山东省济南市2020届高三6月针对性训练(仿真模拟)数学试题 含答案
A．x | x −1
B．x | 0 x 2
C．x | 0 x 2
D．x |1 x 2
2 函数 f (x) = x3 + x − 4 的零点所在的区间为
A． (−1, 0)
B． (0,1)
C． (1, 2)
D． ( 2, 3)
3．已知命题 p，x∈R, ex
+
1 ex
2, 则p 为
A．x∈R, ex
1
n
(ai − ai−1)
以期数，即 i=1
国内生产总值 (GDP) 被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国
n −1
2015-2019 年 GDP 数据:
根据表中数据 , 2015 − 2019 年我国 GDP 的平均增长量为
A．5 03 万亿 B．6 04 万亿 C．7 55 万亿 D．10 07 万亿
A．对任意点 P, DP 平面AB1D1 B．三棱锥 P-A1DD1 的体积为 1
6
C．线段 DP 长度的最小值为 6 2
D．存在点
P，使得
DP
与平面
ADD1A1
所成角的大小为
3
3
12．设{an}是无穷数列，若存在正整数 k，使得对任意 n∈N+，均有 an+k an ，则称{an}是间隔递增数列， k 是{ an }的间隔数,下列说法正确的是
山东省济南市 2020 年 6 月高三针对性训练
数学试题
参考公式：锥体的体积公式：V = 1 Sh (其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高) 3
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．已知集合 M = {x | −1 x 2}, N = {x |, y = x −1}, 则 M∩N=
6．已知双曲线 C 的方程为 x2 − y2 = 1，则下列说法错误的是 16 9
A．双曲线 C 的实轴长为 8
B．双曲线 C 的渐近线方程为 y = 3 x. 4
C．双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3
D．双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为 9 4
7．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第 6 次移动后，该质点恰好回
+
1 ex
2
C．x∈R, ex
+
1 ex
2
B．x∈R, ex
+
1 ex
2
D．x∈R, ex
+
1 ex
2
4 如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若 O1O2 = 2 则圆柱 O1O2 的表
面积为
A．4π B．5π
C．6π D．7π
5．“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除
A．公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知
an
=
n
+
4 n
，则{an}是间隔递增数列
C．已知 an = 2n + (−1)n, 则an 是间隔递增数列且最小间隔数是 2
D 已知 an = n2 − tn + 2020, 则an 是间隔递增数列且最小间隔数是 3,则 4 t 5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知向量 a = (−1,1), b = (−1, k),若(a+b) ⊥ a，则 k 的值为 ▲
14．若 (2 + x)5 = a0 + a1(1+ x) + a2(1+ x)2 + + a5(1+ x)5, 则 a4 的值为 ▲
15．已知
F1,
F2
分别是椭圆
C
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
2 象均相切，则 a 的值为 ▲ 若总存在直线与函数 y = f (x), y = g(x) 图象均相切，则 a 的取值范围是
▲ (本小题第一空 2 分，第二空 3 分)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
4
17．(10 分)
已知直角梯形 ABCD 中, AD BC ,AB⊥BC, AB = AD = 1 BC, 将直角梯形 ABCD(及其内部)以 AB 所 2
到初始位置的概率是
A． 1 4
B． 5 16
C． 3 8
D． 1 2
8．在△ABC 中， cos A + cos B = 3, AB = 2 3.当 sin A + sin B 取最大值时，△ABC 内切圆的半径为
A． 2 3 −3
B． 2 2 − 2
C． 1 3
D．2
2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分
9．已知复数Leabharlann z=1+cos
2
+
i sin
2
−
2
2
(其中
i
为虚数单位)下列说法正确的是
A 复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． z 可能为实数
C．| z |= 2cos
D． 1 的实部为 1
z
2
10．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球 若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物
b 0) 的左、右焦点，A，B 是椭圆上关于 x
轴对称的两点，
AF2 的中点 P 恰好落在 y 轴上，若 BP AF2 = 0, 则椭圆 C 的离心率的值为 ▲
16 已知函数 f ( x) = 2ln x, g(x) = ax2 − x − 1 (a 0), 若直线 y = 2x − b 与函数 y = f (x) , y = g(x) 的图
求数列{
, n为偶数，
bn
}的前
2n
项和T2n .
19．(12 分)
已知函数
f
(
x)
=
Asin
x
+
6
(
后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台 ABCD, AB = 2AD, 现从角落 A 沿角 α 的方向把球打出去，球
经 2 次碰撞球台内沿后进入角落 C 的球袋中，则 tanα 的值为
A． 1 6
C．1
B． 1 2
D． 3 2
11．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，P 为线段 BC1 上的动点，下列说法正确的是
在直线为轴顺时针旋转 90°，形成如图所示的几何体，其中 M 为⌒ CE 的中点。 (1)求证：BM⊥DF；
(2)求异面直线 BM 与 EF 所成角的大小。
18．(12 分)
已知数列{an}的前
n
项和为
Sn
，且
Sn
=
1 2
n2
+
1 2
n.
(1)求an 的通项公式；
(2)设 bn
=
an , 2an
n为奇数，
山东省济南市2020年6月高三模拟考试数学试题含答案
山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） ―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=12|M x x -<<，{|N x y ==，则=M N ⋂A ．{}1|x x >-B ．2|}0{x x ≤<C ．{}2|0x x <<D ．{12}x x |≤<2．函数()34=f x x x +-的零点所在的区间为A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,33．已知命题1:,e 2exx p x ∀∈+≥R ，则p ⌝为 A ．1,e 2e xxx ∃∈+≥R B ．1,e 2e xx x ∃∈+<R C ．1,e 2exx x ∃∈+≤R D ．1,e 2exx x ∀∈+≤R 4．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切．若12=2O O ，则圆柱12O O 的表面积为A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π5．“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即()121nii i a a n -=--∑．国内生产总值（GDP ）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015─2019年GDP 数据．根据表中数据，2015-2019年我国GDP 的平均增长量为 A ．5.03万亿B ．6.04万亿C ．7.55万亿D ．10.07万亿6．已知双曲线C 的方程为221169x y -=则下列说法错误的是 A ．双曲线C 的实轴长为8 B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x =±C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为947．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是 A ．14B ．516C ．38D ．128．在ABC 中，cos c os A B +=AB =．当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知复数1cos2sin 2()22z i ππθθθ=++-<<（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．||2cos z θ=D ．1z 的实部为1210．台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为 A ．16B ．12C ．1D ．3211．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是A ．对任意点P ，//DP 平面11AB D B ．三棱锥11P A DD -的体积为16C ．线段DPD 存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为3π12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>a ．，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数．下列说法正确的是 A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为___________． 14．若5250125(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则4a 的值为__________．15．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为________．16．已知函数()2ln f x x =，21()(0)2g x ax x a =-->．若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x = 的图象均相切，则a 的值为________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的取值范围是________．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90︒，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点．（1）求证：BMDF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小． 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2,,n n a n a n n b ⎧=⎨⎩奇数为偶数为，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．（12分）已知函数()sin()(0,0)6f x A A πωω=+>>能同时满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2； ②函数()f x的图象可由)4y x π=-的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和． 20．（12分）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包．面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g ．庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：g ）尽管上述数据都落在()950,1050上，但庞加菜还是认为面包师撤谎，根据所附信息，从概率角度说明理由．附： ①若()2~,X Nμσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知；随机变量2~(,)25Y N σμ；②若()2~,Nημσ，则0.68()26P μσημσ-<<+=，220.9()544P μσημσ-≤<+=， 330.9()974P p σημσ-<<+=；③通常把发生概率在0．05以下的事件称为小概率事件． 21．（12分）已知函数()ln()f x a x b =+-（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数． 22．（12分）已知平面上一动点A 的坐标为2(2,2)t t -． （1）求点A 的轨迹E 的方程； （2）点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t． （i ）证明直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）分别以A ，B 为圆心作与直线2x =-相切的圆两圆公共弦的中点为H ．在平面内是否存在定点P ，使得PH 为定值？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．–1；14．4.5；15．3； 16．32，32a ≥（本小题第一空2分，第二空3分）． 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）证明：【方法一】连接CE ，与BM 交于点N ，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD 与EF 相交， 故C ，D ，F ，E 四点共面， 因为平面//ADF 平面BCE ， 所以//CE DF ， 因为M 为CE 的中点， 所以CBM EBM ∠=∠，所以N 为CE 中点，又BC BE =， 所以BN CE ⊥，即BM CE ⊥， 所以BMDF ⊥．【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则1AD AF ==，2BC BE ==，所以()0,0,0B ，M ，()0,1,1D ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,1,0)DF =-，所以20BM DF ⋅==，所以BMDF ⊥．（2）【方法一】连接DB ，DN ，由（1）知，//DF EN 且DFEN =，所以四边形ENDF 为平行四边形， 所以//EF DN ，所以BND ∠为异面直线BM 与EF 所成的角，因为BD DN BN ===所以BND 为等边三角形，所以60BND ∠=，所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒． 【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设1AB =，则1AD AF ==，2BE =，所以()0,0,0B ，M ，()2,0,0E ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,0,1)EF =-所以1cos ,2||||BM EF BM EF BM EF ⋅<>===-．所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒．18．【解析】 （1）因为21122n S n n =+ 所以当1n =时，111a S ==. 当2n ≥时，2211111(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 又1n =时符合上式， 所以n a n =．（2）因为,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以对任意的+k ∈N ，2121(21)(21)2k k b b k k +--=+--=，则{}21k b -是以1为首项，2为公差的等差数列；222222242k k k k b b ++==， 则{}2k b 是以4为首项，4为公比的等比数列． 所以()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()2462(12321)2222n n =++++-+++++()414(121)214nn n -+-=+- 124433n n +=+-19．【解析】（1）函数()sin(6x f x A πω=+）满足的条件为①③；理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件之一，由③可知，Tπ=，所以2ω=，故②不合题意，所以函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件为①③；由①可知2A =， 所以()2sin(2)6f x x π=+（2）因为()10f x +=，所以1sin(2)62x π+=-， 所以22()66x k Z k πππ+=-+∈或722()66x k Z k πππ+=+∈， 即()6x k k ππ-+∈=Z 或()2x k k ππ+∈=Z又因为],[x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π， 所以方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和为23π． 20．【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2．0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．所以ξ的分布列为：所以1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=．（个） （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ．假设面包师没有撒谎，则2~(1000,50)X N ． 根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则2~(1000,10)Y N ． 庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据， 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=， 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<， 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎．21．【解析】（1）当1a =，0b =时，l (n )f x x =-此时，函数()f x 定义域为(0,)+∞，1()f x x '=-=，． 由()0f x '>得：04x <<；由()0f x '<得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在(4,)+∞上单调递减．所以max ()(4)2ln 22f x f ==-．（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[0,)+∞，()a f x xb '==+， ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的,()0x ∈+∞恒成立， 所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即()f x '在(0,)+∞上无变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ⅱ）当3440a b ->，即a >记方程()0h x =的两根分别为1x ，2x ，则120x x a +=>，120x x b =>，所以1x ，2x 都大于0，即()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为2个．综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个．22．【解析】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，因为A 的坐标为2(2,2)t t -， 所以222x t y t⎧=⎨=-⎩，消去参数t 得：22y x =；（2）（i ）因为点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t，所以点B 的坐标为222(,)t t当1t =±时，直线AB 的方程为2x =；当1t ≠±时，直线AB 的斜率为21B AAB B A y y t k x x t-==--所以直线AB 的方程为222(2)1t y t x t t +=--， 整理得2(2)1ty x t =--所以直线AB 过定点()2,0；（ⅱ）【方法一】因为A 的坐标为2(2,2)t t -，且圆A 与直线2x =-相切， 所以圆A 的方程为222()()(2)A A A x x y y x -+-=+，同理圆B 的方程为()()()2222B B B x x y y x -+-=+，两圆方程相减得()()222244B A B A A B A Bx x x y y y y y x x -+-+-=- 将2(2,2)A t t -，222(,)B t t 带入并整理得1()(1)y t x t =-+①， 由（i ）可知直线AB 的方程为2(2)1ty x t =--②， 因为H 是两条直线的交点，所以两个方程相乘得2(2)(1)y x x =--+， 整理得2219()24x y -+=，即点H 的轨迹是以1(,0)2为圆心，32为半径的圆， 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．【方法二】由题意知直线2x =-为圆A 与圆B 的公切线，设切点分别为E ，F ，设两圆的公共弦交公切线2x =-于点G ，则G 为E ，F 的中点， 所以G 点横坐标为2G x =-，G 点的纵坐标为122E F A B G y y y y y t t++===-， 即1(2,)G t t--，因为公共弦必与两圆的连心线垂直， 所以公共弦所在直线的斜率为211AB t k t--=， 故公共弦所在的直线方程为211()(2)t y t x t t---=+ 整理得1()(1)y t x t =-+，所以公共弦恒过()1,0S -；由平面几何的知识可知，公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点，记直线AB 所过的定点为R ，则R ，S ，公共弦的中点H ，构成以日为直角顶点的直角三角形， 即点H 在以RS 为直径的圆上： 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．。
山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题
__________ 姓名：__________ 班级：__________评卷人 得分一、选择题1．已知点()2,1A ，动点(),B x y 的坐标满足不等式组2023603260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，设z 为向量OB在向量OA 方向上的投影，则z 的取值范围为（ ）A. 25185,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 45185,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []2,18D. []4,182．等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n +1（n ∈N*），其中a 是常数，则a=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2评卷人 得分二、填空题3．如图，一边长为30cm 的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，要使这个容器的容积最大，则等腰三角形的底边长为______（cm ）．4．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则不等式02>+-a bx cx 的解集为_________5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是___km ． 6．已知ABC ∆ 中，1,AB t R =∈ ，且()1-t AC t AB AC+ 的最小值为22，则⋅ =___7．已知双曲线22221x y a b－＝(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 是双曲线右支上的一点，若直线AF 2与直线by x a＝－平行且△AF 1F 2的周长为9a ，则双曲线的离心率为 ▲ 。
评卷人 得分三、解答题8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t φφ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)φπ∈），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设点(1,1)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求||||PA PB 的值.9．(本小题满分12分)(2019·昆明一模)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是AB 的中点．(1)证明：BC 1∥平面MCA 1；(2)若AB ＝A 1M ＝2MC ＝2，BC ＝2，求点C 1到平面MCA 1的距离． 10．（本题满分14分）已知圆)40()4(1)1(:22222221<<-=+-=++r r y x F r y x F ）：（与圆的公共点的轨迹为曲线E ,且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M ．若曲线E 上相异两点A 、B 满足直线MA ,MB 的斜率之积为41．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）证明直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； （Ⅲ）求ABM ∆的面积的最大值．综合卷(1)答案11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t φφ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)φπ∈），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设点(1,1)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求||||PA PB 的值. 12．已知数列的前项和为，且.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）求； （3）设,若对恒成立，求实数的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人 得分一、选择题1．A 解析：A 【解析】 【分析】OB在向量OA 5. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图： 则(),OB x y =， ()2,2OA =，则OB 在向量OA 方向上的投影为||cos ||5OA O B z OA B O θ⋅===， 设2u x y =+，则2y x u =-+，平移直线2y x u =-+，由图象知当直线2y x u =-+经过点()02,B 时直线的截距最小， 此时2u =，当直线2y x u =-+经过D 时，直线2y x u =-+的截距最大， 由23603260x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得66x y =⎧⎨=⎩，即()6,6D ，此时12618u =+=．即218u ≤≤55z ，即518555z，即z 的取值范围是25185,⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：A ．【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考考虑二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 2．B解析：B 【解析】 【分析】利用n=1时，a 1=S 1=2a+1．n≥2时，a n =S n -S n-1，验证n=1时也成立，可解得a ． 【详解】n=1时，a 1=S 1=2a+1．n≥2时，a n =S n -S n-1= a •2n +1-（a •2n-1+1），化为：a n = a •2n-1， 对于上式n=1时也成立，∴2a+1=a，解得a=-1． 故选：B ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 评卷人 得分二、填空题3．【解析】 【分析】设所截等腰三角形的底边边长为xcm ，根据所给的数据写出四棱锥的高，即可写出四棱锥的体积，然后利用基本不等式求最值．【详解】设所截等腰三角形的底边边长为x cm ，（0＜x ＜30 解析：106【解析】 【分析】设所截等腰三角形的底边边长为xcm ，根据所给的数据写出四棱锥的高，即可写出四棱锥的体积，然后利用基本不等式求最值．【详解】设所截等腰三角形的底边边长为x cm ，（0＜x ＜30）．在Rt△EOF 中，EF=15cm ，OF=12xcm ， ∴21=2254EO x -． 于是()22222221111111800222518002100033438383x x x V x x x x x ⎛⎫++-=-=⋅⋅-≤⋅= ⎪⎝⎭ （cm 3）．当且仅当x 2=1800-2x 2，即x=106cm 时取“=”． 故答案为：6【点睛】本题主要考查棱柱体积最值的求法，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．4．【解析】 【分析】根据不等式解集与对应方程根的关系求关系，再代入化简求不等式解集. 【详解】因为的解集是， 所以为的两根，且， 即 因此，即不等式的解集为.【点睛】本题考查不等式解集与对应方解析：122⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】 【分析】根据不等式解集与对应方程根的关系求a b c ，，关系，再代入化简求不等式02>+-a bx cx 解集.【详解】因为20ax bx c ++<的解集是1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，所以122--，为02=++c bx ax 的两根，且0a <， 即1152(),2,222c b c a b a a a =-⨯--=--∴== 因此22255100102222a cx bx a ax x a x x x -+>⇒-+>⇒-+<⇒<<， 即不等式02>+-a bx cx 的解集为122⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.5．5 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，运用正弦定理，求解.【详解】根据题意，画出如下图的示意图：点A 为开始出发点，点C 为灯塔，点B 是船沿南偏东60°的方向航行15 km 后的位置. 所以有解析：53 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，运用正弦定理，求解.【详解】根据题意，画出如下图的示意图：点A 为开始出发点，点C 为灯塔，点B 是船沿南偏东60°的方向航行15 km 后的位置.所以有0030,,15,120CAB B AC BC AB ACB ∠=∠===∠=，利用正弦定理可得：115sin sin sin sin 2BC AB AB CABBC CAB ACB ACB⨯⋅∠=⇒===∠∠∠.【点睛】本题考查了正弦定理的应用.6．1 【解析】表示方向上的单位向量,设,即,由于,所以所得向量对应的点在直线上,即三点共线,如图所示, 的最小值即的最小值为点到直线的距离,所以为等腰直角三角形.所以,在三角形中,,用余弦定理得,由解析：1 【解析】AC AC表示AC 方向上的单位向量,设1AD =,即()1t AB t AD +-,由于11t t +-=,所以()1t AB t AD +-所得向量对应的点E 在直线BD 上,即,,B D E 三点共线,如图所示,()1t AB t AD +-的最小值为点A 到直线BD 的距离22AE =,所以ABD ∆为等腰直角三角形.所以BD =在三角形BCD 中,3π4BDC ∠=,用余弦定理得2223π2cos4BC BD CD BD BC=+-⋅⋅,由勾股定理得222BC AB AC =+,解得1,CD BC ==,且cos AB ABC BC∠==,所以cos 11BA BC BA BC ABC ⋅=⋅⋅∠==【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理,考查用向量表示三点共线的方法,考查勾股定理及余弦定理的具体应用,有一定的运算能力.解题的难点在于()1AC t AB t AC+-的几何意义,其中AC AC表示AC 方向上的单位向量,转化为()1t AB t AD +-可得其对应的点E和,B D 是三点共线的,由此可求得最小值为点到直线的距离.7．无评卷人 得分三、解答题8．（1）22:230C x y x y +--=；（2）3 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，可得直线l 的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x 2+y 2可得圆C 的普通坐标方程，利用圆心到直线的距离可得θ的值．（2）利用直线的参数的几何意义，将直线带入圆中，利用韦达定理可得答案． 详解】（1）24cos 2cos 23sin 3πρρθρθρθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭2223x y x y ∴+=+圆22:2230C x y x +--=（2） 将1,1x tcos y tsin ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ 代入22:230C x y x +--= ∴()223sin 2230t sin t ϕϕ---=设点,A B所对应的参数为12,t t则1223t t=-∴1223PA PB t t⋅==【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.9．(1)证明：如图，连接AC1，设AC1与A1C的交点为N，则N为AC1的中点，连接MN，因为M是AB的中点，所以MN∥BC1，又MN⊂平面MCA1，BC1⊄平面MCA1，所以BC1∥平面MCA1.(2)因为AB＝2MC＝2，M是AB的中点，所以∠ACB＝90°，在直三棱柱中，A1M＝2，AM ＝1，所以AA1＝3，又BC＝2，所以AC＝2，A1C＝5，所以∠A1MC＝90°.设点C1到平面MCA1的距离为h，因为AC1的中点N在平面MCA1上，所以点A到平面MCA1的距离也为h，三棱锥A1－AMC的体积V＝13S△AMC·AA1＝36，△MCA1的面积S＝12A1M·MC＝1，则V＝13Sh＝13h＝36，得h＝32，故点C1到平面MCA1的距离为32.10．【答案】（1）22143x y+=，（2）(0,23)N，（3）23【解析】（Ⅰ）设⊙1F，⊙2F的公共点为Q,由已知得，rQFrQFFF-===4,,22121，故1QF+2124QF F F=>, 因此曲线E是长轴长24,a=焦距22c=的椭圆，且3222=-=cab，所以曲线E的方程为22143x y+=；（Ⅱ）由曲线E的方程得，上顶点),,(),,(),3,0(2211yxByxAM记由题意知，,021≠≠xx，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为1x x=，故12y y=-，且2221123(1)4xy y==-，因此MAk⋅2121212133334MBy y ykx x x---=⋅=-=，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线:AB y kx m=+，代入椭圆E的方程22143x y+=得：)3(4843222=-+++mkmxxk）（…．①因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根12,x x ，所以122834kmx x k+=-+， 21224(3)34m x x k -=+，又2222111133,33x m kx x y k x m kx x y k MB AM -+=-=-+=-=，由41=⋅BM AM k k ，得,)3(342121x x m kx m kx =-+-+）（即,0)3(4))(3(414221212=-++-+-m x x m k x x k ）（所以,0)43()3(4)8)(3(4)14(342222=+-+--+--k m km m k k m ）（化简得：260m -+=，故m =m =120x x ≠知m =AB恒过定点N ．（Ⅲ）由0∆>且m =得：32k <-或32k >，又ABC ANM BNM S S S ∆∆∆=-=2112MN x x ⋅- 212214)(23x x x x -+=222243)3(44)438(23k m k km +-⋅-+-=2243946k k +-=612=+2≤，当且仅当12942=-k ，即221±=k 时，ABM ∆的面积最大，最大值为23 11．（1）22:20C x y x +--=；（2） 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，可得直线l 的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x 2+y 2可得圆C 的普通坐标方程，利用圆心到直线的距离可得θ的值．（2）利用直线的参数的几何意义，将直线带入圆中，利用韦达定理可得答案．详解】（1）24cos 2cos sin 3πρρθρθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭222x y x ∴+=+圆22:20C x y x +--=（2） 将1,1x tcos y tsin ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ 代入22:2230C x y x y +--= ∴()223sin 2230t sin t ϕϕ---=设点,A B 所对应的参数为12,t t 则1223t t =- ∴1223PA PB t t ⋅==【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.12．（1）； （2）； （3）. 【解析】【分析】 （1）设，将已知条件中的式子进行转化，可得，从而证得其为等比数列，之后利用等比数列的通项公式求得，进而求得； （2）利用错位相减法对数列求和，求得； （3）根据题意求得，将恒成立转化为，利用作差比较法，求得，观察得出，进而求得的范围. 【详解】（1）设，则只需证明为等比数列即可，因为为常数，所以数列是公比为的等比数列，且首项， 则，所以.（2）由（1）知①②①-②得，（3）由（2）得，，要使得对恒成立，只需，因为，所以，当时，，即，当时，，即，所以，所以.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的证明，等比数列的通项公式，错位相减法求和，将恒成立问题向最值靠拢，属于中档题目.。
2020年山东省高考数学模拟试卷(含答案)20200610
2020年山东省高考数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A ＝{（x ，y ）|x +y ＝2}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x 2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{（1，1）}B ．{（﹣2，4）}C ．{（1，1），（﹣2，4）}D ．∅2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．13．（5分）设向量a →=（1，1），b →=（﹣1，3），c →=（2，1），且（a →−λb →）⊥c →，则λ＝（ ） A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣34．（5分）（1x−x ）10的展开式中x 4的系数是（ ） A ．﹣210B ．﹣120C ．120D ．2105．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 中，∠SAB ＝∠ABC =π2，SB ＝4，SC ＝2√13，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S ﹣ABC 的体积是（ ） A ．4B ．6C ．4√3D ．6√36．（5分）已知点A 为曲线y ＝x +4x（x ＞0）上的动点，B 为圆（x ﹣2）2+y 2＝1上的动点，则|AB |的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．3√2D ．4√27．（5分）设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则￢p 为（ ） A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形 8．（5分）若a ＞b ＞c ＞1且ac ＜b 2，则（ ） A ．log a b ＞log b c ＞log c a B ．log c b ＞log b a ＞log a c C ．log b c ＞log a b ＞log c aD ．log b a ＞log c b ＞log a c 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得09．（5分）如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年（ ） A ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10．（5分）已知双曲线C 过点（3，√2）且渐近线为y ＝±√33x ，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为x 23−y 2＝1B ．C 的离心率为√3C ．曲线y ＝e x ﹣2﹣1经过C 的一个焦点D ．直线x −√2y −1＝0与C 有两个公共点11．（5分）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（ ）A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D．点C与点G到平面AEF的距离相等12．（5分）函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为周期函数C．f（x+3）为奇函数D．f（x+4）为偶函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种．14．（5分）已知cos（α+π6）﹣sinα=4√35，则sin（α+11π6）＝．15．（5分）直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与C交于A，B两点，则p＝，1|AF|+1|BF|=．16．（5分）半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则△ABC，△ACD与△ADB面积之和的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得S k＞S k+1且S k+1＜S k+2？18．（12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC 且DF＝AC．（1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；（2）若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．（1）证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；（2）若EF=12BC，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．20．（12分）下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码x分别为1～7）．（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得∑7i=1y i＝1074，∑7i=1x i y i＝4517，求y关于x的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果（精确到0.01）附：回归方程y=b x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)，a=y−b x．∑n i−1(x i−x)221．（12分）设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点（1，√32），且离心率为√32，F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，⊙F 的半径为PF ． （1）求E 和⊙F 的方程；（2）若直线l ：y ＝k （x −√3）（k ＞0）与⊙F 交于A ，B 两点，与E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求l 的方程：若不存在，说明理由．22．（12分）函数f （x ）=a+x1+x （x ＞0），曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为112．（1）求a ；（2）讨论g （x ）＝x （f （x ））2的单调性；（3）设a 1＝1，a n +1＝f （a n ），证明：2n ﹣2|2lna n ﹣ln 7|＜1．2020年山东省高考数学模拟试卷答案解析1．解：将（1，1）代入A ，B 成立，则（1，1）为A ∩B 中的元素．将（﹣2，4）代入A ，B 成立，则（﹣2，4）为A ∩B 中的元素．故选：C ． 2．【解答】解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴a +bi ＝﹣（﹣i ）＝i ， ∴a ＝0，b ＝1， ∴a +b ＝1，故选：D ．3．【解答】解：因为a →−λb →=（1+λ，1﹣3λ），又因为（a →−λb →）⊥c →， 所以（1+λ，1﹣3λ）•（2，1）＝2+2λ+1﹣3λ＝0，解得λ＝3，故选：A ． 4．【解答】解：由二项式（1x−x ）10的展开式的通项T r +1=C 10r (1x)10−r (−x)r =(−1)r C 10r x2r−10得，令2r ﹣10＝4，得r ＝7，即展开式中x 4的系数是(−1)7C 107=−120，故选：B ．5【解答】解：如图，因为∠ABC =π2，所以AC =√AB 2+BC 2=2√10， 则SA 2+AC 2＝40+12＝52＝SC 2，所以SA ⊥AC ，又因为∠SAB =π2，即SA ⊥AB ，AB ∩AC ＝A ，SA ⊄平面ABC ，所以SA ⊥平面ABC ， 所以V S ﹣ABC =13•SA •S △ABC =13×2√3×12×2×6=4√3， 故选：C ．6．【解答】解：作出对勾函数y ＝x +4x （x ＞0）的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为A （2，4），圆心坐标C （2，0），半径R ＝1，则由图象知当A ，B ，C 三点共线时，|AB |最小，此时最小值为4﹣1＝3， 即|AB |的最小值是3， 故选：A ．7．【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论．故￢p ，有的正方形不是平行四边形． 故选：C ．8．【解答】解：因为a ＞b ＞c ＞1，令a ＝16，b ＝8，c ＝2， 则log c a ＞1＞log a b 所以A ，C 错， 则log c b =3＞log b a =43故D 错，B 对． 故选：B ．9．【解答】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A 对． 由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B 错． 由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，C 错． 由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D 对． 故选：AD ．10．【解答】解：设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，根据条件可知ba=√33，所以方程可化为x 23b 2−y 2b 2=1，将点（3，√2）代入得b 2＝1，所以a 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 23−y 2=1，故A对；离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√3+13=2√33，故B 错；双曲线C 的焦点为（2，0），（﹣2，0），将x ＝2代入得y ＝e 0﹣1＝0，所以C 对；联立{x 23−y 2=1x −√2y −1=0，整理得y 2﹣2√2y +2＝0，则△＝8﹣8＝0，故只有一个公共点，故D 错，故选：AC ．11．【解答】解：取DD 1 中点M ，则AM 为AF 在平面AA 1D 1D 上的射影， ∵AM 与DD 1 不垂直，∴AF 与DD 1不垂直，故A 错；取B 1C 1中点N ，连接A 1N ，GN ，可得平面A 1GN ∥平面AEF ，故B 正确； 把截面AEF 补形为四边形AEFD 1，由等腰梯形计算其面积S =98，故C 正确；假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立，故D 错．故选：BC ．12【解答】解：∵f （x +1）与f （x +2）都为奇函数，∴f （﹣x +1）＝﹣f （x +1）①，f （﹣x +2）＝﹣f （x +2）②，∴由①可得f [﹣（x +1）+1]＝﹣f （x +1+1），即f （﹣x ）＝﹣f （x +2）③， ∴由②③得f （﹣x ）＝f （﹣x +2），所以f （x ）的周期为2， ∴f （x ）＝f （x +2），则f （x ）为奇函数，∴f （x +1）＝f （x +3），则f （x +3）为奇函数，故选：ABC ．13【解答】解：由排列组合中的分步原理，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，共C 61=6种选法，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，共C 61=6种选法，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有6×6＝36种选法， 即攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种，故答案为：36．14．【解答】解：∵cos （α+π6）﹣sin α=√32cos α−12sin α﹣sin α=√3（12cos α−√32sin α）=√3cos（α+π3）=4√35， ∴cos （α+π3）=45．则sin （α+11π6）＝sin （α−π6）＝﹣cos （α−π6+π2）＝﹣cos （α+π3）=−45， 故答案为：−45．15．【解答】解：由题意，抛物线C 的焦点F （1，0）， ∴p2=1，故p ＝2．∴抛物线C 的方程为：y 2＝4x ．则可设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由抛物线的定义，可知：|AF |＝x 1+1，|BF |＝x 2+1． ①当斜率不存在时，x 1＝x 2＝1． ∴1|AF|+1|BF|=1x 1+1+1x 2+1=12+12=1．②当斜率存在时，设直线l 斜率为k （k ≠0），则直线方程为：y ＝k （x ﹣1）． 联立{y =k(x −1)y 2=4x，整理，得k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0，∴{△=4(k 2+2)2−4k 4=16(k 2+1)＞0x 1+x 2=2(k 2+2)k 2x 1⋅x 2=1．∴1|AF|+1|BF|=1x 1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1x 2+x 1+x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1．综合①②，可知：1|AF|+1|BF|=1．故答案为：2；1．16．【解答】解：半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ，AC ，AD 两两垂直， 如图所示则设四面体ABCD 置于长方体模型中，外接球的半径为2，故x2+y2+z2＝16，S＝S△ABC+S△ACD+S△ABD=12yz+12xy+12xz，由于2（x2+y2+z2）﹣4S＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2≥0，所以4S≤2•16＝32，故S≤8，故答案为：8．17．【解答】解：因为在等比数列{b n}中，b2＝3，b5＝﹣81，所以其公比q＝﹣3，从而b n=b2(−3)n−2=3×(−3)n−2，从而a5＝b1＝﹣1．若存在k，使得S k＞S k+1，即S k＞S k+a k+1，从而a k+1＜0；同理，若使S k+1＜S k+2，即S k+1＜S k+1+a k+2，从而a k+2＞0．若选①：由b1+b3＝a2，得a2＝﹣1﹣9＝﹣10，所以a n＝3n﹣16，当k＝4时满足a5＜0，且a6＞0成立；若选②：由a4＝b4＝27，且a5＝﹣1，所以数列{a n}为递减数列，故不存在a k+1＜0，且a k+2＞0；若选③：由S5=−25=5(a1+a5)2=5a3，解得a3＝﹣5，从而a n＝2n﹣11，所以当n＝4时，能使a5＜0，a6＞0成立．18．【解答】解：（1）如图所示在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC，所以S△ABC=12⋅AB⋅AC，S△CDF=12⋅CD⋅DF，且△CDF的面积等于△ABC的面积，由于DF＝AC，所以CD＝AB，D为BC的中点，故BC＝2AC，所以∠ABC＝60°．（2）如图所示：设AB＝k，由于∠A＝90°，∠ABC＝45°，BD＝3DC，DF＝AC，所以AC＝k，CB=√2k，BD=3√24k，DF＝k，由于DF⊥BC，所以CF2＝CD2+DF2，则CF=3√24k．且BF2＝BD2+DF2，解得BF=√344k，在△CBF中，利用余弦定理cos∠CBF=CF2+BF2−BC22⋅CF⋅BF=98k2+178k2−2k22⋅3√24k⋅√344k=5√1751．19．【解答】解：（1）取SB中点M，连接FM和MA，则四边形FMAE为平行四边形，∵EF与底面所成角度为45°，∴AM与底面所成角度为45°，即∠MAB＝45°，则△SAB为等腰直角三角形，则AM ⊥SB ，AM ⊥BC ，即AM ⊥面SBC ，EF ⊥面SBC ，则EF ⊥SC ，EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，即EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线． （2）若EF =12BC ，设BC ＝2，则EF ＝1，则EM ＝FM =√22，CD ＝AB =√2，SA =√2，D （0，2，0），B （√2，0，0），则SC →=（√2，2，−√2），BC →=（0，2，0），CD →=（−√2，0，0），设面BCS 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅SC →=√2a +2b −√2c =0n →⋅BC →=2b =0，则{b =0a =c ，取a ＝c ＝1，则n →=（1，0，1） 设面SCD 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅SD →=√2x +2y −√2z =0m →⋅CD →=−√2x =0，则{x =02y =√2z，取z =√2，则y ＝1，则m →=（0，1，√2），则cos θ=m →⋅n→|m →||n →|=√2√2⋅√3=√33，由图象知二面角B ﹣SC ﹣D 为钝二面角．则二面角B ﹣SC ﹣D 的余弦值为−√33．20．【解答】解：（1）根据散点图可知，散点均匀的分布在一条直线附近，且随着x 的增大，y 增大，故y 与x 成线性相关，且为正相关；（2）依题意，x =17（1+2+3+4+5+6+7）＝4，y =17∑ 7i=1y i =17×1074≈153.43， b =∑ 71x i y i −7xy ∑ 71x i 2−7x2=∑ 71x 1y i −7x×y ∑ 71x i 2−7x2=4517−7×154.43×4140−7×42≈7.89， a =y −b x =154.43﹣7.89×4＝121.87，所以y 关于x 的线性回归方程为：y =7.89x +121.87；（3）由残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好，回归方程的预报精度较高．21．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，∵椭圆的离心率e =√32，∴c a =√32，∵a 2＝b 2+c 2，∴a ＝2b ，将点（1，√32）代入椭圆的方程得：1a 2+34b2=1， 联立a ＝2b 解得：{a =2b =1，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 2=1，∴F （√3，0），∵PF ⊥x 轴，∴P （√3，±12），∴⊙F 的方程为：(x −√3)2+y 2=14； （2）由A 、B 在圆上得|AF |＝|BF |＝|PF |＝r =12，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），|CF |=√(x 1−√3)2+y 12=2−√32x 1同理：|DF|=2−√32x 2，若|AC |＝|BD |，则|AC |+|BC |＝|BD |+|BC |，即|AB |＝|CD |＝1， ∴4−√32(x 1+x 2)=1，由{x 24+y 2=1y =k(x −√3)得(4k 2+1)x 2−8√3k 2x +12k 2−4=0， ∴x 1+x 2=8√3k24k 2+1∴4−12k24k 2+1=1得12k 2＝12k 2+3，无解，故不存在．22．【解答】解：（1）函数f （x ）=a+x 1+x （x ＞0）的导数为f ′（x ）=1−a(x+1)2， 曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1−a 4，切点为（1，a+12），切线方程为y −a+12=1−a 4（x ﹣1）， 代入（0，112）可得112−a+12=1−a 4（0﹣1），解得a ＝7；（2）g （x ）＝x （f （x ））2＝x •（7+x 1+x）2=x 3+14x 2+49x(x+1)2，g ′（x ）=(x+7)[(x−2)2+3](x+1)3，当x ＞0时，g ′（x ）＞0，可得g （x ）在（0，+∞）递增；（3）要证2n ﹣2|2lna n ﹣ln 7|＜1，只需证|lna n −12ln 7|＜12n−1，即为|lnn √7|12n−1，只要证|lnn+1√7|12|lnn√7|由f （x ）在（0，+∞）递减，a n ＞0，若a n ＞√7，a n +1＝f （a n ）＜f （√7）=√7，此时n+1√7＜1n √7， 只要证ln √7a n+1＜ln （n √7）12，即为√7a n+1＜（n √7）12，即a n a n +12＞7√7，此时a n ＞√7，由（2）知a n a n +12＝g （a n ）＞g （√7）＝7√7； 若a n ＜√7，a n +1＝f （a n ）＞f （√7）=√7，此时n √71n+1√7， 只要证ln n+1√7＜ln （√7a n）12，即为n+1√7＜（√7a n ）12，即a n a n +12＜7√7，此时a n ＜√7，由（2）知a n a n +12＝g （a n ）＜g （√7）＝7√7； 若a n =√7，不等式显然成立． 综上可得|ln n+1√7|12|lnn√7|（n ≥1，n ∈N *）成立，则|lnn√7|12n−1•|ln1√7|=12n−1•12ln 7，由12ln 7＜12lne 2＝1，可得|lnn√7|12n−1，则2n ﹣2|2lna n ﹣ln 7|＜1成立．。
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷及解析
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020届山东省济南市高三6月份模拟考试数学试题(解析版)
故选：A
【点睛】
本题考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系式，解三角形，内切圆的特点，考查了学分分析观察能力，属于中档题.
二、多选题
9．已知复数 （其中i为虚数单位）下列说法正确的是（）
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z可能为实数
C．
D． 的实部为
【答案】BCD
【解析】由 ，得 ，得 ，可判断A选项；当虚部 时，可判断B选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C选项；由复数的除法运算得 的实部是 ，可判断D选项；
【答案】（1）证明见解析；（2）60°
【解析】
（1）根据平面 //平面 ，得到 // ，再结合垂径定理即可证明；
（2）连接DN，先证明四边形ENDF为平行四边形，再求 即可.
【详解】
（1）证明：连接CE，与BM交于点N，
根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD与EF相交，
故C，D，F，E四点共面，因为平面 平面BCE，
故选： .
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用，属于基础题.
7．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将问题转化为一个数为零，每次加 或者减 ，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果.
先求 导数，设切点坐标，根据导数几何意义确定切线斜率，利用点斜式得切线方程，再与 联立，利用判别式为零得方程，利用分离法转化为求对应函数值域，结合导数求函数值域即得a的取值范围.
【详解】
,设切点为 ，则 切点为 ，直线 代入 得 ，
山东省济南市2020届高三6月针对性训练(仿真模拟
2020年6月济南市高三针对性训练数学试题 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh = (其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|12},{|,M x x N x y =-<<==则M∩N= A ．{}|1x x >-B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x ≤< 2函数3()4f x x x =+-的零点所在的区间为A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3 3．已知命题p ，∀x ∈R ,12,x x e e +≥则⌝p 为 A ．∃x ∈R ,12x x e e +≥ B ．∃x ∈R ,12x x e e +< C ．∃x ∈R ,12x x e e +≤ D ．∀x ∈R ,12x xe e +≤ 4如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若122O O =则圆柱12O O 的表面积为A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π5．“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即11()1ni iia an-=--∑.国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015-2019年GDP数据:根据表中数据,20152019-年我国GDP的平均增长量为A．5.03万亿B．6.04万亿C．7.55万亿D．10.07万亿6．已知双曲线C的方程为221169x y-=，则下列说法错误的是A．双曲线C的实轴长为8B．双曲线C的渐近线方程为3.4 y x =±C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为9 47．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是A．14B．516C．38D．128．在△ABC中，cos cosA B AB+==当sin sinA B+取最大值时，△ABC内切圆的半径为A．3B．2C．13D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭(其中i 为虚数单位)下列说法正确的是 A.复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．||2cos z θ=D ．1z 的实部为1210．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台,2,ABCD AB AD =现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为A ．16B ．12C ．1D ．3211．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是A ．对任意点11,P DP AB D 平面PB ．三棱锥P -A 1DD 1的体积为16C ．线段DPD ．存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为3π12．设{a n }是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n ∈N +，均有n k n a a +>，则称{a n }是间隔递增数列，k 是{n a }的间隔数,下列说法正确的是A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{a n }是间隔递增数列 C ．已知2(1),n n a n =+-则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D. 已知22020,n a n tn =-+则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则45t ≤<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量()(1,1),(1,),+k =-=-⊥若，a b a b a 则k 的值为 ▲14．若2552051(12)(1),(1)()x x x a a a a x ++=++++++L 则4a 的值为 ▲15．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，AF 2的中点P 恰好落在y 轴上，若20,BP AF ⋅=u u u r u u u u r 则椭圆C 的离心率的值为 ▲16.已知函数()()212ln ,()0,2f xg x ax x a x ==-->若直线2y x b =-与函数()y f x =,()y g x =的图象均相切，则a 的值为 ▲ ;若总存在直线与函数(),()y f x y g x ==图象均相切，则a 的取值范围是 ▲ (本小题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)已知直角梯形ABCD 中,AD BC P ,AB ⊥BC,1,2AB AD BC ==将直角梯形ABCD(及其内部)以AB 所 在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M 为⌒CE 的中点。
2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟数学试卷(6月)-学生用卷
2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟数学试卷（6月）-学生用卷一、单选题本大题共8小题1、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第1题2021年广东清远清新区清新区第一中学高三二模第1题3分2018~2019学年广东深圳南山区深圳大学附属中学高二下学期期末文科深圳科学高中第1题5分2019~2020学年四川南充顺庆区四川省南充市一中高二下学期期中文科第1题5分2020~2021学年山东济南市中区山东省济南中学高三上学期月考第1题5分已知集合M={x|x2−2x<0}，N={−2,−1,0,1,2}，则M∩N=（）．A. ∅B. {1}C. {0,1}D. {−1,0,1}2、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第2题已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数z在复平面内对应点所在的象限是（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第3题2020~2021学年山东济南市中区山东省济南中学高三上学期月考第5题5分已知向量a→=(m,−2)，b→=(2,1)，则＂m<1＂是＂a→，b→夹角为钝角＂的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第4题2020~2021学年重庆沙坪坝区重庆市第一中学高二下学期期中第7题5分2020~2021学年10月广东清远清新区清新区第一中学高三上学期月考第4题5分甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）．A. 90B. 120C. 210D. 2165、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第5题2019~2020学年9月陕西西安莲湖区西安远东教育集团第一中学高三上学期月考文科第3题5分2020~2021学年11月广东广州海珠区广州市第五中学高三上学期月考第6题5分2020年山东日照高三一模第6题5分2020~2021学年4月江苏南通启东市启东中学高二下学期月考第6题5分)，c=f(ln3)，则a，b，已知定义在R上的函数f(x)=x⋅2|x|，a=f(log3√5)，b=−f(log312c的大小关系为（）．A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. c>a>b6、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第6题2020~2021学年山东济南市中区山东省济南中学高三上学期月考第7题5分对n个不同的实数a1，a2，⋯，a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵．对第i行a i1，a i2，⋯，a in，记b i=−a i1+2a i2−3a i3+⋯+(−1)n na in，i=1、2、3、⋯、n!．例如：用1、2、3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+⋯+b6=−12+2×12−3×12=−24，那么，在用1、2、3、4、5形成的数阵中，b1+b2+⋯+b120等于（）．A. −3600B. −1800C. −1080D. −7207、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第7题2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第12题5分已知△ABC中，A=60°，AB=6，AC=4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA=OB= OC．设AO→=λAB→+μAC→，则λ+μ的值为（）．A. 2B. 1C. 1118D. 7118、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第8题在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中点，则三棱锥B1−ABM的外接球的表面积为（）．A. 32πB. 2πC. 54πD. 98π二、多选题本题共4小题9、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第9题2020~2021学年山东济南市中区山东省济南中学高三上学期月考第10题5分Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）．A. 月跑步里程最小值出现在2月B. 月跑步里程逐月增加C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小10、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第10题已知函数f(x)=sinx+cosx+|sinx−cosx|，下列结论正确的是（）．A. 函数图象关于x=π4对称B. 函数在[−π4,π4]上单调递增C. 若|f(x1)|+|f(x2)|=4，则x1+x2=π2+2kπ(k∈Z)D. 函数f(x)的最小值为−211、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第11题2020~2021学年12月河北衡水桃城区衡水中学高三上学期月考理科第12题5分已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α，下面说法正确的是（）．A. 直线AB与平面α所成角的正弦值范围为[√33,√2 2]B. 点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C. 点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D. 已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，M为CC1的中点12、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第12题函数f(x)=e x+asinx，x∈(−π,+∞)，下列说法正确的是（）．A. 当a=1时，f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x−y+1=0B. 当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且−1<f(x0)<0C. 对任意a>0，f(x)在(−π,+∞)上均存在零点D. 存在a<0，f(x)在(−π,+∞)上有且只有一个零点三、填空题本题共4小题13、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第13题2020~2021学年山东济南市中区山东省济南中学高三上学期月考第13题5分2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高二下学期期末第7题(2x−1x2)6的展开式中的常数项为．（用数字作答）14、【来源】一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球．甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球．规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是．15、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第15题2020~2021学年10月广东清远清新区清新区第一中学高三上学期月考第16题5分2019~2020学年3月海南海口琼山区海口实验中学高三下学期月考第16题5分已知a，b为正实数，直线y=x−a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0,y0)，则1a +1b的最小值是.16、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第16题已知双曲线x2−y28=1，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆，则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为4√3，则△F1PF2的面积为．四、解答题本题共6小题17、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第17题2020~2021学年10月广东清远清新区清新区第一中学高三上学期月考第19题12分已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1(n∈N∗)．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设b n=a nS n⋅S n+1，数列{b n}的前n项和T n，且T n⩾m对任意n∈N∗恒成立，求m范围．18、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第18题2020~2021学年山东济南市中区山东省济南中学高三上学期月考第18题平面四边形ABCD中，边BC上有一点E，∠ADC=120∘，AD=3，sin∠ECD=23，DE=√3，CE=3√34．(1) 求AE的长．(2) 已知∠ABC=60∘，求△ABE面积的最大值．19、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第19题在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点．将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AE、AC、DE，得到三棱锥A−BCD．(1) 求证：平面ABD⊥平面BCD．(2) 若AD=1，二面角C−AB−D的余弦值为√7，求二面角B−AD−E的正弦值．720、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第20题从2019年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情．目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延．蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中z i=lny i，z=17∑z i 7i=1．(1) 根据散点图判断，y=a+bx与y=ce dx（其中e=2.718⋯为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程（结果精确到小数点后第三位）．(2) 根据以往统计，该地每年平均温度达到28∘C以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28∘C以上的概率为p(0<p<1)．①记该地今后n(n⩾3,n∈N∗)年中，恰好需要2次人工防治的概率为f(p)，求f(p)取得最大值时相应的概率p0．②根据①中的结论，当f(p)取最大值时，记该地今后6年中，需要人工防治的次数为X，求X 的数学期望和方差．附：对于一组数据(x1,z1)、(x2,z2)、⋯、(x7,z7)，其回归直线z=a+bx的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：b=∑(x i−x)(z i−z)7i=1∑(x i−x)27i=1，a=z−bx．21、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第21题2020~2021学年山东济南市中区山东省济南中学高三上学期月考第21题已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(−1,32)，且焦距为2．(1) 求椭圆E的方程．(2) 设A为椭圆E的左顶点，过点F2的直线l交椭圆E于P，Q两点，记直线AP、AQ的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=−1，求直线l方程．222、【来源】 2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第22题2020~2021学年辽宁高二下学期期中（辽南协作体）第22题12分2020~2021学年山东济南市中区山东省济南中学高三上学期月考第22题已知函数f(x)=alnx,a∈R．(1) 若曲线y=f(x)与曲线g(x)=√x在公共点处有共同的切线，求实数a的值；+1是否有零点？如果有，求出该零点；若(2) 在（1）的条件下，试问函数F(x)=xf(x)−x e1−x2没有，请说明理由．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 A;C;D;10 、【答案】 A;11 、【答案】 A;C;12 、【答案】 A;B;D;13 、【答案】240;14 、【答案】15128;15 、【答案】4;16 、【答案】1;24√3;17 、【答案】 (1) a n=2n−1．;(2) m⩽13．;18 、【答案】 (1) 2√3．;(2) 3√3．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √32．;20 、【答案】 (1) y=ce dx，y^=e0.272x−3.849．;(2)①2n．②E(X)=2，D(X)=43．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) 2x−y−2=0．;22 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;第11页，共11页。
2020届山东省实验中学高三6月模拟考试数学试题(解析版)
2020届山东省实验中学高三6月模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{}|2,kA x x k Z ==∈，{4}B x Nx =∈<∣，那么集合A B =（ ）A ．{}1,4B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,4【答案】C【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】依题意{}0,1,2,3B =，其中1,2A A ∈∈，所以{}1,2A B =.故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．若()22z i i -=-（i 是虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D【解析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数z 的模. 【详解】因为()22z i i -=-，所以()()()()2234434434343425252i i ii i z i i i i i i i -+---=====--+--+-，所以15z ==，故选D. 【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题. 3．已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ）A ．0B ．1C ．2D ．2【答案】A【解析】利用和差角公式可求得tan α的值，再利用二倍角的余弦公式结合弦化切的思想可求得cos2α的值. 【详解】sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin cos 22αααα+=+，可得tan 1α=，22222222cos sin 1tan cos 2cos sin 0cos sin 1tan ααααααααα--∴=-===++. 故选：A. 【点睛】本题考查三角求值，考查和差角公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.4．已知平面向量a ，b 满足()2a b b +⋅=，且1a =，2b =，则a b +=（ ）A BC ．1D ．【答案】C【解析】由()2a b b +⋅=及2b =可得2a b ⋅=-，代入向量模的计算公式可得a b +的值. 【详解】解：由()2a b b +⋅=及2b =，可得22a b b ⋅+=，可得2a b ⋅=-，2222()211a b a b a a b b +=+=+⋅+=+=，故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的数量积，向量模的性质，考查学生的运算求解能力，属于基础题型. 5．己知()f x 是定义域为R 的奇函数，若()5f x +为偶函数，()11f =，则()()20192020f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】由()5f x +奇偶性和函数平移的知识可得()f x 对称轴，由()f x 奇偶性可确定()0f ，结合对称轴可得周期，由此可将所求式子变为()()10f f -+，进而求得结果. 【详解】()5f x +为偶函数，且()5f x +可由()f x 向左平移5个单位得到，()f x ∴关于5x =轴对称，即()()55f x f x +=-，又()f x 为R 上的奇函数，()()55f x f x ∴+=--，且()00f =，()()()()2010f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是一个周期为20的周期函数，()()()()2019201011111f f f f ∴=⨯-=-=-=-，()()()20202010100f f f =⨯==，()()201920201f f ∴+=-.故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、周期性和对称性求解函数值的问题；解题关键是能够灵活应用函数的对称性和周期性之间的关系，通过对称轴和对称中心确定函数的周期.6．已知点()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线C ：22221x y a b-= (0a >，0b >)的左､右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ， 2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则C 的离心率为（ ）A ．53B ．3C ．32D ．52【答案】C 【解析】由双曲线的定义、对称性和内切圆的切线性质，结合离心率公式即可得到所求值． 【详解】设2MPF ∆的内切圆在边2MF 上的切点为K ，在MP 上的切点为N ， 如图所示：则12PF PF = ，222,PQ PN QFKF ===， 由双曲线的对称性可得12222PF PF PQ QF QF ==+=+， 由双曲线的定义可得1212MF MF PM PF MK KF -=+--222242QF MP MK KF MP MN a =++--=+-==，解得2a =，又126F F =，即有3c =， 离心率32c e a ==． 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查内切圆的切线性质，注意运用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题． 7．在二项式(nx x+的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．435B ．34C ．314D ．114【答案】D【解析】由系数和为128可得2128n =即可求出7n =，由二项式定理写出展开式的通项，即可求出有理项、无理项数，结合排列中的插空法可求出有理项都互不相邻的的概率. 【详解】解：二项式(n x x +的展开式中第1k +项为321kn kk n k kk n n T C x C x x --+==，则01...2128n nn n n C C C +++==，则7n =，则展开式中有8项， 当0,2,4,6k k k k ====时，372k N ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即有理项有4项，无理项有4项， 8项重新排列共88A 种排列数，先排列无理项共44A 种排列数，要使得有理项不相邻，则4项有理项的排列数为45A ，所以有理项都互不相邻的概率为445488114A A A =， 故选: D. 【点睛】本题考查了二项式定理，考查了排列数的计算，考查了插空法.本题的关键是求出n 的值. 8．已知函数2()ln f x ax x x =--有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．210,e e +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，即方程2ln x xa x +=有两个根，设()2ln x xg x x+=，求出()g x '，研究出函数()g x 的单调性，由()g x 的图象与y a =有两个交点，得出a 参数的范围,得到答案.【详解】函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点由题意得方程2ln x xa x +=有两个根. 设()2ln x x g x x+=，则()2431(1)(ln (2)12ln ）x x x x x x x g x x x +-+--'== 设()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<所以()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又(1)0h = 当()()(0,1),0,0x h x g x '∈>>，所以()g x 在(0,1)上单调递增, 当()()(1,),0,0x h x g x '∈+∞<<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减,又(1)1g =，22111()01e g e e e e -==-<⎛⎫⎪⎝⎭，当(1,)x ∈+∞时，ln 0x x +>，则()0g x > 所以存在0(0,1)x ∈，0()0g x =，即在()00,x 上()0g x <，又当x →+∞时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知x →+∞时，()0g x → 作出函数()g x 的大致图象如下.所以方程2ln x xa x+=有两个根，即()g x 的图象与y a =有两个交点， 所以实数a 的取值范围是()0,1， 故选：B 【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数取值范围的问题，考查分离参数的方法，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题题.二、多选题9．CPI 是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标.同比一般情况下是今年第n 月与去年第n 月比；环比，表示连续2个统计周期(比如连续两月)内的量的变化比.如图是根据国家统计局发布的2019年4月—2020年4月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法正确的是（ ）A．2020年1月CPI同比涨幅最大B．2019年4月与同年12月相比较，4月CPI环比更大C．2019年7月至12月，CPI一直增长D．2020年1月至4月CPI只跌不涨【答案】AB【解析】根据折线图数形结合，逐一分析即可；【详解】解：对于A，由同比折线可发现2020年1月CPI同比涨幅最大，故A正确；对于B，由图可知2019年4月环比涨幅为0.1%，2019年12月为0%，故B正确；对于C，由环比定义可知，2019年10月至12月间，下跌，故C错误；对于D，由环比定义可知，2020年1月至4月间，3月到4月增涨，故D错误；故选：AB．【点睛】本题考查折线统计图的识别，考查学生合情推理的能力以及阅读理解能力，属于中档题．<，10．记数列{}n a的前n项和为n S，若存在实数H，使得对任意的n∈+N，都有n S H 则称数列{}n a为“和有界数列”.下列说法正确的是（）d=，则{}n a是“和有界数列”A．若{}n a是等差数列，且公差0d=B．若{}n a是等差数列，且{}n a是“和有界数列”，则公差0q<，则{}n a是“和有界数列”C．若{}n a是等比数列，且公比1q<D．若{}n a是等比数列，且{}n a是“和有界数列”，则{}n a的公比1【答案】BC【解析】根据等差数列前n项和公式以及“和有界数列”的定义，判断AB选项的正确性；根据等比数列前n项和公式以及“和有界数列”的定义，判断CD选项的正确性.【详解】对于AB 选项分析如下：若{}n a 是等差数列，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. 对于A 选项，当0d =时，1n S na =，若10a ≠，根据一次函数的性质可知，此时不存在符合题意的H .所以A 选项错误.对于B 选项，{}n a 是“和有界数列”，而2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若0d ≠，根据二次函数的性质可知，此时不存在符合题意的H ，故0d =.所以B 选项正确. 对于CD 选项分析如下：若{}n a 是等比数列，则()1111111n nn a q a aq S qq q-==-⋅+---. 对于C 选项，若1q <，则当n →+∞时，11n a S q→-，故存在实数H ，使得对任意的n ∈+N ，都有n S H <，即{}n a 是“和有界数列”.所以C 选项正确.对于D 选项，若{}n a 是等比数列，且{}n a 是“和有界数列”，q 的取值可能为1-，此时1n S a ≤，所以存在实数H ，使得对任意的n ∈+N ，都有n S H <.所以D 选项错误. 故选：BC 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解，考查等差数列、等比数列前n 项和公式的运用，属于中档题.11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”.如图在堑堵ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1=AB=2.下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B -A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1C 1CB 为“鳖膈” C ．四棱锥B -A 1ACC 1体积最大为23D ．过A 点分别作AE ⊥A 1B 于点E ，AF ⊥A 1C 于点F ，则EF ⊥A 1B 【答案】ABD【解析】根据新定义结合线面垂直的证明，对选项进行逐一判断，可得出答案. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”. 所以在堑堵ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧棱1AA ⊥平面ABC . 在选项A 中. 所以1AA BC ⊥，又AC ⊥BC ，且1AA AC A =,则BC ⊥平面11AAC C .所以四棱锥B -A 1ACC 1为“阳马”，故A 正确.在选项B 中. 由AC ⊥BC ，即11AC BC ⊥，又111AC C C ⊥且1C C BC C =,所以11A C ⊥平面11BB C C .所以111AC BC ⊥，则11A BC 为直角三角形. 又由BC ⊥平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形.由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形. 所以四面体A 1C 1CB 为“鳖膈”，故B 正确.在选项C 中. 在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅,即2AC BC ⋅≤当且仅当AC BC =时取等号.1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤,所以C 不正确.在选项D 中.由上面有BC ⊥平面11AAC C ，则BC AF ⊥,AF ⊥A 1C 且1AC BC C =,则AF ⊥平面1A BC所以1AF A B ⊥,AE ⊥A 1B 且AF AE A ⋂=,则1A B ⊥平面AEF ,则1A B EF ⊥,所以D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查立体几何中的新定义问题，考查线线垂直，线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的最值，属于中档题.12．已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+＞，下面结论正确的是（ ）A ．若()11f x =，()21f x =-，且12x x -的最小值为π，则ω=2B ．存在ω∈(1,3)，使得f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 C ．若f (x )在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围是4147[,)2424D ．若f (x )在[,]64ππ-上单调递增，则ω的取值范围是(0,23]【答案】BCD【解析】化简()f x 解析式.结合周期判断A 选项的正确性，结合图象变换判断B 选项的正确性，结合()f x 的零点判断C 选项的正确性，结合()f x 的单调性判断D 选项的正确性. 【详解】依题意()2cos 23f x x πω⎛⎫=-+⎪⎝⎭，0>ω，()11f x -≤≤. 对于A 选项，若()11f x =，()21f x =-， 且12x x -的最小值为π，则12222T ππππωωω=⇒==⇒=， 故A 选项错误.对于B 选项，当2ω=时，()2cos 43f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 向右平移6π个单位长度后得到2cos 4cos 463y x x ππ⎡⎤⎛⎫=--+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 其为偶函数，图象关于y 轴对称.故B 选项正确.对于C 选项，02x π≤≤，则22224333x πππωωπ≤+≤+， 若()f x 在[]0,2π上有恰有7个零点，则152174232πππωπ≤+<， 解得41472424ω≤<，故C 选项正确. 对于D 选项，64x ππ-≤≤，则222233323x ωπππωππω-+≤+≤+，若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，则22332223k k ωπππωππππ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，即62243k k ωω≤-+⎧⎪⎨≤+⎪⎩，由于,0k Z ω∈>，故20,03k ω=<≤.所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象与性质，属于中档题.三、填空题13．以抛物线22y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.【答案】22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 【解析】求得抛物线焦点坐标和准线方程，得到圆的圆心和半径，由此求得圆的方程. 【详解】抛物线22y x =的焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为12x =-，焦点到准线的距离为1，所以圆的圆心为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1，故圆的标准方程为22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故答案为：22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查抛物线性质，考查圆的方程的求法，属于中档题.14．我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳嵩山.某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字1—5，他让甲､乙､丙､丁､戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下： 甲：2是泰山，3是华山； 乙：4是衡山，2是嵩山； 丙：1是衡山，5是恒山；丁：4是恒山，3是嵩山； 戊：2是华山，5是泰山.老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是__________. 【答案】5【解析】先分析甲、戊两个学生，可知甲回答的3是华山是正确的，然后依次判断丙、丁、乙即可. 【详解】若甲：2是泰山是正确的，则戊：2是华山，5是泰山都是错的，故甲：3是华山是正确的；戊：5是泰山是正确的；丙：1是衡山是正确的；丁：4是恒山是正确的；乙： 2是嵩山是正确的，故五岳之尊泰山图片上标的数字是5. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查逻辑推理能力，属于能力提升题.15．己知函数f (x )= ln x ，若0<a<b ，且f (a )=f (b )，则a+4b 的取值范围是____________. 【答案】()5,+∞【解析】结合函数f (x )= ln x 的图象可判断,a b 的位置，即可得到,a b 的关系，将双变量a+4b 转化为单变量，结合函数单调性即可求解. 【详解】如图，作出函数f (x )= ln x 的图象，由f (a )=f (b )得，()ln ()ln ,ln ln ln 0,1,01,1,f a a f b b a b ab ab a b =-==∴+===<<>所以44a b a a+=+，由对勾函数的单调性可知，函数4y x x =+ 在()0,1上单调递减，故445a b a a +=+>，即a+4b 的取值范围是()5,+∞.故答案为：()5,+∞ 【点睛】本题主要考查对数函数的图象翻折、对数运算及利用函数单调性求值域，属于基础题.四、双空题16．已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C .如图椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，OE=3.若光线与地面所成角为θ，则sin θ=______________，椭圆的离心率e=___________.【答案】45 35【解析】连接OO '，由锐角三角函数可得4sin 5O E OO θ'=='，在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，如图，椭圆的长半轴长是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ，得到一个直角三角形，得到AC 的长，从而得出要求的结果． 【详解】解：连接OO '，则O OE θ'∠=，因为4O E '=，3OE =，所以2222345OO O E OE ''+=+=所以4sin 5O E OO θ'==' 在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是圆的半径R ，4b ∴=，如图．椭圆的长轴长2a 是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ， 由题意得：28AB R ==，4sin sin 5ACB θ∠==， 又4sin 5AB θAC == 所以10AC = 即210a =，5a =，∴椭圆的离心率为22255316c a b e a --===故答案为：45；35.【点睛】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影时球的有关量中，变与不变的量，属于中档题．五、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =.设F 为线段AC 上一点，2CF BF =，有下列条件： ①2c =；②3b =2223a b ab c +=.请从以上三个条件中任选两个，求CBF ∠的大小和ABF 的面积. 【答案】4CBF π∠=；ABF 的面积为1【解析】若选①②，则2a c ==，23b =23ABC π∠=，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出6A C π==，再根据正弦定理求出4CBF π∠=，通过三角形内角和关系求得ABF AFB ∠=∠，则2AF AB ==，最后利用三角形面积公式即可求出ABF 的面积；若选②③，2a =，23b =2223a b ab c +=，可求得2c =，根据余弦定理即可求出6C π=，三角形的内角和得出6A C π==，再根据正弦定理求出4CBF π∠=，通过三角形内角和关系求得ABF AFB ∠=∠，则2AF AB ==，最后利用三角形面积公式即可求出ABF 的面积；若选①③，则2a c ==，222a b c +-=，由余弦定理可求出6C π=，由a c =，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出6A C π==，由三角形内角和关系得出23ABC A C ππ∠=--=，再根据正弦定理求出4CBF π∠=，通过三角形内角和关系求得ABF AFB ∠=∠，则2AF AB ==，最后利用三角形面积公式即可求出ABF 的面积. 【详解】（解法一）选①②，则2a c ==，b =由余弦定理可得：2221cos 22a cb ABC ac +-∠==-，又()0,ABC π∠∈，∴23ABC π∠=， ∴6A C π==，在BCF 中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C =∠，∵CF =，∴sin 2CBF ∠=， 又23CBF ABC π∠<∠=，∴4CBF π∠=，∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF 中，ABF AFB ∠=∠， ∴2AF AB ==， ∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△.（解法二）选②③，∵2a =，b =222a b c +-=， ∴2c =，由余弦定理可得：222cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，∴6C π=，∴6A C π==，∴23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C=∠，∵CF =，∴sin CBF ∠=. 又23CBF CBA π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF 中，ABF AFB ∠=∠， ∴2AF AB ==， ∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△.（解法三）选①③，则2a c ==，222a b c +=，则：222a b c +-=，由余弦定理可得：222cos 22a b c C ab +-==， 又()0,C π∈，∴6C π=， ∵a c =，∴6A C π==，∴23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C =∠，∵CF =，∴sin 2CBF ∠=， 又23CBF CBA π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF 中，ABF AFB ∠=∠， ∴2AF AB ==， ∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形的面积公式，还涉及三角形的内角和以及等腰三角形的性质，考查运算能力.18．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且4118S a -=-. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S ≥？若存在，求出符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）()132n n a -=⨯-.（2）存在，最小值为11【解析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，代入等比数列通项公式即可；（2）先求和项，再根据奇偶讨论化简不等式，即得结果. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则10,0a q ≠≠.由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩即2321112311118a q a q a q a q a q a q ⎧--=⎨++=-⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为()132n n a -=⨯-.（2）由（1）有()()()3121212nn nS ⎡⎤--⎣⎦==----. 假设存在n ，使得2020n S ≥，则()122020n--≥ 即()22019n-≤-当n 为偶数时，()20n->，上式不成立；当n 为奇数时，()22019nn -=-2≤-，即22019n ≥ 解得11n ≥综上，存在符合条件的正整数n ，最小值为11. 【点睛】本题考查等比数列通项公式、等比数列求和公式、解数列不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.19．四棱锥P ABCD -中，PC ⊥面ABCD ，直角梯形ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，PC=2，点M 在PB 上且PB=4PM ，PB 与平面PCD 所成角为60°.（1）求证：//CM 面PAD ： （2）求二面角B MC A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析.（2）35【解析】（1）在线段AB 上取一点N ，使1AN CD ==，可证//CN 平面PAD ，由14MP AN PB AB ==，可得//MN AP ，得到//MN 平面PAD ，从而可证面面平行，再根据面面平行得结果；（2）以C 为原点，CB ，CD ，CP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴，建立空间坐标系,用向量法求解二面角. 【详解】（1）在线段AB 上取一点N ，使1AN CD ==，因为//CD AB ，所以//CD AN 且CD AN =， 所以ANCD 为平行四边形，所以//CN AD ， CN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ,则//CN 平面PAD 在三角形ABP 中，14MP AN PB AB ==，所以//MN AP ， MN ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD ,则//MN 平面PAD MN CN N ⋂=所以平面MNC //平面P AD ，又CM ⊂平面MNC ，所以CM //平面P AD（2）以C 为原点，CB ，CD ，CP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴，建立空间坐标系.PC ⊥面ABCD ，所以PC CB ⊥，又因为BC CD ⊥，所以BC ⊥面PCD ， 所以PB 在面PCD 的射影为PC ， 所以BPC PB ∠为与平面PCD 所成角， 所以60,3BPC BC ∠==所以()()()()3323,0,0,0,0,2,,23,4,0,0,1,02B P M A D ⎫⎪⎪⎝⎭，33333,0,,4,22CM AM ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 面BMC 法向量()10,1,0n =， 面AMC 法向量()2,,n x y z =220n AM n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以()223,3,2n =--， 所以123cos ,5n n =-， 所以二面角B MC A --所成角的余弦值为35【点睛】本题考查证明面面平行和求二面角，求二面角可用定义法和向量法，一般在较复杂的二面角选择向量法求解，属于中档题.20．某公司为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.xyu821()ii x x =-∑81()()i i i x x y y =-⋅-∑ 821()i i u u =-∑ 81()()ii i uu y y =-⋅-∑15.253.630.2692085.5 230.3- 0.787 7.049表中1i i u x =，8118i i u u ==∑（1）根据散点图判断：y a bx =+与dy c x=+哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y 与印刷数量x 的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(结果精确到0.01)； （3）若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)附：对于一组数据(ω1，v 1)，(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其回归直线v αβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()niii nii v v ωωβωω==--=-∑∑，v αβω=-.【答案】（1）dy c x=+更适合.（2）8.961.22y x =+.（3）至少印刷11120册. 【解析】（1）由散点图判断，dy c x=+更适合.（2）令1u x=，先建立y 关于u 的线性回归方程，根据公式可得 1.228.96y u =+，再得到答案.（3）假设印刷x 千册，依题意得8.969.22 1.2280x x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,解出不等式得到答案.【详解】（1）由散点图判断，dy c x=+更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程.（2）令1u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程， 由于7.0498.9578.960.787d =≈≈， 所以 3.638.9570.269 1.22c y d u =-⋅=-⨯≈， 所以y 关于u 的线性回归方程为 1.228.96y u =+， 所以y 关于x 的回归方程为8.961.22y x=+（3）假设印刷x 千册，依题意得8.969.22 1.2280x x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得11.12x ≥，所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元. 【点睛】本题考查非线性回归方程及其应用，考查将非线性回归问题转化为线性回归问题求解，考查运算能力，属于中档题.21．已知椭圆C ：22221x y a b+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2点.M 为椭圆上的一动点，△MF 1F 2面积的最大值为4.过点F 2的直线l 被椭圆截得的线段为PQ ，当l ⊥x 轴时，PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 1作与x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=.（2）是定值，定值为：3-【解析】（1）由题意得224,b S bc PQ a====，可求得,a b ，得到椭圆的方程；（2）已知直线斜率不为零，设直线的方程为:2AB x my =-，代入22184x y +=得()222440my my +--=，设()()112212,,,,A x y B x y y y ，均不为零，得12242m y y m +=+，12242y y m -=+， 可得BN 的方程()211244y y y y x x --=++，令0y =，可得D 点的横坐标为定值.【详解】（1）由题意：12MF F ∆的最大面积224,b S bc PQ a====又222a b c =+，联立方程可解得2a b ==，所以椭圆的方程为22184x y +=；（2）D 的横坐标为定值3-，理由如下：已知直线斜率不为零，:2AB x my =-，代入22184x y +=得()222280my y -+-=，整理得()222440m y my +--=，设()()1122,,,A x y B x y ，12,y y 均不为零， 12242m y y m +=+①，12242y y m -=+②， 两式相除得1212y y m y y +=-③ ()14,N y BN -∴，的方程()211244y y y y x x --=++，令0y =， ()12212112212120212121212444244y my y y x y y x y my y y y x y y y y y y y y --------+-∴=-===----④，将③代入④1212120212124333y y y y y y x D y y y y ++--===-∴--点的横坐标为定值3-.【点睛】本题考查椭圆的标准方程求解，直线与椭圆的位置关系的综合定值问题，关键在于将所求的量转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，属于难度题. 22．已知函数()ln 1f x x x =-+. （1）求f (x )的最大值；（2）设函数()()()21g x f x a x =+-，若对任意实数()2,3b ∈，当(]0,x b ∈时，函数()g x 的最大值为()g b ，求a 的取值范围；（3）若数列{}n a 的各项均为正数，11a =，()()121n n n a f a a n N ++=++∈.求证：12n n a -≤.【答案】（1）0.（2）[)1ln 2,-+∞.（3）证明见解析【解析】（1）首先求函数的导数，并判断函数在定义域内的单调性，求得函数的最大值； （2）()()()()221ln 11g x f x a x x x a x =+-=-++-，先求函数的导数()()()()1210x ax g x x x--'=>，当0a ≤时，函数的最大值是()1g ，不满足条件，当0a >时，令()0g x '=有1211,2x x a==，比较极值点大小，讨论单调性，求a 的取值范围；（3）111,ln 2n n n a a a a +==++，由（1）知：()()ln 110f x x x f =-+≤=，即有不等式()ln 10x x x ≤->，由已知条件知0n a >，则()1ln 21221n n n n n n a a a a a a +=++≤-++=+，根据不等式的传递性得到证明.【详解】（1）()f x 的定义域为()()110,,1x f x x x-'+∞=-=， 当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减， 所以()()max 10f x f ==（2）由题意()()()()221ln 11g x f x a x x x a x =+-=-++-()()()()()()2221112111210ax a x x ax g x a x x x x x-++--'=-+-==>①当0a ≤时，函数()g x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，此时，不存在实数()2,3b ∈，使得当(]0,x b ∈时，函数()g x 的最大值为()g b . ②当0a >时，令()0g x '=有1211,2x x a==，(i )当12a =时，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，显然符合题意. (ii )当112a >，即102a <<时，函数()g x 再()0,1和1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()g x 在1x =处取得极大值，且()1=0g ，要使对任意实数()2,3b ∈，当(]0,x b ∈时，函数()g x 的最大值为()g b ，只需()20g ≥，解得1ln 2,a ≥-又102a <<所以此时实数a 的取值范围是11ln 22a -≤<. (iii )当112a <，即12a >时，函数()g x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和()1+∞，上单调递增，在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要对任意实数()2,3b ∈,当(]0,x b ∈时，函数()g x 的最大值为()g b ，需()122g g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入化简得1ln 2ln 2104a a ++-≥，① 令()11ln 2ln 2142h a a a a ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭， 因为()11104h a a a ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭恒成立， 故恒有()11ln 2022h a h ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，所以12a >时，①式恒成立， 综上，实数a 的取值范围是[)1ln 2,-+∞.（3）由题意，正项数列{}n a 满足：111,ln 2n n n a a a a +==++由（1）知：()()ln 110f x x x f =-+≤=，即有不等式()ln 10x x x ≤-> 由已知条件知()10,ln 21221n n n n n n n a a a a a a a +>=++≤-++=+ 故()1121n n a a ++≤+从而当2n ≥时，()()()2112112121212n n n n n a a a a ---+≤+≤+≤⋅⋅⋅≤+=所以有21nn a ≤-，对1n =也成立，所以有()21nn a n N *≤-∈【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，极值，最值的综合问题，以及利用导数的结论证明数列不等式，重点考查了转化与化归是思想，逻辑推理证明，属于难题，本题的难点是第三问，需结合第一问的结论证明.。
2020届山东省济南市高三6月针对性训练(仿真模拟)数学试题(解析版)
2020届山东省济南市高三6月针对性训练（仿真模拟）数学试题一、单选题1．已知集合{}12M x x =-<<，{N x y ==，则MN =（ ）A ．{}1x x >- B ．{}02x x ≤<C ．{}02x x <<D ．{}12x x ≤<【答案】D【解析】先求出集合N ，然后进行交集的运算即可. 【详解】由{{}|1N x y x x ===≥，{}12M x x =-<<所以[)1,2M N =故选：D 【点睛】考查描述法的定义，以及交集的运算，是基础题. 2．函数()34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,0 B ．0,1 C ．1,2D ．()2,3【答案】C【解析】直接利用零点存在定理计算得到答案. 【详解】3()4f x x x =+-，易知函数单调递增，(0)40f =-<，(1)20f =-<，(2)20f =>,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选：C. 【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3．已知命题p ，x ∀∈R ，12xx e e+≥，则p ⌝为（ ） A ．x ∃∈R ，12xx e e +≥ B ．x ∃∈R ，12xx e e +< C ．x ∃∈R ，12xx e +≤D ．x ∀∈R ，12xx e +≤【解析】全称命题:x A ∀∈，()P x 的否定，是特称命题:x A ∃∈，()P x ⌝，结合已知中原命题x ∀∈R ，12xx e e+≥，可得到答案． 【详解】原命题x R ∀∈，12xx e e +≥ ，∴ 命题x ∀∈R ，12xxe e +≥的否定是:x ∃∈R ，12x x e e+<． 故选:B ． 【点睛】本题考查了命题的否定. x A ∀∈，()P x 的否定为x A ∃∈，()P x ⌝ ；x A ∃∈，()P x 的否定是x A ∀∈，()P x ⌝.求否定的易错点是和否命题进行混淆，属于基础题.4．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若122O O =则圆柱12O O 的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．π【答案】C【解析】根据相切情况，先求得圆柱底面半径，再用圆柱表面积公式，即可求得结果. 【详解】因为该球与圆柱的上下底面，母线均相切，不妨设圆柱底面半径为r ， 故1222r O O ==，解得1r =.故该圆柱的表面积为21222246r r O O πππππ+⨯=+=.故选：C. 【点睛】本题考查球体与圆柱体相切时的几何性质，涉及圆柱表面积的求解，属综合基础题.一期增长量相加后，除以期数，即()121nii i a a n -=--∑.国内生产总值（GDP ）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015－2019年GDP 数据：根据表中数据，2015－2019年我国GDP 的平均增长量为（ ） A ．5.03万亿 B ．6.04万亿C ．7.55万亿D ．10.07万亿【答案】C【解析】依次将2015-2019年数据代入所给公式即可求解. 【详解】由题意得，2015－2019年我国GDP 的平均增长量为：(74.6468.98)(83.2074.64)(91.9383.20)(99.0991.93)51-+-+-+--=(99.0968.98)4-=7.55万亿.故选C . 【点睛】本题考查“平均增长量”的计算，考查学生分析，计算的能力，属基础题.6．已知双曲线C 的方程为221169x y -=，则下列说法错误的是（ ） A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94【答案】D【解析】由双曲线方程221169x y -=求出,,a b c ，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离.解：由双曲线C 的方程为221169x y -=得：2216,9,a b ==4,3,5a b c ∴====.∴双曲线C 的实轴长为28a =,故选项A 正确.双曲线C 的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项B 正确.取焦点()5,0F ，则焦点()5,0F 到渐近线34yx 的距离3d ==，故选项C 正确.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用，属于基础题. 7．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（ ） A ．14B ．516C ．38D ．12【答案】B【解析】将问题转化为一个数为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果. 【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题. 则每次都有加1或者减1两种选择，共有6264=种可能； 要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，故满足题意的可能有：3620C =种可能.故满足题意的概率2056416P ==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.8．在ABC 中，cos cos A B +=AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为（ ）A ．3B ．2C ．13D ．2【答案】A先令sin sin =+t A B ，由cos cos 3A B +=，平方化简可得当A B =时，t 有最大值，再由此求出ABC 所有边角，再设内切圆半径为r ，根据等面积法，求出r . 【详解】令sin sin =+t A B ，0t >，cos cos 3A B +=，平方相加得232cos cos sin sin t A B A B +=++，得2cos()1t A B =--， 显然，当A B =时，t 有最大值，则3cos 2A =，又(0,)A π∈，得6AB π==，则23C π=，设D 为AB 的中点，如图所示：则1CD =，2AC BC ==，设内切圆的半径为r ，则11231(2223)22ABCSr =⨯=++，解得r =233. 故选：A 【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系式，解三角形，内切圆的特点，考查了学分分析观察能力，属于中档题.二、多选题9．已知复数ππ1cos 2sin 222z i θθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z的实部为12【解析】由ππ22θ-<<，得π2πθ-<<，得01+cos22θ<≤，可判断A 选项；当虚部sin 20,022ππθθ⎛⎫==∈-⎪⎝⎭，时，可判断B 选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项；由复数的除法运算得11cos 2sin 222cos 2i z θθθ+-=+1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项；【详解】 因为ππ22θ-<<，所以π2πθ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01+cos22θ<≤，所以A 选项错误； 当sin 20,022ππθθ⎛⎫==∈-⎪⎝⎭，时，复数z 是实数，故B 选项正确； ()()221+cos 2sin 22+2cos 22cos z θθθθ=+==，故C 选项正确；()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 222cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 选项正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题.10．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为（ ）A ．16B ．12C ．1D ．32【答案】AD【解析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边CD ；第二种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边BC ；然后利用三角形全等即可求解. 【详解】第一种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边CD ，反射情况如下：此时，根据反射的性质，FAG FEA α∠=∠=，FAD BCE ∆≅∆，所以，AF EF CE ==,G 为AE 中点，取1AD =，则22AB AD ==，设AG x =，则GE x EB ==，所以，可得，23AG =，1GF AD ==，3tan 2AD AG α∴== 第二种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边BC ，反射情况如下：此时，根据反射的性质，EAB DCF α∠=∠=，EFA EAF ∠=，FCD BAE ∆≅∆，所以，AE EF CF ==,G 为AF 中点，取1AD =，则22AB AD ==，设AG x =，则GF x FD ==，所以，可得，13AG =GF BE ==，1tan 6BE AB α∴==， 故答案选：AD 【点睛】本题考查分类讨论的数学思想，难点在于作图，属于难题.11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意点P ，//DP 平面11AB D B ．三棱锥11P A DD -的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为62D ．存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3【答案】ABC【解析】对四个选项逐一分析，对于A ：平面1//C DB 平面11AB D ，可得//DP 平面11AB D ； 对于B ：三棱锥11P A DD -的高均为1，底面11A DD 的面积为12，根据锥体体积公式计算即可作出判断；对于C ：当点P 为1BC 的中点时，DP 最小，此时1DP BC ，在Rt BPD △中利用勾股定理进行计算可得出DP 的最小值；对于D ：设点P 在平面11ADD A 上的投影为点Q ，PDQ ∠为DP 与平面11ADD A 所成的角，sin PQ PDQ PD ∠=，1PQ =，而2PD ≤≤DP 与平面11ADD A 所成角的正弦值的取值范围是⎣⎦，而sin 3π=>，从而作出判断. 【详解】，对于A ：分别连接1C D 、BD 、11B D 、1AB 、1AD ，易得平面1//C DB 平面11AB D ，DP ⊂平面1C DB ，故对任意点P ，//DP 平面11AB D ，故正确；对于B ：分别连接PA 、1PD ，无论点P 在哪个位置，三棱锥11P A DD -的高均为1，底面11A DD 的面积为12，所以三棱锥11P A DD -的体积为1111326⨯⨯=，故正确； 对于C ：线段DP 在1C BD 中，当点P 为1BC 的中点时，DP 最小，此时1DP BC ，在Rt BPD △中，DP ==故DP 对于D ：点P 在平面11ADD A 上的投影在线段1AD 上，设点P 的投影为点Q ，则PDQ ∠为DP 与平面11ADD A 所成的角，sin PQPDQ PD∠=，1PQ =，PD ≤≤DP 与平面11ADD A 所成角的正弦值的取值范围是,23⎣⎦，而sin 3π=>， 所以不存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3，故错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查线面平行，考查棱锥体积，考查线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<【答案】BCD【解析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题13．已知向量()1,1a =-，()1,b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为__________. 【答案】-3【解析】根据向量的坐标运算，求得a b +的坐标，再根据数量积为零，即可求得结果. 【详解】因为向量()1,1a =-，()1,b k =-， 故可得()2,1a b k +=-+，又因为()a b a +⊥，即()0a b a +⋅=， 则210k ++=，解得3k =-. 故答案为：3- 【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及向量垂直的坐标运算，属基础题. 14．若()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，则4a 的值为__________. 【答案】5【解析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得4a 的值. 【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r rr T C x +=+，故()44551T C x =+，所以4455a C ==.故答案为：5 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.【解析】由已知条件先判断出AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，然后求出,A B 两点坐标，再表示出P 点坐标，根据20BP AF ⋅=，利用向量数量积坐标形式得到关于,,a b c 的方程，结合ce a=及222a b c =+即可求出e . 【详解】解：由于2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为P 是2AF 的中点，则20,2b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又()2,0F c ，则2223,,2,2b b BP c AF c a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为20BP AF ⋅=，则4223202b c a -=，即22c a=.又222b a c =-，则)222ac a c=-220e +=，解得：3e =或e =（舍去）.【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.四、双空题16．已知函数()2ln f x x =，()()2102g x ax x a =-->，若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的值为__________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =图象均相切，则a 的取值范围是__________.【答案】32 32a ≥ 【解析】先求()f x 导数，根据导数几何意义确定切点坐标，代入2y xb =-得b ，与()()2102g x ax x a =-->联立，利用判别式为零解得a 的值. 先求()f x 导数，设切点坐标，根据导数几何意义确定切线斜率，利用点斜式得切线方程，再与()()2102g x ax x a =-->联立，利用判别式为零得方程，利用分离法转化为求对应函数值域，结合导数求函数值域即得a 的取值范围. 【详解】()()22ln f x x f x x'=∴=,设切点为00(,2ln )x x ，则00221x x =∴=∴切点为(1,0)022b b ∴=-∴=，直线2y x b =-代入()()2102g x ax x a =-->得22122ax x x =---，23333+0940222ax x a a -=∴∆=-⨯=∴=由上面可知切线方程为：00022ln ()y x x x x -=-，代入()()2102g x ax x a =-->得02022122ln x x ax x x =---+，20023(1)+(2ln )02ax x x x -+-= 220002000(2)23(1)4(2ln )0,(0)22(34ln )x a x a x x x x +∴∆=+-⨯-=∴=>-令200200(2),(0)2(34ln )x y x x x +=>-，则000032002(2)(4ln 1)01(34ln )x x x y y x x x ++-''=∴=⇒=-， 当01x >时0,y '>y 单调递增，当001x <<时0,y '<y 单调递减，因此22(12)321(34ln1)2y +≥=⨯-所以32a ≥ 故答案为：32，32a ≥【点睛】本题考查导数几何意义、两函数公切线、利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.五、解答题17．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点.（1）求证：BM DF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）60° 【解析】（1）根据平面ADF //平面BCE ，得到DF //CE ，再结合垂径定理即可证明； （2）连接DN ，先证明四边形ENDF 为平行四边形，再求BND ∠即可. 【详解】（1）证明：连接CE ，与BM 交于点N ，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD 与EF 相交， 故C ，D ，F ，E 四点共面，因为平面//ADF 平面BCE ， 所以//CE DF ，因为M 为CE 的中点，所以CBM EBM ∠=∠，所以N 为CE 中点，又BC BE =， 所以BN CE ⊥，即BM CE ⊥，所以BM DF ⊥. （2）连接DB ，DN ，由（1）知，//DF EN 且DF EN =，所以四边形ENDF 为平行四边形，所以//EF DN ， 所以BND ∠为异面直线BM 与EF 所成的角， 因为2BD DN BN ===BND 为等边三角形，所以60BND ∠=︒，所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60°. 【点睛】本题考查线线垂直以及异面直线夹角的求解，涉及由面面平行推证线线平行，；本题亦可用向量法处理，属综合基础题.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设++,21,2,2,n n n a a n k k N b n k k N =-∈⎧=⎨=∈⎩求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）n a n =（2）124433n n ++-【解析】（1）利用n a 与n S 之间的关系，即可求得，注意判断1n =时的情况是否与结果吻合；（2）利用分组求和，结合（1）中所求{}n a ，即可求得结果. 【详解】 （1）因为21122n S n n =+，所以当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()2211111112222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 又1n =时符合上式，所以n a n =. （2）因为++,21,2,2,nn n a a n k k N b n k k N =-∈⎧=⎨=∈⎩所以对任意的k +∈N ， ()()212121212k k b b k k +--=+--=，则{}21k b +是以1为首项，2为公差的等差数列；2222222=42k k k k b b ++=，则{}2k b 是以4为首项，4为公比的等比数列. 所以()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()()246213212222n n =+++-+++++()()124141214421433nn n n n+-+-=+=+--.【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求数列的通项公式，以及用分组求和法求数列的前n 项和，涉及等差和等比数列的求和公式，属综合基础题. 19．已知函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x的图象可由π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和.【答案】（1）满足的条件为①③；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）2π3 【解析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得ω的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式； （2）将()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入方程()10f x +=，求得π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而确定出()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ，结合题中所给的范围，得到结果. 【详解】（1）函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一， 由③可知，πT =，所以2ω=，故②不合题意， 所以函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 由①可知2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）因为()10f x +=，所以π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ， 所以()ππ6x k k =-+∈Z 或()ππ2x k k =+∈Z ，又因为[]π,πx ∈-，所以x 的取值为π6-，5π6，π2-，π2，所以方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有的解的和为2π3. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解析式，届三角方程，属于简单题目.20．法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g .这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布.（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ζ，求ζ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g .庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：g ）尽管上述数据都落在()950,1050上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由 附： ①若()2,XN μσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知：随机变量2,25Y N σμ⎛⎫⎪⎝⎭②若()2,N ημσ，则()0.6826P μσημσ-<<+=，()220.9544P μσημσ-<<+=，()330.9974P μσημσ-<<+=；③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件. 【答案】（1）分布列见解析；期望为1（个）（2）详见解析【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.可求得()020211022P C ξ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()1211122P C ξ==⨯⨯；()202211222P C ξ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.从而可求得ξ的分布列和其数学期望.（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X .假设面包师没有撒谎，则()21000,50XN .由附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则()21000,10YN .可求得这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=，而由由附②数据知，()10.95449800.02280.052P Y -<==<，由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，可得结论. 【详解】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.()0221110224P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()121111222P C ξ==⨯⨯=；()20221112224P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列为：所以1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=（个）. （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X . 假设面包师没有撒谎，则()21000,50XN .根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则()21000,10YN .庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据，这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=， 由附②数据知，()10.95449800.02280.052P Y -<==<， 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件， 所以“假设面包师没有撒谎”有误， 所以庞加莱认为面包师撒谎. 【点睛】本题考查概率统计知识的应用，关键在于理解概率统计中的量的含义，与实际生活中的数据建立联系，属于中档题.21．已知函数()()ln f x a x b =+. （1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数.【答案】（1）()max 2ln 22f x =-（2）a ≤时，()f x 极值点的个数为0个；a >时，()f x 极值点的个数为2个【解析】（1）利用导数求出单调性，从而求得()f x 的最大值；（2）先求导数，()f x '=()2h x x b=-+确定，先分0a ≤和0a >讨论，0a ≤时，易得()0h x <，当0a >时，将()h x 看成关∆确定()h x 的符号，从而判断极值点的个数. 【详解】（1）当1a =，0b =时，()ln f x x =此时，函数()f x 定义域为()0,∞+，()122f x x x'==， 由()0f x '>得：04x <<；由()0f x '<得：4x >， 所以()f x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减. 所以()()max 42ln 22f x f ==-.（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[)0,+∞，()a f x xb '==+ ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的()0,x ∈+∞恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ii ）当2440a b ->，即a >()0h x =的两根分别为1x ，2x ，0a =>0b =>，所以1x ，2x 都大于0，即()f x '在()0,∞+上有2个左右异号的零点，所以此时()f x 极值点的个数为2.综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.22．已知平面上一动点A 的坐标为()22,2t t -.（1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t. （i ）证明直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）分别以A ，B 为圆心作与直线2x =-相切的圆，两圆公共弦的中点为H ，在平面内是否存在定点P ，使得PH 为定值？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22y x =（2）（i ）证明见解析；定点()2,0（ii ）存在；点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，根据A 的坐标为()22,2t t -，坐标对应相等，消去参数t 即可.（2）（i ）根据点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t ，得到点B 的坐标为222,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再分1t =±和1t ≠±两种情况与点A 用点斜式方程求解.（ii ）根据圆A ，B 与直线2x =-相切，分别表示圆A ，圆B 的方程，然后两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，将A ，B 坐标代入并整理，根据H 是该直线与（i ）中直线AB 的交点，两个方程相乘即可.【详解】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，因为A 的坐标为()22,2t t -， 所以222x t y t⎧=⎨=-⎩，消去参数t 得：22y x =；（2）（i ）因为点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t， 所以点B 的坐标为222,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当1t =±时，直线AB 的方程为2x =；当1t ≠±时，直线AB 的斜率为21B A AB B A y y t k x x t -==--， 所以直线AB 的方程为()22221t y t x t t +=--， 整理得()221t y x t =--，所以直线AB 过定点()2,0； （ii ）因为A 的坐标为()22,2t t -，且圆A 与直线2x =-相切，所以圆A 的方程为()()()2222A A A x x y y x -+-=+，同理圆B 的方程为()()()2222B B B x x y y x -+-=+，两圆方程相减得()()222244B A B A A B A B x x x y y y y y x x -+-+-=-， 将()22,2A t t -，222,B t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭带入并整理得()11y t x t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭①，由（i ）可知直线AB 的方程为()221t y x t =--②，因为H 是两条直线的交点，所以两个方程相乘得()()221y x x =--+， 整理得221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即点H 的轨迹是以1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心， 32为半径的圆，所以存在点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足32HP =. 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程，直线过定点以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题 Word版含解析
数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12M x x =-<<，{N x y ==，则MN =（ ）A. {}1x x >-B. {}02x x ≤<C. {}02x x <<D.{}12x x ≤<【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{{}|1N x y x x ===≥，{}12M x x =-<<所以[)1,2M N =故选：D【点睛】考查描述法的定义，以及交集的运算，是基础题. 2.函数()34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A.1,0 B. 0,1 C. 1,2D. ()2,3【答案】C 【解析】 【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.【详解】3()4f x x x =+-，易知函数单调递增，(0)40f =-<，(1)20f =-<，(2)20f =>,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3.已知命题p ，x ∀∈R ，12xx e e+≥，则p ⌝为（ ） A. x ∃∈R ，12xx e e +≥ B. x ∃∈R ，12xx e e +< C. x ∃∈R ，12xx e e+≤D. x ∀∈R ，12xx e e+≤【答案】B 【解析】 【分析】全称命题:x A ∀∈，()P x 的否定，是特称命题:x A ∃∈，()P x ⌝，结合已知中原命题x ∀∈R ，12x xe e +≥，可得到答案． 【详解】 原命题x R ∀∈，12xx e e +≥ ，∴ 命题x ∀∈R ，12xxe e+≥的否定是:x ∃∈R ，12x xe e +<． 故选:B ．【点睛】本题考查了命题的否定. x A ∀∈，()P x 的否定为x A ∃∈，()P x ⌝；x A ∃∈，()P x 的否定是x A ∀∈，()P x ⌝.求否定的易错点是和否命题进行混淆，属于基础题.4.如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若12=2O O ，则圆柱12O O 的表面积为（ ）A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π【解析】 【分析】根据图形可以得出22h r ==，代入圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，可得22h r ==，解得1r =，所以圆柱12O O 的表面积为222266S r r h r ππππ=⨯+⨯==. 故选：C.【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积的求法，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，意在考查空间想象能力，以及运算与求解能力.5.“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即()121nii i a a n -=--∑.国内生产总值（GDP ）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015－2019年GDP 数据： 年份20152016201720182019国内生产总值/万亿 68.89 74.64 83.20 91.93 99.09根据表中数据，2015－2019年我国GDP 的平均增长量为（ ） A. 5.03万亿 B. 6.04万亿C. 7.55万亿D. 10.07万亿 【答案】C【分析】依次将2015-2019年数据代入所给公式即可求解.【详解】由题意得，2015－2019年我国GDP 的平均增长量为：(74.6468.98)(83.2074.64)(91.9383.20)(99.0991.93)51-+-+-+--=(99.0968.98)4-=7.55万亿. 故选C .【点睛】本题考查“平均增长量”的计算，考查学生分析，计算的能力，属基础题.6.已知双曲线C 的方程为221169x y -=，则下列说法错误的是（ ）A. 双曲线C 的实轴长为8B. 双曲线C 的渐近线方程为34yx C. 双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D. 双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程221169x y -=求出,,a b c ，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离. 【详解】解：由双曲线C的方程为221169x y -=得：2216,9,a b ==4,3,5a b c ∴====.∴双曲线C 的实轴长为28a =,故选项A正确.双曲线C 的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项B 正确.取焦点()5,0F ，则焦点()5,0F 到渐近线34yx 的距离3d ==，故选项C 正确.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 错误. 故选：D .【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用，属于基础题. 7.已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（ ） A.14B.516C. 38D.12【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为一个数为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加1或者减1，经过6次后，结果还是零的问题.则每次都有加1或者减1两种选择，共有6264=种可能； 要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，故满足题意的可能有：3620C =种可能.故满足题意的概率2056416P ==. 故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.8.在ABC 中，cos cos A B +=AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为（ ）A. 3B. 2C.13D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先令sin sin =+t A B ，由cos cos A B +=，平方化简可得当A B =时，t 有最大值，再由此求出ABC 所有边角，再设内切圆半径为r ，根据等面积法，求出r .【详解】令sin sin =+t A B ，0t >，cos cos A B +=，平方相加得232cos cos sin sin t A B A B +=++，得2cos()1t A B =--，显然，当A B =时，t 有最大值，则cos A =(0,)A π∈，得6A B π==，则23C π=，设D 为AB 的中点，如图所示：则1CD =，2AC BC ==，设内切圆的半径为r ，则11231(2223)22ABCSr =⨯=++，解得r =233. 故选：A【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系式，解三角形，内切圆的特点，考查了学分分析观察能力，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知复数ππ1cos 2sin 222z i θθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A. 复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B. z 可能为实数C. 2cos z θ=D.1z的实部为12【答案】BCD 【解析】 【分析】 由ππ22θ-<<，得π2πθ-<<，得01+cos22θ<≤，可判断A 选项；当虚部sin 20,022ππθθ⎛⎫==∈- ⎪⎝⎭，时，可判断B 选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项；由复数的除法运算得11cos 2sin 222cos 2i z θθθ+-=+1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项； 【详解】因为ππ22θ-<<，所以π2πθ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01+cos22θ<≤，所以A 选项错误；当sin 20,022ππθθ⎛⎫==∈-⎪⎝⎭，时，复数z 是实数，故B 选项正确； ()()221+cos 2sin 22+2cos 22cos z θθθθ=+==，故C 选项正确；()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 222cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 选项正确； 故选：BCD.【点睛】本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题.10.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为（ ）A.16B.12C. 1D.32【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边CD ；第二种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边BC ；然后利用三角形全等即可求解.【详解】第一种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边CD ，反射情况如下：此时，根据反射的性质，FAG FEA α∠=∠=，FAD BCE ∆≅∆，所以，AF EF CE ==,G 为AE 中点，取1AD =，则22AB AD ==，设AG x =，则GE x EB ==，所以，可得，23AG =，1GF AD ==，3tan 2AD AG α∴== 第二种情况：现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球先接触边BC ，反射情况如下：此时，根据反射的性质，EAB DCF α∠=∠=，EFA EAF ∠=，FCD BAE ∆≅∆，所以，AE EF CF ==,G 为AF 中点，取1AD =，则22AB AD ==，设AG x =，则GF x FD ==，所以，可得，13AG =GF BE ==，1tan 6BE AB α∴==， 故答案选：AD【点睛】本题考查分类讨论的数学思想，难点在于作图，属于难题.11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是（ ）A. 对任意点P ，//DP 平面11AB DB. 三棱锥11P A DD -的体积为16C. 线段DP 长度的最小值为62D. 存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3【答案】ABC 【解析】 【分析】对四个选项逐一分析，对于A ：平面1//C DB 平面11AB D ，可得//DP 平面11AB D ； 对于B ：三棱锥11P A DD -的高均为1，底面11A DD 的面积为12，根据锥体体积公式计算即可作出判断；对于C ：当点P 为1BC 的中点时，DP 最小，此时1DP BC ，在Rt BPD △中利用勾股定理进行计算可得出DP 的最小值；对于D ：设点P 在平面11ADD A 上的投影为点Q ，PDQ ∠为DP 与平面11ADD A 所成的角，sin PQ PDQ PD ∠=，1PQ =PD ≤≤DP 与平面11ADD A 所成角的正弦值的取值范围是23⎣⎦，而sin 323π=>，从而作出判断.，对于A ：分别连接1C D 、BD 、11B D 、1AB 、1AD ，易得平面1//C DB 平面11AB D ，DP ⊂平面1C DB ，故对任意点P ，//DP 平面11AB D ，故正确；对于B ：分别连接PA 、1PD ，无论点P 在哪个位置，三棱锥11P A DD -的高均为1，底面11A DD 的面积为12，所以三棱锥11P A DD -的体积为1111326⨯⨯=，故正确； 对于C ：线段DP 在1C BD 中，当点P 为1BC 的中点时，DP 最小，此时1DPBC ，在Rt BPD △中，DP ==故DP 的最小值为2对于D ：点P 在平面11ADD A 上的投影在线段1AD 上，设点P 的投影为点Q ，则PDQ ∠为DP 与平面11ADD A 所成的角，sin PQPDQ PD∠=，1PQ =，而2PD ≤≤所以DP 与平面11ADD A 所成角的正弦值的取值范围是,23⎣⎦，而sin323π=>， 所以不存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3，故错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查线面平行，考查棱锥体积，考查线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.12.设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ） A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C. 已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D. 已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<【答案】BCD 【解析】 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为___________. 【答案】1- 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(0,1)a b k +=+，再结合向量的数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量(1,1)a =，(1,)b k =-，则(0,1)a b k +=+， 因为()a b a +⊥，所以()01(1)110a b a k k +⋅=⨯++⨯=+=，解得1k =-. 故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及平面向量的数量积的坐标运算，其中解答熟记平面向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14.若()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，则4a 的值为__________.【答案】5 【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得4a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()44551T C x =+，所以4455a C ==.故答案为：5【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.【解析】 【分析】由已知条件先判断出AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，然后求出,A B 两点坐标，再表示出P 点坐标，根据20BP AF ⋅=，利用向量数量积坐标形式得到关于,,a b c 的方程，结合c e a=及222a b c =+即可求出e .【详解】解：由于2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为P 是2AF 的中点，则20,2b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又()2,0F c ，则2223,,2,2b b BP c AF c a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为20BP AF ⋅=，则4223202b c a -=，即22c a =.又222b a c =-，则)222ac a c=-220e +=，解得：e =e =（舍去）.故答案为：3. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.16.已知函数()2ln f x x =，()()2102g x ax x a =-->，若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的值为__________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =图象均相切，则a 的取值范围是__________.【答案】 (1). 32 (2). 32a ≥ 【解析】 【分析】先求()f x 导数，根据导数几何意义确定切点坐标，代入2y x b =-得b ，与()()2102g x ax x a =-->联立，利用判别式为零解得a 的值. 先求()f x 导数，设切点坐标，根据导数几何意义确定切线斜率，利用点斜式得切线方程，再与()()2102g x ax x a =-->联立，利用判别式为零得方程，利用分离法转化为求对应函数值域，结合导数求函数值域即得a 的取值范围. 【详解】()()22ln f x x f x x '=∴=,设切点为00(,2ln )x x ，则00221x x =∴=∴切点为(1,0)022b b ∴=-∴=，直线2y x b =-代入()()2102g x ax x a =-->得22122ax x x =---，23333+0940222ax x a a -=∴∆=-⨯=∴=由上面可知切线方程为：00022ln ()y x x x x -=-，代入()()2102g x ax x a =-->得02022122ln x x ax x x =---+，20023(1)+(2ln )02ax x x x -+-= 220002000(2)23(1)4(2ln )0,(0)22(34ln )x a x a x x x x +∴∆=+-⨯-=∴=>-令200200(2),(0)2(34ln )x y x x x +=>-，则000032002(2)(4ln 1)01(34ln )x x x y y x x x ++-''=∴=⇒=-， 当01x >时0,y '>y 单调递增，当001x <<时0,y '<y 单调递减，因此22(12)321(34ln1)2y +≥=⨯-所以32a ≥故答案为：32，32a ≥【点睛】本题考查导数几何意义、两函数公切线、利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点.（1）求证：BM DF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）60° 【解析】 【分析】（1）根据平面ADF //平面BCE ，得到DF //CE ，再结合垂径定理即可证明； （2）连接DN ，先证明四边形ENDF 为平行四边形，再求BND ∠即可.【详解】（1）证明：连接CE ，与BM 交于点N ，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD 与EF 相交， 故C ，D ，F ，E 四点共面，因为平面//ADF 平面BCE ，所以//CE DF ，因为M 为CE 的中点， 所以CBM EBM ∠=∠，所以N 为CE 中点，又BC BE =， 所以BN CE ⊥，即BM CE ⊥，所以BM DF ⊥.（2）连接DB ，DN ，由（1）知，//DF EN 且DF EN =， 所以四边形ENDF 为平行四边形，所以//EF DN ， 所以BND ∠为异面直线BM 与EF 所成的角，因为2BD DN BN ===BND 为等边三角形，所以60BND ∠=︒，所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60°. 【点睛】本题考查线线垂直以及异面直线夹角的求解，涉及由面面平行推证线线平行，；本题亦可用向量法处理，属综合基础题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设++,21,2,2,nn n a a n k k N b n k k N =-∈⎧=⎨=∈⎩求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 【答案】（1）n a n =（2）124433n n ++-【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 之间的关系，即可求得，注意判断1n =时的情况是否与结果吻合； （2）利用分组求和，结合（1）中所求{}n a ，即可求得结果. 【详解】（1）因为21122n S n n =+，所以当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()2211111112222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 又1n =时符合上式，所以n a n =. （2）因为++,21,2,2,nn n a a n k k N b n k k N =-∈⎧=⎨=∈⎩所以对任意的k +∈N ， ()()212121212k k b b k k +--=+--=，则{}21k b +是以1为首项，2为公差的等差数列；2222222=42k k k k b b ++=，则{}2k b 是以4为首项，4为公比的等比数列. 所以()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()()246213212222n n =+++-+++++()()124141214421433n n n n n +-+-=+=+--. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求数列的通项公式，以及用分组求和法求数列的前n 项和，涉及等差和等比数列的求和公式，属综合基础题.19.已知函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 的图象可由π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和. 【答案】（1）满足的条件为①③；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）2π3【解析】 【分析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得ω的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式； （2）将()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入方程()10f x +=，求得π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而确定出()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ，结合题中所给的范围，得到结果.【详解】（1）函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一， 由③可知，πT =，所以2ω=，故②不合题意， 所以函数()πsin 6f x A x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③；由①可知2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）因为()10f x +=，所以π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()ππ22π66x k k +=-+∈Z 或()π7π22π66x k k +=+∈Z ， 所以()ππ6x k k =-+∈Z 或()ππ2x k k =+∈Z ，又因为[]π,πx ∈-，所以x 的取值为π6-，5π6，π2-，π2，所以方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有的解的和为2π3. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解析式，届三角方程，属于简单题目.20.法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g .这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布.（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ζ，求ζ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g .庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：g ）尽管上述数据都落在()950,1050上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由 附：①若()2,XN μσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知：随机变量2,25Y N σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭②若()2,N ημσ，则()0.6826P μσημσ-<<+=，()220.9544P μσημσ-<<+=，()330.9974P μσημσ-<<+=；③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.【答案】（1）分布列见解析；期望为1（个）（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.可求得()020211022P C ξ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()1211122P C ξ==⨯⨯；()202211222P C ξ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.从而可求得ξ的分布列和其数学期望. （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X .假设面包师没有撒谎，则()21000,50XN .由附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则()21000,10YN .可求得这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=，而由由附②数据知，()10.95449800.02280.052P Y -<==<，由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，可得结论.【详解】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.()02021110224P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()121111222P C ξ==⨯⨯=； ()20221112224P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列为：所以1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=（个）. （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X . 假设面包师没有撒谎，则()21000,50X N .根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则()21000,10Y N .庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据，这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=， 由附②数据知，()10.95449800.02280.052P Y -<==<， 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎.【点睛】本题考查概率统计知识的应用，关键在于理解概率统计中的量的含义，与实际生活中的数据建立联系，属于中档题.21.已知函数()()ln f x a x b =+.（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值；（2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数.【答案】（1）()max 2ln 22f x =-（2）a ≤时，()f x 极值点个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个【解析】【分析】（1）利用导数求出单调性，从而求得()f x 的最大值；（2）先求导数，()f x '=，导数的符号由分子()2h x x b =-+确定，先分0a ≤和0a >讨论，0a ≤时，易得()0h x <，当0a >时，将()h x 次函数，由∆确定()h x 的符号，从而判断极值点的个数.【详解】（1）当1a =，0b =时，()ln f x x =此时，函数()f x 定义域为()0,∞+，()122f x x x'==， 由()0f x '>得：04x <<；由()0f x '<得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.所以()()max 42ln 22f x f ==-.（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[)0,+∞，()a f x xb '==+ ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的()0,x ∈+∞恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ii ）当2440a b ->，即a >()0h x =的两根分别为1x ，2x ，0a =>0b =>，所以1x ，2x 都大于0，即()f x '在()0,∞+上有2个左右异号的零点，所以此时()f x 极值点的个数为2.综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.22.已知平面上一动点A 的坐标为()22,2t t -.（1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t. （i ）证明直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）分别以A ，B 为圆心作与直线2x =-相切的圆，两圆公共弦的中点为H ，在平面内是否存在定点P ，使得PH 为定值？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22y x =（2）（i ）证明见解析；定点()2,0（ii ）存在；点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，根据A 的坐标为()22,2t t -，坐标对应相等，消去参数t 即可.（2）（i ）根据点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t ，得到点B 的坐标为222,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再分1t =±和1t ≠±两种情况与点A 用点斜式方程求解.（ii ）根据圆A ，B 与直线2x =-相切，分别表示圆A ，圆B 的方程，然后两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，将A ，B 坐标代入并整理，根据H 是该直线与（i ）中直线AB 的交点，两个方程相乘即可.【详解】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，因为A 的坐标为()22,2t t -， 所以222x t y t⎧=⎨=-⎩，消去参数t 得：22y x =；（2）（i ）因为点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t，所以点B 的坐标为222,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当1t =±时，直线AB 的方程为2x =；当1t ≠±时，直线AB 的斜率为21B A AB B A y y t k x x t -==--， 所以直线AB 的方程为()22221t y t x t t +=--， 整理得()221t y x t=--，所以直线AB 过定点()2,0； （ii ）因为A 的坐标为()22,2t t -，且圆A 与直线2x =-相切，所以圆A 的方程为()()()2222A A A x x y y x -+-=+，同理圆B 的方程为()()()2222B B B x x y y x -+-=+，两圆方程相减得()()222244B A B A A B A B x x x y y y y y x x -+-+-=-， 将()22,2A t t -，222,B t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭带入并整理得()11y t x t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭①，由（i ）可知直线AB 的方程为()221t y x t =--②，因为H 是两条直线的交点， 所以两个方程相乘得()()221y x x =--+， 整理得221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即点H 的轨迹是以1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心， 32为半径的圆，所以存在点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足32HP =. 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程，直线过定点以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。