《332简单的线性规划问题》教案
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
教学设计1：3.3.2简单的线性规划问题（1）
3.3.2简单的线性规划问题（Ⅰ）【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：{ x +2y ≤84x ≤164y ≤12x ≥0y ≥0……………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域：如下图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把z=2x+3y 变形为y =−23+z 3，这是斜率为−23，在y 轴上的截距为z 3的直线。
高中数学五第三章3.3.2 简单的线性规划问题(第2课时)【教案】
3。
3。
2简单线性规划问题（第2课时）一、教学目标1．知识目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。
2．能力目标: 1、了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；2、理解线性规划问题的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；4、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。
3．情感目标: 1、培养学生学习数学的兴趣和“用数学"的意识,激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；2、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
二、教学重点与难点:重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
难点：1、建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2、在可行域内，用图解法准确求得线性规划问题的最优解.三、教学模式与教法、学法教学模式：采用探究教学法,通过“猜想，验证,证明”来探究二元一次不等式（组)表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。
使用多媒体辅助教学.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即（一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线。
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．学法设计:引导学生通过主动参与、合作探讨学习知.来源:学四、教学过程：数学教学是数学活动的教学。
因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节:1、创设情境，提出问题；2、分析问题，解决问题，3、复习概念，回顾方法;4、实际应用，强化思想；5、自主思考，归纳总结;6、布置作业,巩固提高._五、教学过程设计①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l 平移，平移过程中可以显示z 值的大小变化。
《简单的线性规划问题》教学设计
《简洁的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产支配等问题，它是一种重要的数学模型。
简洁的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
与其它部分学问的联系，表现在：二、学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简洁的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题。
从数学学问上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的相识还很少，数形结合的思想方法的驾驭还需时日，这都成了学生学习的困难。
所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。
三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学试验为手段，以问题解决为目的，以多媒体课件作为平台，激发他们动手操作、视察思索、猜想探究的爱好。
留意引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从详细到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培育学生的学会分析问题、解决问题的实力。
四、教学目标1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题4.培育学生视察、联想以及作图的实力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的实力5.结合教学内容，培育学生学习数学的爱好和“用数学”的意识，激励学生创新五、教学重难点教学重点：用图解法解决简洁的线性规划问题教学难点：精确求得线性规划问题的最优解。
简单的线性规划问题——教案
简单的线性规划问题（1）三维目标知识与能力：了解线性规划的常用术语、掌握确定二元一次不等式所表示的平面区域得方法过程与方法：通过实例介绍线性规划的常用术语，利用二元一次方程将平面分成两部分进而确定二元一次不等式所能表示的平面区域情感态度与价值观：通过学习，激发学生探索欲望、热爱数学学习的激情，引导正确的价值观、人生观，使学生不断建立信心，成为自主学习的真正主体。
教学过程： 一．创设情景我们先考察生产中的遇到的一个问题：某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲种产品需要A 种原料4吨、B 种原料12吨，产生的利润为2万元；生产1吨乙种产品需要A 种原料1吨、B 种原料9吨，产生的利润为1万元。
现在库存A 种原料10吨、B 种原料60吨，如何安排生产才能使利润最大？设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x,y ，利润为P （万元）。
根据题意，A,B 两种原料分别不得超过10吨和60吨，又常量不可能是负数，于是可得二元一次不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0060912104y x y x y x 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+002034104y x y x y x 因此，上述问题转化为如下的一个数学问题：在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+002034104y x y x y x 下，求出y x ,（满足约束条件的变量y x ,，称为可行解），使得利润y x 2+=P （含有两个变量y x ,的函数，称为：目标函数）达到最大（满足条件的y x ,称为最优解）●如何解决这个问题？ 二．教学生成我们分两步求解上面的问题：第一步 研究问题中的约束条件，确定数对),(y x 的范围；第二步 在第一步得到的数对),(y x 放入范围中，找出是的目标函数P 达到最大的数对),(y x 今天，我们先讨论解决这个问题的第一步。
如图1，直线104:=+y x l 将平面分成上、下两个半平面区域，直线l 上的点的坐标满足方程410x y +=，即104y x =-，直线l 上方的平面区域中的点的坐标满足不等式104y x >-，直线l 下方的平面区域中的2中的阴影部分（包括边界直线l ）。
简单的线性规划问题
三、新知建构，典例分析
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
x
0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又
y 0
称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解
y4x z 3 28
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行 域上的点M时，纵截距 最小，即z最小。
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
二、新课引入，任务驱动
1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：
“直线定界、特殊点定域”
2、二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式所表示的平面区域的公共部分
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能掌握简单的线性规 划问题的解法及步骤吗？
三、新知建构，典例分析
《3.3.3 简单的线性规划问题》教学案
第2课时《简单的线性规划的应用》教学案教学教法分析●三维目标1.知识与技能(1)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；(2)会用画网格的方法求解整数线性规划问题；(3)能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；(4)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．2.过程与方法(1)引导学生学会如何使用网格法；(2)通过讲解实例，让学生感受线性规划中的建模问题，培养学生应用数学的能力．3．情感、态度与价值观(1)培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的能力；(2)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新．●重点、难点重点：将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决．难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、数学问题几何化．教学方案设计●教学建议1．为了激发学生学习的主体意识，应面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，建议采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．学生在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组．可采用分组讨论、各组竞争、自主总结、部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞．●教学流程⇒引导学生探寻要求变量取整数的线性规划问题的解法，及最优整数解可能出现的位置.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握利用线性规划解决收益最大问题的方法.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划解决耗费最小问题的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握整数线性规划问题的求法.⇒归纳整理进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课前自主导学此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．课堂互动探究例1 2吨、二级子棉1吨，生产乙种棉纱需消耗一级子棉1吨，二级子棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过3 00吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能使利润总额最大？【思路探究】由已知数据可列表如下：【自主解答】设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，那么利润总额z＝600x＋900y元，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤300，x ＋2y ≤250，x ≥0，y ≥0.作出其可行域如图所示．把z ＝600x ＋900y 变形为平行直线系l ：y ＝－23x ＋z900.由图可知当直线l 经过可行域上的点M 时，截距z900最大，即z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝300，x ＋2y ＝250，得交点M (3503，2003)．所以应生产甲种棉纱3503吨，乙种棉纱2003吨．规律方法1．利用线性规划求最大值，主要是收益最大、效率最高、利润最大等问题，要将求最值的变量设为z ，将z 表示成其它变量的函数，求其最大值．2．对于线性规划问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．变式训练某公司计划在今年内同时出售某种多功能电子琴和一种智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查得到关于这两种产品的有关数据如下表：【解】 设月供应电子琴x 架、洗衣机y 台， 依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为z ＝6x ＋8y ，不等式组表示的平面区域如图所示．作直线l ：6x ＋8y ＝0，即作直线l ：3x ＋4y ＝0.把直线l 向右上方平移，当直线l 经过可行域中的点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ＝300，5x ＋10y ＝110，得点M 的坐标为(4，9)，将M (4，9)代入z ＝6x ＋8y ，得z ＝6×4＋8×9＝96.所以当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，才能使总利润最大，最大总利润为9600元.例2 0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，且食物A 的价格为28元/kg ；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，且食物B 的价格为21元/kg .为了满足营养专家指出的日常饮食要求．同时使花费最低，需要同时食用多少食物A 和食物B ？【思路探究】 将已知数据列成下表：【自主解答】 设每天食用x k g 食物A ，y k g 食物B ，总成本为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，①目标函数为z ＝28x ＋21y . 二元一次不等式组①等价于⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域(如图所示)，即为可行域．考虑z ＝28x ＋21y ，将它变形为y ＝－43x ＋z 21，这是斜率为－43且随z 变化的一族平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当z21取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即求在满足约束条件时目标函数z ＝28x ＋21y 的最小值．由图可知当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距z21最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋7y ＝6，7x ＋7y ＝5，得M (17，47)．所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用17kg 食物A 和47kg 食物B .规律方法1．利用线性规划求最小值，可以用来解决许多实际问题，诸如省钱，省工，省材料等问题．2．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误．变式训练医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？【解】 设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g )，乙种原料3×10＝30(g )，费用最省.例3 的小钢板的块数如下表所示：今需要A ，B 所需的三种规格的成品，且使所用钢板的张数最少？【思路探究】 设截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．【自主解答】 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，共使用钢板z 张，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ≥0，y ≥0，且x ，y 都是整数，求使目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的x ，y . 作可行域如图所示，平移直线z ＝x ＋y ， 可知直线经过点(185，395)时z 取最小值， 此时x ＋y ＝575，但185与395都不是整数， 所以可行域内的点(185，395)不是最优解．因为非整点最优解为(185，395)，z ＝575，所以z ≥12.令x ＋y ＝12，则y ＝12－x ，代入约束条件整理得3≤x ≤92， 所以x ＝3或x ＝4，这时最优整点为(3，9)和(4，8)． 故有以下两种截法：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张； 第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张． 最少要截两种钢板共12张．规律方法1．当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时，应为整数，利用线性规划求最值，最优解也应为整数．2．若按常规方法求出的不是整数解，可按以下方法调整：(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l 0，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．(2)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．变式训练预计用2 000元购买单价为50元的桌子和单价为20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买桌子、椅子各多少才行？【解】 设买桌子x 张、买椅子y 把．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝x ＋y ，满足以上不等式组的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2000，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，∴点B 的坐标为(25，752)．作直线l ：x ＋y ＝0，将直线向右上方平移， 当直线l 经过可行域中的点B 时，z 取得最大值． ∵x ，y ∈N ，∴y ＝37. ∴应买桌子25张、椅子37把.易错易误分析可行域内整点寻找错误典例有一批钢管，长度都是4000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于13，要使钢管截得的毛坯最多，怎样截最合理？【错解】 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根， 则x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，xy ＞13，x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤40，y ＜3x ，x ＞0，y ＞0，其中x ，y 均为正整数． 作出可行域，如图所示．目标函数为z ＝x ＋y .作一族平行线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线为过A 点的直线，求出A 点的坐标．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，5x ＋6y ＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11723，y ＝5523.所以A (11723，5523)由于x ，y 均为正整数，故调整为x ＝2，y ＝5. 所以x ＋y ＝7.经检验，满足条件，所以每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根最合理． 【错因分析】 本题错误的原因是：①没能准确作出一族平行直线y ＝－x ＋z ；②可行域内的整点寻找不准确．【防范措施】 准确作图，充分考虑实际问题的特殊性．当图上的整点不好分辨时，应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验，而不能采取“四舍五入”的办法．【正解】 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，xy ＞13，x ＞0，y ＞0，且x ，y 均为正整数．作出可行域，如图3－3－62所示．目标函数为z＝x＋y，作一族平行直线y＝－x＋z，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点B(8，0)的直线，这时x＋y＝8.因为x，y均为正整数，所以(8，0)不是最优解．在可行域内找整点，使x＋y＝7.经验证，可知点(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)均为最优解．答：每根钢管截500mm的毛坯两根，600mm的毛坯五根，或截500mm的毛坯三根，6 00mm的毛坯四根，或截500mm的毛坯四根，600mm的毛坯三根，或截500mm的毛坯五根，600mm的毛坯两根，或截500mm的毛坯六根，600mm的毛坯一根最合理．1．基础知识：(1)实际应用问题的最优解；(2)整数线性规划；(2)用线性规划解决实际问题的一般步骤．2．基本技能：(1)收益最大问题；(2)耗费最小问题；(3)简单的整数线性规划问题． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)转化与化归思想； (3)函数思想.当堂双基达标1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．【解析】 设6吨的有x 辆，4吨的有y 辆，运送货物吨数为z ，则z ＝6x ＋4y . 【答案】 z ＝6x ＋4y2．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1 kg ，b 1 kg ，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2 kg ，b 2 kg ，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d 1元，d 2元，月初一次性购进原料A ，B 各c 1 kg ，c 2 kg ，本月要生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x kg ，y kg ，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为________．【解析】 对原料A 的限制：a 1x ＋a 2y ≤c 1，对原料B 的限制：b 1x ＋b 2y ≤c 2，另外甲、乙两种产品产量x ≥0，y ≥0.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1b 1x ＋b 2y ≤c2x ≥0y ≥03．某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A 原料3吨，B 原料2吨，生产每万件乙种配件要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每件甲种配件可获得利润5元，每件乙种配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是________．【解析】 设生产甲种配件x 万件，生产乙种配件y 万件，利润为z 万元．则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，目标函数为z ＝5x ＋3y .作出可行域如图所示，则可知A (133，0)，B (0，6)，C (3，4)．由图形可知，目标函数在点C (3，4)处取得最大值，最大值为5×3＋3×4＝27.【答案】 27万4．甲、乙两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．已知甲区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，乙区的每位同学在返车费是5元，每人可为3位老人服务，如果要求乙区参与活动的同学比甲区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排甲、乙两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？【解】 设甲、乙两区参与活动的人数分别为x ，y ，受到服务的老人的人数为z ，则z ＝5x ＋3y ，应满足的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥1，3x ＋5y ≤37，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N .根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域中的整点，如图所示阴影部分中的点所示．画直线l 0：5x ＋3y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内的点M ，该点到直线l 0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取得最大值，解方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，3x ＋5y ＝37，得点M (4，5)．因此当x ＝4，y ＝5时，z 取得最大值，并且z max ＝5×4＋3×5＝35.答：甲、乙两区参与活动的同学人数分别为4人和5人时，受到服务的老人最多，受到服务的老人最多是35人.课后知能检测一、填空题1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，求各自最多组成的工作小组数．要建立的数学模型中，约束条件为________．【解析】 设组成甲种组x 组，乙种组y 组，则对男工人数的限制为5x ＋4y ≤25，对女工人数的限制为3x ＋5y ≤20，组数限制x ≥y ≥1，故约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x ..【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x .2．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法．【解析】 设票面8角的买x 套，票面2元的买y 套．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，0.8×5x ＋2×4y ≤50，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，2x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.画出如右图平面区域得y ＝2时，x ＝2，3，4，5，6，7，8； y ＝3时，x ＝2，3，4，5， 6； y ＝4时，x ＝2，3，4； y ＝5时，x ＝2. 共有7＋5＋3＋1＝16. 【答案】 163．实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________．【解析】 设购买每袋35千克的x 袋，购买每袋24千克的y 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ≥0，y ≥0.求z ＝140x ＋120y 的最小值，作出可行域知，当x ＝1，y ＝3时费用最少．此时要花费：z ＝140×1＋120×3＝500元．【答案】 500元4．一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________．【解析】 设518 mm 和698 mm 的毛坯个数分别为x ，y ，最大利用率为z ，则z ＝51.8x ＋69.8y400。
简单的线性规划问题 教案
2009级本科学生试讲教案课题简单的线性规划院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师曾德强班级2009级2班姓名贾晓玉学号200902410402012年5月20日课题§3.2简单的线性规划问题教学目标(一)知识目标1、了解线性规划的意义；理解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2、掌握线性规划的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最大（小）值.(二) 能力目标1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力、分析能力以及探索能力；2、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力.(三) 情感目标1、让学生体验数学来源于生活又服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣.2、让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.教学重点让学生经历用图解法求最优解的探索过程,体会数形结合思想在解决数学问题时的优越性.教学难点将实际问题抽象转化为线性规划问题，在可行域内用图解法准确求得线性规划问题的最优解.教学方法(一) 教法分析讲解法，变式教学法等．(二) 学法指导讨论，思考，练习等．(三) 教学活动1、在引入时让学生思考怎样求解最大利润Z，然后请同学发表自己的看法；2、在探究题中让学生探索最优解在哪一点取得，老师检查讲解.教学用具彩色粉笔，多媒体.课型新知课．课时安排第一课时．教学过程（一）创设情境，提出问题设计一个场景：20年后的你,坐在宽敞的办公室里，思考着如何安排公司的生产，你会考虑些什么？ 1、计划可行，2、效益最大，3、资源最优……我们今天就来解决你们经常会碰到的资源利用、人力调配、生产安排等问题，这就是我们今天要学习的内容---简单的线性规划问题.例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算.又知每件甲产品可获利2万元，每件乙产品可获利3万元，问该厂每天最多可获利多少万元?（二）分析问题，构建新知1、分析问题对于以上问题我们可以从以下几步来进行分析：(1) 设该工厂每天生产甲产品x件，乙产品y件，获利Z万元，由题意可得下列式子：23z x y=+①28 416412x yxyxy+≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩②（2）我们可以将不等式组②表示成平面上的区域（3）我们可以把23z x y =+变形为233z y x =-+，这是斜率为23-,在y 轴上的截距为3z的直线.当z 变化时,可以得到一组相互平行的直线（如图2所示）,由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点（例如（1，2）），就能确定一条直线.这说明,截距3z可以有平面内的一个点唯一确定.可以看到，直线233zy x =-+与表示不等式组②的区域的交点坐标满足不等式组②，而且当截距3z 最大时，Z 取最大值.因此，上述问题可以转化为当直线233zy x =-+与不等式组②确定的平面有公共交点时，在区域内找一点P ，使直线经过点P 时截距3z最大.2、概念引入（1）在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.（2）满足线性约束条件的解叫做可行解. （3）由所有可行解组成的集合叫做可行域. （三）、变式演练、深入探究在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利3万元，问该工厂每天又可最多获利多少万元？解：由题意可得目标函数为：3z x y =+；将目标函数变形为1133y x z =-+.则利润Z 的几何意义就是直线1133y x z =-+在Y 轴上截距的3倍，所以当直线在Y 轴上的截距最大时，利润Z 最大.如图3所示可得，当直线1133y x z =-+经过点N （2,3）时截距3z最大，所以Z 最大，并且23311z =+⨯=.(四）归纳小结，强化思想解答线性规划问题的步骤：◆ 第一步：根据约束条件画出可行域； ◆ 第二步：令z ＝0，画直线l 0；◆ 第三步：观察，分析，平移直线l 0， 从而找到最优解； ◆ 第四步：求出目标函数的最大值或最小值. (五）作业布置，升华知识书面题：P91 T1, 2思考题：在上述探究题中，将甲、乙产品的获利从新换几组你喜欢的数据，求该工厂可获的最大利润；在这过程中你能得出最优解和可行域之间的关系吗？板书设计。
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简单的线性规划
学习内容总析
线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析
本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标
知识与技能：
①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；
②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；
③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：
①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；
②强化数形结合的数学思想方法；
③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：
①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；
②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；
③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略
1、教学重点：
根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；
2、应对策略：
将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略
1、教学难点：
①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；
②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：
在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。