全等三角形及其性质
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
三角形全等的判定+性质+辅助线技巧
三角形全等的判定+性质+辅助线技巧都在这里了，请收好！在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。
有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。
王老师这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
三、找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。
有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。
王老师这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
全等三角形的判定与性质
全等三角形的判定与性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅是解决几何问题的基础，也是培养我们逻辑思维和空间想象能力的重要工具。
今天，咱们就来好好聊聊全等三角形的判定与性质。
首先，咱们得明白啥是全等三角形。
简单来说，两个三角形的形状和大小完全相同，就叫做全等三角形。
全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
这就好比两个一模一样的积木块，它们的边的长度和角的大小都是完全一样的。
那怎么判定两个三角形全等呢？这就有好几种方法啦。
第一种方法是“边边边”（SSS）。
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形就全等。
比如说，有两个三角形，一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，另一个三角形的三条边也分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，那这两个三角形就是全等的。
第二种方法是“边角边”（SAS）。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形也全等。
打个比方，一个三角形的两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，它们的夹角是 60 度；另一个三角形也有两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，夹角同样是 60 度，那这两个三角形就全等。
第三种方法是“角边角”（ASA）。
当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
比如，一个三角形的两个角分别是 45 度和 60 度，它们的夹边是 7 厘米；另一个三角形的两个角也是 45 度和 60 度，夹边也是 7 厘米，那么这两个三角形就全等。
还有一种方法是“角角边”（AAS）。
如果两个三角形的两个角分别对应相等，其中一条对应角的对边也相等，那么这两个三角形全等。
举个例子，一个三角形有两个角分别是 30 度和 50 度，30 度角所对的边是 9 厘米；另一个三角形也有两个角是 30 度和 50 度，30 度角所对的边也是 9 厘米，这两个三角形就全等。
最后一种特殊的判定方法是“斜边、直角边”（HL）。
这个只适用于直角三角形，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
中考数学专题复习 第4章 三角形 第13讲(全等)三角形及其性质
第13讲（全等）三角形及其性质☞【基础知识归纳】☜☞归纳1. 三角形中的三条主要线段⑴三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做角平分线⑵在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做中线⑶从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（简称高）☞归纳2.三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．☞归纳3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．☞归纳4.三角形的内角和定理及推论⑴三角形内角和：三角形三内角之和等于 180°．⑵三角形外角的性质：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和．☞归纳5.三角形的分类①按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形②按角分：三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 .☞归纳6.全等三角形⑴能够完全重合的两个图形就是全等图形；能够完全重合的两个三角形就是全等三角形⑵全等三角形的对应边相等，对应角相等．⑶全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线)相等⑷全等三角形的周长相等，面积相等☞归纳7.三角形全等的判定定理：①边边边定理：（可简写成 SSS ）②边角边定理：（可简写成 SAS ）③角边角定理：（可简写成 ASA ）④角角边定理：（可简写成 AAS ）⑤直角三角形全等的判定：（斜边、直角边定理）（可简写成 HL ）☞【常考题型剖析】☜☺题型一、三角形的边和角【例1】（2016岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A. 2cm，3cm，5cmB. 7cm，4cm，2cmC. 3cm，4cm，8cmD. 3cm，3cm，4cm【答案】D【分析】选项A，因为2+3=5，所以不能构成三角形，错误；选项B，因为2+4＜6，所以不能构成三角形，错误；选项C，因为3+4＜8，所以不能构成三角形，错误；选项D，因为3+3＞4，所以能构成三角形，正确．【例2】(2015滨州) 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3: 4: 5，则∠C等于（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°【答案】C【分析】三角形的内角和是180°，因为∠A:∠B:∠C=3: 4: 5，所以∠C=180°512= 75°【举一反三】1. ( 2016河池) 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A. 5，5，10B. 4，5，6C. 4，4，4D. 3，4，5 【答案】A【分析】选项A，因为5+5=10，所以不能构成三角形，错误；选项B，因为4+5>6，所以能构成三角形，正确；选项C，因为4+4>4，所以能构成三角形，正确；选项D，因为3+4＞5，所以能构成三角形，正确．2. ( 2016邵阳) 如图，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A. AC＞BCB. AC=BCC. ∠A＞∠ABCD. ∠A=∠ABC 【答案】A【分析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．3. (2015柳州) 如图，图中∠1的大小等于（）A. 40° B . 50° C . 60° D . 70° 【答案】D【分析】三角形的一个外角 等于 与它不相邻的两内角之和．所以∠1=130°-60°=70°4. (2016盐城) 若a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足40a -=， 则c 的值可以为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】A【分析】∵40a -=，∴a ﹣4=0，a =4；b ﹣2=0，b =2；则4﹣2＜c ＜4+2，2＜c ＜6，只有A 选项5符合条件；5. (2016白银) 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程213400x x -+=的根， 则该三角形的周长为 ． 【答案】12【分析】解方程213400x x -+=的根分别是125,8x x ==，因为三角形的两边长分别是3和4，根据三角形三边关系：任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边．所以三角形的第三边为5，所以三角形的周长=3+4+5=126. (2015盐城) 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、DF ， 若△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长为 .【答案】20☺题型二、全等三角形的性质和判定【例3】(2016永州) 如图1，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）图1 图2A. ∠B=∠CB. AD=AEC. BD=CED. BE=CD【答案】D【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【例4】(2016成都) 如图2，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=．【答案】120°【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°，【举一反三】7. (2016新疆) 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF ，AB=DE ，添加下列一个条件后， 仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A. ∠A=∠DB. BC=EFC. ∠ACB=∠FD. AC=DF 【答案】D【分析】解：∵∠B=∠DEF ，AB=DEA 、如果添加∠A=∠D ，利用ASA 即可证明△ABC ≌△DEF ；B 、如果添加BC=EF ，利用SAS 即可证明△ABC ≌△DEF ； C 、如果添加∠ACB=∠F ，利用AAS 即可证明△ABC ≌△DEF ；D 、如添AC=DF ，因为SSA ，不能证明△ABC ≌△DEF ，所以此选项不能作为添加的条件．8. (2016昆明) 如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC∥AB 求证：AE=CE ．【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF ，∠ADE=∠CFE ，再根据全等三角形的判定定理AAS, 得出△ADE ≌△CFE ，证明：∵FC ∥AB ，∴∠A=∠ECF ，∠ADE=∠CFE ， 在△ADE 和△CFE 中，DAE FCE ADE CFE DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CFE （AAS ）， ∴AE=CE ．9. (2016重庆) 如图，在△ABC 和△CED 中，AB∥CD，AB=CE ，AC=CD ．求证：∠B=∠E．【分析】根据两直线平行，内错角相等,可得∠BAC=∠ECD ，再利用“边角边”证明△ABC 和△CED 全等.证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BAC=∠ECD ， 在△ABC 和△CED 中，AB CE BAC ECD AC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△CED （SAS ）， ∴∠B=∠E ．☞【巩固提升自我】☜1.（2016湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm ，另一边长为5cm ，那么这个等腰三角形的周长是（ ）A. 13cmB. 14cmC. 13cm 或14cmD. 以上都不对 【答案】C2.（2016河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE 垂直平分AC 交AB于点E ，则DE 的长为（ ） A. 6B. 5C. 4D. 3图2 图3【答案】D3.（2016济宁）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于 点H ，请你添加一个适当的条件：____________________，使△AEH ≌△CEB ． 【答案】AH=CB 或EH=EB 或AE=CE4.（2015广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A. 10B. 14C. 10或14D. 8或10【答案】B5.（2015佛山）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD=（）A. 80°B. 75°C. 70°D. 65°【答案】B解：∵EF∥AC，∴∠EFB=∠C=60°，∵DF∥AB，∴∠DFC=∠B=45°，∴∠EFD=180°﹣60°﹣45°=75°6.（2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A. 17B. 15C. 13D. 13或17【答案】A解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．7.（2016武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．证明：因为BE＝CF所以BC＝EF，又因为AB＝DE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE。
全等三角形的性质
全等三角形的性质三角形是几何学中的基本图形之一，而全等三角形则是其中一个特殊的类型。
全等三角形是指具有相等边长和相等角度的两个三角形。
在几何学中，全等三角形有一些特殊的性质，对于解决几何问题和推导几何定理非常重要。
本文将探讨全等三角形的性质及其应用。
一、全等三角形的定义和判定方法全等三角形可以通过边边边、边角边、角边角三种判定方法来判断。
边边边（SSS）判定法要求两个三角形的对应边长相等；边角边（SAS）判定法要求两个三角形的一对对应边长相等，以及夹角也相等；角边角（ASA）判定法要求两个三角形的一对对应角度相等，以及两对对应边长相等。
如果满足以上判定方法之一，那么可以确定两个三角形是全等的。
二、全等三角形的性质1. 对应边和对应角的性质在全等三角形中，对应边和对应角具有相等的性质。
例如，若三角形ABC和三角形DEF是全等三角形，那么对应的边AB和DE、BC和EF、AC和DF对应相等。
同样，对于对应的角度∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F也相等。
2. 全等三角形的相等性质全等三角形不仅有对应边和对应角相等的性质，还有其他一些相等性质。
这些性质在求解几何问题时非常有用。
以下是常见的全等三角形性质：a. 全等三角形的周长相等：周长是三角形边长之和，如果两个三角形是全等的，则它们的周长也相等。
b. 全等三角形的面积相等：三角形的面积是通过底边和高的乘积计算得到的，如果两个三角形的高都相等且底边也相等，那么它们的面积也相等。
c. 全等三角形的高相等：如果两个全等三角形的某一边为底边，而另一边为高，那么它们的高相等。
d. 全等三角形的角平分线相等：在全等三角形中，对应角的平分线相等。
e. 全等三角形的中位线相等：在全等三角形中，对应边的中位线相等。
三、全等三角形的应用全等三角形在几何学中应用广泛，具有许多实际应用。
以下是几个典型的应用：1. 测量无法直接测量的距离：通过构建两个全等的三角形，并利用已知的边长和角度，可以测量无法直接测量的距离。
全等三角形及其性质
【要点分析】一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若A C AB ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.5、如图，已知△ABE ≌△ACD,AB=AC ，BE=CD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC=（ ）A 120°B 60°C 50°D 70°6、 △''OA B 是由△OAB 绕点O 逆时针旋转60°得到的，那么△''OA B 与△OAB 是什么关系？若∠AOB=40°，∠B=30°，则∠'A 与'AOB 是多少度？【巩固提升】1.如图，△ABN ≌△ACM ，∠B 和∠C 是对应角，AB 与AC 是对应边，写出其他对应边和对应角．EDCBA A 'B 'BAO2.如图：△ABF≌△DCE，写出相等的线段．3.如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．（1）写出相等的线段与角．（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度．4.如图，△ABC≌△DEF，BF=3，EF=2．求FC的长5.已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC= ．6.如图，△ABC≌△ADE中，BA⊥AE，∠BAC=30°，AD=5，求BD的长．7.如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长是40cm，AB=10cm，BC=16cm，求△DEF中，边DF的长度．8.如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高线，BE，CF相交于O，连接AO交BC 于D，且△BCF≌△CBE，∠ABC=70°，求∠1和∠2的度数．9.如图，已知△ABC≌△EFC，且CF=5，AC=12，∠EFC=50°，求∠E的度数和AB的长9.10.如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？11.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．12.已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P= 度，DE= cm．13.如图，A、E、F、C在一条直线上，△AED≌△CFB，你能得出哪些结论？（答出5个即可，不需证明）14.如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．15.如图△ABC≌△DBC，∠A=110°，则∠D= ．16..如图，△AOC≌△BOD，试证明AC∥BD．17.如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．18.如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，AB=8cm，BC=6cm，将△ABC沿射线DE的方向以2cm/秒的速度平移，在平移过程中，是否存在某个时刻t，使△AEF成为等腰三角形，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．一、选择题1. 如图，△ABC≌△ECD，AB和EC是对应边，C和D是对应顶点，则下列结论中错误的是（）A. AB＝CEB. ∠A＝∠EC. AC＝DED. ∠B＝∠D2. 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则AD的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上C——都不对3. 下列说法中正确的有（）①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP，△ABC≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. 如图,△ABE≌△ACD,∠B＝50°,∠AEC＝120°,则∠DAC的度数等于()A.120°B.70°C.60°D.50°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7. 如图，在△ABC中，AC＞BC＞AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，______＜______＜_______(填边).FE DCBA8. 如图，△ABC ≌△AED ，AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2＝___________.9. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A ＝46°，则∠D ＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14.已知：如图，△ABC ≌△DEF ，且B ，E ，C ，F 四点在一条直线上，∠A ＝85°,∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2. （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE.15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.（） （2分钟）一. 选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. 全等三角形是指形状相同的三角形B. 全等三角形是指面积相等的三角形C. 全等三角形的周长和面积都相等T ——回顾小结D. 所有的等边三角形都全等2. 如图所示，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）AB C D EF30°50°第2题A. 30°B. 50°C. 60°D. 100°3. （2006年黑龙江）如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°4. 已知△ABC ≌△A ´B ´C ´，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A ´C ´等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 85. 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ）12ABCD第5题A. ∠1＝∠2B. AC ＝CAC. ∠B ＝∠DD. AC ＝BC6. 如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在点C ´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ）ABCD C'第6题A. △ADCB. △BDC ´C. △ADC ´D. 不存在7. 下图中，全等的图形有（ ）第7题A BCD E 第3题A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组 8. △ABC 与△DFE 是全等三角形，A 与D 对应，B 与F 对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（ ）第8题A BCDE FA. 1组B. 2组C. 3组D. 4组二. 填空题9. 已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，则AC 的对应边是__________，∠ACB 的对应角是__________.10. 如图所示，把△ABC 沿直线BC 翻折180°到△DBC ，那么△ABC 和△DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC 的面积为2，那么△BDC 的面积为__________.A BCD第10题 11. 如图所示，△ABE ≌△ACD ，∠B ＝70°，∠AEB ＝75°，则∠CAE ＝__________°.ABC DE 第11题 12. 如图所示，△AOB ≌△COD ，∠AOB ＝∠COD ，∠A ＝∠C ，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________.AB CDO第12题13. 如图所示，△APB 与△CPD 全等.A B C D P 第13题（1）相等的边是：AB ＝CD ，__________，__________； （2）相等的角是：∠A ＝∠C ，__________，__________； （3）△APB 如何变换得到△CPD ？________________________________________. 14. 下图是由全等的图形组成的，其中AB ＝3cm ，CD ＝2AB ，则AF ＝__________.A BCD EF三. 解答题15. 如图所示，已知△ABD ≌△ACE ，∠B ＝∠C ，试指出这两个三角形的对应边和对应角.ABCDEO16. 如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么AB 与EF 平行吗？为什么？AB CD EF17. 如图所示，△ABC ≌△AEC ，B 和E 是对应顶点，∠B ＝30°，∠ACB ＝85°，求△AEC 各内角的度数.ABCE18. （实际应用题）如图所示，用同样粗细，同种材料的金属构制两个全等三角形，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC的质量为25克，EF的质量为30克，求金属丝AB的质量的取值范围.AB CDE F19. （探究题）如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B 和A在同一直线上？（原△ABC是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上？A BC B'C'20. （阅读与探究）如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.ABC DE（1）AB CD（2）AB CD E（3）AB C（4）DE F。
全等三角形和相似三角形的性质和应用
全等三角形和相似三角形的性质和应用三角形作为几何学中最基本的图形之一，具有多种重要的性质和应用。
其中，全等三角形和相似三角形是常见的三角形类型。
本文将探讨全等三角形和相似三角形的性质和应用，并讨论它们在实际问题中的运用。
一、全等三角形的性质和判定方法全等三角形是指具有相同三边和三个内角相等的三角形。
以下是关于全等三角形的性质及其判定方法。
1. 边-边-边（SSS）判定法：当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。
2. 角-边-角（ASA）判定法：当两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等时，这两个三角形全等。
3. 边-角-边（SAS）判定法：当两个三角形的两条边和这两边夹角的度数分别相等时，这两个三角形全等。
4. 直角三角形的判定：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
全等三角形的性质可以应用于各种几何证明和计算中，具有重要的研究价值。
二、相似三角形的性质和判定方法相似三角形是指具有对应角相等的三角形。
以下是关于相似三角形的性质及其判定方法。
1. AAA相似判定法：当两个三角形的三个内角对应相等时，这两个三角形相似。
2. AA相似判定法：当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形相似。
3. 边比例相等判定法：当两个三角形的对应边之比相等时，这两个三角形相似。
相似三角形的性质在尺规作图、测量和计算中有广泛的应用。
三、全等三角形和相似三角形的应用全等三角形和相似三角形的性质和判定方法在实际问题中有许多应用。
以下是全等三角形和相似三角形的一些应用。
1. 尺规作图：通过相似三角形的性质，我们可以根据已知的几何条件来绘制图形。
2. 可视化测量：通过测量两个实际物体和它们的阴影或相似图形的尺寸，我们可以计算出一个物体的尺寸，而无需直接测量。
3. 实际问题的解决：许多实际问题都可以通过应用全等三角形和相似三角形的性质来求解，例如计算高楼的高度、测量无法直接测量的距离或高度等。
4. 工程建筑：在建筑和工程领域中，全等三角形和相似三角形的应用非常广泛，包括建筑设计、工程测量、公路施工等。
全等三角形及其性质
1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2、全等三角形的对应边相等、对应角相等
3、全等三角形用符号“≌”表示，且一般对应顶点写在对应位置 上 4、在找全等三角形的对应元素时一般有以下规律： 找对应角的方法： (1)全等三角形对应边所对应的角是对应角，两条对应边所夹的角是 对应角。 (2)有公共角的，公共角是对应角。 (3)有对顶角的，对顶角是对应角。 (4)全等三角形中最大的角是对应角，最小的角是对应角。 找对应边的方法： (1)全等三角形对应角所对应的边是对应边，两个对应角所夹的边是 对应边。 (2)有公共边的，公共边是对应边。 (3)全等三角形中最大边是对应边，最小边也是对应边。 返 回
作业71 面练习第2题 Ａ组第２题
说一说
在下图中， △ABC≌△DEF,∠A和∠D， ∠B和∠E，
是对应角，试找出它们的对应边和另一组对应角. A AB和DE，BC和 EF， CA和FD是对应 B 边. ∠ACB和∠DFE， 是对应角. C F D
E
2.在下图中， △ABO≌△DCO,A和D， B和C是
全等三角形及其性质
课件制作:文昌中学 张桂仙
同一张底片洗出的照片是能够完全重合的
像这样能够完全重合的两个图形叫做全等形
全等三角形及其性质
1、全等三角形：我们把能够完全重合 的两个三角形叫做全等三角形。 2、一个图形经过平移、轴反射、旋转 后得到的图形与原图形重合。 3、概念：两个全等三角形重合时，互 相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合 的角叫做对应角，互相重合的边叫做对 应边。
对应顶点.试说出两个三角形中相等的边与相等的角.经过 怎样的图形变换，可使△DCO和△ ABO重合. A O D
B
C
2006年10月
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△OA′B′ ≌ △OAB
B'
OA与OA′,OB与OB′,AB与A′B′; ∠A与 ∠A′, ∠B与∠B′, ∠AOB与∠A′OB′.
B A'
∠A′=110°， ∠AOB′=100°
OA
图5
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当堂检测
作教材 P71的练习第1、2题.
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我的收获
本节课你学到了哪些数学知识和方法？
1.全等形的概念 2.全等三角形的概念 3.全等三角形的性质 4.应用全等三角形的性质求全等三角形的对应边 与对应角
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作业布置
1、完成全等三角形及其性质训练案 。 2、教材71面习题3.3A组第2题
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E C D
A
B
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课内探究
探究1.全等三角形的有关概念
1.如图1，△A′B′C′是由△ABC经过怎样的变换得到的？这两个图形形
状、大小
_C
_C_'
有改变吗？是不是全等三角形？
平移，没有变化，是
_A
_B _A'
_B'
图1
2.如图2，△BCO是由△ADO经过怎样的变换得到的？这两个图形形状、大小
E C D
A
B
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归纳
1.全等三角形的对应边相等； 2.全等三角形的对应角相等.
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课内探究
探究3. 全等三角形性质的应用
图5中△O A ' B ' 是由△OAB绕点O逆时针旋转60°得到的，那么△O A ' B ' 与△OAB是什么关系？写出对应边及对应角，若∠AOB=40°，∠B=30°，
知识回眸
知识点 1. 平移前后两个图形有什么关系？轴反射和旋转前后呢？
两个图形的位置发生改变，形状和大小没有 变化。
2.两个能够重合的三角形有什么性质？
它们对应的边和角相等，面积相等 等
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1
第1课时 全等三角形及其性质
学习目标
• 1.理解全等形及全等三角形的概念并掌握全等三角形的性质 ，提高观察图形的能力。
有改变吗？是不是全等三角形？
D
C
O
轴反射，没有变化，是
A
图2ห้องสมุดไป่ตู้
B
3.如图3，△BCO是由△ADO经过怎样的变换得到的？这两个图形形状、大小
A
C
有改变吗？是不是全等三角形？
O
D
B
图3
△ADO旋转180°得到△ADO，没有变化， 是
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归纳
• 能够完全重合的两个图形叫作全等形. • 能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
问题5：如上图，已知AB=5 DF=8 BC=10 求DE的长。
DE=5
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新课导入
问：（1）我国国徽中四个小五角星能完全重合吗？ （2）如果的两幅风景图片是从同一幅图片上复制下来的，能完全重合吗？ （3）同一张底片冲洗出来的两种神舟7号飞船照片放在一起能完全重合吗？
（4）把三角形ABC绕点A旋转30度得到三角形ADE,三角形ABC与 三角形ADE能重合吗？
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感谢您的阅读收藏，谢谢！
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作全等三角形。 问题2：全等三角形的性质是
对应边相等，对应角相等
。
问题3：在下图中， △ABC≌△DEF,∠A和∠D， ∠B和∠E，
是对应角，试找出它们的对应边和另一组对应角.
A
AB与DE,AC与DF,
BC与EF, ∠ACE与 ∠DFE
B F
C E
D
问题4：如上图，说出这两个三角形中相等的边和角。 AB=DE,AC=DF,BC=EF, ∠A=∠D, ∠B=∠E,∠ACE=∠DFE
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课内探究
探究2. 全等三角形的性质
图4中△ABC≌△ADE中，△ABC的三条边与三个角与△ADE的三条边，三 个角有什么关系？为什么会有这样的关系呢？
表示两个三角形全等时应注意什么问题？
注意：在记两个三角形全等时， 通常把表示对应顶点的字母写在 对应位置上，这样可以方便找对 应元素。
• 2.通过自主学习、合作探究，学会找全等三角形的对应边和 对应角的方法。
• 3. 全力以赴，享受成功学习的快乐，体会数学图形的直观 美。
• 重点：探究全等三角形的性质。 • 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角。
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预习自查
问题1能：够完全重合的两个图形叫作全等形. 能够完全重合的两个三角形 叫