3.3 全等三角形及其性质
3.3全等三角形及其性质
A F O B E
例如，在上图中，△ABC≌△DEF， 则有 AB= ___， BC= ___， CA= ___； ∠A= ___，∠B= ___，∠C= ___. 注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶 点的字母写在对应位置上．
B A
E C
对应角所对的边是对应边.
D
随堂练习
1、如图，已知△ABC≌△ADE，∠C=∠E， BC=DE，其它的对应边有：_________________, 对应角有：____________________.
A E
B
D
C
随堂练习
2、如图，已知△ABC≌ △ADE，若∠D= ∠B， ∠C= ∠AED，则∠DAE=___________； ∠DAB=___________.
A
D
B
E
C
随堂练习
3、如图△ABD≌△CDB，若AB=4，AD=5， BD=6，求△CDB的周长.ADB NhomakorabeaC
随堂练习
4、如图△ABD≌△EBC，AB=3cm，AC=8cm， 求DE的长.
D
E
A
B
C
知识小结
1、全等三角形的概念： 2、全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等． 3、注意字母位置的对应.
全等三角形及其性质
鹰山中学八年级上期数学课件
说一说
观察：同一张底片洗出的两张同尺寸照片在形状、 大小上有什么特征?
形状、大小相同；能够完全重合.
知识点
我们把能够完全重合的两个图形叫做全等形.
特别地，把能完全重合的两个三角形叫做全等三 角形.
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
33全等三角形及其性质课件1-
A.45cm B.55cm C.30cm D. 25cm
❖2、已知△ABC≌△DEF，∠ A＝ 52°，∠B＝67°，BC ＝15㎝。
则∠F＝________ ，EF＝ ______㎝。
3）面积相等的三角形是全等三角形。 （ X ） 4）周长相等的三角形是全等三角形。 （ X ）
如图:△ABC≌△DBF,找出图中的对应边, 对应角.
B
答:∠B的对应角是( ∠B )
∠C的对应角是( ∠F )
D
A
∠BAC的对应角是( ∠BDF )
AB的对应边是( DB )
AC的对应边是( DF )
BC的对应边是( BF )
AB的对应边是 BA
射
⑵∠ABC的对应角
是 ∠BAD
A
B
C
D
A
BA
B
C
E
A D
旋 转
B
⑴△ ABC ≌△ DEC ⑵对应边是 AC与DC，AB与DE，BC与EC ⑶对应角是 ∠A与∠D、∠B与∠E、∠ACB与∠DCE
填一填：如图，已知
A
E
△ABC≌△ADE,
BD
C
想一想: ∠ BAD= ∠ CAE吗?为什么?
C
F
检测3
如图,△ABC≌△AED,∠BAC=25°， ∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E, ∠ ADE的度数和线段DE,AE 的长度。
解:∵ △ABC≌△AED,(已知)
A
∴∠E= ∠B= 35°(全等三角形对应角相等)
3.3 全等三角形及其性质课件2
练习
能够完全重合的两个图形 • 1、(1) ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 叫全等形. • 能够完全重合的两个三角形 叫全等三角形.“全 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 全等于 ≌ 等”用_____表示,读作“_______.” △ABC △ABC≌△A′B′C 和△A′B′C′全等写作____________.
看一看
D
A
E
F
B
C
2.(1)如图：△DEF与△ABC能完全重合，请你指出对应顶点、对 应边、对应角 。 (2)能否记为△DEF≌△ACB?记两个三角形全等要注意什么？ (3)你能否直接从记作∆ABC≌∆DEF中判断出所有的对应顶点、对 应边和对应角？
在两个全等三角形中： 1.互相重合的顶点称为对应顶点， 2.互相重合的边称为对应边， 3.互相重合的角叫称为对应角.
3.如果∆ABC≌∆ADC，AB=AD，∠B=70°,BC=3cm,那么 ∠D=____,DC=____cm 3 70° 4.如果 ∆ABC≌∆DEF,且∆ABC的周长为100cm,A、B分别 与D 、E对应, AB=30cm,DF=25cm,则BC的长为( A )
A.45cm
B.55cm
C.30cm
解析： ∵△ AOC ≌ △BOD ∴∠A=∠B
△BOD
∴AC∥BD
1.什么是全等形、全等三角形、全等三角形的对应顶
点、对应边、对应角？
2.表示三角形全等时应注意什么？
3.识别全等三角形的对应边、对应角的关键是正确识 别它们的对应顶点.
当堂训练
• • • • • • 必做题 ⒈书P71练习1题、2题. ⒉书P71＿＿P72习题3.3A组1题2题3题 选做题 ⒈书P72B组 ⒉如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， △ABC≌△BAD.求证：(1)OA=OB；(2)AB∥CD
全等三角形概念与性质
全等三角形概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，最常见的是直角三角形、等腰三角形和等边三角形。
除了这些特殊的三角形，还有一种特殊的三角形被称为“全等三角形”。
本文将讨论全等三角形的概念和性质。
概念：全等三角形是指具有相同的形状和大小的两个三角形。
换句话说，如果两个三角形的对应边长相等，对应角度相等，则这两个三角形是全等三角形。
全等三角形可以通过平移、旋转和翻转来重合。
性质一：对应边长相等全等三角形的对应边长相等。
如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么AB = DE，BC = EF，AC = DF。
性质二：对应角度相等全等三角形的对应角度相等。
如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
性质三：对应的高、中线、角平分线相等在全等三角形中，对应的高、中线和角平分线也相等。
也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么它们的对应的高H1H2，中线M1M2和角平分线L1L2分别相等。
性质四：面积相等全等三角形的面积也相等。
如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么它们的面积相等，可以用面积公式S = 1/2 * 底边长 * 高。
性质五：全等三角形可以证明其他形状的相等如果两个三角形是全等三角形，那么它们的其他对应部分也相等。
通过证明两个三角形全等，可以得出更多的相等关系，这对于解决几何问题非常有用。
应用：全等三角形在实际生活和几何学中有广泛的应用。
下面列举几个例子：1. 结构物的设计：在建筑、桥梁和其他结构物的设计中，确定三角形的相等性对保证结构的稳定性和均衡性非常重要。
通过利用全等三角形的性质，工程师可以设计出不同部分相等的结构，从而增强结构的强度和稳定性。
2. 地图和导航：地图和导航系统依赖于准确的测量和定位，而全等三角形的性质提供了一种测量和定位的方法。
通过测量两个地点和一个共同的角度，可以确定两个地点之间的距离和方向。
3. 几何证明：在几何学的证明过程中，利用全等三角形的性质可以简化证明过程。
全等三角形动点问题的解题技巧
全等三角形动点问题的解题技巧全等三角形动点问题的解题技巧1. 引言全等三角形动点问题是解决三角形相关问题的一种重要方法，它可以帮助我们深入理解全等三角形的定义和性质。
在本文中，我们将探讨全等三角形动点问题的解题技巧，并通过具体例子来说明。
2. 全等三角形的定义和性质在开始解决全等三角形动点问题之前，我们首先需要了解全等三角形的定义和性质。
全等三角形指的是具有相等边长和相等角度的两个三角形。
全等三角形有如下性质：2.1 两个全等三角形的对应边对应角均相等。
2.2 两个全等三角形的相应边长比相等。
3. 解题技巧在解决全等三角形动点问题时，我们可以采用以下技巧：3.1 选取适当的动点在全等三角形动点问题中，我们需要选择一个适当的动点来进行分析。
通常情况下，我们可以选取一个顶点或者一个角度作为动点，并通过改变该动点的位置来观察全等三角形的变化。
3.2 确定动点的运动轨迹一旦我们选定了一个动点，我们需要确定它的运动轨迹。
通过观察，我们可以发现，在全等三角形中，动点的运动轨迹通常是一条直线、一条弧线或一个圆。
3.3 利用全等三角形的性质在确定了动点的运动轨迹后，我们需要利用全等三角形的性质来解决问题。
根据全等三角形的定义和性质，我们可以得到一些等式或比例关系，从而推导出所需的结论。
4. 例子分析为了更好地理解全等三角形动点问题的解题技巧，我们以一个具体例子进行分析。
假设我们需要证明一个三角形ABC与另一个三角形A'B'C'全等。
我们可以选择顶点A作为动点，并通过改变点A的位置来观察全等三角形的性质。
4.1 确定动点A的运动轨迹观察发现，当我们固定点B和点C不动时，点A可以在与线段BC平行的直线上自由移动。
点A的运动轨迹是一条平行于BC的直线。
4.2 利用全等三角形的性质由于我们已经确定了点A的运动轨迹，我们可以利用全等三角形的性质来解决问题。
根据全等三角形的性质，我们可以得到如下结论：4.2.1 边AC与A'C'相等4.2.2 角BAC与角B'A'C'相等等等。
3全等三角形及其性质
3全等三角形及其性质第3课时全等三角形及其性质1、使学生通过实例理解全等形和全等三角形的概念，并能准确的表示全等三角形，找出对应边和对应角。
2、掌握三角形全等的条件及其性质。
重点、难点重点：全系列等三角形的概念和性质；难点：打听对应边。
课前准备：将一张硬点的纸板折叠，画三角形。
并剪下来。
教学过程一创设情境，探究新知观测：1、出示两片能重合的树叶（先准备好）问：他们能重合吗？2、出示图片：问：（1）我国国徽中四个大五角星能够全然重合吗？（2）如果的两幅风景图片是从同一幅图片上激活下来的，能够全然重合吗？（3）同一张底片冲洗出来的两种神舟7号飞船照片放在一起能完全重合吗？（4）把三角形abc绕点a旋转30度得到三角形ade,三角形abc与三角形ade能重合吗？二合作交流，探究新知1、全等形和全等三角形的概念（1）能够全然重合的图形叫做全等形，特别得，能够全然重合的三角形叫做全系列等三角形。
(2)两个全系列等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应点，能够互相重合的边叫做对a应边，能互相重合的角叫对应角。
你能够表示上面的△abc与△ade中，对应点、对应边、对应角吗？（2）“全等”用“≌”表示，读作：“全等于”如上面问题中△abc与△ade,可以记作：△abc“≌”△ade,注意：对应点写在对应位置上。
考考你：（1）生活中，你还见过哪些全等形，（2）下面图形全等吗(3)面积相等的两个三角形全等吗？2、全等三角形的性质上图中△abc≌△ade中，△abc的三条边与三个角与△ade的三条边，三个角存有什么关系？为什么可以存有这样的关系呢？ab=ad,ad=ae,bc=de,∠a=∠a,∠b=∠d∠c=∠e,能互相重合的边是相等的，能互相重合的角是相等的。
归纳：1全等三角形的对应边相等；2全等三角形的对应角相等。
三应用新知，巩固提高1、通过搞一搞体会全系列等三角形的各种情形以及它们的对应边和对应角搞一搞1把你做的两个三角形顶点标上字母并摆成如图形状,然后按下面要求变换，并指出对应顶点，对应边，对应角，（1）把一个上面△def沿着ab边平移。
初中数学 全等三角形的性质有哪些
初中数学全等三角形的性质有哪些全等三角形是指具有相等的三个内角和相等的对应边的三角形。
以下是关于全等三角形的性质：1. 对应角相等性质：全等三角形的对应内角是相等的。
也就是说，如果两个三角形的一个内角相等，那么它们的对应内角也相等。
2. 对应边相等性质：全等三角形的对应边的长度是相等的。
也就是说，如果两个三角形的一个边的长度相等，那么它们的对应边的长度也相等。
3. 全等三角形只有一个解：如果两个三角形的三个内角和三条边都相等，那么它们就是全等的。
这意味着全等三角形的相等条件是唯一的，不存在其他满足条件的三角形。
4. 全等三角形的对称性：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边和对应角都是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
5. 全等三角形的面积相等：如果两个三角形是全等的，那么它们的面积也是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的面积相等，记作∠ABC∠∠DEF。
6. 全等三角形的角平分线相等性质：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应角的角平分线也是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的∠A的角平分线等于∠D的角平分线，∠B的角平分线等于∠E的角平分线，∠C的角平分线等于∠F的角平分线。
7. 全等三角形的重心、垂心、外心、内心等特殊点重合性质：如果两个三角形是全等的，那么它们的重心、垂心、外心、内心等特殊点都重合。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的重心、垂心、外心、内心等特殊点都重合。
8. 全等三角形的旁边关系：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边的旁边关系也是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么∠A的旁边边BC=∠D的旁边边EF，∠B的旁边边AC=∠E的旁边边DE，∠C的旁边边AB=∠F的旁边边CD。
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全等三角形及其性质
说一说
你能举出生活中能完全重合的两个图形 的例子吗？
我国的国徽中四个 小五角星能完全重合.
左边的正六边形地 砖能够完全重合
除了这些例子，你还能举出生活中能完 全重合的两个图形的例子吗？
同一底片冲洗出来的 两张同尺寸的照片上的图 形，放在一起能完全重合.
结论
我们把能够完全重合的两个图形叫作全等形.
把能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
结论
如图3-16，将△ ABC 绕点 O 旋转 180°，得 △ △ 到△ ABC.根据旋转的性质， ABC 和 ABC 可以 完全重合，从而它们全等. “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. 例如，图3-16中的△ ABC 和△ ABC 全等，就可记 作： △ ABC ≌ △ ABC
两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫作 对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的 角叫作对应角. 如，A与A′，B与B′，C与C′是对应顶点，AB A 与 AB，BC与BC，CA与 C A是对应边， 与 A ， B 与 EF C. ∠A=∠D，∠B=∠E
B. BC=EF，AC=DF D. ∠A=∠D，BC=EF
解 AB=DE,∠A=∠D,BC=EF但△ABC与△DEF不全等.
中考 试题
例2
如图4.2-2，△ACB≌ AC B，∠BCB′=30°，则∠ACA′ 的度数为（ ）. B A.20° B. 30° C. 35° D. 40° ， 解 ∵△ACB≌△ AC B ∴ ∠BCA =∠BCA ， ∴ ∠BCB=∠ACA= 30° . 故选B.
图3-6
说一说
在图3-17中，△ABC≌△DEF，∠A和∠D， ∠B和∠E是对应角，试找出它们的对应边和另一 组对应角.
AB和 DE ，BC 和 EF ， CA 和 FD是对应边， ∠1 和 ∠2 是对应角.
图3-17
中考 试题
例1
如图4.2-13，在△ABC与△DEF中，已知条件AB=DE，还 需添加两个条件才能使△ABC∽△DEF，不能添加的一组条件 是（ D ）.
结论
能够完全重合的两条线段是相等的线段，能 够完全重合的两个角是相等的角，由此可得：
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等.
CA=C A. 例如，AB= AB , BC = BC , A= A , B= B , C = C.
小提示
记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母 写在对应位置上. 如图3-16中两个三角形全等，顶点A与A′，B与B′，C 与C′是对应顶点，记作“△ABC≌△ AB”，而不要记 C C 作“△ACB≌ △ AB”或“△CAB≌ △ ABC ”等.
结
束