5，7}，求集合B．18．已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．（1）9∈（A∩B）；（2）{9}＝A∩B．19．对于集合M、N，定义M⊖N＝{x|x∈M且x∉N}，M⨁N＝（M⊖N）∪（N⊖M），设A＝{y|4y+9≥0}，B＝{y|y＝﹣x+1，x＞1}，求A⨁B．20．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a＝3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}【解答】解：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}，故选：D．2．集合P＝{﹣1，0，1}，Q＝{y|y＝cos x，x∈R}，则P∩Q＝（）A．P B．Q C．{﹣1，1}D．[0，1]【解答】解：∵Q＝{y|y＝cos x，x∈R}，∴Q＝{y|﹣1≤y≤1}，又∵P＝{﹣1，0，1}，∴P∩Q＝{﹣1，0，1}．故选：A．3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤2【解答】解：根据题意，A⊆B，而A＝{x|1≤x≤2}，在数轴上表示可得，必有a≤1，故选：B．4．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（）A．1B．3C．4D．8【解答】解：A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A＝{1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22＝4个．故选：C．5．设全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，则∁R（A∪B）等于（）A．{x|0≤0＜1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤﹣1}D．{x|x＞﹣1}【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}，∴∁R（A∪B）＝{x|x≤﹣1}，故选：C．6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【解答】解：．由N＝{x|x2+x＝0}，得N＝{﹣1，0}．∵M＝{﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选：B．7．已知P＝{|＝（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q＝{|＝（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（）A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}【解答】解：由已知可求得P＝{（1，m）}，Q＝{（1﹣n，1+n）}，再由交集的含义，有⇒，所以选A．8．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n【解答】解法一：∵（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．解法二：∵（∁U A）∪（∁U B）＝∁U（A∩B）有n个元素，又∵全集U＝A∪B中有m个元素，由card（A）+card（∁U A）＝card（U）得，card（A∩B）+card（∁U（A∩B））＝card（U）得，card（A∩B）＝m﹣n，故选：D．9．定义A⊗B＝{z|z＝xy+，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}．则集合（A⊗B）⊗C 的所有元素之和为（）A．3B．9C．18D．27【解答】解：由题意可求（A⊗B）中所含的元素有0，4，5，则（A⊗B）⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．故选：C．二．填空题（共5小题）10．若集合A＝{x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有6个元素．【解答】解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A＝（﹣1，6），因此A∩Z＝{0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．故答案是611．设集合A＝{5，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝{1，2，5}．【解答】解：∵A∩B＝{2}，∴log2（a+3）＝2．∴a＝1．∴b＝2．∴A＝{5，2}，B＝{1，2}．∴A∪B＝{1，2，5}，故答案为{1，2，5}．12．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝{﹣1，1}．【解答】解：根据题意，A＝{x|y＝，x∈Z}，∴有1﹣x2≥0，且x∈Z，解得x＝﹣1，0或﹣1，故A＝{﹣1，0，1}，由B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，解得y＝﹣3，﹣1，1故B＝{﹣3，﹣1，1}，于是A∩B＝{﹣1，1}．故答案为{﹣1，1}13．设全集I＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{2，|a+1|}，∁I A＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是∅、{1}、{2}、{1，2}．【解答】解：∵A∪（∁I A）＝I，∴{2，3，a2+2a﹣3}＝{2，5，|a+1|}，∴|a+1|＝3，且a2+2a﹣3＝5，解得a＝﹣4或a＝2．∴M＝{log22，log2|﹣4|}＝{1，2}．故答案为：∅、{1}、{2}、{1，2}14．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝0或．【解答】解：由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，所以有或，解得或，故a＝0或．答案：0或三．解答题（共6小题）15．一个无重复数字的五位数，如果满足万位和百位上的数字都比千位上的数字小，百位和个位上的数字都比十位上的数字小，则这个五位数称为“倒W型数”，问：一共有多少个倒W型数？【解答】解：若5个数字不含0，则共有种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为1，2，3，4，5，①若千位为3，百、万位排1，2，则十位为5，则有2个；②若千位为4，百、万位排3，2 或3，1或1，2，则十位即为1，2，3，则有2+2+2＝6个；③若千位为5，百、万位不排4，3，排2，4，则十位排3，有1个；百、万位排4，1，则十位排3，有1个；百、万位排3，2，或3，1或1，2，则十位排4，则有2+2+2＝6个；“倒W型数”有：2+6+1+1+6＝16个．故不含0的“倒W型数”有：16×＝2016个，若5个数字含0，则共有种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为0，2，3，4，5，①若千位为3，百、万位排0，2，则十位为5，则有1个；②若千位为4，百、万位排3，2 或0，3或0，2，则十位即为0，2，3，则有2+1+1＝4个；③若千位为5，百、万位不排4，3，排2，4，则十位排3，有1个；百、万位排4，0，则十位排3，有1个；百、万位排3，2，或0，3或0，2，则十位排4，则有2+1+1＝4个；“倒W型数”有：2+4+1+1+4＝12个．故不含0的“倒W型数”有：12×＝1512个，综上共有2016+1512＝3528个倒W型数16．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）＝﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）＝x2﹣4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y＝f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣x2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，整理得：（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，∵x≥3，∴a＜＝＝x﹣1﹣，令x﹣1＝t，则t∈[2，+∞），g（t）＝t﹣在[2，+∞）上单调递增，∴g（t）min＝g（2）＝1，∴a＜1．（2）∵x∈[0，1）时，f（x）＝2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝…＝m n f（x﹣n）＝m n•2x﹣n，即x∈[n，n+1）时，f（x）＝m n•2x﹣n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m＞0且m n•2n﹣n≥m n﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．（3）问题（Ⅰ）∵当x∈[0，4]时，y∈[﹣4，0]，且有f（x+4）＝mf（x），∴当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）＝mf（x﹣4）＝…＝m n f（x﹣4n）＝m n[（x﹣4n）2﹣4（x﹣4n）]，当0＜m≤1时，f（x）∈[﹣4，0]；当﹣1＜m＜0时，f（x）∈[﹣4，﹣4m]；当m＝﹣1时，f（x）∈[﹣4，4]；当m＞1时，f（x）∈（﹣∞，0]；当m＜﹣1时，f（x）∈（﹣∞，+∞）；综上可知：﹣1≤m＜0或0＜m≤1．问题（Ⅱ）：由已知，有f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，即cos k（x+T）＝T cos kx对一切实数恒成立，当k＝0时，T＝1；当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是cos kx∈[﹣1，1]，又∵cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，故要使cos k（x+T）＝T cos kx恒成立，只有T＝±1，当T＝1时，cos（kx+k）＝cos kx得到k＝2nπ，n∈Z且n≠0；当T＝﹣1时，cos（kx﹣k）＝﹣cos kx得到﹣k＝2nπ+π，即k＝（2n+1）π，n∈Z；综上可知：当T＝1时，k＝2nπ，n∈Z；当T＝﹣1时，k＝（2n+1）π，n∈Z．17．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁U B）＝{1，3，5，7}，求集合B．【解答】解：U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，{1，3，5，7}⊆A，而B中不包含{1，3，5，7}，用Venn图表示如图∴B＝{0，2，4，6，8，9，10}．18．已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．（1）9∈（A∩B）；（2）{9}＝A∩B．【解答】解：（1）∵9∈（A∩B），∴9∈B且9∈A，∴2a﹣1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3．检验知：a＝5或a＝﹣3．（2）∵{9}＝A∩B，∴9∈（A∩B），∴a＝5或a＝﹣3．当a＝5时，A＝{﹣4，9，25}，B＝{0，﹣4，9}，此时A∩B＝{﹣4，9}与A∩B＝{9}矛盾，所以a＝﹣3．19．对于集合M、N，定义M⊖N＝{x|x∈M且x∉N}，M⨁N＝（M⊖N）∪（N⊖M），设A＝{y|4y+9≥0}，B＝{y|y＝﹣x+1，x＞1}，求A⨁B．【解答】解：由4y+9≥0，得y≥﹣，∴A＝{y|y≥﹣}．∵y＝﹣x+1，且x＞1，∴y＜0，∴B＝{y|y＜0}，∴A⊖B＝{y|y≥0}，B⊖A＝{y|y＜﹣}，∴A⨁B＝（A⊖B）∪（B⊖A）＝{y|y＜﹣或y≥0}．20．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a＝3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【解答】解：（I）由，得P＝{x|﹣1＜x＜3}．（II）Q＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．由a＞0，得P＝{x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．第1页（共1页）。
新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．104．已知全集U =R ，集合{|01},{1,0,1}A x R x B =∈<=-，则()UA B =（ ）A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1}5．m n 是两条不同的直线，α是平面，n α⊥，则//m α是m n ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．若命题“∃x 0∈R ，x ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，3)B ．[－1，3]C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)8．设等比数列{}n a 中，10a >，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件9．若集合1|,6 A x x m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 1|,23n B x x n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,26p C x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B ，C 之间的关系是（ ）A ．ABC ==B ．AB C = C ．ABC D ．B CA10．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （ ）A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}11．已知平面向量a 和b ，则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．设,(0,1)a b ∈，:P “a b <”，:q “log log a b a b b a <”，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若“条件α：24x ≤≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是________.14．已知条件:21p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.15．设:5x α≤-或1x ≥，:2321m x m β-≤≤+，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围_______________.16．设p ：|x ﹣1|≤1，q ：x 2﹣（2m +1）x +（m ﹣1）（m +2）≤0．若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．17．已知集合{}2,M y y x x R ==∈,221,4y N y x x R ⎧⎫⎪⎪=+=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则MN =__________.18．已知集合{}{}22160,430,A x x B x x x =-<=-+>则AUB =____________. 19．某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有__人．参考答案20．下列有关命题的说法正确的是__________________.①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0 ②x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件 ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题④对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则非p ：∀x ∈R ， 均有x 2＋x ＋1≥0三、解答题21．已知集合411A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.22．已知命题:p x R ∀∈，()()221140a x a x -+-+>，:q x R ∃∈，()22110x a x -++<（1）若“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件，求实数t 的取值范围； （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a .23．已知命题:p 关于x 的不等式()()21120k x k x ---+>的解集为R ，:2q x ∃>，2272x k x -<-，试判断“p 为真命题”与“q ⌝为真命题”的充分必要关系． 24．已知命题p ：2320x x -+≤，命题q ：()222100x x m m -+-≤>（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若4m =，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围.25．已知集合(](),13,A =-∞+∞，[],2B m m =+.（1）若2m =，求()R C A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求m 的取值范围. 26．已知集合1|11A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}|320,1B x x a x a a =--->≤. （1）求集合A 和B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解. 【详解】充分性：若0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2221cos 122a c b B ac+-≤=<，即2222ac a c b ac ≤+-<，即222222a c ac b a c ac +-<≤+-，并不能得出2b ac =一定成立，故充分性不成立；必要性：若2b ac =，由余弦定理得：2221cos 222a c ac ac ac B ac ac +--=≥=，因为()0,B π∈，所以0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故必要性成立，综上，“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的必要不充分条件， 故选：C . 【点睛】方法点睛：判断充要条件的四种常用方法：定义法、传递性法、集合法、等价命题法.2．A解析：A 【分析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉， 故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =； ③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉，故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种． 所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据补集的运算，求得{|0Ux A x =≤或1}x >，再结合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{|01}A x R x =∈<≤， 可得{|0Ux A x =≤或1}x >，又由集合{1,0,1}B =-，所以(){1,0}UA B ⋂=-.故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.5．A解析：A 【分析】根据线面平行的性质定理、线面垂直的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当//m α时，过直线m 作平面β，使得l αβ=，则//m l ，n α⊥，l α⊂，n l ∴⊥，m n ∴⊥，即//m m n α⇒⊥； 当m n ⊥时，由于n α⊥，则m α⊂或//m α，所以，//m n m α⊥⇒/.综上所述，//m α是m n ⊥的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.6．B解析：B 【详解】 试题分析：12log (2)0x +<211x x ⇒+>⇒>-，故正确答案是充分不必要条件，故选B.考点：充分必要条件.7．C解析：C 【分析】根据二次函数的图象与性质，得到关于a 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<，则2(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-， 所以实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞-+∞，故选C.【点睛】本题主要考查了存在性命题的真假判定及应用，其中熟记转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．C解析：C 【分析】根据等比数列的通项公式和单调性的判定方法，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，可得11n n a a q -=，若10,1a q >>，可得11111()(1)0n n n n n a a a q q a q q --+-=-=->，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列，故充分性是成立的； 反之：若等比数列{}n a 为递增数列，即111(1)0n n n a a a qq -+-=->，若10a >，则1(1)0n q q -->，可得1q >，故必要性是成立的，所以“1q >”是“{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及数列的单调性的判定方法及应用，其中解答中熟记数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.9．B解析：B 【分析】分别将集合中的元素表示为61,6m x x m Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，31|,6t x x t Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭和31|,6p x x p Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭即可得结果. 【详解】∵161|,,66m A x x m m Z x x m Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 13231|,|,|,2366n n t B x x n Z x x n Z x x t Z -+⎧⎫⎧⎫⎧⎫==-∈==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，131|,|,266p p C x x p Z x x p Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭显然A B C =，故选：B. 【点睛】本题主要考查集合间的包含关系的判断，考查集合的包含关系等基础知识，属于基础题.10．B解析：B 【分析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】{}{}{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或故(){}{}{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题.11．C解析：C 【分析】||||b a b =-两边平方得出22()b a b =-，展开等价变形得出102b a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】22||||()b a b b a b =-⇔=-22221122020022b a a b b a a b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⇔=-⋅+⇔-⋅=⇔⋅-=⇔-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的充分必要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题.12．C解析：C 【分析】利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行判断即可得到答案. 【详解】充分性：01a b <<<⇒22lg lg 0(lg )(lg )a b a b <<⇒>. 所以22lg lg (lg )(lg )lg lg b aa b b a ab a b<⇒< 即：log log a b a b b a <，充分性满足.必要性：因为,(0,1)a b ∈，所以log 0a b >，log 0b a >. 又因为log log a b a b b a <，所以log log a b b ba a <，即2(log )ab b a<. 当a b =时，11<，不等式不成立. 当a b >时，01b a<<，log 1a b >，不等式2(log )a bb a <不成立当a b <时，1b a >，0log 1a b <<，不等式2(log )a bb a<成立. 必要性满足.综上：p 是q 的充要条件. 故选：C 【点睛】本题主要考查充要条件，同时考查了对数的比较大小，属于中档题.二、填空题13．【分析】利用充分必要条件的定义问题转化为集合的包含关系根据不等式之间的关系即可得到结论【详解】设p 对应的集合为q 对应的集合为若p 是q 的充分条件则解得:实数m 的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查充 解析：(],4-∞-【分析】利用充分、必要条件的定义，问题转化为集合的包含关系，根据不等式之间的关系即可得到结论. 【详解】设p 对应的集合为A=[2,4),q 对应的集合为B=[3m-1,-m], 若p 是q 的充分条件, 则A B ⊆,313124m m m m -≥-⎧⎪∴-≤⎨⎪-≥⎩,1414m m m ⎧≤⎪⎪≤⎨⎪≤-⎪⎩, 解得:4m ≤-.实数m 的取值范围为(,4]-∞-，故答案为(,4]-∞-. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及转化思想的应用，属于中档题.14．【分析】根据得出由是的充分不必要条件得出根据包含关系得出的范围【详解】由题设得或设或由得设因为是的充分不必要条件所以因此故答案为：【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围属于中档题解析：(],2-∞-【分析】根据p ⌝，q ⌝得出,p q ，由q 是p 的充分不必要条件，得出Q P ，根据包含关系得出a 的范围. 【详解】由题设:21p x ⌝-<<，得:1p x ≥或2x -≤，设{|1P x x =≥或}2x ≤- 由:q x a ⌝>，得:q xa ，设{}|Q x x a =≤因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此2a ≤-. 故答案为：(],2-∞- 【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.15．或【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可【详解】解：或若是的必要条件则或故或故答案为：或【点睛】本题考查了充分必要条件考查集合的包含关系属于基础题解析：3m ≤-或2m ≥ 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可． 【详解】解：:5x α-或1x ，:2321m x m β-+， 若α是β的必要条件， 则231m -或215m +-， 故2m 或3m -， 故答案为：2m 或3m -．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题．16．01【分析】分别求出的范围再根据是的充分不必要条件列出不等式组解不等式组【详解】由得得由得得若p 是q 的充分不必要条件则得得即实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解解析：[0，1] 【分析】分别求出,p q 的范围，再根据p 是q 的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组 【详解】由11x -≤得111x -≤-≤，得02x ≤≤.由2(21)(1)(2)0x m x m m -++-+≤，得[(1)][(2)]0x m x m ---+≤， 得12m x m -≤≤+， 若p 是q 的充分不必要条件， 则1022m m -≤⎧⎨+≥⎩，得1m m ≤⎧⎨≥⎩，得01m ≤≤，即实数m 的取值范围是[0,1]. 故答案为：[0,1] 【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题.17．【分析】根据函数的值域以及椭圆的性质求得集合再根据集合的运算即可求解【详解】由题意集合所以【点睛】本题主要考查了集合的运算其中解答中根据函数的值域以及椭圆的性质求得集合是解答的关键着重考查了推理与运 解析：[]0,2【分析】根据函数的值域，以及椭圆的性质求得集合,M N ，再根据集合的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合{}2,{|0}M y y x x R y y ==∈=≥，221,{|22}4y N y x x R y y ⎧⎫⎪⎪=+=∈=-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，所以{|02}[0,2]M N y y =≤≤=．【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中根据函数的值域，以及椭圆的性质求得集合,M N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．R 【解析】分析：根据一元二次不等式的解法先将化简再由并集的运算求详解：因为或故答案为点睛：本题考查并集及其运算一元二次不等式的解法正确化简集合是关键研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两 解析：R【解析】分析：根据一元二次不等式的解法先将,A B 化简，再由并集的运算求A B . 详解： 因为{}{}2|160|44A x x x x =-<=-<<， {}{2430|1B x x x x x =-+=<或}3x >， A B R ∴⋃=，故答案为R .点睛：本题考查并集及其运算，一元二次不等式的解法，正确化简集合,A B 是关键. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合. 19．5【解析】【分析】根据15人参加游泳比赛有8人参加田径比赛同时参加游泳和田径的有3人同时参加游泳和球类比赛的有3人可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数【详解 解析：5【解析】【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次所以15+8+14﹣3﹣3﹣26＝5，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，所以同时参加田径比赛和球类比赛的有5人．故答案为5．【点睛】本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于中档题． 20．①②④【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①命题若则的逆否命题是：若则正确；②若则成立即充分性成立；若则或此时不一定成立即必要性不成立故是的充分不必要条件正确；③若为假命题则至少有 解析：①②④【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，正确；②若1x =，则2321320x x -+=-+=成立，即充分性成立；若2320x x -+=，则1x =或2x =，此时1x =不一定成立，即必要性不成立，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，正确；③若p q ∧为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题，不正确④对于命题:p x R ∃∈使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++，正确． 故答案为：①②④【点睛】此题注重对基础知识的考查，特别是四种命题之间的真假关系，复合命题的真假关系，特称命题与全称命题的真假及否定，是学生易错点，属中档题．三、解答题21．（1）()13A ,=-；（2）(][),35,-∞-+∞.【分析】 （1）解分式不等式411x >+可得集合A ； （2）由已知条件可得出A B ⊆，对a -和2a -的大小关系进行分类讨论，结合A B ⊆可得出实数a 所满足的不等式（组），综合可解得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++， 所以()()130x x +-<，所以13x，故()13A ,=-； （2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<，由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.①当2a a -<-，即1a >时，{}2B x a x a =-<<-，则1231a a a >⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得5a ≥；②当2a a ->-，即1a <时，{}2B x a x a =-<<-，则1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-；③当2a a =-，即1a =时，B =∅，不满足A B ⊆.综上可得，实数a 的取值范围为(][),35,-∞-+∞.【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 22．（1）1,15⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；(2) 3171,,12152⎛⎫⎡⎫--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【分析】（1）当命题,p q 为真时，求得a 的取值范围，“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件即[][)1723,21,1,15t t ⎛⎫---⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，计算求解即可； （2）p q ∧为假，p q ∨为真，即即,p q 一真一假,分情况讨论即可得出结果. 【详解】（1）命题p 为真时，1a =或()()2221014140a a a ⎧->⎪⎨∆=--⨯-⨯<⎪⎩，解得：1a =或1a >或1715a <-，综上：p 为真，a 的取值范围为[)17,1,15⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭； 命题q 为真时，()2=2140a ∆+->，解得a 的取值范围为31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 若“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件，则[][)1723,21,1,15t t ⎛⎫---⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭， ①2321t t -->-时，15t <-，符合题意. ②2321172115t t t --≤-⎧⎪⎨-<-⎪⎩时，即15115t t ⎧≥-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，11515t -≤<-. ③2321231t t t --≤-⎧⎨--≥⎩时，151t t ⎧≥-⎪⎨⎪<-⎩，无解. 综上：t 的取值范围为：1,15⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，即,p q 一真一假： ①p 真q 假：171153122a a a ⎧<-≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或，即317215a -<<-②p 假q 真：171153122a a a ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或，即112a ≤<. 综上：实数a 的取值范围：3171,,12152⎛⎫⎡⎫--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭. 【点睛】方法点睛：根据命题的真假求參数的取值范围的方法（1）求出当命题,p q 为真命题时所含參数的取值范围；（2）判断命题,p q 的真假性；（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解參数的取值范围. 23．充分不必要【分析】 分10k -=和100k ->⎧⎨∆<⎩可求出当命题p 为真命题时对应的实数k 的取值范围，利用基本不等式求出2272x x --在2x >时的最大值，可求出当命题q ⌝为真命题时对应的实数k 的取值范围，再利用集合的包含关系可得出结论.【详解】若p 为真命题：当1k =时，对于任意x ∈R ，则有20>恒成立；当1k ≠时，根据题意，有()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k <<. 所以19k ≤<；若q ⌝为真命题：2x ∀>，2272x k x -≥-． ()()()22228212712288222x x x x x x x -+-+-==-++≥---，当且仅当22x =+时，等号成立，所以8k ≤+ {}19k k ≤< {8k k ≤+，所以，“p 为真命题”是“q ⌝为真命题”的充分不必要条件.【点睛】 本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了利用命题的真假求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.24．（1）1m ≥；（2）[)(]3,12,5-⋃.【分析】（1）先解不等式，再根据充分条件得集合之间包含关系，最后解不等式得结果；（2）根据p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，得,p q 一真一假，再分别求对应x 的取值范围.【详解】（1）p ：232012x x x -+≤∴≤≤，q ：()22210011x x m m m x m -+-≤>∴-≤≤+因为p 是q 的充分条件，所以11112m p q m m -≤⎧⊆∴∴≥⎨+≥⎩； （2）4m =时，q ：35x -≤≤因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 一真一假，1253x x x ≤≤⎧∴⎨><-⎩或或3521x x x -≤≤⎧⎨><⎩或 x ∴∈∅或31x -≤<或25x <≤实数x 的取值范围为[)(]3,12,5-⋃【点睛】本题考查根据充分条件求参数、根据复合命题真假求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.25．（1）[2,3]（2）(,1](3,)-∞-⋃+∞【分析】（1）根据集合的交集、补集运算即可求解；（2）由题意知B A ,结合数轴建立不等式求解即可.【详解】（1）2m =时，[]2,4B =，(1,3]R C A =，∴()[2,3]R C A B ⋂=（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A ，故21m +≤或3m >，解得1m ≤-或3m >故m 的取值范围为(,1](3,)-∞-⋃+∞【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，集合的真子集，必要不充分条件，属于中档题. 26．（1）()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞；（2）(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用不等式的性质即可求出集合A 和B ；（2）由A B B ⋃=，得A B ⊆，解不等式组，进而得出实数a 的取值范围.【详解】（1）集合{}1|1|0|0111x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=>=>=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭， 因1a ≤，则32a a ≤+，所以集合()(){}{320,1|3B x x a x a a x x a =---≤=<或}2x a >+.即集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞.（2）由（1）知，集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞，由A B B ⋃=，得A B ⊆， 所以131a a ≤⎧⎨≥⎩或120a a ≤⎧⎨+≤⎩，解得113a ≤≤或2a ≤-， 故实数a 的取值范围为(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.。
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一、选择题1．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102．已知实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知全集U =R ，集合{|01},{1,0,1}A x R x B =∈<=-，则()UA B =（ ）A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1} 4．已知集合A ={x |x 2-4|x |≤0}，B ={x |x ＞0}，则A ∩B =（ ）A ．(]0,4B ．[]0,4C ．[]0,2D ．(]0,25．定义：若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r，使得集合{(,)}x y r A <⊆，则称A 为一个开集.给出下列集合：①22{(,)|1}x y x y +=；②{(,)|20}x y x y ++≥；③{(,)|6}x y x y +<；④22{(,)|0(1}x y x y <+<. 其中是开集的是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④6．已知集合{}{}2|13,|4,P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥ 则()R P Q ⋃=A ．[2,3]B ．（ -2,3 ]C ．[1,2）D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞7．判断下列命题①命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题；②命题“若21x =，则1x =.”的否命题为“若21x =，则1x ≠.”；③若命题“p q ∧”为假命题，则命题“p q ∨”是假命题；④命题“x R ∀∈，22x x ≥."的否定是“0x R ∃∈，0202x x <.” 中正确的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④8．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．对于()11,2x ∀∈，()21,2x ∃∈，使得211212485211x x mx m x x -+-+=--，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．(],2-∞C ．()0,2D ．(),2-∞10．下列命题中，不正确的是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+≥B ．若0a b <<则11a b> C ．设0a >，1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的必要不充分条件D ．命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”11．已知,a b →→为非零不共线向量，设条件:()M b a b →→→⊥-，条件:N 对一切x ∈R ，不等式||||a x b a b →→→→-≥-恒成立，则M 是N 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．给出下列命题： ①“1a >”是“11a<”的充分必要条件； ②命题“若21x <，则1x <”的否命题是“若21x ≥，则1x ≥”；③设x ，y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件； ④设a ，b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件. 其中正确命题的序号是_________.14．已知命题31:01x p A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.若命题q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是____；15．若集合A ＝{x|2≤x≤3}，集合B ＝{x|ax －2＝0，a ∈Z}，且B ⊆A ，则实数a ＝________. 16．已知集合{}12A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，则A B =__________．17．已知集合{}{}221,4xA xB x x==，则A B =__________．18．已知m R ∈，则“02m <<”是“方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆”的______ 条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个)．19．若集合{}1,3,A x =，{}21,B x=，且{}1,3,A B x ⋃=，则x =___________．20．已知命题“[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥”为真命题，则a 的取值范围为_______.三、解答题21．已知命题p ：01x ≤≤；q ：()120a x a a -≤≤>. （1）若1a =，写出命题“若p 则q ”的逆否命题，并判断真假； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22．设命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax +3a 2＜0（a ＞0），命题q ：实数x 满足x 2﹣5x +6＜0． （1）若a ＝1，且p ∧q 为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．23．已知集合{}220A x x x =--<，()(){}30,B x x a x a a R =--<∈.（1）当1a =时，求集合A 和A B ；（2）若()R B C A ⊆，求实数a 的取值范围.24．已知2:7100p x x -+≤，22:430q x mx m -+≤，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.25．设U =R ，{}11A x x =+>，(){}2130B x x m x m =+++<．（1）求集合A ；（2）若B φ=，求实数m 的取值范围： （3）若A B =R ，求实数m 的取值范围．26．已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足()231x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉，故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =； ③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉， 故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种． 所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.2．B解析：B 【分析】通过举反例得到“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；再由“224x y +≤”⇒“1xy ≤”.能求出结果． 【详解】 解：实数0x >，0y >，∴当3x =，14y =时，13422224x y +=+>， ∴“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；反之，实数0x >，0y >，由基本不等式可得22x y +≥由不等式的基本性质得224x y ≤+≤，整理得24x y +≤，2x y ∴+≤，由基本不等式得212x y xy +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即“224x y+≤”⇒“1xy ≤”．∴实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．3．C解析：C 【分析】根据补集的运算，求得{|0Ux A x =≤或1}x >，再结合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{|01}A x R x =∈<≤， 可得{|0Ux A x =≤或1}x >，又由集合{1,0,1}B =-，所以(){1,0}UA B ⋂=-.故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.4．A解析：A 【分析】先求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 A={x|-4≤x≤4}； ∴A∩B=（0，4]． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了集合描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于中档题．5．D解析：D 【分析】根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案. 【详解】①：22{(,)|1}x y x y +=表示以原点为圆心，1为半径的圆， 则在该圆上任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)}x y r A <⊆故①不是开集；②{(,)|20}x y x y ++≥，在曲线20x y ++=任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合不是开集； ③{(,)|6}x y x y +<平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到直线的距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)|}x y r A ⊆，故该集合是开集；④22{(,)|0(1}x y x y <+<表示以点()0,3为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到圆周上的点的最短距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合是开集． 故答案选D 项. 【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查对新定义的理解并解决问题，属于中档题.6．B解析：B 【解析】有由题意可得：{}|22R C Q x x =-<< ， 则()RP Q ⋃= ( -2,3 ] .本题选择B 选项.7．C解析：C 【分析】①写出原命题的逆命题，并判断真假性. ②根据否命题的知识判断真假性.③根据含有逻辑联结词命题真假性来判断命题的真假性. ④根据全称命题的否定的知识判断真假性. 【详解】①原命题的逆命题为：若方程20x x m +-=有实根，则14m ≥-.当方程20x x m +-=有实根则11404m m ∆=+≥⇒≥-.所以逆命题为真命题.所以①正确. ②原命题的否命题为：若21x ≠，则1x ≠.所以②错误.③由于p q ∧为假命题，所以,p q 中至少有一个是假命题，可能是一真一假，所以p q ∨可能为真命题.所以③错误. ④原命题的否定是0x R ∃∈，0202x x <.所以④正确.综上所述，正确的序号为①④.故选：C 【点睛】本小题主要考查四种命题，考查含有逻辑连接词命题，考查全称命题的否定，属于中档题.8．C解析：C 【分析】结合等差数列的单调性，根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】在{}n a 是等差数列，若123a a a <<，可得21320d a a a a =-=->，所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立；若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立， 所以“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及等差数列的单调性判定及应用，其中解答中熟记等差数列的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.9．D解析：D 【分析】设(1,2)x ∈时，2485()1x x f x x -+=-的值域A ，2()1mx m g x x -+=-的值域B ，只要A B ⊆即可满足题意．【详解】设2485()1x x f x x -+=-（(1,2)x ∈），24(1)11()4(1)11x f x x x x -+==-+--， 设1t x =-，则1()4f x y t t ==+，则(0,1)x ∈，由勾形函数性质知当102t <<时，y 递减，当112t <<时，y 递增， min 1144122y =⨯+=，[4,)y ∈+∞，即()f x 值域为[4,)+∞， 2()1mx m g x x -+=-（(1,2)x ∈），设1x t -=，(0,1)t ∈，则2()g x y m t==+，(0,1)t ∈时，2y m t=+是减函数，(2,)y m ∈++∞，即()(2,)g x m ∈++∞， 对于()11,2x ∀∈，()21,2x ∃∈，使得211212485211x x mx m x x -+-+=--，则24m +<，2m <．故选：D ． 【点睛】本题考查含有存在题词与全称题词的命题恒成立问题，解题关键是把问题转化为集合之间的包含关系．10．C解析：C 【分析】根据存在性命题的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；根据对数的运算性，可判定C 不正确；根据含有一个量词的否定，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由2000131()024x x x -+=-+≥，所以A 为真命题； 对于B 中，由0a b <<，则110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以B 是正确的； 对于C 中，设0a >，1a ≠，例如11,24a b ==，则121log log 24a b ==，所以充分性不成立，又如1,22a b ==，此时12log log 21a b ==-，所以必要性不成立，所以“log 1a b >”是“b a >”的既不充分也不必要条件，所以C 是错误的；对于D 中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”，所以是正确的.故选：C. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到含有一个量词的真假判定及否定，对数的运算性质，不等式的性质等知识的综合应用，属于中档试题.11．C解析：C 【分析】条件M ：()b a b →→→⊥-20a b b ⇔⋅-=，条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220.x b a bx a b b -⋅+⋅-≥进而判断出结论． 【详解】条件M ：0b a a b ⊥⇔⋅=．条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220x b a bx a b b -⋅+⋅-≥．因为20b ≠，()2224()420a b b a b b ∴=⋅-⋅-≤， 22()0a b b →→→∴⋅-≤，即20a b b →→→⋅-=，可知：由M 推出N ，反之也成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题13．②④【解析】【分析】逐项判断每个选项的正误得到答案【详解】①当时成立但不成立所以不具有必要性错误②根据否命题的规则得命题若则的否命题是若则；正确③因为且是的充分不必要条件所以错误④因为且所以是的必要解析：②④ 【解析】 【分析】逐项判断每个选项的正误得到答案. 【详解】 ①当1a =-时，11a<成立，但1a >不成立，所以不具有必要性，错误 ②根据否命题的规则得命题“若21x <，则1x <”的否命题是“若21x ≥，则1x ≥”；，正确.③因为2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件，所以错误④因为00ab a ≠⇔≠且0b ≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.正确. 故答案为②④ 【点睛】本题考查了充分必要条件，否命题，意在考查学生的综合知识运用.14．【分析】求得命题又由命题是的必要不充分条件所以是的真子集得出不等式组即可求解得到答案【详解】由题意命题命题又由命题是的必要不充分条件所以是的真子集设则满足解得经验证当适合题意所以的取值范围是【点睛】 解析：(],2-∞【分析】求得命题1:{|1}3p A x x =≤<，又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，得出不等式组1()03(1)0f f ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，即可求解，得到答案．【详解】由题意，命题311:0{|1}13x p A xx x x ⎧⎫-=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，设()23f x x mx =--+，则满足2111()()30333(1)130f m f m ⎧=--+>⎪⎨⎪=--+≥⎩，解得2m ≤， 经验证当2m =适合题意， 所以m 的取值范围是(],2-∞． 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A ，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．0或1【分析】根据B ⊆A 讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A 若B=∅则a=0；若B≠∅则因为若2∈B ∴2a ﹣2=0∴a=1若3∈B 则3a ﹣2=0∴a=∵a ∈Z ∴a≠∴a解析：0或1 【分析】根据B ⊆A ，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a 的范围； 【详解】∵B ⊆A ，若B=∅，则a=0；若B≠∅，则因为若2∈B ，∴2a ﹣2=0，∴a=1，若3∈B ，则3a ﹣2=0，∴a=32，∵a ∈Z ，∴a≠32， ∴a=0或1，故答案为a=0或1．【点睛】此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a 是整数． 16．【解析】分析：利用交集的运算直接求解即可详解：由题所以即答案为点睛：本题考查交集的运算属基础题解析：{}0,1【解析】分析：利用交集的运算直接求解即可 详解：由题{}12A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，所以{}0,1A B ⋂=.即答案为{}0,1点睛：本题考查交集的运算，属基础题. 17．【解析】集合两者取交集为故答案为：解析：()2,+∞【解析】 集合{}21x A x ={}0x x =，{}24B x x=()(),22,=-∞-⋃+∞ 两者取交集为()2,+∞.故答案为：()2,+∞。