北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题及答案评分标准

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ,集合{|10}A x x =+<,{|40}B x x =-≤,则()U A B =（A ）{|1x x ≤-或4}x > （B ）{|1x x ≥-或4}x < （C ）{|1}x x ≥-（D ）{|4}x x >2.若0.8331log ,log 9.1,22a b c ===,则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）a c b << （D ）c a b <<3.设,x y ∈R ,则“||1x ≤且||1y ≤”是“222x y +≤”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4.设不等式组1,3,25x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为D .若直线0ax y -=上存在区域D 上的点,则实数a的取值范围是 （A ）1[,2]2（B ）1[,3]2（C ）[1,2] （D ）[2,3]5.若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴,则a 的值为（A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2-6.执行如图所示的程序框图,输出的k 值为（A ）3 （B ）4 （C ）5（D ）67.某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下: 小张说:“甲或乙团队获得一等奖”; 小王说:“丁团队获得一等奖”;小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”; 小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁8.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,12AA AB ==,1BC =,点P 在侧面11A ABB 上.满足到直线1AA 和CD 的距离相等的点P （A ）有无数个 （B ）恰有1个 （C ）恰有2个 （D ）不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.将函数π()sin()3f x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()sin()g x x ωϕ=+的图象,则___,___.ωϕ==10.已知点(2,0)A ,(0,1)B ,若点(,)P x y 在线段AB 上,则xy 的最大值为______.11某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300,300,400,通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查,高三抽取的人数是______. 12.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是______13.已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____．14.设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ，，，，∉⎧=⎨∈⎩01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩ ①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____；②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足11a , 2410a a .(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 若2n a nnb a ,求数列{}n b 的前n 项和.16.（本小题满分13分）已知函数sin 2cos21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域；（Ⅲ）求函数()f x 在(0,)2π上的取值范围.17．（本小题满分13分）某日A, B, C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（Ⅰ）求B 市5个销售点小麦价格的中位数；（Ⅱ）甲从B 市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从C 市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（Ⅲ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A 、B 、C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.18.（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，E 为棱1AA 的中点，2AB =，13AA =．（Ⅰ）求证：1A C ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：1BD AC ⊥； （Ⅲ）求三棱锥A BDE -的体积．19.（本小题满分13分）已知函数21()2xf x axe x x ，a ∈R ．(Ⅰ) 当1a时，求曲线()yf x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 求()f x 的单调区间．B 120．（本小题满分14分）已知点(0,2)B-和椭圆M：22142x y+=．直线:+1l y kx=与椭圆M交于不同两点P，Q.（Ⅰ）求椭圆M的离心率；（Ⅱ）若12k=，求∆PBQ的面积；（Ⅲ）设直线PB与椭圆M的另一个焦点为C，当C为PB中点时，求k的值.北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题 9.1π,23 10 .12 11.16 12.16 13.1[2,)2--14.0；A B R=三．解答题 （15）（共13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ,因为243210a a a ， 所以35a .所以312514.a a d解得2d.所以1(1)1(1)22 1.n a a n d n n =+-=+-⨯=- ……………………………..7分 （Ⅱ）由（I ）知，21212n n b n ，所以{}n b 的前n 项和为132112[13(21)](222)n nb b b n=[1(21)]2(14)214n n n=22(41)3nn . ……………………..13分 （16）（本小题13分） （Ⅰ）()sin0cos0111012cos02f +++===……………2分（Ⅱ）由0cos ≠x 得,2x k k π≠+π∈Z 所以 函数的定义域是 ,2x x k k ⎧⎫π≠+π∈⎨⎬⎩⎭Z ……………5分 （Ⅲ）()22sin cos 2cos 112cos x x x f x x ⋅⋅+⋅-+=⋅……………9分()2cos sin cos 2cos x x x x⋅+=⋅sin cos x x =+4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………11分0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即 02x π<<3sin()14444x x ππππ∴<+<<+≤1)6x π∴<+所以 函数()f x 在(0,)2π上的取值范围为……………13分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）B 市一共有5个销售点，价格分别为：2500，2500，2500，2450，2460按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500B 市5个销售点小麦价格的中位数为2500. …………………3分（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为AB 市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500C 市一共有4个销售点，价格分别为： 2580，2470，2540，2400按照价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580 甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400）， （2450，2470），（2460，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）， （2450，2540），（2460，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2500，2540）， （2450，2580），（2460，2580），（2500，2580），（2500，2580），（2500，2580），一共有20组.其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400）， （2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）一共有8组.所以，甲的费用比乙高的概率为：82()205P A ==. ………………10分 （Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C ，A ，B. ………………13分 18．（共14分）解：（Ⅰ）设O BD AC = ， 连接OE ，因为1ACA ∆中，O ，E 分别为AC ，1AA 的中点，所以OE 为1ACA ∆的中位线，即//OE C A 1， ………………2分 因为⊄C A 1平面BDE ，⊂OE 平面BDE ，所以//1C A 平面BDE ． ………………4分（Ⅱ）因为侧棱⊥1AA 底面ABCD ，⊂BD 底面ABCD ，所以BD AA ⊥1， ………………5分 因为底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥， ………………6分 因为A AC AA = 1，所以⊥BD 平面11A ACC ， ……………… 8分 因为 ⊂C A 1平面11A ACC ，所以C A BD 1⊥． ………………10分 （Ⅲ）因为侧棱⊥1AA 底面ABCD 于A ，E 为棱1DD 的中点，所以AE 为三棱锥ABD E -的高. 因为31=AA ， 所以23=AE . 因为2==AD AB ，1B所以221=⋅=∆AD AB S ABD . 所以131=⋅==∆--AE S V V ABD ABD E BDE A ， ………………14分 （19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ,'()(1)1(1)(1)x xf x ae x x x ae ． 当1a 时，'(0)0f ，(0)0f ，所以曲线()yf x 在点(0,(0))f 处的切线方程为0y ．………………………..7分 (Ⅱ)'()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae .(1) 当0a 时，10x ae ，所以当1x 时，'()0f x ；当1x 时，'()0f x .所以()f x 的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).(2) 当0a 时，令'()0f x ，得11x ，2ln x a .①当ln 1a ，即a e 时，'()0f x ，所以()f x 的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间；②当ln 1a ，即a e 时， 当ln 1a x 时，'()0f x ；当ln 1x a x 或时，'()0f x .所以()f x 的单调递减区间为(ln ,1)a ，单调递增区间为(,ln )a ，(1,)；③当ln 1a ，即0a e 时，当1ln x a 时，'()0f x ；当1ln 或x x a 时，'()0f x .所以()f x 的单调递减区间为(1,ln )a ，单调递增区间为(,1)，(ln ,)a .…………………………………………………………………………………………13分20．解：（Ⅰ）因为,a b ==2242，所以,a b c ===2所以离心率c e a ==2（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 若k =12，则直线l 的方程为112y x =+ 由x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩22142112，得x x +-=23440解得 ,x x =-=12223设(0,1)A ，则12112||(||||)3(2)4223PBQ S AB x x ∆=+=⨯⨯+=（Ⅲ）法一：设点33(,)C x y ，因为11(,)P x y ，(0,2)B -，所以1313222x x y y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩ 又点11(,)P x y ，33(,)C x y 都在椭圆上， 所以221122111422()()22142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩解得1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以14k =-或14k = 法二：设33(,)C x y显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y k x =-12 由x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2211422，得()k x k x +-+=221121840 所以()k k x x k x x k ⎧⎪∆=->⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎪⎩2111321132116210821421 又x x =3112解得1114x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1114x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以14k =或14k =-。