高二文科推理与证明测试题

推理与证明测试题
2014年3月1日
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1、下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤.
2、下面使用类比推理正确的是 （ ）.
A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”
B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b
c c c
+=+ （c ≠0）
” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n
（b ）” 3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平
面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。

(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度；(D) 假设三内角至多有两个大于60度。

5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进
制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、下面几种推理是类比推理的是（ ）
A..两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A +∠B =1800
B .由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
C .某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.
D .一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除.
7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的
规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ ）块.
A.21
B.22
C.20
D.23 8、下面几种推理是合情推理的是（ ）
（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；
（2）由平行四边形、梯形内角和是360︒，归纳出所有四边形的内角和都是360︒； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；
（4）三角形内角和是180︒，四边形内角和是360︒，五边形内角和是540︒，由此得凸多边形
内角和是()2180n -︒ A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 9、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） A ．62n - B ．82n - C ．62n + D ．82n +
10、数列{
}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n = （ ） A ．1212-+n n B ．
1212--n n C ．n n n 2)1(+ D ．1－1
21
-n
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11、“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出
一组数：12 ,-12 ,38 ,-14 ,5
32
,它的第8个数可以是 。

12、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将
此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。

13、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三
边长之间满足关系：222BC AC AB =+。

若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 . 14、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为
_________________________.
15、设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一
点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，
()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）。

三、解答题：本大题共6题，共75分。

16、（12分）求证：(1)223)a b ab a b ++≥++; (2) 6+7>22+5。

17、若a,b,c 均为实数，且222
a x x π
=-+
，222
b y y π
=-+
，222
c z z π
=-+
…
①
②
③
求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0。

（12分）
18、已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，求证：1a+b +1b+c =3a+b+c
（12分）
19、数列{}n a 的前n 项和记为{}n s ，已知11a =，12
(1,2,3)n n n a s n n
++=
=.
证明：⑴数列n s n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列；⑵14n n s a +=（12分）
20、用分析法证明：若a ＞0，则a 2
＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2.(13分)
答案
一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. DCABB BBCCBB
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.
11、-1
32 .12、14 13、
14、
15、 5 ；
三、解答题： 16、证明：（1） ∵222a b ab +≥, （2）要证原不等式成立，
23a +≥, 只需证（6+7）2>（22+5）2，
23b +≥ ; 即证402422>。

将此三式相加得 ∵上式显然成立,
222(3)2a b ab ++≥++, ∴原不等式成立.
∴223)a b ab a b ++≥++.
17．(反证法).证明：设a 、b 、c 都不大于0，a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0，
而a ＋b ＋c ＝（x 2－2y ＋π2）＋（y 2－2z ＋π3）＋（z 2－2x ＋π
6
）
＝（x 2－2x ）＋（y 2－2y ）＋（z 2－2z ）＋π＝（x －1）2＋（y －1）2＋（z －1）2＋π－3， ∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.
18．(分析法) 要证 1a+b +1b+c =3
a+b+c
需证: a+b+c a+b +a+b+c b+c
=3
即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c) 即证:c 2+a 2=ac+b 2
因为△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列,所以B=600,由余弦定理b 2= c 2+a 2-2cacosB 即b 2= c 2+a 2-ca 所以c 2+a 2=ac+b 2
因此 1a+b +1b+c =3a+b+c
19(综合法)．证明：⑴由a n ＋1＝n ＋2
n
S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－Sn 得
∴n ＋1n S n ＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1＝2（n ＋1）n S n ，∴S n ＋1n ＋1S n n
＝2，∴数列｛S n
n
｝为等比数列.
⑵由⑴知｛S n n ｝公比为2，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n （n －1）
n ＋1，∴S n ＋1＝4a n .
20(分析法).证明：要证
a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2，只需证
a 2＋1a 2＋2≥a ＋1
a
＋ 2.
∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（
a 2＋1a 2＋2）2≥（a ＋1
a
＋2）2，
只需证a2＋1
a2
＋4＋4a2＋
1
a2
≥a2＋
1
a2
＋2＋22（a＋
1
a
），
只需证a2＋1
a2
≥
2
2
（a＋
1
a
），只需证a2＋
1
a2
≥
1
2
（a2＋
1
a2
＋2），
即证a2＋1
a2
≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.
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