四川省成都外国语学校2016届高三最后一卷数学(文)试题

成都外国语学校高2016届考前适应性考试数学试题（文史类）满分：150分，时间120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若右图所示的集合{1,2,3}A =，2{|680}B x Z x x =∈-+≤，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{1,2}B. {1,3}C.{1,4}D. {2,3}2.已知i 是复数的虚数单位，若复数(1)|2|z i i +=，则复数z =（ ） A. i B. 1i -+ C. 1i + D. 1i -3.在等差数列{}n a 中，若4686a a a ++=，则7812a a -=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直 角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）（A ）13（B ）16 （C ）83（D ）43 5.已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（ ） A ．3152B ．3152-C ．322-D ．3226．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A.3 B.32C. 12D. 17．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为()2,2P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ）P 0POyx正(主)视图侧(左)视图俯视图2 2228.若函数()1lga xf x x b x-=+-是其定义域上的偶函数，则函数()y f x =的图象不可能是()9．经过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于,M N 两点，若4||3aMN =，则该双曲线的离心率是（ ） A.2或233 B.52 或5 C.52 D. 23310．已知函数1()(31)(4)+=++≥-x f x x e mx m e ，若有且仅有两个整数使得()0f x ≤，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（5e ，2] B ．258[,)23e e -- C ．218[,)23e -- D ．5[4,)2--e e二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上 11．计算3lg 5lg2log 3+⋅= _______．12. 某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号， ，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.13.已知O 是坐标原点，点)1,1(-A ，若点),(y x M 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥+-0)1(log 12221y y x x 上的一个动点，则AO OM ⋅的取值范围是________.14.已知(0,1),(3,0),(3,2)A B C --,则ABC ∆内切圆的圆心到直线31y x =-+的距离为_____. 15. 设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在区间(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”.例如函数()ln f x x =在任意正实数区间(,)a b 上都是凸函数.现给出如下命题：①区间(,)a b 上的凸函数()f x 在其图象上任意一点(,())x f x 处的切线的斜率随x 的增大而减小；②若函数(),()f x g x 都是区间(,)a b 上的凸函数，则函数()()y f x g x =也是区间(,)a b 上的凸函数； ③若在区间(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则1212,(,),,x x a b x x ∀∈≠都有1212()()()22x x f x f x f ++> ④对满足1m ≤的任意实数m ，若函数43211()126f x x mx x mx m =--+-在区间(,)a b 上均为凸函数，则b a -的最大值为2. ⑤已知函数1(),(1,2)f x x x=-∈，则对任意实数0,(1,2)x x ∈，000()()()()f x f x f x x x '≤+-恒成立； 其中正确命题的序号是 .（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16. （12分）已知向量(sin cos ,3cos )x x x ωωω=+a ，(cos sin ,2sin )(0)x x x ωωωω=->b ，若函数()f x =⋅a b 的相邻两对称轴间的距离等于2π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在ABC ∆中,a b c 、、分别是角A B C 、、所对的边，且()1f C =，2c =，且()sin sin 3sin 2C B A A +-=,求ABC ∆的面积.17．（ 12分）2016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施(简称“国五条”).为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入； （Ⅱ）若从月收入(单位:百元)在[65,75)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率.月收入(百元) 赞成人数[15,25) 8 [25,35) 7 [35,45) 10 [45,55) 6 [55,65) 2 [65,75)2655545357525150.0050.010.0150.020.025频率/组月收入/百18．(12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中, E 为AD 上一点，PE ⊥平面ABCD .//AD BC ，AD CD ⊥，22BC ED AE ===，3EB =，F 为PC 上一点，且2C F F P =．（Ⅰ）求证://PA BEF 平面；（Ⅱ）求三棱锥P ABF -与三棱锥F EBC -的体积之比．19. （12分）已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足224n n n a a S += （Ⅰ）数列{}n a 的通项n a ;（Ⅱ）令122n nn n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（13分）已知21,F F 是椭圆12222=+b y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点)22,1(-P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）⊙O 是以21F F 为直径的圆，一直线m kx y l +=:与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点B A ,．当O AO B λ⋅=，且满足4332≤≤λ时，求AOB ∆面积S 的取值范围．PABCFDE21.（14分）设知函数)(ln 1)(R a x a x xx f ∈+-=（ 71828.2e =是自然对数的底数）． （Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为0y =，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数)(x f 在定义域上不单调，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数)(x f 的两个极值点为1x 和2x ，记过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，是否存在a ，使得2122--≤a e ek ？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由．成都外国语学校高2016届考前适应性考试数学试题(文史类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CD A D D A C C B B 8.提示：因为()f x 偶函数，所以0a b +=，①当0a b ==时，选项A 正确, ②当0a b =->时，()1f x <选项B 正确, ③当0a b =-<时，()1f x >选项D 正确, 故选择C. 9.提示：22tan tan 2,tan 1tan b a a b θθθθ==- 或 4tan 23θ=且，易得选B 10.提示：方法1. 易得1()(31)(4)+=++≥-x f x x e mx m e 在[0,)+∞单调增，且(0)0f e => 所以使得()0f x ≤的x 的整数解不可能为正整数和零，只可能负整数，所以分离参数得：1(31)x x e m x ++≥-，作出1(31)x x e y x++=-与y m =的图像易知只有1,2--两个整数解满足条件。

进而选择B.方法2.研究1(31)x y x e +=+与y mx =- 方法3.特殊值法二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上11. 12 12. 37 13. [2,0]- 14. 1 15. ①③⑤15提示：①有凸函数的图像作切线变知正确，或者因为在区间(,)a b 上，()0f x ''<恒成立 所以()f x '在区间(,)a b 单调减，所以结论成立； ②举反例说明：如：函数2()f x x =-， 1()g x x=-在区间(0,1)都是凸函数，但是()()f x g x x ⋅=在区间(0,1)不是凸函数；③若在区间(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，所以函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”. 有图像知道1212()()()22x x f x f x f ++>成立； ④因为2()2f x x m x ''=--的两个零点为,()a b a b <，所以222()()48b a a b a b m -=+-=+在[1,1]m ∈-的最大值为9，即max ()3b a -=⑤由已知转化为000()()()f x f x f x x x -'≤-，数形结合转化割线与切线的问题，或者构造新函数000()()()()()F x f x f x f x x x '=---,注意：0()0F x = 因为0()()()F x f x f x '''=-而，()()0F x f x ''''=<所以，0()()()F x f x f x '''=-单调减，且0()()0F x F x ''≤=,所以，max 0()()0F x F x ==三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16. 解：（Ⅰ）()f x =⋅a b =22cossin 23cos sin x x x x ωωωω-+⋅x x ωω2sin 32cos +=)62sin(2πω+=x ………4分0>ω2(),2f x T πππωω∴===函数的周期 1ω∴=. ………5分（Ⅱ） ()2sin(2)6f x x π=+又1)C (f = 1s i n (2)62C π∴+= 而132666C πππ<+< 5266C ππ∴+= 3C π∴= ………6分由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA ， ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ，∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ， 整理得sinBcosA=3sinAcosA ． ………………………8分 若cosA=0，即A=2π时，△ABC 是直角三角形，且B=6π，于是b=ctanB=2tan6π=233，∴ S △ABC =12bc=233． ……………………10分 若cosA ≠0，则sinB=3sinA ，由正弦定理得b=3a ．① 由余弦定理得：022260cos ab 2b a c -+=② 联立①②，结合c=2，解得a =277，b=677， ∴ S △ABC =12absinC=12×277×677×32=337．综上，△ABC 的面积为233或337．………………………12分 17．解：（Ⅰ）由直方图知：设中位数x ：则100.015100.015(35)0.0250.5x ⨯+⨯+-⨯=，故43x =(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴这60人的平均月收入约为43.5百元. …………4分（Ⅱ）月收入为(单位:百元)在[65,75)的人数为：60100.016⨯⨯=人，…5分由表格赞成人数2人，则不赞成的4人为：记不赞成的人为：,,,a b c d ;赞成人数为：,A B 则从这6人中随机地选取2人一共有15种结果如下：,,,,ab ac ad aA aB ， ,,,bc bd bA bB ，,,cd cA cB ，,dA dB ，AB ………6分其中被选取的2人都不赞成的结果有6种结果如下：,,,,,ab ac ad bc bd cd ……8分 记事件A ：“被选取的2人都不赞成”则：63()155m P A n === 故：被选取的2人都不赞成的概率为35………12分 18．（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 于点M ，连接FM ．由//EM CD 12AM AE PF MC ED FC∴===． //FM AP ∴． ………………4分FM BEF PA BEF ⊂⊄ 面，面， //PA BEF ∴面．………………6分（Ⅱ）12P ABF A PBF PBF F EBC E FBC FBC V V S PF V V S FC --∆--∆====…………12分19.解：（Ⅰ）（ⅰ）当1n =时，224n n n a a S += ，所以：21111244a a S a +== 所以：12a =或者10a =（舍去）224n n n a a S += ①（ⅱ）当2n ≥时， 211124n n n a a S ---∴+=②所以：①-②得：22112()4n n n n n a a a a a ---+-=（2n ≥）分解因式得：11()(2)0n n n n a a a a --+--=；又0n a > 所以：12n n a a --=（2n ≥） 故数列{}n a 是以首相为2，公差为2的等差数列 所以：2n a n =；PABCFDE MH（Ⅱ）11122111111()[]222(22)22222(1)2n n n n n n n n n n b a a n n n n n n +++++===-=-+++12n n T b b b =+++ 22311111111[()()()]222222322(1)2n n n n +=-+-++-⨯⨯⨯+ 2114(1)2n n +=-+. 20.012=+M F PM ）解：（ .2的中点是线段点PF M ∴ .,212121PF PF F F OM F PF OM ⊥∴⊥∆∴的中位线，又是12椭圆的标准方程为∴1,1,2121112222222222=+===⎪⎩⎪⎨⎧+==+=∴y x c b a cb a b ac 解得（Ⅱ）∵圆O 与直线l 相切 1,11222+==+∴k m k m 即由0224)21(1222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+m km x x k y mkx y y x 得消去 ∵直线l 与椭圆交于两个不同点，,002>⇒>∆∴k 设),(),,(2221y x B y x A , 则22222121221212221221212)())((,2122,214k k m m x x km x x k m kx m kx y y k m x x k km x x +-=+++=++=+-=⋅+-=+4321132433221122222121≤++≤∴≤≤=++=+=⋅k k k k y y x x OB OA λλ 1212≤≤k 解得： 2222221221221224)214(1214)(121121k m k km k x x x x k AB S S AOB+-⋅-+-⋅+=-+⋅+=⋅⋅==∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=≤≤+=+++=2,43,142,2431)(4)(2242424u u u S u k k u k k k k 则设3246,32)2(,46)43(2,43≤≤∴==⎥⎦⎤⎢⎣⎡S S S u S 单调递增，在关于21.解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，并求导22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-(1)0f '=，得2a =（Ⅱ）)(x f 的定义域为),0(+∞，并求导22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-，令1)(2+-=ax x x g ，其判别式24a ∆=-，由已知必有0∆>，即2-<a 或2>a ；①当2-<a 时，)(x g 的对称轴12<=ax 且01)0(>=g ，则当),0(+∞∈x 时，0)(>x g ，即0)(/<x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递减，不合题意； ②当2>a 时，)(x g 的对称轴12>=ax 且01)0(>=g ，则方程0)(=x g 有两个不等1x 和2x ，且),1(),1,0(21+∞∈∈x x ，121=⋅x x ，当),0(1x x ∈，),(2+∞∈x x 时，0)(/<x f ；当),(21x x x ∈时，0)(/>x f ， 即)(x f 在),0(1x ，),(2+∞x 上单调递减；在),(21x x 上单调递增； 综上可知，a 的取值范围为),2(+∞；（Ⅲ）假设存在满足条件的a ，由（1）知2>a ．因为)ln (ln )()()(2112211221x x a x x x x x x x f x f -+-+-=- 所以2121212121ln ln 11)()(x x x x ax x x x x f x f k --+--=--=， 若2122--≤a e e k ，则12ln ln 22121-≤--e e x x x x ，由（1）知，不妨设),1(),1,0(21+∞∈∈x x 且有121=⋅x x ，则得)ln (ln 2121221x x e e x x --≤-，即),1(,0ln 21122222+∞∈≤-+-x x e e x x ……………（*） 设)1(ln 11)(2>-+-=x x ee x x x F ， 并记]4)21(21[21222/1----=e e e e x ，]4)21(21[21222/2--+-=ee e e x ，则由（1）②知，)(x F 在),1(/2x 上单调递增，在),(/2+∞x 上单调递减，且e x x <<<</2/110，又0)()1(==e F F ，所以当),1(e x ∈时，0)(>x F ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x F ， 由方程（*）知，0)(2≤x F ，故有e x ≥2， 又由（1）知01)(2222=+-=ax x x g ，知ee x x a 1122+≥+=（x x y 1+= 在)[∞+e 上单调递增）， 又2>a ，因此a 的取值集合是}1|{ee a a +≥．。