课程02-随机过程-教案B-第01章

第1章 概 论§1.1 基本概念1.1.1 随机过程设),,(P ℘Ω是概率空间，T 是直线上的参数集（可列或不可列的）。

若对每一个T t ∈，)(),(w t w t ξξ=是随机变量，则称{}T t t w ∈),,(ξ为该概率空间上的随机过程。

在固定时刻t ，),(t w ξ是一个随机变量；对应每一个随机变量，有一个概率空间),,(P ℘Ω，即),()(t w w t ξξ=是样本空间Ω∈w 内的一个随机变量。

可用分布函数{}x t w p x F t <=),()(ξ描述),(t w ξ，这是一阶分布函数。

例1.1 概率分布为{},2/10==x P {}2/11==x P ，于是概率密度函数为())1(21)(21-+=x x x f δδ1.1.2 概率密度函数（PDF: Probability Density Function ）xx F x f t t ∂∂=)()( 1.1.3 二阶概率分布函数（CDF ：Cumulative Distribution Function ）{}()),;,(),(,),(21212211t t x x F x t w x t w P t ξξξ=<<相应地，PDF 为212121)(2121),;,(),;,(x x t t x x F t t x x f t ∂∂∂=ξn 维CDF 表示为),,,;,,,(2121)(n n t t t t x x x F ξ{}n n x t w x t w x t w P <<<=),(,,),(,),(2211ξξξ 随n →∞，可以获得对),(t w ξ的统计特性起来越精确的描述。

1.1.4 四种重要的随机过程时间：连续参数和离散参数；状态：连续和离散。

§1.2 举 例例1.2 一维随机游动：一质点在X 轴上随机随动，0=t 时在原点， ,3,2,1=t 时在X 轴上正向或反向移动一个单位距离，正向移动概率p ，负向移动概率q ，p+q =1；在时刻n ，质点位置为ξ，求ξ的概率分布。

解：ξ是一个随机变量。

在时刻n ，质点移动n 次，设其中正向m 次，负向n-m 次，则{}mn m qp m n k P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξ 因为，2)1()()1(kn m k m n m +=⇒=-⨯-++⨯ 于是，{}222kn k n q P k n n k P -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ξ此外，还有二维随机游动，向上、向下或向左、向右随机地移动。

例1.3 脉冲数字信号，脉宽0T 为常数，脉冲幅度)(t ξ是随机变量，可能取值)1,2(±±，取四个值的概率均1/4。

不同周期内的脉冲幅度相互独立，初始脉冲沿u 是在),0(0T 内均匀分布的随机变量，求)(1t ξ与)(2t ξ间的联合PDF 。

解：① 当021T t t ≥-时，)()(21t t ξξ和肯定不处于同一个脉冲内，)()(21t t ξξ和相互独立，所以联合PDF 为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑∑±±=±±=2;122;1121,)(41)(41),(21j i j x i x x x f t t δδξξ ② 021T t t <-时，)()(211t t ξξ和处于不同脉冲内（记为事件C ），也可以处于同一脉冲内（记为事C C ），且1)()(=+c C P C P 。

因此，联合PDF 为)(),()(),,(),(21,21,21,212121c c CC C P C x x f C P C x x f x x f ct t t t t tξξξξξξ+=其中，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑∑∑±±=±±=±±=)()(41),()(41)(41),(122,1121,2,122;1121,2121x x i x C x x f j x i x C x x f i cC j i C c t t t t δδδδξξξξ 设21t t <，且θ为2t 所在脉冲的前沿，于是θ是],[202t T t -上均匀分布的随机变量。

因此，)(c P 为θ在],[21t t 上出现的概率。

于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=-<-==⎰T t t C P C P T t t t t T t t du T C P ct t 1212211201)(1)()(1)(21即 于是，021T t t <-的联合概率密度函数为+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑∑±±=±±=T t t j x i x x x f j i t t 122,122;1121,)(41)(41),(21δδξξ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-∑±±=T t t x x i x i 12122,111)()(41δδ 例1.4 设)()cos()(πφπφξ≤≤-+=wt A t 。

其中，A 是常数，w 是常数，φ是均匀分布于),(ππ-间的一个随机变量。

求在t 时刻)(t ξ的PDF )(x f t ξ。

解：在时刻t ，)(t ξ对应的随机变量t ξ与φ的关系为)(1A A wt A t t ≤≤--⎪⎭⎫⎝⎛=-ξξφCOS由2)/(11A A d d t t ξξφ--=于是可得td d f x f t ξφφφξ)(2)(=A x A x A ≤≤-=,1212π由此可见，)(t ξ的PDF 与t 无关，是一级平稳过程。

例1.5 设)(t ξ同例1.4，求t 1和t 2间的联合PDF 。

解：首先，将联合概率密度函数分解为),,(),(),;,(1122112121t x t x f t x f t t x x f =其中，)cos(),cos(2211θθ+=+=wt A x wt A x所以，α=+-=-]cos )(cos[11122Ax t t w A x 或β=+-=-Ax t t w A x 11212cos )(cos[ ),(11t x f 在例1.4中给出。

该过程是可预测过程，在x 1和t 1给定条件下，t 2时刻取值x 2的概率为1，所以)()(),,(221122βδαδ-+-=x x t x t x f因此，)]()([1),;,(222122121βδαδπ-+--=x x x A t t x x f由此可见，这是一个二阶平稳过程。

例1.6 在例1.4中的)(t ξ，若A 也是个随机变量，服从瑞利分布⎪⎩⎪⎨⎧>-=其它,00,)2/exp()(2y y y y f A 并且A 与φ之间相互独立。

求二维联合PDF 。

解：由于A 与φ相互独立，所以πφφφφ2)()(),(2/,2aA A ae f a f a f -==设辅助变量)sin(θ+=wt A Y ，原随机变量)cos(θ+=wt A X 。

雅可比为a wt a wt a wt wt A Y X J =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=∂∂=)cos()sin()sin()cos(),(),(θθθθφ 于是，πφφ21),(2/),(,,2a a A Y X ef J y x f -==其中，222y x a +=。

所以，),(,221),(22,+∞<<-∞+=-y x y x ey x f Y X π由此可见，)(t ξ相差2/π相位的两点间的联合PDF 是联合正态分布的。

做边缘积分可得⎰∞+∞--+∞<<-∞==)(21),()(2,2x e dy y x f x f x Y X X π一维PDF 是正态的（这与教材（陆）p.35习题4的结果一致）。

下面求二维PDF ，设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)cos()cos(2211θθwt A x wt A x 雅可比为)](sin[)sin()sin()cos()cos(,),(12222121t t w a wt a wt a wt wt A x x J -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-++=∂∂=θθθθφ 所以，πφφ2),(1),(2/,21,221a A t t aea f J x x f -==其中，)]([sin )](cos[2212212122212t t w t t w x x x x A ---+=于是，)]([sin ]2)(cos 2exp[21),(2132121222121,21t t w t t w x x x x x x f t t ---+-=π其中，+∞<<∞-1x ，+∞<<∞-2x 。

由此可见，)(t ξ是二级平稳。

例1.7 如例1.3的脉冲信号，若脉冲幅度服从正态分布),0(2σN ，且不同周期内幅度相互独立，求二维联合概率密度函数。

解：当021T t t >-时，两个时刻肯定处于不同的周期内，即相互统计独立。

于是]2exp[21),;,(2222122121σπσx x t t x x f +-=当021T t t <-时),;,(2121t t x x f ]2exp[21)(21)1(2222122112221221σπσδσπσx x Tt t x x e Tt t x +--+---=由此可见，一维虽然是正态的，但是二维不一定是正态的。

§1.3 随机过程的数字特征1.3.1 均值（数学期望）{}⎰⎰+∞∞-+∞∞-===dx t x xf dx x xf t E t t ),()()()(1)(111ξξξξμ这种平均叫“集平均”。

表示)(t ξ在t 1时刻的“摆动中心”。

1.3.2 方差和标准差（均方根差）{}{}{}{}dxt x f t x t E t E t t E t D t ),()]([])([)]([)]()([)()(1212121211112ξξξξμξξμξξσ⎰∞+∞--=-=-==()12t ξσ叫方差（二阶中心矩），()i t ξσ叫“标准差”或“均方根差”。

表示)(t ξ在t 1时刻对于均值)(1t μ的偏离程度。

1.3.3 自相关函数(){}⎰⎰+∞∞-+∞∞-==212121)()(212121),;,()(),(21dx dx t t x x f x x t t E t t R t t ξξξξξξ这是“二阶混合原点矩”。

1.3.4 自协方差函数(){}))(),((),;,()]()][([)]()()][([21212121)()(22112211),(2121t t Cov dx dx t t x x f t x t x t t t t E C t t t t ξξμμμξμξξξξξξξξξ=--=--=⎰⎰∞+∞-∞+∞-当21t t =时，(){}21211221)]([)]([),(t t E t t t C ξξξξμξσ-== 这是“二阶混合中心矩”。