人教版高中数学选修2-1第三章单元测试(二)- Word版含答案

2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA =uu v a ，OB =uu u vb ，OC =uuu vc ，用a ，b ，c 表示MN uuu v ，则MN uuu v等于（ ）A ．()12+-b c a B ．()12+-a b c C ．()12-+a b cD ．()12--c a b 2．已知()cos ,1,sin αα=a 、()sin ,1,cos αα=b ，且∥a b ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（ ） A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,C λ，若AB ⊥u u u v AC uuuv ，则λ等于（ ） A ．28 B ．28- C ．14 D ．14-4．若向量{},,a b c 是空间的一个基底，则一定可以与向量2=+p a b ，2=-q a b 构成空间的另一个基底的向量是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．+a b5．在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C、(D ，若1S 、2S 、3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S =≠ B ．231S S S =≠ C ．132S S S =≠D ．123S S S ==6．已知a 、b 是两异面直线，A 、B a ∈，C 、D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥且2AB =，1CD =，则直线a 、b 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA xAB y AD =++uu u v uuu v uu u v uuu v，则（ ）A ．12x =-，12y =B ．12x =，12y =- C ．12x =-，12y =-D ．12x =，12y = 8．已知()1,1,2A -、()1,0,1B -，设D 在直线AB 上，且2AD DB =u u u v u u u v， 设C 1,,13λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则λ的值为（ ）A ．116B ．116-C ．12D ．13此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =，E 、F 分别是面1111A B C D 、面11BCC B 的中心，则E 、F 两点间的距离为（ ）A ．1BCD ．3210．如图，在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2BC =，13AA =，则点B 到直线1A C的距离为（ ）A．27B C D ．111．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11ADAA ==，2AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．1612．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是正方形11ADD A 和ABCD的中心，G 是1CC 的中点，设GF、1C E 与AB 所成的角分别为α，β，则αβ+等于（ ）A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知()1,2,0A 、()0,1,1B -，P 是x 轴上的动点，当AP BP ⋅uu u v uu v取最小值时，点P的坐标为_____________．14．已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面1111A B C D 边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为___________．15．三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为________________．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA =uu v a ，PB =uu v b ，PC =uu u vc ，试用基底{},,a b c 表示向量PG uu u v ．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且12AB BC BB ===． （1）求证：1AB ∥平面1BC D ； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角．19．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且1BC CD ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）求二面角C －AB －D 的大小；（3）若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度．20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知AB ＝2，15AA =，E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ==．（1）求证：BE ⊥平面ACF ； （2）求点E 到平面ACF 的距离．21．（12分）如图所示，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PD＝DC，E 是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求二面角B－DE－C的余弦值．22．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D-中，侧棱1A A⊥底面ABCD，AB⊥AC，1AB=，12AC AA==，AD CD==M和N分别为1B C和1D D的中点．（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求二面角11D AC B--的正弦值；（3）设E为棱11A B上的点．若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1A E的长．2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）答 案一、选择题 1．【答案】D【解析】()()111111222222MN ON OM OC OA OB =-=-+=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v c a b c a b ，故选D ． 2．【答案】A【解析】∵22=a ，22=b ，()()220+⋅-=-=a b a b a b ， ∴()()+⊥-a b a b ．故选A ． 3．【答案】D【解析】()2,6,2AB =---uu u v ，()1,6,3AC λ=--uuu v，∵AB AC ⊥uu u v uuu v，∴()2166230AB AC λ⋅=⨯-⨯--=uu u v uuu v ，解得14λ=-，故选D ．4．【答案】C 【解析】∵1144=+a p q ，所以a 、p 、q 共面， 故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ； ∵1122=-b p q ，所以b 、p 、q 共面， 故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ； ∵3144+=-a b p q ，所以+a b 、p 、q 共面，故+a b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ． 5．【答案】B【解析】由题意可得112222S =⨯⨯=，2122S =⨯3122S =⨯故231S S S =≠．故选B ． 6．【答案】B【解析】由于AB AC CD DB =++u u u v u u u v u u u v u u u v，∴()21AB CD AC CD DB CD CD ⋅=++⋅==uu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v ．1cos ,,602AB CD AB CD AB CD AB CD⋅==⇒=︒⋅uu u v uu u vuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v，故选B ． 7．【答案】A【解析】()11111111111222BE BA AA A E AB AA A B A D AB AA AB AD =++=-+++=-+++u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v11122AB AA AD =-++uu u v uuu v uuu v ，∴12x =-，12y =．故选A ．8．【答案】B【解析】设(),,D x y z ，则()1,1,2AD x y z =+--uuu v ，()2,1,3AB =--uu u v ，()1,,1DB x y z =----uu u v，∵2AD DB =u u u v u u u v ，∴()12112222x x y y z z+=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--⎩，∴13130x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．∴11033D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，113CD λλλ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭uu u v ，，，∵CD AB ⊥uu u v uu u v ，∴()1231=03CD AB λλλ⎛⎫⋅=-+--- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ，∴116λ=-．故选B ．9．【答案】C【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(E、F ⎛ ⎝⎭，所以EF = 故选C ．10．【答案】B【解析】过点B 作BE 垂直1A C ，垂足为E ，设点E 的坐标为(),,x y z ， 则()10,0,3A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()11,2,3A C =-uuu v ，()1,,3A E x y z =-uuu v， ()1,,BE x y z =-uu u v．因为1110A E A CBE A C ⎧⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v uu u v uuu v∥，所以31231230x y z x y z -⎧==⎪-⎨⎪-+-=⎩，解得5710767x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以2106,,777BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ， 所以点B 到直线1A C的距离BE =uu u v ，故选B ．11．【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,1D 、()1,1,0E 、()1,0,0A 、()0,2,0C ．从而()11,1,1D E =-uuu v 、()1,2,0AC =-uuu v 、()11,0,1AD =-uuuv，设平面1ACD 的法向量为(),,a b c =n ，则100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu vuuuv n n ，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩．令2a =，则()2,1,2=n ．所以点E 到平面1ACD 的距离为1212133D E h ⋅+-===uuu vn n．故选C ．12．【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则()2,0,0B 、()2,2,0A 、()0,0,1G 、()1,1,0F 、()10,0,2C 、()1,2,1E ． 则()0,2,0BA =uu v 、()1,1,1GF =-uuu v 、()11,2,1C E =-uuu v，∴cos ,BA GF BA GF BA GF ⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v111cos ,BA C E BA C E BA C E ⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v∴cos α=sin α=，cos β=，sin β=，()cos 0αβ+=，∴90αβ+=︒．故选D ．二、填空题13．【答案】1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),0,0P x ，则()1,2,0AP x =--uu u v ，(),1,1BP x =-uu v，()2171224AP BP x x x ⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭uu u v uu v ，∴当12x =时，AP BP ⋅uu u v uu v 取最小值74，此时点P 的坐标为1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭．14．【答案】14【解析】设上、下底面中心分别为1O 、O ，则1OO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、1OO 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵2AB =，111A B =，∴AC BD ==，1111A C B D ==， ∵平面11BDD B ⊥平面ABCD ，∴1B BO ∠为侧棱与底面所成的角，∴160B BO ∠=︒，设棱台高为h，则tan 60︒=，∴h =，∴()0,A，1D ⎛ ⎝⎭，1B ⎝⎭，()C ，∴1AD ⎛= ⎝⎭uuuv，1B C ⎛= ⎝⎭uuu v ， ∴1111111cos ,4AD B C AD B C AD B C ⋅==⋅uuu v uuu vuuu v uuu v uuu v uuu v ，故异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为14．15．【答案】45°【解析】由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ， ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E ，则2PE =，2AE =又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角． 16．【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N ．则可求得12AM =、BM =、12CN =、DN =、1MN =．由于BD BM MN ND =++uu u v uuu v uuu v uuu v ，∴()22BD BM MN ND =++uu u v uuu v uuu v uuu v()2222BM MN ND BM MN MN ND BM ND =+++⋅+⋅+⋅uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v()2225120002=+++++=⎝⎭⎝⎭，∴BD =uu u v 三、解答题17．【答案】212333PG =-+u u u v a b c ．【解析】∵BG ＝2GD ，∴23BG BD =uu u v uu u v．又2BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=+-u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u va cb ，∴()221223333PG PB BG =+=++-=-+u u u v u u v u u u v b a c b a b c ．18．【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（1）如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．∵O 为1B C 的中点，D 为AC 的中点，∴1OD AB ∥．∵1AB ⊄平面1BC D ，OD ⊂平面1BC D ，∴1AB ∥平面1BC D ． （2）建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．则()0,0,0B 、()0,2,0A 、()12,0,2C 、()10,0,2B ． ∴()10,2,2AB =-uuu v 、()12,0,2BC =uuu v．1111111cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅===⋅uuu v uuu vuuu v uuu v uuu v uuu v ， 设异面直线1AB 与1BC 所成的角为θ，则1cos 2θ=， ∵0,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3θπ=．19．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ． 又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ． （2）∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BD ．∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°． ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°． 在Rt △BHD中，BD，∴BH =． 又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝1． 解法二：（1）同解法一．（2）设AB a =，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B 、()0,0,A a 、()0,1,0C 、()1,1,0D ，()1,1,0BD =uu u v 、()0,0,BA a =uu v．平面ABC 的法向量()1,0,0CD =uu u v，设平面ABD 的一个法向量为(),,x y z =n ，则有0BD x y ⋅=+=uu u v n ，0BA az ⋅==uu vn ，∴0z =，取1y =，则1x =-，∴()1,1,0=-n ．∴cos ,CD CD CD ⋅==⋅uu u vuu u v uu u vn n n，由图可知二面角C －AB －D 为锐角， ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）()0,1,AC a =-uuu v 、()1,0,0CD =uu u v 、()1,1,0BD =uu u v．设平面ACD 的一个法向量是(),,x y z '''=m ， 则0AC y az ''⋅=-=uuu v m ，0CD x '⋅==uu u vm ，令1z '=，∴y a '=，则()0,,1a =m ． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos cos60BD BD BD ⋅⋅===︒⋅uu u vuu u v uu u vm m m ，解得1a =，∴AB ＝1．20．【答案】（1）见解析；（2）53．【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()10,0,5D 、()0,0,1E 、()2,2,4F ．∴()2,2,0AC =-uuu v 、()0,2,4AF =uuu v 、()2,2,1BE =--uu u v 、()2,0,1AE =-uu u v．∵0BE AC ⋅=uu u v uuu v ，0BE AF ⋅=uu u v uu u v，∴BE AC ⊥，BE AF ⊥，且AC AF A =I ． ∴BE ⊥平面ACF ．（2）解：由（1）知，BE uu u v为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离53AE BE d BE⋅==uu u v ．故点E 到平面ACF 的距离为53．21．【答案】（1）见解析；（2．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．设PD DC a ==，则()0,0,0D 、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22a a E ⎛⎫⎪⎝⎭、()0,,0C a ，∴(),0,AP a a =-uu u v 、(),,0DB a a =uu u v 、0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu v 、()0,,0DC a =uuuv ．（1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,x y z =n ， 则有1100DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uuu v n n ，即11110022ax ay a ay z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ∴()11,1,1=-n ．100AP a a ⋅=-++=uu u v n ，∴1AP ⊥uu u vn ，又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ． （2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0=n ．12cos ,=n n B －DE －C． 22．【答案】（1）见解析；（2；（32． 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得()0,0,0A 、()0,1,0B 、()2,0,0C 、()1,2,0D -、()10,0,2A 、()10,1,2B 、()12,0,2C 、()11,2,2D -，又因为M 、N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭、()1,2,1N -．（1）依题意，可得()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu v ，由此可得，0MN ⋅=uuu vn ，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ．（2）()11,2,2AD =-uuuv 、()2,0,0AC =uuu v，设()1111,,x y z =n 为平面1ACD 的法向量，则11100AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ，即111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设11z =， 可得()10,1,1=n ．设()2222,,x y z =n 为平面1ACB 的一个法向量， 则21200AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu vuuu v n n ， 又()10,1,2AB =uuu v ，得22222020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设21z =，可得()20,2,1=-n ．因此有121212cos ,⋅==⋅n n n n n n，于是12sin ,=n n所以二面角11D AC B --（3）依题意，可设111A E A B λ=uuu v uuu u v，其中[]0,1λ∈， 则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+uu u v，又()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos 3NE NE NE ⋅===⋅uu u vuu u v uu u vn,n n ，整理得2430λλ+-=，又因为[]0,1λ∈，解得2λ，所以线段1A E 2．。