医学角动量守恒定律
第3章 动量守恒和角动量守恒定律
第3章动量守恒定律和角动量守恒定律研究：对平动——动量定理力的时间积累作用对转动——角动量定理基础牛顿定律（牛顿力学）31基础：牛顿定律（牛顿力学）3.1 质点的动量定理3.2 动量守恒定律3.3 质心和质心运动定理3.413.4质点的角动量和角动量守恒定律3.5 质点系的角动量和角动量守恒定律3.1 质点的动量定理一. 力的冲量impulse定义r 的冲量定义：t f I d d ⋅=rr f 的元冲量t r r r ∫⋅=)()(21d t t f I 的冲量f 是过程量，反映力的时间积累。
SI:N·s 是过程量，反映力的时间积累SI: N s二. 质点的动量定理力的时间积累效果？p r r r r d 动量定理（微pt F tF d d d =⋅→=合力的动量的分形式）2元冲量元增量d p p t F I tt total r r r r −∫=⋅=动量定理（积分形式）合力的冲量动量增量应用场合（过程量）（始末状态量）①过程短暂，运动有明显改变，关心结果，应用场合：对过程细节不感兴趣。
−rr 例：平均冲击力0tt pp F −=r 如接球安全网延长作用时间以减小冲击力如：接球；安全网。
延长作用时间，以减小冲击力。
②连续质量作用：如流体冲击、喷气反推。
3②续质作用如体冲击喷气反推注意：定理为矢量方程计算：作用于单位面积的帆面上的风力F 因为连续作用，取d t 内风v ∆SF 横d (d sin )m S v t ρθ=∆⋅⋅θir222sin v v =∆rv m t F ∆=⋅)(d d 22F θ422v v S ∝=∆θρsin sin3.2 动量守恒定律( conservationf)一. 质点系的动量定理of momentum)每个质点ii j ij i p t f t F rr r d d d )(=∑⋅+⋅≠+d(d =⋅N N t F rr 外力内力全部方程求和+ 牛Ⅲ)()(11∑∑==i i i i p ∑−=I rr r ∑iii iexpp 0系统总动量的改变由外力的冲量决定，系统总动量的改变由外力的冲量决定与内力无关。
角动量 角动量守恒定律
h
vN2 2g
1 2g
3mvM m 6m
2
h
3m m 6m
2
19
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P104例3 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心
O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于
水l/4平处位, 置并时背,离有点一O只向小细虫杆以的速端率点vvA0 0垂爬直行落. 设在小距虫点与O细为杆
14
4-3 角动量 角动量守恒定律
比较 动量
F
dP dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
F
P
mv
力 动量
t2
Fdt 力的冲量
t1
第四章 刚体转动
角动量
M
dL dt
t2
Mdt ΔL
t1
LMMrrp0F角L力动矩量0或或角动力量矩
其角速度为ω, 求齿轮啮合后两圆盘的角速度.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2)
J11 J22
(J1 J2 )
16
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P103例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.
R
x
26
dP
F dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
角动量 角动量守恒定律
r为力的作用点到 参考点的位置矢量
20
2) 力对定轴的力矩
z
Mz
o
d
F F //
r
F
M r F r ( F// F ) r F// r F
第一项
力F对O点的力矩 （F不在转动平面内）：
M1 r F//
dL 可得 M r F dt
对 N 个质点 m1, m2 ,, mN 组成的质点系，由
dL1 r1 F1外 F1内 M 1外 M 1内 dt 两边求和得 dL2 r2 F2外 F2内 M 2外 M 2内 dL总 d dt Li dt i dt M i 外 M i内 dLN i i 24 rN FN外 FN内 M N外 M N内 dt
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
6
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
11
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
角动量守恒定律
角动量守恒定律生活中可能会发现，人走路的时候正常情况下都是会摆臂的，这在人看起来是十分正常的，但是其中也蕴含了科学的知识，就是角动量守恒。
一、角动量刚体的转动惯量和角速度的乘积叫做刚体转动的角动量，或动力矩，单位是kgm2/s。
的角动量是描述物体转动状态的物理量，对于质点在有心力场中的运动，如天体的运动，原子中电子的运动等，角动量是非常重要的物理量。
角动量可以表示为L=I 3。
其中L表示角动量，I表示惯量，3表示角速度矢量。
二、力矩在物理学中，力矩可以被想象成一个旋转的力，这个力会使物体产生旋转，这个力被定义为线型力乘径长。
国际单位制中，力矩的单位是N/m。
三、角动量守恒定律刚体的角动量定理常写成代数形式Mdt=dL。
当M=0时，dL=O, 即L=恒矢量。
当质点或质点系或刚体所受外力对同一参考点或转动轴的力矩的矢量和M为0时，系统对同一参考点或转动的角动量L 保持不变（大小、方向都不改变）。
这就是系统的角动量守恒定律。
角动量守恒定律和动量守恒定律和能量守恒定律一样，是近代物理理论的基础，是更为普适的物理定律。
角动量守恒定律适用于惯性系和质心系，对其他非惯性系，因为要计入惯性力的力矩，一般系统角动量不守恒；因此在应用角动量守恒定律时要注意参考系的选取，不能想当然地在非惯性系中运用角动量守恒定律。
角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量守恒实质上对应着空间旋转不变性。
四、角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为0，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。
四种情况下可判定角动量守恒。
1. 最简单的一种，系统不受外力。
2. 外力均通过参考点。
3. 每个外力的力矩不为0，但其矢量和为0。
4. 准确的说此种情况下角动量不守恒，内力对参考点的力矩远大于外力的对参考点的合力矩，即内力的影响远大于外力的影响，角动量近似守恒。
五、角动量守恒定律的应用人为什么走路的时候要甩动手臂，我们选取人的质心与地面垂直的直线作为参考轴，右脚向前同时左脚踩在地上提供摩擦力，此时右脚有一个相对于轴向前的速度，左脚有一个相对于轴向后的速度，如果手臂不动，那么此时身体有一个相对于轴向左运动的角动量，为了保持人体的平衡，人潜意识选择用与前进的脚相对的手臂摆动来弥补这个角动量。
角动量守恒定律及其应用
角动量守恒定律及其应用
对一固定点o，一个系统所受的合外力矩为零，则此质点的角动量矢量保持不变，即为一个系统角动量守恒的条件。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
一般定理，不要什么条件，定律有一定的适用条件。
质点系的角动量定理：质点系对任一固定点o的`角动量对时间的发微熵等同于促进作用于该质点系的诸外力对o点的力矩的矢量和。
内力无法发生改变质点系的整体旋转情况。
43角动量角动量守恒定律
r
F
dL
M
dt dt
dt
14
物理学
第五版
质点的合外力矩
4-3 角动量
M
dL
dt
角动量守恒定律
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对 该点 O 的角动量随时间的变化率.
2 质点的角动量定理
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
3 质点的角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
做匀变速转动．
与二维平面圆周 运动情况相同
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0
)
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
三 角量与线量的关系
ω d
dt
dω dt
4-3 角动量 角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从t1到t2内，角速度
M从 1变d(为J)2， 积dL分可得： dt dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩 J2 J1
刚体的角动量定理： 刚体绕定轴转动时，刚体的冲量矩等 于角动量的增量
非刚体定轴转动的角动量定理
了解
t2
t1
Mdt
J 22
i
i
L J
2 M刚 i体定dd轴Lti 转动ddt的(m角ir动i2量)定理
O ri
第五章动量角动量守恒
Lr p
大小： r F rF sin Fd
方向：服从右手定则 力矩
F
dL r F dt
质点角动量的时间变化率等于 质点所受合力的力矩 二、力矩
o
r
d
m
1. 对参考点的力矩： M r F
大小： Fd Frsin 方向： 垂直于r 和F组成的平面 , 服从右手定则。
例：
F
o
F
F
o
F
F 0 Mo 0
F 0 Mo 0
三、质点系角动量的时间变化率 对Ｎ个质点 m1 , m2 , , m N 组成的质点系，由
dL 可得 M r F d t
dL1 M 1外 M 1内 dt dL2 M 2外 M 2内 dt dLN M N外 M N内 dt
i
L
L自 旋
L轨 道
3.定轴转动刚体的角动量 转轴
z
角速度
z
转动 平面
刚体上任一质点 m i 转轴与其转动平面交点Ｏ
m i 绕Ｏ 圆周运动半径为 ri
m i 对Ｏ的角动量： Lio ri mi vi
r o i
mi
vi
大小：Lio ri mi v i mi ri2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
[例] 质量为 m ，长为 L 的细杆在水平粗糙桌面上 绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正 比，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。
第3章 角动量守恒定律 PPT课件
若转轴不动，称定轴转动。 O
1. 定轴转动特征
(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面) 做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.
(2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动.
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3.3 刚体的运动
2. 定轴转动的描述
解：
N
R
T
Mg
T' M.
a R
mg
m
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
根据转动定律 根据牛顿第二定律
TR=Jβ
1 MR2
2
mg-T=ma
因绳与滑轮间无滑动，所以 a=Rβ
解以上三式得
a mg mM /2
a
mg
R R( m M / 2 )
rF
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
力矩定义：
M rF
力矩大小：
M r F sinθ 式中 rsinθ d 为力臂，则
M Fd
因 Fsin θ F ，即合力切向分量，所以：
M r F
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3.2 质点的角动量守恒定律
(1) 角坐标 称角位置或角坐标。
规定逆时针转向 为正。
p x
O
刚体定轴转动的运动学方程
= (t) (2) 角位移
为 t时间内刚体所转过的角度。
p x O
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3.3 刚体的运动
(3) 角速度 角速度 lim Δ d Δt0 Δt dt 在定轴转动中，转向只可能有
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大小：
Lm rv
方向：满足右手关系，向上。
2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动
对定点（太阳）的角动量： L r p m (r v ) 大小： Lmvsirn
v
v
r
r
Sun
方向： 满足右手关Байду номын сангаас，向上。
3.质点直线运动对某定点的角动量：
L r p m r v 等于零吗？？？
t1
质点的角动量
力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改
变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量
来描述）改变的原因。
1. 质点的圆周运动 动量：p mv
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
L r p r ( m v ) m r v
(r v )
F
数点学积补充知识：a b b a
a a a2
叉积
a b b a
a a 0
c ( a b ) a ( b c ) b ( a c )
点积的微商 叉积的微商
c ( a b ) a ( b c ) b ( c a )
d(rp )v m d t v
d t d t d(rp)dL
M
dt dL
dt ——质点的v角 v 动 量0 定理
dt
定义角动量
dt
L r p m r v
tt1 2M d tL L 1 2d L L 2L 1 t2M dt为质 t内 点O 对 在 点的冲量矩
F r
MrF sin
X
方向由右手螺旋法则确定。
Y
说明：1. 力矩是改变质点系转动状态的
原因；力是改变质点系平动状态的原因。
2. 同一力对空间不同点的力矩是不同的；
中学的表达式：对O点力矩M
M F d Fsrin
M
正是前面定义的力 矩的大小。
r
O
d
力矩的方向由右手螺旋法则 来确定才有矢量的确切含义。
v
大小：Lmv sirnmvd
方向： 思考：如何使L=0？
d
m
r
O
质点的角动量总结：
定义：对 O点 的角 动量： L r p m r v
说明： 1.角动量是矢量（kg·m2·s-1）
Z
O X
v
L
r
Y
2.角动量对不同点是不同的。
3L .角 m 动r 量 的v 方m 向r ： ( r ) m 2 L r 与 同方向
永远与矢径是反平行的。故对力心质点所受的力矩为
零。则对力心角动量守恒！
注意
L
力心
v
m
r
F
r
Lmsvir nm rsin
2m12rrsin2tmS
t
t
——开普勒第二定律
行星的动量时刻在变,但其角动量可维持不变.
在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代替动量
起着重要的作用. 质点在有心力场中,它对力心的角动量守恒。
例:一r 质 量a 为c m的o t 质i 点b s 沿s 一条i 二t j维n 其曲中线a运,b动, 为常数
试解求：:该v质点dr对 原 点a 的s 角动量i t i 矢 n 量b 和c 力矩.o t j s
dt
Lm rv m ( a c o t i b s s i t j ) n
为了巩固质点角动量守恒的概念 判断下列情况角动量是否守恒：
圆锥摆运动中,做水平匀速圆周运 动的小球m。
C T
(1)对C点的角动量是否守恒？ (2)对O点的角动量是否守恒？
O
mg C'
(3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？
请同学思考！
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
v
dr
asi t i n bco t j s
a
dt dv
a 2 c t o i b s 2 s i t jn
dt
M r F m r a m 2r r 0!
二、角动量守恒定律
质点角动量守恒
矩等于零。
证明：
M 1r1f1
M 2r2f2
r2
r
f2
M 1 M 2 r 1 f 1 r 2 f 2
O
f1 f2 r f2
( a si t i n b ct o j ) s
m ( a c b 2 t o k a s s b 2 i t k ) n
M dm L 0a !kb (恒矢量)
dt
或由 M rF 直接计算力矩
r a co ti b s sitjn
当 M 0,L r ( m v ) =恒矢量
当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点
对该参考点O的角动量为一恒矢量。
例：
L
v
r m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），
角动量守恒 定律
开普勒三大定律
Kepler laws
实例：
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
除了动量，机械能守恒量以外一定还有另外一个守恒 量存在！
一、质点的角动量
Z
力矩
力F对o点的力矩表达式： M rF
M rF
d(a b )a d b d a b
d t
d t d t
d(a b )a d b d a b
d t
d t d t
质点的角动量定理：
仿照平动：F
dp
M r F d t r d p d ( r p ) d r p