高中数学2.5幂函数、函数奇偶性导学案(无答案)北师大版必修1

课题：2.5幂函数和函数的奇偶性
考纲解读 学习内容 学习目标
高考考点 考查题型 幂函数 函数的奇偶性
1、了解幂函数的概念，能通过观察总结简单幂函数的性质；
2、会利用定义证明简单函数的奇偶性；
3、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

1.幂函数
2.奇偶性
选择、填空题
一、预习导航，要点指津 1．幂函数概念
（1）引入：观察以下3种函数解析式：12,,-===x y x y x y ，这3个函数解析式有哪些异同点？ （2）幂函数概念：如果一个函数，底数是 ，指数是 ，即 ， 这样的函数称为幂函数。

（注意：幂函数的系数是 ） （3）判断下列函数是否为幂函数.
①4
()f x x = ②3
2x y = ③x y 2= ④2y x -=- ⑤5y x -= ⑥3
2y x -= 2.什么是奇（偶）函数？奇（偶）函数的图像是否具有对称性？
2.幂函数的图像
函数
x y =
2x y = 3
x y =
2
1x y =
1-=x y
草图 定义域 值域
奇偶性
单调性 公共点
二、课内探究
（1）所有的幂函数在 都有定义,并且函数图象都通过点 ;
（2）如果0>α,幂函数的图像经过原点，在区间[0,+∞)上为 (增、减)函数；如果0<α,幂函数在(0,+∞)上为 (增、减)函数；0=α，=y ，图象为 。

5、将表中四个幂函数放在同一个坐标系中，如图所示，观察第一象限的图像，你能得到一些什么结论？【小组讨论】
【例1】已知2
1
21()(22)23m f x m m x n -=+-+-是幂函数，求n m ,的值.
【变式1】已知函数3
52)1()(----=m x
m m x f ，m 为何值时，)(x f :
(1)是幂函数；（2）是正比例函数；（3）是反比例函数；（3）是二次函数。

【二】函数的奇偶性
①、观察1
3,,-===x y x y x y 的图像，图像关于 对称。

什么是奇函数？奇函数满足关系式
②、观察2()f x x =的图像，图像关于 对称。

什么是偶函数？偶函数满足关系式
③、函数具有奇偶性的前提是：定义域关于 对称。

④当α为奇数时，幂函数为 ；当α为偶数时，幂函数为 。

⑤利用函数的奇偶性，画出幂函数2
-=x y 的图像。

例2、画出下列函数的图像，判断奇偶性。

①x x y 62
+= ②252
+=x y ③13
+=x y
④1||2-=x y ⑤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<+=0,12
10,12
122
x x x x y
例3、试利用定义判定下列函数的奇偶性。

①||x y = ②x
x x f 1
)(+=
③33)(22-+-=x x x f ④3
|3|4)(2
-+-=
x x
x f
⑤⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=)
0()
0()(22x x x x x x x f
【总结】判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，要先将其进行化简，再严格按照奇偶性的定义进行判断或者利用函数的图像判断。

对于分段函数奇偶性的判断，要注意定义中x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式，判断)(x f 与)(x f -的关系，得出结论,也可利用图像判断。

例4、已知函数)(x f 的定义域是0≠x 的一切实数集，对定义域内的任意21,x x 都有
)()()(2121x f x f x x f +=⋅，且当1>x 时，()0,f x >. （1）求证：)(x f 是偶函数；
（2）求证：)(x f 在),0(+∞上是增加的；
（3）试比较)25(-f 与)4
7
(f 的大小。

【例5】函数)(x f 在R 上为奇函数，且0>x 时，1)(+=x x f ，则当0<x 时，=)(x f
【巩固提高】
1、已知bx ax x f +=2)(是定义在]2,1[a a -上的偶函数，那么b a +的值是
2、设定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 在区间]2,0[上单调递减，若)2()3(2
m f m f ≤-，求实数m 的
取值范围。

3.已知函数)(x f 的定义域是}0,|{≠∈=x R x x D ，对定义域内的任意21,x x 都有
)()()(2121x f x f x x f +=⋅.
（1）求)1(f 的值；
(2)判断)(x f 的奇偶性并证明；
（3）如果3)62()13(,1)4(≤-++=x f x f f ，且)(x f 在），（∞+0上是增函数，求x 的取值范围。