全等三角形的概念及性质
全等三角形的概念、性质与判定
1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3. 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。
4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。
（1）平移（2）翻折（3）旋转5. 判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。
注意：“边边角”不一定成立。
反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。
【解题方法指导】例1. （2005年安徽）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。
分析：由AB∥DE，可以得到∠A＝∠D；由AF＝DC，可以得到AC＝DF；由AB＝DE，由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC，及△BAC≌△EDF由此又可以得到BF＝EC，BC＝EF，FC又是公共边，可证△BFC≌△EFC证明：在△BAF与△EDC中，∵AB∥DE∴∠A＝∠D又AB＝DE，AF＝DC∴△BAF≌△EDC（SAS）评析：判断两个三角形全等，设法找齐三个条件，至少有一个条件是边，因此先找出给出的条件（如AB＝DE，AF＝DC）；然后发展条件，继续得到有关信息（如由AB∥DE⇒∠A＝∠D；由AF＝DC⇒AC＝DF）例2. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。
全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形概念与性质
全等三角形概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，最常见的是直角三角形、等腰三角形和等边三角形。
除了这些特殊的三角形，还有一种特殊的三角形被称为“全等三角形”。
本文将讨论全等三角形的概念和性质。
概念：全等三角形是指具有相同的形状和大小的两个三角形。
换句话说，如果两个三角形的对应边长相等，对应角度相等，则这两个三角形是全等三角形。
全等三角形可以通过平移、旋转和翻转来重合。
性质一：对应边长相等全等三角形的对应边长相等。
如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么AB = DE，BC = EF，AC = DF。
性质二：对应角度相等全等三角形的对应角度相等。
如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
性质三：对应的高、中线、角平分线相等在全等三角形中，对应的高、中线和角平分线也相等。
也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么它们的对应的高H1H2，中线M1M2和角平分线L1L2分别相等。
性质四：面积相等全等三角形的面积也相等。
如果两个三角形ABC和DEF是全等三角形，那么它们的面积相等，可以用面积公式S = 1/2 * 底边长 * 高。
性质五：全等三角形可以证明其他形状的相等如果两个三角形是全等三角形，那么它们的其他对应部分也相等。
通过证明两个三角形全等，可以得出更多的相等关系，这对于解决几何问题非常有用。
应用：全等三角形在实际生活和几何学中有广泛的应用。
下面列举几个例子：1. 结构物的设计：在建筑、桥梁和其他结构物的设计中，确定三角形的相等性对保证结构的稳定性和均衡性非常重要。
通过利用全等三角形的性质，工程师可以设计出不同部分相等的结构，从而增强结构的强度和稳定性。
2. 地图和导航：地图和导航系统依赖于准确的测量和定位，而全等三角形的性质提供了一种测量和定位的方法。
通过测量两个地点和一个共同的角度，可以确定两个地点之间的距离和方向。
3. 几何证明：在几何学的证明过程中，利用全等三角形的性质可以简化证明过程。
全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，如果AD=7，DM=5，∠DAM=39°，则=____，=____，= .【仿练1】如图2，已知，，，那么与相等的角是.【仿练2】如图3，，则AB=，∠E=_．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=.、图4EDCBA图2 图3MDN BC图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________()∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）FECACMBA在△ABC和△DEFxx∵∴△ABC≌△DEF（）例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AB=ADC．AD∥BCD．AB∥CD2、如图所示，在△ABCxx，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
1、三角形全等概念与性质
教学内容一、知识点梳理全等三角形的概念与性质二、例题讲解例1、如图ABC ∆是轴对称图形，AD 垂直平分BC ，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，写出图中所有的全等三角形。
例2、如图，已知，，，οο2510=∠=∠=∠∆≅∆D B CAD ADE ABC ，ο120=∠EAB 延长BC 交AD 于点F ，交DE 于点G ，求DFB ∠和DGB ∠的度数。
例3、如图，已知,DBF ACE ∆≅∆点A 、B 、C 、D 在同一直线上，且.28,,====BC AD BF CE DF AE ， （1）求AC 的长；一、全等三角形概念1、能够 的两个图形叫全等形。
2、两个三角形是全等形，我们就说它们是 。
3、两个全等三角形经过运动后一定 ，相互重合的点叫做 ，相互重合的角叫做 ，相互重合的边叫做 。
二、全等三角形性质4、全等三角形对应边 ，对应角 。
（2）求证：CE//BF.例4、作图（1）已知：ο35=∠A ，斜边,4cm AB =画直角ABC ∆;（2）已知，AB=3.5cm ，BC=4cm ，BC 边上的中线AD=3cm ，画ABC ∆ （3）已知ο80=∠A ，A ∠的平分线AD=2cm,AB=3cm,画ABC ∆三、课堂练习1、图形的三种基本运动是 、 、 ；2、如图，已知，，，6115,===∆≅∆EC BC AB DEF ABC 则CF= ；3、如图，已知DEF ABC ∆≅∆，求图中z y x 、、的值；4、如图，已知DCB ABC ∆≅∆，如果,45,72οο=∠=∠ACB ACB 求D ∠与ABD ∠的度数。
第二部分一、知识点梳理三角形全等的判定 判定方法1： 判定方法2： 判定方法3： 判定方法4：二、例题讲解例1、已知：如图AB=DC ，AE=DF ，CE=FB. 试说明AF=DE 的理由。
例2、如图，已知AF=AB ，AE=AC ，CAE BAF ∠=∠，试说明EDC EAC ∠=∠.例3、已知如图：ABC ∆中，AD 是中线，AB=13，AC=7， 求：（1）线段DC 的取值范围； （2）中线AD 的取值范围。
全等三角形的概念与性质
的拐杖，三是做床，四是做挑物的担，五是做水桶，不能再一二三四地数了，竹的用处几乎是无穷的，从穿到吃，比如竹鞋，比如竹衫，比如雨帽，竹笋之好吃就更不用说。竹子可以说是最完美的植物，松树可以盖房子做家具，但就是不能用来大吃特吃，虽然松籽是可以吃的，的松仁小肚就
很好吃，但松树却不能被人们戴在头上穿在脚上。梅花除了看也几乎没有别的用，兰就更不用说。松竹梅兰，竹应该排在老大。之所以说竹是最完美的植物，因为人们的吃喝拉撒睡所要用到的东西乃至胡琴和笛它都能包圆儿，只此一点，把它排到第一，我想没人会有什么意见。 ? ?二 ?闲着
探索：从以上的图形和概念中能得出全等三角形的哪些性质？
两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。
例： 已知△ABC≌△DEF，∠A = 60°，∠B = 70°，AB= 2cm
求DE、 ∠D、∠F的值 。
A
D
解：因为 △ABC≌△DEF （已知）
所以 AB = DE （全等三角形的对应边相等）
B
后来就是画竹子，别人画竹子是先画竹杆，后画叶子，我却是偏要先画叶子，然后再相机行事地补上竹杆。、 ? 真正见到竹子是在成都的杜甫草堂，我们一行人是白天到的草堂，行李甫解就先去吃饭，饭一吃过人也差不多醉了，天也就黑了。那天恰好是中秋，到了晚上月亮躲在云里死也不
肯出来，我们一行人里偏有风雅之士，便想起这是杜甫草堂来了，便要去看草堂，那天我们恰恰都住在草堂里，往西去，好像是连门票都不要，一伙子人就都拥进了园子，竟找到了那草堂，并在草堂里点起了两支红蜡烛，一伙子人把那通草堂里的碑看了又看，知道了写碑的人是清代的果亲王。
? 我常常想，如果可能，在什么地方盖两三间竹楼，能在里边听风听雨便是一大快事。最好是，竹楼的南窗可以看远山之岚气，竹楼之北窗可以细读后山上那细细的一
全等三角形的知识点归纳
全等三角形的知识点归纳1.全等三角形的定义：如果两个三角形的对应的边相等，对应的角也相等，则这两个三角形是全等三角形。
2.全等三角形的符号表示：通常使用三个粗体字母表示全等三角形，例如△ABC≌△DEF，表示△ABC全等于△DEF。
3.全等三角形的性质：a.边-边-边（SSS）全等：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等。
b.顶角-底角-顶角（ASA）全等：如果两个三角形中两个顶角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。
c.底边-底角-底边（SAS）全等：如果两个三角形中两条底边和它们夹的角相等，则这两个三角形全等。
d.直角-直角-斜边（RHS）全等：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。
e.角-边-角（AAS）全等：如果两个三角形中两个夹角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。
f.边-角-边（ASA）全等：如果两个三角形中一条边和夹角相等，另一条边和夹角的夹边相等，且夹角不是直角，则这两个三角形全等。
4.全等三角形的性质推论：a.如果两个三角形是全等的，则它们对应的边和角是一一对应的。
b.全等三角形的一边等于另一个全等三角形的一边，一角等于另一个全等三角形的一角。
c.全等三角形的对应边和对应角是相等的。
d.全等三角形的对应边平行。
e.全等三角形的对应边垂直。
f.全等三角形的对应角相等。
g.如果一个角等于一个角，两边分别等于两边，那么两个三角形可能全等，也可能不全等。
5.全等三角形的判定方法：a.SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
b.SAS判定法：如果两个三角形的两条边和夹角相等，则这两个三角形全等。
c.ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一条边相等，则这两个三角形全等。
d.RHS判定法：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。
6.全等三角形的性质应用：a.利用全等三角形的性质，可以证明两个三角形的各边之比相等。
全等三角形的定义和性质
两个三角形的三个内角分别对应相等 ，且三边对应成比例，则这两个三角 形相似。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边成 比例，对应高、中线、角平分线也成 比例，周长之比等于相似比，面积之 比等于相似比的平方。
相似三角形与全等三角形联系与区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，当相似比为1时，相似三角 形即为全等三角形。因此，全等三角形具有相似三角形的所 有性质。
的两个基本条件。
在解决与角度有关的问题时， 可以利用全等三角形的对应角
相等这一性质来求解。
性质应用举例
1
利用全等三角形的性质可以证明线段相等、角相 等以及求解一些与三角形有关的问题。
2
例如，在证明两个三角形全等后，可以利用对应 边相等或对应角相等的性质来证明其他线段或角 的相等关系。
3
又如，在求解一些与三角形有关的问题时，可以 通过构造全等三角形来利用全等三角形的性质求 解。
根据题目给出的条件，我们可以 按照ASA判定方法来证明两个三 角形全等。首先，由已知条件可 得AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF。因此，根据ASA判定方法， 我们可以得出△ABC ≌ △DEF。
03 2. 题目
已知△ABC中，∠C = 90°，AD平 分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于 点E。求证：△ACD ≌ △AED。
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解析
该命题不正确。根据相似三角形的判定定理，若两个三角形有两边对应成比例，且夹角相等， 则这两个三角形相似。但此命题中说的是“有一个角相等”，并未指明是夹角，因此不能判 定两个三角形相似。
06 总结回顾与课堂练习
关键知识点总结
• 全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
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人教版八年级上册第十二章
12.1《全等三角形》教案
一.学习目标：
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。
2．了解全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边，对应顶点。
二.学习重点：全等三角形的性质．
学习难点：找全等三角形的对应边、对应角．对应顶点
三.学习指导：认真看课本31----32页，然后回答下列问题。
四.学习过程
一. 新课引入
1.多媒体展示生活中的图片
小组讨论：
(1)从上面的几组图片中你有什么发现?
(2)你能再举出生活中的一些类似例子吗?
二.合作探究
1、全等形、全等三角形的有关概念
（1）观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（形状，大小 .）
②
（2）请再举出类似的例子（至少3个）.
（3）由此，你发现上述图形的共同特征是：
完全相同——放在一起能够
（4）归纳概念： 叫做全等形.
类似的， 叫做全等三角形.
2. 对应顶点，对应边和对应角
用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC ，然后按要求在三个图中依次操作．体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”．
你发现变换前后的两个三角形有什么关系？
结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 。
（1）把两个全等三角形重合在一起， 叫做对应顶点， 叫做对
应边， 叫做对应角.
（2）△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC △DEF,读作△ABC △DEF.（注意：记
两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置.）
3、全等三角形的性质
（1）把你自制的一对全等三角形纸片重合，你发现对应边、对应角有什么关系？
（2）全等三角形的性质.
全等三角形的 相等；
全等三角形的 相等
（3）如图，△ABC 与△ADC 全等，请用数学符号表示出
这两个三角形全等，并写出相等的边和角.
C
A
4、确定全等三角形的对应边、对应角
（1）如图，将△ABC沿直线BC平移得到△DEF.
B C E F
那么，对应顶点是，
对应边是，
对应角是 .
（2）确定全等三角形的对应边、对应角还有哪些规律？
5.
已知△AMC ≌△BMD,试着找出图中哪些线段,哪些角相等?
三、巩固练习:
1. 如果△ABC≌ △ADC，AB=AD，∠B=70°,BC=3cm,那么∠D=___,
DC=____cm
2.如果△ABC≌ △DEF,且∆ABC的周长为100cm,A、B分别与 D 、E对应, AB=30cm,DF=25cm,则BC的长为( )
A.45cm
B.55cm
C.30cm
D. 25cm
3.如图,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD=7cm,DM=5cm,
∠DAM=39°,则AN=___cm, NM=___cm, ∠NAB=___.
四、课堂小结:
本节课你学到了哪些新的知识?
五、当堂训练:
1、下列说法：①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积也相等；③面积相等的三角形是全等三角形；④周长相等的三角形是全等三角形，正确的说法是（）
A ②③
B ③④
C ①②
D ①②③
2、△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与_______是对应角；AB与_______是对应边，BC与_______是对应边，AC与_______是对应边.
3、如图△ ABD ≌△CDB，
若AB=4，AD=5，BD=6，
求BC、CD的长.
六、学习反思:。