湖北省荆门市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析
湖北省荆门市2021届新高考三诊数学试题含解析
湖北省荆门市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2B ．2CD【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x 、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率． 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y=kx1k ∴=， ， 得双曲线的一条渐近线的方程为3y =∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有： b c e a a ==＝ ②当焦点在y 轴上时有：2a c e b a ==；∴求得双曲线的离心率 2． 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．2．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据，即可容易求得中位数. 【详解】由图表可知，种子发芽天数的中位数为343.52+=， 故选：C. 【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题. 3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选：D 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156 B ．124C ．136D ．180【答案】A 【解析】 【分析】因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】Q 711911212a a a a +==+，∴712a =， ∴()113137131313121562a a S a +===⨯=.故选：A. 【点睛】本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --【答案】B 【解析】 【分析】求得复数1z ，结合复数除法运算，求得12z z 的值. 【详解】易知123z i =+，则()()1223(23)(2)(23)(2)2225z i i i i i z i i i ++--+--===-+-+--1818555i i --==--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.6．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ） A ．1 B．C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ．【详解】 由已知得F （2p，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,故选C ． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题． 7．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 BC ．5 D．【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由15z z ⋅=可得15z z =，所以155||2i ||||z z +====B ． 8．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C 【解析】 因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i+的虚部是1 ，故选C. 9．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆Q D ．Q ⊆R C P【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C10．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( )A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则A B =I ( ) A ．{}1,0- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】由已知，22172()024x x x -+=-+>，故B R =，所以A B =I {}2,1,0,1,2--. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.12．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x = D ．3()f x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可. 【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0xxx x f x f x e ee e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0xxf x e e-=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=，满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误；故选：B 【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆门市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
湖北省荆门市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8 B．83C．822+D．842+【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积．【详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以1122222222284222S=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选：D【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题. 2．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1）B．（1，2）C．（–1，+∞）D．（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B =-+∞ ，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.3．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项.【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭, cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数，故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<，所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B, 故选：D本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.4．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．5C ．13D ．13【答案】C【解析】【分析】先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+，23z i =- 222313z z ⋅=+=，故选：C【点睛】考查复数的运算，是基础题.5．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞） 【答案】B【解析】，，∴． 故选．6．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C【解析】【分析】 分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ，1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确．对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈， 当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.8．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D【解析】【分析】 A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假.【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=，所以AC ⊥平面11BDDB ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠=== 当1111AC B D F =，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 212AG AEG GE ∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.9．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】本题采用排除法:由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ；【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x x y x x --=-, 则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭; 即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.10．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】C【解析】【分析】 根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图像变换知识得到答案. 【详解】 由图象知：7212122T T ππππ=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π=时函数值最大， 所以2221223k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3πϕ=，从而()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 只需将()f x 的图象向左平移12π个单位即可得到()g x 的图象，故选C.【点睛】 已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求．11．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④【答案】D【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.【详解】对于①，若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误； 对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误；对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确；故选：D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A 53B ．23C ．33D ．33【答案】D【解析】【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=， 则13AC =133CD = 由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即3sin 213α=， 从而()3cos cos 90sin 213BCD αα-∠=︒+=-=，在BCD ∆中，由余弦定理得：2134992333BD =++⨯=，则BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆门市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析
湖北省荆门市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】C 【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为by x a=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥ ∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒∴tan 60ba=︒=223b a =.∴双曲线的离心率为22cae aa==== 故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．3．已知函数()()3cos 0f x x x ωωω+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min 2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】Q ()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭Q ，即3x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴有且仅有12-=-满足条件；又12min2x x π-=，则22T T ππ=⇒=， 22T πω∴==，∴函数()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，2363f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故B 错误；对于C ，当76x π=时，7726333f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由20333f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：D 【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.4．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，利用韦达定理结合已知条件得22k b k -=，2m k=，代入上式即可求出k 的取值范围．【详解】设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222(24)0k x kb x b +-+=，∴△222(24)40kb k b =-->，1kb ∴<，且12242kb x x k -+=，2122b x x k=，12124()2y y k x x b k+=++=， Q 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，∴122422kb x x k -+==，1242y y m k+==， 22k b k -∴=，2m k=，0m >Q ，0k ∴>，把22k b k-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，1k ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．5．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．6．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B 【解析】 【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率． 【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数22123234m C C C C =+=，∴6和28恰好在同一组的概率42105mpn===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知直三棱柱中111ABC A B C-，120ABC∠=︒，2AB=，11BC CC==，则异面直线1AB与1BC所成的角的正弦值为（）．A．3B．105C．155D．63【答案】C【解析】【分析】设M,N,P分别为1,AB BB和11B C的中点，得出11,AB BC的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出,,AC MQ MP和MNP∠的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为1,AB BB和11B C的中点，则11,AB BC的夹角为MN和NP夹角或其补角可知1152MN AB==，11222NP BC==.作BC中点Q，则PQMV为直角三角形；11,2PQ MQ AC ==Q ABC V 中，由余弦定理得22212cos 4122172AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭AC ∴=2MQ =在MQP △中，2MP ==在PMN V 中，由余弦定理得22222222cos 25MN NP PM MNP MH NP ⎛⎛+- +-∠====-⋅⋅所以sin 5MNP ∠=== 故选：C 【点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目. 8．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()cos 221f x x x =++化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】Q ()cos 221f x x x =++可得1()2cos 2sin 212sin 2126f x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+=++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，()f x 的最小正周期为22||2T πππω===,故A 正确； 对于B ，由1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，可得1()3f x -≤≤，故B 正确； 对于C ，Q 正弦函数对称轴可得：()02,62x k k Z πππ+=+∈解得：()0,612x k k Z ππ=+∈， 当0k =，06x π=，故C 正确；对于D ，Q 正弦函数对称中心的横坐标为：()02,6x k k Z ππ+=∈解得：()01,212x k k Z ππ=+∈ 若图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则12124k πππ+=-解得：23k =-，故D 错误； 故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．10．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．8【答案】D 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出. 【详解】解：函数()f x ，如图所示()()()()()200f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦当0a >时，()0a f x -<<，由于关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解 因此其整数解为3，又()3963f =-+=- ∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤ 当0a =时，()20f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意； 当0a <时，()0f x a <<-当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解 当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解 综上，实数a 的最大值为8 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.11．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论. 【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.12．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【答案】B【解析】Q 函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增， 222'10a x a y x x -∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤， [][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴Q 函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-，故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆门市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
湖北省荆门市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【答案】C 【解析】 【分析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.2．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u ur ,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r ,依题意可得1ln 03t t+=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,所以min1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭,1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C 【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.3．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=， 三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键． 4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 【答案】C 【解析】 【分析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．5．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C 【解析】 【分析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.6．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( )A BC ．4D ．2【答案】D 【解析】 【分析】设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据123PA PA k k =可得22233y x a =-①，再根据又2200221x y a b-=②，由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．【详解】解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，∴0000·3y y x a x a=+-，即2220033y x a =-，① 又2200221x y a b-=，②， 由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题． 7．若圆锥轴截面面积为360°，则体积为( ) A 3B ．6 C 23D 26【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为23r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，123232r r ⨯=2r = 所以圆锥的体积2133V r r π==26. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 8．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误；本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.9．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．10．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）A．25B．1325C．35D．1925【答案】D【解析】【分析】三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有223133 535233 2222C C C CA A A A+150=种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有122332C C A种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有112332C C A种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为36615025=，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为61912525P=-=.本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度. 11．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算，求得z ，再求其对应点即可判断. 【详解】51212z i i==-+Q ，故其对应点的坐标为()1,2-. 其位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高考金太阳、武汉市、鄂东南省级五月联考数学试卷含详解
乙：直线 l 经过点 (1,0) ；
丙：直线 l 经过点 (1,1) ；
丁： ab 0 ．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．已知 △ABC 的外心为 O ， 2AO AB AC,| AO || AB | 2 ，则 AO AC 的值是（ ）
A． 3
B． 3 2
3(n 1) 1
2n 3n 1
2n (3n 2
Tn
min
T1
1 2
．
因为对任意的 n N* ， t 4Tn 恒成立，
所以 t 4T1 2 ，即 t 2 ． 19．解：（1）证明：由题意知 EF AE ， EF BE ， 而 AE 平面 ABE ， BE 平面 ABE ， AE BE E ， EF 平面 ABE ， BC //EF ， BC 平面 ABE ． 又 BC 平面 ABC ，平面 ABC 平面 ABE ． （2）【解法一】延长 BE ，CF 交于点 P ，则 AP 为平面 ABE 和平面 ACF 的交线．过 B 作 BQ AP 于 Q ，
2
（1）求 C 的标准方程； （2）动点 M 在抛物线 C 上，且在直线 x 2 的右侧，过点 M 作椭圆 E : x2 y2 1 的两条切线分别交直
43 线 x 2 于 A ， B 两点．当 | AB | 10 时，求点 M 的坐标．
22．已知函数 f (x) 2 cos2 x ax 2 ．
直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过 n n N* 次，（其中 n 小于当次调查
的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为 ，求 的数学期望．
21．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为点 F ，P 为 C 上一点，若点 P 到原点的距离与点 P 到点 F 的 距离都是 3 ．
2021届湖北省高三下学期5月新高考模拟联考数学试题(解析版)
2021届湖北省高三下学期5月新高考模拟联考数学试题一、单选题1．已知全集为U ，集合,A B 为U 的子集，若UA B ，则A B =（ ）A ．UBB ．UAC ．BD ．A【答案】C【分析】由交集为空集可得,A B 包含关系，由此确定交集结果. 【详解】()UA B =∅，B A ∴⊆，A B B ∴=.故选：C.2．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的非负半轴，若点(1,2)P -是角α终边上的一点，则tan(2)πα-等于（ ）A ．34-B ．43-C ．34D ．43【答案】B【分析】由三角函数的定义可求tan α的值，再利用诱导公式及二倍角正切公式可求. 【详解】解：由题意，得tan 2α，从而222tan 2(2)4tan(2)tan 21tan 1(2)3απααα⨯--=-=-=-=----，故选：B.3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（ ） A ．1 B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【分析】求出a 的值，利用双曲线的定义可求得2PF .【详解】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上， 所以214PF PF -=，所以29PF=，故选：D.4．已知复数21n n z i i i =++++(i 为虚数单位，*n ∈N )，若{}(,1,2,,)s t M z z z z s t n ==⋅=，从M 中任取一个元素，其模为1的概率为（ ）A ．27B ．37 C ．17D ．1n【答案】B【分析】根据等比数列的求和公式，求得111n n i z i+-=-，由复数n i 的性质，得出集合M ，进而求解.【详解】由题意，可得12111n nn i z i i i i+-=++++=-， 根据复数n i 的性质，可得1,,0,1,1,,0,1,n z i i i i =++，即n z 的取值只有四个数1,,0,1i i +，所以集合{0,1,1,,2,1,1}M i i i i =-+-+，M 中共7个元素，其中模为1的有三个元素，故所求概率为37P =. 故选：B .5．生物体的生长都经过发生､发展､成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢､在发展阶段速度加快､在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为()(0,1,0)1kx bKf x K a k a +=>><+.一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为10()()13kx bf x x +=∈+N ，x 表示果树生长的年数，()f x 表示生长第x 年果树的高度，若刚栽种时该果树高为1m ，经过一年，该果树高为2.5m ，则(4)(3)f f -=（ ）A ．2.5mB ．2mC ．1.5mD ．1m【答案】C【分析】根据题中条件，得到(0)1m f =，(1) 2.5m f =，由解析式列出方程组求出b ，k ；再计算(3)f 与(4)f ，即可得出结果.【详解】根据已知(0)1m f =，(1) 2.5m f =，得1310134b k b+⎧+=⎨+=⎩，解得2b =，1k =-，所以210()13x f x -+=+，从而11030(3)7.5m 134f -===+，210(4)9m 13f -==+， 所以(4)(3) 1.5m f f -=. 故选：C.6．如图，圆台1OO 的上底面半径为111O A =，下底面半径为2OA =，母线长12AA =，过OA 的中点B 作OA 的垂线交圆O 于点C ，则异面直线1OO 与1AC 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B【分析】连接1A B ，可证得11//OO A B ，知所求角为1BAC∠；根据勾股定理可求得1BC A B =，由此得到所求角.【详解】在直角梯形11OO A A 中，B 为OA 的中点，2OA =，111O A OB AB ∴===， 连接1A B ，易知四边形11OO A B 为矩形，11//OO A B ∴，∴1BAC ∠为异面直线1OO 与1AC 所成的角， 在1Rt AA B 中，12AA =，1AB =，13A B ∴= 连接OC ，在Rt OBC 中，由1OB =，2OC =得：3BC ；在1Rt A BC 中，1BC A B =，145BAC ∴∠=. 故选：B.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a 1､第3行的第3个数字为a 2，……，第n (2n )行的第3个数字为1n a -，则12310a a a a ++++=（ ）A ．220B ．186C ．120D ．96【答案】A【分析】由杨辉三角与二项式系数的关系及组合数性质11m m m n n n C C C -+=+可解.【详解】解：22223222123102341133411C C C C C C C C a a a a ++++=++++=++++ 32232244115511C C C C C C =+++=+++=312121110C 220321⨯⨯===⨯⨯.故选:A.8．已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(3,2)M 到直线AB 距离的最大值为（ ） A ．2B 3C ．2D 5【答案】D【分析】假设点(,)P a b ，然后得到以OP 为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线AB 的方程，然后可知直线AB 过定点()11，，最后简单判断和计算可得结果.【详解】设(,)P a b ，则4a b +=，以OP 为直径的圆的方程是()22221224a b x y a b ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与圆O 的方程224x y +=相减，得直线AB 的方程为4ax by +=，即40ax by +-=， 因为4a b +=，所以4b a =-，代入直线AB 的方程，得(4)40ax a y +--=， 即()440a x y y -+-=，当x y =且440y -=，即1x =，1y =时该方程恒成立， 所以直线AB 过定点N (1，1)，点M 到直线AB 距离的最大值即为点M ，N 之间的距离，||5MN =， 所以点M (3，2)到直线AB 距离的最大值为5. 故选:D【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于得到直线AB 的方程以及观察得到该直线过定点.二、多选题9．在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力､控制力､决断力､前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分､“较强”记为5分､“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（ ）A ．甲､乙的五项能力指标的均值相同B ．甲､乙的五项能力指标的方差相同C ．如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D ．如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力 【答案】AB【分析】利用雷达图逐项判断.【详解】甲的五项能力指标为6，5，4，5，4.平均值为654544.85++++=；乙的五项能力指标为6，4，5，4，5，平均值为645454.85++++=，则A 正确；由于均值相同，各项指标数也相同(只是顺序不同)，所以方差也相同，则B 正确； 从控制力､决断力､前瞻力考虑，甲的均值为143，乙的均值为133，所以甲的领导力高于乙的领导力，则C 不正确；从影响力､控制力､感召力考虑，甲､乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲､乙水平相当，则D 不正确. 故选：AB.10．已知两个不为零的实数x ，y 满足x y <，则下列结论正确的是（ ） A ．||31x y -> B ．2xy y <C ．||||x x y y <D ．11e e x y x y-<-【答案】AC【详解】因为x y <，所以||0x y ->，所以||31x y ->，则A 正确；因为x y <，当0y >时，2xy y <，当0y <时，2xy y >，则B 错误；令()||f x x x =，易知()f x 在R 上单调递增，又x y <，所以()()f x f y <，即||||x x y y <，则C 正确；对于D ，法一：令1()xg x e x=-，易知()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，不妨设0x y <<，则()()g x g y >，即11x y e e x y ->-，亦即11x y e e x y->-，则D 错误；法二：取1x =-，1y =，1112e e x y--=->-，则，则D 错误，故选AC . 11．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 的初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线()()()000:'l y f x f x x x -=-，则l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠，称1x 是r 的一次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为x 2，称x 2是r 的二次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中()()()()1'0'n n n n n f x x x f x f x +=-≠，称1n x +是r的n +1次近似值，这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程22x =的近似解，则（ ）A ．若取初始近似值为1，则该方程解的二次近似值为1712B ．若取初始近似值为2，则该方程解的二次近似值为1712C ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----D ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =-+-+【答案】ABC【分析】构造函数2()2f x x =-，并求得导数，然后按照题干的定义依次代值计算结合排除法可得结果.【详解】构造函数2()2f x x =-，则'()2f x x =，取初始近似值01x =，则()()01001231'212f x x x f x -=-=-=⨯，()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯，则A 正确；取初始近似值02x =，则()()0100423222'2f x x x f x -=-=-=⨯，()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯，则B 正确；根据题意，可知()()0100'f x x x f x =-，()()1211'f x x x f x =-，()()2322'f x x x f x =-，()()3433'f x x x f x =-，上述四式相加，得()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----，则D 不正确，C 正确， 故选：ABC. 12．已知函数()()*sin cos N n n f x x x n =+∈，则（ ）A ．对任意正奇数n ，()f x 为奇函数B ．对任意正整数n ，()f x 的图象都关于直线4x π=对称C ．当3n =时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．当4n =时，()f x 的单调递增区间是(),4k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】BC【详解】取1n =，则()sin cos f x x x =+，从而()010f =≠，此时()f x 不是奇函数，则A 错误；因为()sin cos cos sin 222n n n nf x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，则B 正确；当3n =时，()()223sin cos 3cos sin 3sin cos sin cos f x x x x x x x x x '=-=-，当0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<f ；当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>.所以()f x 在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,42ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()f x 的最小值为334222f π⎛⎛⎛⎫=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确； 当4n =时，()()244222221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+-=-1cos 4131cos 4444x x -=-=+，则()f x 的递增区间为(),422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则D 错误.故选BC .三、填空题13．若向量,a b 满足a b =，23a b a +=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】23π 【分析】由平面向量数量积的运算律，可通过平方运算构造关于所求夹角余弦值的方程，解得夹角余弦值后，结合向量夹角范围可求得结果.【详解】由23a b a +=得：2223a b a +=，又a b =，222224cos ,454cos ,3a a b a b b a a a b a ∴+⋅<>+=+<>=，1cos ,2a b ∴<>=-，又[],0,a b π<>∈，2,3a b π∴<>=.故答案为：23π.14．请写出一个函数()f x =___________，使之同时具有如下性质：①x ∀∈R ，()(4)f x f x =-，②x ∀∈R ，(4)()f x f x +=.【答案】cos2x π【分析】根据①②可知函数是周期函数且关于2x =对称，即可求解. 【详解】性质①②分别表示()f x 关于直线2x =对称和以4为周期， 答案不唯一，写出一个即可， 例如()cos2f x x π=，故答案为：()cos2f x x π=15．已知椭圆C 的左､右焦点分别为12,F F ，直线AB 过1F 与椭圆交于A ，B 两点，当2F AB 为正三角形时，该椭圆的离心率为___________.【答案】33【分析】根据椭圆的定义及2F AB 可知11AF BF =，由椭圆对称性知AB 垂直于x 轴，即可求解.【详解】不妨设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据椭圆定义，122AF a AF =-，122BF a BF =-，2F AB 为正三角形，22AF BF =，所以11AF BF =，即1F为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性知AB 垂直于x 轴.设122F F c =，则1232tan 303c AF c =︒=，2243cos303c cAF ==︒. 因为122AF AF a +=，即232c a =， 所以33c e a ==.四、双空题16．在上､下底面均为正方形的四棱台1111ABCD A BC D -中，已知11112AA BB CC DD ====，2AB =，111A B =，则该四棱台的表面积为___________；该四棱台外接球的体积为___________.【答案】537+823【分析】在等腰梯形11DCC D 中，过1C 作1C H DC ⊥，垂足为H ，由题意可得12CH =，1C H =AC BD O =，11111AC B D O ⋂=.由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥(如图). 由于上､下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO 上，点O 到点B 与到点1B 的距离相等，O 到A ，A 1，C ，C 1，D ，D 1的距离相等，从而可求出球的半径，进而可求出四棱台外接球的体积【详解】在等腰梯形11DCC D 中，过1C 作1C H DC ⊥，垂足为H ，易求12CH =，12C H =，则四棱台的表面积为(12)14452S S S S +=++=++⨯=+上底下底侧设ACBD O =，11111AC B D O ⋂=.由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥(如图).因为2AB =，111A B =，可知11SA B 与SAB 相似比为1：2；则12SA AA ==AO =则SO =则12OO =，即该四棱台的高为2由于上､下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO 上，在平面11B BOO 上，由于12OO =，112B O =1OB OB ==，即点O 到点B 与到点1B 的距离相等，同理O 到A ，A 1，C ，C 1，D ，D 1O 为外接球的球心，且外接球的半径r =故该四棱台外接球的体积为3.故答案为：5+3【点睛】关键点点睛：此题考查棱台的有关计算，考查多面体的外接球问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查计算能力，属于中档题五、解答题17．在等比数列{}n a 中，公比0q >，其前n 项和为n S ，且26S =，___________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设log 2n n a b =，且数列{}n c 满足11c =，11n n n n c c b b ++-=，求数列{}n c 的通项公式.从①430S =，②6496S S -=，③3a 是3S 与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分. 【答案】条件选择见解析；（1）2n n a =；（2）12n c n=-. 【分析】（1）若选①430S =，再由26S =，得126a a +=，123430a a a a +++=，两式相减求解；若选②6496S S -=，再由26S =，得到645696S S a a -=+=，126a a +=，联立求解；若选③3a 是3S 与2的等差中项，得到3322a S =+，即312322a a a a =+++，再结合126a a +=求解；（2）由（1），得1log 2n n a b n ==，进而得到1111n n c c n n +=--+，然后利用累加法求解.【详解】（1）若选①430S =.由26S =及430S =，得126a a +=，123430a a a a +++=，两式相减，得3424a a +=，即()21224q a a +=，所以24q =，由0q >，得2q ，代入126a a +=，得1126a a +=， 解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. 若②6496S S -=.因为645696S S a a -=+=，126a a +=， 所以451196a q a q +=，116a a q +=，两式相除，得416q =， 结合0q >，得2q，所以1126a a +=，解得12a =， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. 若选③3a 是3S 与2的等差中项.由3a 是3S 与2的等差中项，得3322a S =+， 则312322a a a a =+++， 由126a a +=，得38a =，由通项公式，得116a a q +=，218a q =， 消去1a ，得23440q q --=， 结合0q >，解得2q，代入116a a q +=，得12a =， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. （2）由（1），得22111log 2log log 2n n a n n b a n====.11111(1)1n n n n c c b b n n n n ++-===-++，所以当2n 时，()()()()12132431n n n c c c c c c c c c c -=+-+-+-++-，111111111121223341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又11c =也适合上式，故数列{}n c 的通项公式是12n c n=-. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式的基本方法有：累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法．18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，cos sin 3b C a B =+，点D 在边AC 上，且2AD DC =，2BD =. （1）求角B 的大小； （2）求ABC 面积的最大值.【答案】（1）23B π=；（2.【分析】（1）由正弦定理将cos sin b C a B =化为sin cos sin sin B C A C B =，再利用三角函数恒等变换公式可求出角B 的大小；（2）由2AD DC =可得1233BD BA BC =+，从而得222144999BD BA BA BC BC =+⋅+，进而有2214244cos 9939c ac a π=++，化简后利用基本不等式可求出18ac ，从而可求出ABC 面积的最大值，或设DC t =，则2AD t =，ADB θ∠=，在ABD △和BCD △中利用余弦定理可得22448cos c t t θ=+-，2244cos a t t θ=++，从而得2222126c a t +=+，在ABC 中由余弦定理可得2229a c act ++=，从而可得224236a c ac +-=，用基本不等式可求出18ac ，从而可求出ABC 面积的最大值【详解】解：（1）由cos sin b C a B =及正弦定理，得sin cos sin sin B C A C B =，又()A B C π=-+，所以sin cos sin()sin 3B C B C B C =++，即cos sin sin 0B C C B =，因为0C π<<，sin 0C ≠，所以tan B = 又0B π<<，得23B π=. （2）方法1：因为点D 在边AC 上，且2AD DC =，所以2212()3333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+， 222144999BD BA BA BC BC =+⋅+，即2214244cos 9939c ac a π=++，即224236a c ac +-=，由2244a c ac +，可得4236ac ac -，即18ac ，当且仅当2a c =时，等号成立，所以 ABC 面积的最大值为1218sin 232π⨯⨯=，当且仅当2a c =，即3a =，6c =时等号成立.方法2.设DC t =，则2AD t =，ADB θ∠=，在ABD △中，由余弦定理，得2244222cos c t t θ=+-⨯⨯，即22448cos c t t θ=+-；①同理，在BCD △中，由余弦定理，得2244cos a t t θ=++，② 由①②消掉cos θ，得2222126c a t +=+.③在ABC 中，由余弦定理，得2229t a c ac =++，即2229a c act ++=，④把④代入③，得224236a c ac +-=，由2244a c ac +，可得4236ac ac -，即18ac ，所以ABC 面积的最大值为129318sin 23π⨯⨯=，当且仅当2a c =，即3a =，6c =时等号成立. 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是由2AD DC =可得1233BD BA BC =+，从而得222144999BD BA BA BC BC =+⋅+，进而有2214244cos 9939c ac a π=++，化简后利用基本不等式可求出18ac ，考查转化思想和计算能力，属于中档题 19．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC 为正三角形，12AB AA ==，E 是1BB 的中点.（1）求证：平面1AEC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角1B AC E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（242. 【分析】（1）连接1AC 交1AC 于点F ，取AC 的中点G ，可证得四边形BEFG 为平行四边形，得到//EF BG ，根据等腰三角形三线合一性质、线面垂直的性质与判定可证得BG ⊥平面11AAC C ，从而得到EF ⊥平面11AAC C ，由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）以G 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）证明：连接1AC 交1AC 于点F ，取AC 的中点G ，连接,,EF FG BG .四边形11ACC A 为平行四边形，F ∴为1AC 中点，又G 为AC 中点，111,//2FG AA FG AA ∴=， 又E 为1BB 中点，11,/12/BE AA BE AA ∴=， ,//BE FG BE FG ∴=，∴四边形BEFG 为平行四边形，//EF BG ∴；ABC 为正三角形，G 为AC 中点，BG AC ∴⊥，1AA ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，1BG AA ∴⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11AAC C ，BG ∴⊥平面11AAC C ，又//EF BG ，EF ∴⊥平面11AAC C ，EF ⊂平面1AEC ，∴平面1AEC ⊥平面11AAC C .（2）由（1）得：FG ⊥平面ABC ，BG AC ⊥，则以G 为坐标原点，,,GA GB GF 正方向为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()3,0B，()1,0,0A ，()11,0,2C -，()3,1E ，()0,0,1F ，()1,0,0C -，()1,0,1CF ∴=，()3,0AB =-，()12,0,2AC =-，ABC 为正三角形，12AA AB ==，12AC AA ∴==，又1AA ⊥平面ABC ，∴四边形11ACC A 为正方形，11AC AC ⊥∴， 平面1AEC ⊥平面11AAC C ，平面1AEC 平面111AAC C AC =，1AC ⊂平面11AAC C ，1AC ∴⊥平面1AC E ， ∴平面1AC E 的一个法向量为()1,0,1CF =；设平面1ABC 的法向量(),,n x y z =，130220n AB x y n AC x z ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，则3x =3z = (3,1,3n ∴=，2342cos ,727CF n CF n CF n⋅∴<>===⨯⋅，由图形可知：二面角1B AC E --为锐二面角，∴二面角1B AC E --42. 【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 20．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线为l .设过点F 且不与x 轴平行的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 作直线垂直于l ，垂足为N ，直线MN 与抛物线C 交于点P . （1）求证：点P 是线段MN 的中点.（2）若抛物线C 在点P 处的切线与y 轴交于点Q ，问是否存在直线m ，使得四边形MPQF 是有一个内角为60︒的菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，0x =或0x =. 【分析】（1）设直线m 的方程为1(0)y kx k =+≠，与24x y =联立，利用韦达定理求得点M 的坐标，再根据 MN l ⊥，得到MN 中点的坐标即可；（2）由24x y =，得24x y =，求导'2x y =，由MN y ∥轴，得到四边形MPQF 为平行四边形，再由||||MF MP =求解.【详解】（1）证明：由题意知直线m 的斜率存在且不为0，故设直线m 的方程为1(0)y kx k =+≠，代入24x y =，并整理得2440x kx --=.所以216160k ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-. 设()00,M x y ，则12022x x x k +==，200121y kx k =+=+，即()22,21M k k +. 由MN l ⊥，得(2,1)N k -，所以MN 中点的坐标为()22,k k .将2x k =代入24x y =，解得2y k =，则()22,P k k ，所以点P 是MN 的中点.（2）由24x y =，得24x y =，则'2x y =，所以抛物线C 在点()22,P k k 的切线PQ 的斜率为k ，又由直线m 的斜率为k ，可得m PQ ∥； 又MN y ∥轴，所以四边形MPQF 为平行四边形.而||MF ==()222||211MP k k k =+-=+，由||||MF MP =，得21k =+，解得3k =±，即当3k =±时，四边形MPQF 为菱形，且此时2||1||||PF k MP MF ==+==，所以60PMF ∠=︒，直线m 的方程为1y =+，即0x =或0x =，所以存在直线m ，使得四边形MPQF 是有一个内角为60︒的菱形.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是抓住平行四边形和菱形的定义，利用导数法得到m PQ ∥，然后由||||MF MP =而得解.21．现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为20%，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同.在一次演习中，红方的甲､乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为13和14，两名飞行员各携带4枚空对空导弹.（1）甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？（2）蓝方机群共有8架战机，若甲､乙共同攻击(战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙不同时攻击同一架战机).①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为X ，求X 的分布列；②若实施两轮攻击(用完携带的导弹)，记命中蓝方战机数为Y ，求Y 的数学期望E (Y ). 【答案】（1）6581；（2）①分布列答案见解析；②73.【分析】（1）根据题意设甲飞行员发射的第i 枚导弹命中对方战机为事件,i A ，将甲飞行员能够命中蓝方战机即1121231234A A A A A A A A A A +⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅，按照相互独立事件的概率计算公式即可得解；（2）①先根据题意得到X 的所有可能取值，然后根据X 取值的意义，分别计算其取各个值对应的概率．即可得出分布列与期望．②设击中甲命中战机数为1Y ，则11~4,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设乙命中战机数为2Y ，则21~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由二项分布可得答案.【详解】解：设甲､乙两名飞行员发射的第i 枚导弹命中对方战机分别为事件,i i A B ，则()13i P A =，()14i P B =.（1）设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件M ，则1121231234M A A A A A A A A A A =+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅，所以()1121231234()P M P A A A A A A A A A A =+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅()()()()1121231234P A P A A P A A A P A A A A =+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅()()()()()()()()()()1121231234P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A =+++121221222165333333333381=+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）①0,1,2,3,4X =，则22231(0)344P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211221232135(1)33434412P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222211221321121337(2)34343344144P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211221131125(3)34443372P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22111(4)34144P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为②记两轮攻击中甲命中战机数为1Y ，则11~4,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，乙命中战机数为2Y ，则21~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()12447()343E Y E Y E Y =+=+=. 【点睛】方法点睛：解决概率问题的两个步骤：一是拆分事件，即把所求事件拆分成若干个互斥事件的和，再把每个互斥事件拆分成若干个相互独立事件的积：二是用公式，若事件,A B 是相互独立事件，则()()()P AB P A P B =，若事件,A B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B +=+22．已知函数()ln 1()f x a x x a =++∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若不等式()e x x f x e ≤对任意的(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）(],e -∞-.【分析】（1）首先对函数进行求导，通过对a 进行分类讨论，可得()f x 的单调性；（2）通过对不等式进行分离参数，转化为1ln e x e x x a x---≤在(1,)+∞上恒成立，构造函数，通过讨论函数的单调性可得结果.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()1a x af x x x+=+=， 当0a ≥时，0fx ，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，若0x a <<-，则0fx；若x a >-，则0fx，所以()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增. 综上：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a <时，()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增； （2）由()e x x f x e ≤，得(ln 1)e x x a x x e +≤+， 因为1x >，所以ln 1e x a x x x e -++≤，ln 0x >，所以1ln e x e x x a x---≤. 而ln ln ln 1111eex x xxx x e e x x x e e x e x x e e ----+--=--=--=--.设()1x g x e x =--，则()1x g x e '=-， 当0x <时，)'(0g x <，()g x 单调递减， 当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，所以0x =是()g x 的极小值点，也是()g x 的最小值点，所以min ()(0)0g x g ==，即对任意x ∈R ，1x e x ≥+(当且仅当0x =时等号成立)， 所以ln ln 1x e x e x e x -≥-+，即ln 1ln x e x e x e x ---≥-(当且仅当ln 0x e x -=时等号成立).令()ln h x x e x =-，则()1e x e h x x x-'=-=， 所以()h x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增， 所以x e =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点， 所以()min ()0h x h e ==，即当且仅当x e =时，ln 0x e x -=.所以1ln ln ln e x x e x e xe x x ----≥=-，即min1ln e x e x x e x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(当且仅当x e =时等号成立)，所以a e ≤-时，()e x x f x e ≤对任意的(1,)x ∈+∞恒成立， 故实数a 的取值范围是(],e -∞-.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.。
2021届高考冲刺金卷(新课改5月)数学试题(解析版)
2021届高考冲刺金卷（新课改5月）数学试题一、单选题1．若1zi i =-，则z =（ ） A ．1i + B ．1i --C ．1i -D ．1i -+【答案】C【分析】先由复数的乘法化简复数z ，再根据共轭复数的概念可得选项. 【详解】因为2zi i i i ⋅=-，1z i -=--，所以1z i =+，所以1z i =-． 故选：C ． 2．已知集合02xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}0 2.5B x N x =∈≤<，则A B =（ ）A ．{}02x x ≤≤B ．{}02x x ≤<C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}0022xA xx x x ⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，{}{}0 2.50,1,2B x N x =∈≤<=，所以{}{}{}020,1,20,1A B x x ⋂=≤<⋂=. 故选:C ．3．火车站流动旅客较多，本着“疫情防控不松懈，健健康康过春节”的精神，某火车站安排6名防疫工作人员每天分别在A ，B ，C 三个进出口对旅客进行防护宣传与检查工作，每名工作人员只去1个进出口，A 进出口安排1名，B 进出口安排2名，剩下的人员到C 进出口，则不同的安排方法共有（ ） A ．48种 B ．60种 C ．100种 D ．120种【答案】B【分析】应用分步计数，首先从6人选1人去A ，再从5人选2人去B ，最后安排C ，由乘法公式求不同的安排方法数.【详解】1、从6名工作人员中选1名去A 进出口，方法数有16C ； 2、从其余5名工作人员中选2名去B 进出口，方法数有25C ； 3、剩下的3名工作人员去C 进出口，方法数有33C ．∴故不同的安排方法共有12365360C C C ⋅⋅=种．故选：B ．4．在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ）A ．23a b+-B ．23a b+-C ．23a b--D ．23a b--【答案】B【分析】连接AC 与BD 交于O ，根据F 为三角形ACD 的重心，结合向量的运算法则，即可求解.【详解】连接AC 与BD 交于O ，则O 为AC 的中点， 因为E 为AD 的中点，所以F 为三角形ACD 的重心， 所以()()112333a bAF AC AD a b a +=+=---=-. 故选：B.5．已知圆柱1OO 中，点A ，B ，C 为底面圆周上的三点，CD 为圆柱的母线，2AC =，60ACB ∠=︒，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．3B ．1C 3D 3【答案】A【分析】由圆柱母线的性质易得CD ⊥平面ABC ，过点A 作AE BC ⊥，根据面面垂直的判定及性质可知AE 为点A 到平面BCD 的距离，由sin ∠=AEACB AC结合已知，即可求AE .【详解】如图所示，由题意知：CD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面BCD ， ∴平面BCD ⊥平面ABC ，又面BCD面ABC BC =，∴过点A 作AE BC ⊥，则AE ⊥平面BCD ，即AE 为点A 到平面BCD 的距离，在△ABC 中，sin ∠=AEACB AC，故sin 2sin603=⋅∠=⨯︒=AE AC ACB ， 故选：A6．已知双曲线2213-=-x y m m()03m <<的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，O 为坐标原点，1230PF F ∠=︒，1212OP F F =，则m 的值为（ ） A ．32B ．332C ．1D ．2【答案】B【分析】由题知12PF PF ⊥，进而根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由题知223,a m b m =-=，所以3c =， 因为1212OP F F =，所以12PF PF ⊥， 又1230PF F ∠=︒，所以13PF =，23PF =，所以由双曲线的定义可知123323-=-=-PF PF m ，解得332m =. 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的定义，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据题意得12PF PF ⊥，进而结合双曲线的定义求解.7．2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）是数列{}n a 满足：4n n a a +=()*∀∈N n 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】A【分析】由2+=n n a a c 可得4n n a a +=()*∀∈N n 成立，反之举反例2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数可得必要性不成立；【详解】∵2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数），∴24++=n n a a c ()*∀∈N n ，∴224+++=n n n n a a a a ()*∀∈N n ， ∴4n n a a +=()*∀∈N n ，∴2+=n n a a c 是4n n a a +=的充分条件．若2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则4n n a a +=()*∀∈N n ，但2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）不成立，所以不是必要的． 故选：A.【点睛】本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明. 8．已知随机变量ξ的分布列是随机变量η的分布列是以下错误的为（ ）A ．01p ≤≤B ．()203-==pP ξη C ．()()2=+E E ηξ D ．()()()E E E ηξξη+=+【答案】C【分析】根据分布列的性质，以及概率的计算和期望的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由分布列的性质，可得2031020302p p p p -⎧≥⎪⎪-⎪≥⎪⎨⎪≥⎪⎪⎪≥⎩，解得01p ≤≤，所以A 正确．对于B 中，()()2003-====pP P ξηξ，所以B 正确． 对于C 中，()13-=p E ξ，()32+=pE η，所以()()15322332-+++=+=≠=p p pE E ξη，所以C 错误． 对于D 中，()()11101,1326+===-==⨯=P P ξηξη，()3216-+==pP ξη，()2226-++==p p P ξη，()22336-++==p p P ξη，()246+==p P ξη， 计算得()576++=p E ξη，所以()()()E E E ξηξη+=+，所以D 正确. 故选：C ．二、多选题9．若21nax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式所有项的系数之和与二项式系数之和均为32，则下面结论正确的是（ ） A ．5n =B ．展开式中含4x 的系数为270C ．展开式的第4项为90-xD ．展开式中含有常数项【答案】ABC【分析】令1x =，可得21nax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式所有项的系数之和()1232-==n na ，解之求得n ；可判断A 选项，再运用二项式的展开式的通项公式可判断BCD 选项.【详解】令1x =，由题意可得()1232-==nna ，∴5n =，3a =．∴二项式为5213⎛⎫- ⎪⎝⎭x x ，∴A对； ∴()()5251031551C 331C ---+⎛⎫=-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭rrr rr r rr T xxx ，令2r ，计算可知展开式中含4x 的系数为270，∴B 对；令3r =，所以()353310334531C 90T x x --⨯=⋅-⋅⋅=-，所以展开式的第4项为90-x ．∴C 对；令1030r -=，解得103r =，而r N *∉，所以展开式中不含有常数项， 故选：ABC ．【点睛】方法点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．10．流行病学调查，简称“流调”，是疫情防控工作中的重要一环，它为描绘清晰的病毒传播链、判定密切接触者、采取隔离措施以及划定消毒范围提供了科学依据．下图是某地183名“新冠”病例年龄分布“流调”数据，以下关于“流调”说法正确的是（ ）A ．51～60岁的中年人感染风险最高B ．年龄的中位数在51～60岁之间C ．婴幼儿抵抗能力较强D ．“隔离”相关人员是防止病毒传播的重要措施之一 【答案】ABD【分析】根据图表中的数据，逐项判定，即可求解.【详解】由图可知，51~60岁感染46人最多，所以A 正确；由于183********++=<，1833153446982+++=>， 所以年龄的中位数在51至60岁之间，故B 正确；中老年人外出较多，因此感染的风险就越高，而婴儿和外界接触少是感染者少的主要原因，并不是因为抵抗力强，所以C 错误， D 正确． 故选：ABD ．11．函数()()cos f x x ωϕ=+()02π≤<ϕ的部分图象如图所示，则（ ）A ．3ω=B ．6π5=ϕ C ．函数()f x 在3π14π,515⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 图象的对称轴方程为ππ315=-k x ()k Z ∈ 【答案】AD【分析】由图象可得函数的周期2π3T =，求得3ω=，判定A 正确；根据五点对应法求得π5ϕ=，可判定B 错，由三角函数的图象与性质，可判定C 错，D 正确． 【详解】由图象可得函数的周期13ππ2π2π230103⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭T ω，解得3ω=，所以A正确；由五点对应法得ππ32π102⋅+=+k ϕ()k Z ∈，因为0πϕ≤<2，所以π5ϕ=，所以B 错，所以()πcos 35⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 当π2π32ππ5≤+≤+k x k ()k Z ∈时，函数()f x 单调递减， 取1k =，得()f x 的一个单调递减区间为3π14π,515⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以C 错，函数()f x 图象的对称轴方程为π3π5+=x k ()k Z ∈，即ππ315=-k x ()k Z ∈，所以D 对． 故选：AD.12．设函数()f x 满足：①()21,0,log ,02,x f x x x =⎧=⎨<≤⎩；②()()22f x f x +=-；③()()22f x f x +=-．当0x >时，函数()f x 与函数y kx b =+[)(),0,1∈k b 交点的横坐标从左到右依次构成数列{}n a ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为0,1 B ．函数()f x 是偶函数C ．对任意的k ，[)0,1b ∈，数列{}n a 的前n 项和0n S ≠D ．当0k =，0b ≠时，满足1128=>∑nii a的n 的最小值为17【答案】BCD【分析】A 应用特殊值直接判断正误；B 由递推关系判断()()f x f x -=是否成立；C 根据题设描述，直线与()f x 在0x >上恒有交点，可判断正误；D 结合图象，利用函数的对称性易知42=-x m ()m *∈N 为对称轴，即可判断正误.【详解】A ：当13x =时，得2211log log 3133⎛⎫==> ⎪⎝⎭f ，错误；B ：设0x <，0x ->，则()()()()()()()()222222-=-+-=-++=--+=f x f x f x f x f x ，故函数()f x 是偶函数，正确；C ：对∀k ，[)0,1b ∈，由y kx b =+总与()f x 图象在第一象限有交点，如下图示，数列{}n a 的前n 项和0n S ≠，正确；D ：由②③可知，函数()f x 是周期为4的周期函数，且42=-x m ()m *∈N 为周期内的对称轴．而()0,1b ∈时()1614261014128==⨯+++=∑ii a．要使1128=>∑ni i a ，则n 取到的最小值为17，正确.故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：对于D 选项，根据()f x 的周期性及对称性，易知在每个周期内与y b =的交点横坐标关于42=-x m 对称，即可求1i ni a =∑，进而判断选项的正误.三、填空题13．已知一组数据点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，(),n n x y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为24=-+y x ，若数据1x ，2x ，3x ，…n x 2计数据1y ，2y ，3y ，…n y 的均值为______． 【答案】2【分析】根据题意求得2x =2y =，即可得到答案.【详解】因为回归方程为24=-+y x ，且数据1x ，2x ，3x ，…，n x 2即2x =把x =42y ==，所以可以估计数据1y ，2y ，3y ，…，n y 的均值为2． 故答案为：2．14．过点()1,1P -作斜率为k 的直线l 与圆()22:29C x y -+=相交于A ，B 两点，若AB 4=，则k 的值为______．【答案】2-或12【分析】设直线l 的方程为()11y k x -=+，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，列出方程，即可求解.【详解】依题可设直线l 的方程为()11y k x -=+，即10kx y k -++=， 设圆()2,0C 到直线l 的距离为d，则d =所以==AB所以4=，解得2k =-或12. 故答案为：2-或12． 15．已知133log 80a =，=b 4log 102=c ，则a ，b ，c 的大小关系为______．【答案】b a c <<【分析】由对数运算得380log 3a =，进而得23a <<，5log 242b =<，3c =>，进而得答案.【详解】因为133380log log 803a ==，3332780812log log log 3333=<<=，所以23a <<，55log 24log 252==<=b ，4log 10log 223==>c ，所以b a c <<．故答案为：b a c <<【点睛】本题考查对数式的大小比较，对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用对数运算性质化简,,a b c ，进而借助中间量2,3实现大小比较.四、双空题16．飞车走壁技艺利用圆周运动特点和惯性原理，表演者驾驶飞车在球形大棚的内壁上行走，飞车忽高忽低，斜走横行，甚至直贯球顶，该技艺目前已成为中国国宝级杂技节目．已知球形飞车大棚内有4辆飞车A 、B 、C 、D ，分别飞行于上下平行两个的等圆周上，飞车D 飞行在上圆周，飞车A 、B 、C 飞行在下圆周，且满足30BAC ∠=，4m =BC ，则ABCS的最大值为______2m ；若三棱锥D ABC -的最大体积为()31683m +，则球形飞车大棚的直径约为______m ．【答案】843+ 10【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得AB AC ⋅的最大值，进而可求得ABCS的最大值，求出ABC 的外接圆半径以及三棱锥D ABC -的高h 的最大值，利用球的截面圆的性质得出2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求出球形飞车大棚的半径，由此可得出结果.【详解】由余弦定理可得：(22162cos3023=+-⋅⋅︒≥⋅⋅AB AC AB AC AB AC ， 111sin 3084322223=⋅⋅︒≤=+-ABC S AB AC △ 设三棱锥D ABC -的高为hm ，由题中最大体积知，(142316833⨯+⋅=+h 6h =．由正弦定理可得：截面圆的直径428sin 30r ==，所以4r =．由球的截面性质可知球的半径R 满足222169252⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭h R r ，故5R =，球形飞车大棚的直径大约为10m ． 故答案为：843+10.【点睛】思路点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且636S =，______请在①35a =；②24621a a a ++=，③749=S 这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】选择见解析；（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-． 【分析】（1）由636S =，得到12512a d +=，分别选择①②③，列出方程组求得1,a d 的值，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得2133-=n n na n ，利用乘公比错位相减法，即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由636S =，可得1656362⨯+=a d ，即12512a d +=，选①：由35a =，可得11251225a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-． 选②：由24621a a a ++=，可得4321a =，即47a =， 所以11251237a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．选③：由749=S ，因为636S =，可得77613a S S =-=，所以112512613a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．（2）由（1）可得2133-=n n na n ， 所以23135213333-=+++⋅⋅⋅+n n n T ， 所以234113521333313+-+++⋅⋅⋅+=n n T n ，两式相减得2341222221333233133+-+++⋅⋅⋅+-=+n n n n T23411111112123333333+-⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-- ⎪⎝⎭n n n 111111212223321333313++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=⨯--=--n n n n n所以113n nn T +=-． 【点睛】错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ③作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和.18．在梯形ABCD 中，//AB CD ，<AB CD ．对角线AC ，BD 交于点O，且有AC =π4BDC ∠=，ACD α∠=． （1）用关于α的函数分别表示BD ，AB CD +； （2）若32AB =，52CD =，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin cos αα+的值和ABC 的面积．【答案】（1）=BD α，+=AB CD αα；（2）210sin cos 5αα+=；34． 【分析】（1）过A 点作//AE BD 交CD 的延长线于E ，，进而在三角形ACE 中，利用正弦定理得25sin =AE α，π25sin 10sin 10cos 4⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭EC ααα，进而得答案；（2）由题知210sin cos 5αα+=，此外由余弦定理222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅得2BD =，进而得34ABD S =△，所以34ABCS =. 【详解】解（1）如图，过A 点作//AE BD 交CD 的延长线于E ，则π4∠=∠=AED BDC ，AB ED =，BD AE =， 在三角形ACE 中，由正弦定理得，sin sin sin ==∠∠∠AE АC ECACD AEC CAE，所以10ππsin sin sin 44==⎛⎫+ ⎪⎝⎭AE ECαα， 所以25sin =AE α，π2510104⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭EC ααα， 所以25sin =BD α，1010+=AB CD αα． （2）因为35422=+=+=EC AB CD ，10104=+=EC αα， 所以210sin cos 5αα+=； 因为4=+=+=CE DC DE DC AB ，AE BD =，代入余弦定理有222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅，即221610=28BD BD+-， 解得2BD =或32BD =， 当32BD =，此时322πsin sin 242525==>=BD α，与π4<α矛盾，所以2BD =， 所以11323sin 222224=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=ABD S AB BD ABD △．由于ABD △与ABC 等底等高，故ABD ABC S S =△△ 所以34ABCS=. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于过点A 作//AE BD 交CD 的延长线于E ，进而在三角形ACE 中，利用正弦定理求解.19．2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度H （单位：m ）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度H （m ）服从正态分布()2,0.122N μ，其中μ近似为样本平均数x ．记X 为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间()2.122,2.244的数量，求()E X ；（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）附：若()2~,H N μσ，则()0.6827-<<+=P H μσμσ，()220.9545-<<+=P H μσμσ．【答案】（1）()2m ；（2）()1359E X =；（3）0.919．【分析】（1）根据直方图中各矩形的面积之和为1，可求得抽取树木高度为1.95 2.05-的频率，再运用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得样本的平均值；（2）根据（1）估计得2μ=，由正态分布密度曲线的性质求得概率()2.122 2.244P H <<，依题意知()~10000,0.1359X B ，从而根据二项分布的期望公式可得答案． （3）根据独立重复实验的概率公式可求得答案． 【详解】（1）抽取树木高度为1.95 2.05-的频率为()10.10.20.9 2.2 2.40.80.20.33-⨯+++++=，所以样本均值()1.70.02 1.80.09 1.90.222.00.33 2.10.24 2.20.08 2.30.022m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ．（2）由第一问估计2μ=，()()2.122 2.24420.122220.122<<=+<<+⨯P H P H()0.95450.682720.13592-=+<<+==P H μσμσ，一棵树的高度位于区间()2.122,2.244的概率为0.1359，依题意知()~10000,0.1359X B ，所以()100000.13591359=⨯=E X ． （3）记移植五棵树中成活了Y 棵．()()()4455445C 0.90.10.90.919≥==+==⨯⨯+≈P Y P Y P Y ．【点睛】方法点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20．如图，等腰直角ACD △的斜边AC 为直角ABC 的直角边，E 是AC 的中点，F 在BC 上．将ACD △沿AC 翻折，分别连接DE ，DF ，EF ，使得平面DEF ⊥平面ABC ．已知2AC =，30B ∠=，（1）证明：//EF 平面ABD ；（2）若2DF =，求二面角A BC D --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33． 【分析】（1）由面面垂直和下面垂直的性质可得DG AC ⊥，DE AC ⊥，从而得到AC ⊥平面DEF ，根据线面垂直性质知AC EF ⊥，从而得到//EF AB ，由线面平行的判定可得结论；（2）以E 为坐标原点可建立空间直角坐标系，在根据角度和长度关系求得所需点的坐标和向量坐标后，根据二面角的向量求法可直接求得结果. 【详解】（1）证明：过D 做DG EF ⊥，垂足为G ，平面DEF ⊥平面ABC ，平面DEF ⋂平面ABC EF =，DG ⊂平面DEF ，∴DG ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴DG AC ⊥，E 是等腰直角三角形ADC 斜边AC 的中点，∴DE AC ⊥，又DEDG D =，,DE DG ⊂平面DEF ，AC ∴⊥平面DEF ，又EF ⊂平面DEF ，∴AC EF ⊥， AC AB ⊥，∴//EF AB ，EF ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，//EF ∴平面ABD ．（2）在等腰直角ADC 中，2AC =，∴112DE AC ==， 由（1）可知：EF 为直角三角形BAC 的中位线，30B ∠=，32AB AC EF ∴==，3EF ∴=，2DF =，222EF DE DF ∴=+，DE DF ∴⊥，∴63DG =，33EG =． 以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0C ，()3,0F ，36⎛ ⎝⎭D ， ∴()3,0=-CF ，361,33⎛=- ⎝⎭CD ， 设平面CDF 的法向量(),,n x y z =，则3603330n CD x y z n CF x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，令1y =，解得：3x =2z =(3,1,2n ∴=，显然平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，23cos ,6m n m n m n⋅∴<>===⋅， 由图形知：二面角A BC D --为锐二面角，∴二面角A BC D --3【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角； （3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线243y x =的焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交的弦长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设两条不同的直线m 与直线l 交于点1,2⎛ ⎝⎭，且倾斜角之和为π，直线l 交椭圆C 于点A 、B ，直线m 交椭圆C 于点C 、D ，求22CD AB的取值范围．【答案】（1）2214x y +=；（2）)(21,2⎡⋃⎣． 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，结合c 的值可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 为()12y k x -=-，直线m 为()1-=--y k x ，0k ≠，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求得AB ，同理可得CD ，分0k >、0k <两种情况讨论，利用基本不等式与不等式的基本性质可求得22CD AB的取值范围.【详解】（1）抛物线2y =的焦点为)F ，准线方程为x =设c =c =由椭圆的定义可得122a =，则2a =，1b ==，则椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）因为两条不同的直线m 与直线l 交于点1,2⎛ ⎝⎭，且倾斜角之和为π，所以可设直线l 为()1y k x -=-，直线m 为()1-=--y k x ，0k ≠，设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，将直线l 的方程代入椭圆方程2214x y +=得()()2222148420++-+--=k x k x k ，所以12+=x x，12=x x ，所以12=-==AB x同理214=+CD k所以2221116==-=-++CDAB k k， 当0k >时，所以1111216k k >-≥==++ 当且仅当16k k=时，即k =时，不等式中的等号成立， 所以22CDAB的取值范围为)2⎡⎣；当0k <时，所以111216<-≤=+++k k ， 当且仅当16k k =，即k =时，不等式中的等号成立，所以22CD AB 的取值范围为(1,2+， 综上，22CDAB的取值范围为)(21,2⎡⋃+⎣．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2e =+-xf x ax x ，()a R ∈1310e 3.67⎛⎫≈ ⎪⎝⎭．（1）若函数()f x 为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1a =-时，证明：()35f x >在()0,∞+恒成立． 【答案】（1）2ln 22a ≥-；（2）证明见解析．【分析】（1）求得()e 2'=+-x f x a x ，令()()g x f x '=，得到()e 2xg x '=-，求得函数()g x 的单调性，得到()()ln 2g x g ≥，由()f x 为单调函数，则()f x '恒不小于0或恒不大于0，即可求解；（2）当1a =-时，求得()e 12'=--xf x x ，由（1）得到()()min ln 20f x f ''=<，得到存在唯一的0131,10⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，使()00f x '=，得出函数的单调性，求得()200min 1f x x x =-++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由()2e =+-x f x ax x ，可得()e 2'=+-xf x a x ， 记()()e 2'==+-xg x f x a x ，则()e 2xg x '=-， 当(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()()ln222ln2≥=+-g x g a ，因为()f x 为单调函数，则()f x '恒不小于0或恒不大于0，又当0x >时，且12a x +<时，()e 2120'=+->+->x f x a x a x ， 所以()0f x '≥，即22ln 20+-≥a ，解得2ln 22a ≥-．（2）当1a =-时，()2e =--x f x x x ，所以()e 12'=--x f x x ，由（1）知()f x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以()()min ln212ln20''==-<f x f ．又因为()00f '=，()130f e '=-<，13 3.67 3.6010⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭f ，所以存在唯一的0131,10⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，使()00f x '=， 所以当()00,x x ∈，()00f x '<，当()0,x x ∈+∞，()00f x '>，所以()f x 在()00,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增，且()000e 120'=--=xf x x ， 所以()()2220000000min 15e 124⎛⎫==--=-++=--+ ⎪⎝⎭xf x f x x x x x x ， 又因为0131,10⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，所以2201513156132410241005⎛⎫⎛⎫--+>--+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ， 所以()min 35>f x ，所以()35f x >恒成立． 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
湖北省荆州市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析
湖北省荆州市2021届新高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．33C ．32D ．23【答案】B 【解析】 【分析】 首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,22r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.2．52mx x ⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-2【分析】利用通项公式找到5x 的系数，令其等于-10即可. 【详解】二项式展开式的通项为15552222155()()r r rr rr r TC x mx m C x---+==，令55522r -=，得3r =， 则33554510T m C x x ==-，所以33510m C =-，解得1m =-. 故选：C 【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.3．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．3C ．5D ．2【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±bax 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 222aba b =-，∴直线l 的方程为y 222aba b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abca b =+， ∵2AF FB =u u u r u u u r ，∴222abc a b =+2•2223abca b -，∴a =，∴e 3c a ==． 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 4．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A ．B ．CD ．20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B . 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.5．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.6．已知函数()e ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．1,⎛⎫+∞ ⎪B ．1,e ⎛⎫⎪C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞【解析】 【分析】分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)xg x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可. 【详解】由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >, 因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.设()e (0)xg x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增,因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln xm x>. 设ln ()(0)x h x x x=>,则21ln ()(0)xh x x x '-=>. 令()0h x '=,解得e x =,易得()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减, 从而max 1()(e)e h x h ==，故1em >. 故选:A. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 7．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2 B ．2iC ．4D ．4i【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2. 【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2. 【点睛】8．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A BC D ．【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B. 9．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A 【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题. 10．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x e x -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，00ln x e x -≤．故选D ． 【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.11．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件.【分析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.12．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则|||||FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r（ ）.A ．9B ．6C ．38D ．316【答案】C 【解析】 【分析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r可得123316x x x ++=，利用定义将|||||FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r用123,,x x x 表示即可.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r 及1(,0)16F ， 得111(,)16x y -+221(,)16x y -331(,)(0,0)16x y +-=，故123316x x x ++=， 所以123111|||||161616FA FB FC x x x ++=+++++=u u u r u u u r u u u r 38. 故选：C. 【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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湖北省荆门市2021届新高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-．其单调性及极值情况如下：x2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 2a - 2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x ' +_0 +()f xZ极大值]极小值Z若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．（图1）（图2） 于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．5 B ．23 C ．8 D ．83【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积． 【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥A BCD -，最大面的表面边长为22的等边三角形ABC ， 故其面积为23(22)234=， 故选B ． 【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题． 3．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．311【答案】C 【解析】 【分析】首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=， 所以此点取自朱方的概率为937. 故选：C 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.4．已知向量a b (3,1),3)==r r，则向量b r 在向量a r 方向上的投影为（ ）A ．3B 3C ．1-D ．1【答案】A 【解析】 【分析】投影即为cos a b b aθ⋅⋅=r rr r ，利用数量积运算即可得到结论. 【详解】设向量a r 与向量b r的夹角为θ，由题意，得31a b ⋅=+=-r r 2a ==r，所以，向量b r 在向量a r方向上的投影为cos 2a b b aθ⋅-⋅===r r 故选：A. 【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 5．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.【详解】 如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ， 故渐近线方程为3y x =， 故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o是解题的关键，属于中档题.7．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c c a b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜ D ．11()()22ab<【答案】C 【解析】【分析】A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于,A Q 实数0a b <<， 11,c ca b a b∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出． 对于.D 指数函数1()2xy =单调递减性质，因此不成立． 故选：C ． 【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．8．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1 B ．12或0 C ．1或0 D ．2或0【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【详解】 解：∵2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），∴()()2()2e(2)e 1e 12e 1xx x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则211()0g t t t'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单 调递增.∵(1)0g =，∴1t =；当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2(2)22e 0f --=->，函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.9．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 10．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2 B ．2iC ．4D ．4i【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2. 【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2. 【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-.11．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦D ．[]1,4【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.12．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率． 【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P ==本题正确选项：B 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。