2020届新课标高考二轮复习名师精品课件思想方法1函数与方程思想
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用课件：专题八 第2讲 函数与方程、数形结合思想
[对点训练]
1．已知向量 a＝(λ，1)，b＝(λ＋2，1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数 λ 的值为( )A．－1B．2
C．1
D．－2
解析：选 A．法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得 a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以 a·b＝0，
故 a·b＝(λ，1)·(λ＋2，1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得 λ＝－1.
和性质去分析问题、转化问题，函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是
从而使问题得到解决的思想 相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方
程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
第二页，编辑于星期日：一点 三十五分。
应用一 函数与方程思想在不等式中的应用 [典型例题]
设不等式 2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 都成立，则 x 的取值范围为 ________．
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(1)研究含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数， 将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程， 进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决． (2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化 为数量积问题，再利用函数与方程思想进行分析与处理，这是解决此类问题的一种比较 常见的思维方式．
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解析：在△ADC 中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos 45°＝2＋DC2－2
2 2·DC·2
＝2＋DC2－2DC.
在△ABD 中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 135°＝BD2＋2＋2
高考数学复习思想方法精析第1讲函数思想与方程思想市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
a 1
－
所以 2 < a－1
2，即a－1<12，解得12<a<32.
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• 『规律总结』 • 函数与方程思想在不等式问题中应用关键点 • (1)在处理不等式恒成立问题时，一个最主要思想方法就是
结构适当函数，然后利用函数最值处理问题． • (2)要注意在一个含多个变量数学问题中，需要确定适当变
所求目标参数和判别式不等式中参数一个等量关系，将其 代换． • 第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中， 即可求出目标参数取值范围．
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若点 O 和点 F(－2,0)分别为双曲线ax22－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点 P 为双曲
线右支上的任意一点，则O→P·F→P的取值范围为( B )
A．π6
B．π4
C．π3 [解析]
D．π2 ∵O→A＝(1,0)，O→P＝(cosθ，sinθ)，∴O→A·O→P＋S＝cosθ＋sinθ＝ 2sin(θ
＋π4)，故O→A·O→P＋S 的最大值为 2，此时 θ＝π4.故选 B．
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命题方向4 函数与方程思想在解析几何中应用 椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 2，离心率 为 22，直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且A→P＝3P→B. (1)求椭圆 C 的方程； (2)求 m 的取值范围．
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三、函数思想与方程思想联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决， 方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程 f(x)＝0，就是求函数 y＝f(x) 的零点，解不等式 f(x)>0(或 f(x)<0)，就是求函数 y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程 f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函 数 y＝f(x)－g(x)与 x 轴的交点问题，方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的 值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第1讲函数与方程思想课件
前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*都
有Sn≤Sk成立，则k的值是( B )
A．10
B．20
C．30
D．40
【 解 析 】 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 由
aa12＋ ＋aa45＋ ＋aa78＝ ＝33aa11＋ ＋91d2＝ d＝999， 3，
－y)关于 x 轴对称，所以卵圆 C 关于 x 轴对称，故①正确；对于②，设(x0， y0)在卵圆 C 上，(x0，y0)关于直线 x＝12对称的点(1－x0，y0)也在卵圆 C 上，
则x10－1x＋－20x20x＋＋022y420＋＝y4120＝，1，
解得xy00＝ ＝－ 0 1， 或xy00＝ ＝20， ， 所以卵圆上存在
解 得 ad1＝＝－392，，
∴
Sn
＝
na1
＋
nn－1d 2
＝
39n－n(n－1)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当 n＝20 时，Sn 取得最大
值．∵对任意 n∈N*都有 Sn≤Sk 成立，∴Sk 为数列{Sn}的最大值，∴k＝
20.故选 B.
(2) (2023·河南校联考模拟预测)记正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 满足a21－1 1＋a22－1 1＋a23－1 1＋…＋a2n－1 1＝4nn＋1.若不等式 λSn≥an＋1 恒 成立，则实数 λ 的取值范围是_____43_，__＋__∞_____.
应用3 函数与方程思想在解析几何中的应用
核 心 知 识·精 归 纳 1.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经 常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过 转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值 问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答． 2.直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的 关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题 的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方 程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．
高考数学文(二轮复习)课件 函数与方程思想
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系， 建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或 者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程 的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用 方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研 究运动中的等量关系．
函数的主干知识、 函数的综合应用以及函数与方程思想的考 查一直是高考的重点内容之一．高考试题中，既有灵活多变的客 观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可 以说是贯穿了数学高考整份试卷，高考中所占比重比较大．
(1)对于函数与方程思想， 在解题中要善于挖掘题目中的隐含 条件， 构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是 应用函数与方程思想解题的关键． (2)当问题中出现多个变量时， 往往要利用等量关系减少变量 的个数， 如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表 达式，那么就可有研究函数的方法将问题解决．
[回访名题] x2 若点O和点F(－2,0)分别是双曲线 a2 －y2＝1(a>0)的中心和左 →· → 的取值范围为 焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则 OP FP ( ) A．[3－2 3，＋∞)
7 C.－4，＋∞ NhomakorabeaB．[3＋2 3，＋∞)
7 D.4，＋∞
答案：B
解析：因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝
2 x 4，即a2＝3，所以双曲线方程为 3 －y2＝1.设点P(x0，y0)，则有 2 x20 x → 0 2 3 －y0 ＝1(x0≥ 3)，解得y20＝ 3 －1(x0≥ 3)，因为 FP ＝(x0＋
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关 系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程 与二次函数的有关理论． (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需 要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
2020届高中数学第2轮总复习 专题1 第1课时 函数与方程
• 2. 运用函数思想解决问题主要从以下四个方面着手：
• 一是根据方程与函数的密切关系，可将方程转化为 函数来解决；
• 二是根据不等式与函数的密切关系，可将不等问题 转化为函数问题，利用函数图象和性质进行处理；
•
• 三是在决实际问题中，常涉及到最值问题， 通常通过建立目标函数，利用求函数最值的 方法加以解决；
考点2 函数性质的应用
例2.已知不等式
1 1 1 1 ＞ 1 log a 1 2
n1 n 2 n3
2n 12 a
3
对于一切大于1的自然数n都成立.求实数a的取值范围.
分析：由于不等式的左端不能化简成一个关于
n的解析式，故常规解法不行.由题设写出当n 2，3，4，时成立的不等式，求解也无法进行.从函 数的观点看，左式可看作关于n的函数，故原不 等式成立可转化成此函数的最小值大于
A. R
B.R+
C.{x | x＞1} D.{x | x 2}
解析：令f x 4x log 3 x x2, x (0, ).易判断 f (x)在(0, )上单调递增，又f 1 5,原不等式
可化为f (x)＞f (1)，所以x＞1.故选C.
• 【评析】本题通过构造函数，借助函数的单调性 解不等式.解法巧妙、简捷.
变式题：已知 S
n
1
1 2
1 3
1（n n
N*).设
f n S 2n1S n1，试确定实数m的取值范围使
得对于一切大于1的正整数n，不等式
f
(n)＞[ log
m (m
1)]2
11 20
恒成立.
解析：因为f (n) 1 1 1 (n ２),
n2 n3
2n 1
专题 解题有魂——领悟贯通4大数学思想 2023高考数学二轮复习课件
|技法点拨| 此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系， 得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率．
目录
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为
3 15，b－c＝2，cos A＝－14，则 a＝____8____．
目录
构造函数关系解决问题 在高考试题中，综合问题的比较大小、求最值等，一般均需利用构 造函数法才能完成．如何正确的构造出恰当的函数，是解决此类问题的 关键，因此充分挖掘原问题的条件与结论间的隐含关系，通过类比、联 想、抽象、概括等手段，构造出恰当的函数，在此基础上利用函数思想 和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．
目录
|技法点拨| 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为 主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解， 是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数 y＝x1＋ln x 的 单调性巧妙地求出实数 k 的取值范围．此法也叫主元法．
目录
已知函数 f(x)＝33xx－ ＋11＋x＋sin x，若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k) ＜0 成立，则实数 k 的取值范围是__(_－__1_，__＋__∞__)__． 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数． 又 f′(x)＝（2l3nx＋3·1）3x2＋1＋cos x＞0 在 x∈[－2，1]上恒成立，函数 f(x)在 x∈[－ 2，1]上单调递增．若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k)＜0 成立，则 f(x2＋x)＜－f(x－k)⇒f(x2＋x)＜f(k－x)⇒x2＋x＜k－x，故问题转化为存在 x∈[－2，1]，k＞x2＋2x，即 k＞(x2＋2x)min，当 x∈[－2，1]时，y＝x2＋2x＝ (x＋1)2－1 的最小值为－1.故实数 k 的取值范围是(－1，＋∞)．
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 数学思想系统归纳 函数与方程思想讲义
函数与方程思想应用(一) 借助“函数关系”解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.[例1] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝32，a n ＋2a n ＋1＝0，则S n －1S n的最大值与最小值的积为________.[解析] 因为a n ＋2a n ＋1＝0，所以a n ＋1a n ＝－12，所以等比数列{a n }的公比为－12，因为a 1＝32，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .①当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而减小，则1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤56； ②当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤S n ＜1，故－712≤S n －1S n＜0.综上，S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712.故S n －1S n 的最大值与最小值的积为56×⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝－3572.[答案] －3572[技法领悟]数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.[应用体验]1.已知等差数列{a n }满足3a 4＝7a 7，a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 取得最大值时n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 4＝7a 7，∴3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，∴4a 1＝－33d .∵a 1>0，∴d <0，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334d ＋n （n －1）2d ＝d 2⎝⎛⎭⎪⎫n 2－352n ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －3542－⎝ ⎛⎭⎪⎫3542，∴n ＝9时，S n 取得最大值.答案：92.(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________，ca的取值范围是________. 解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B.又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴∠B ＝π3.又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A >π2，∴0<∠A <π6.由正弦定理得c a＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－∠A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0<tan A <33，∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即ca>2. 答案：π3(2，＋∞)应用(二) 转换函数关系解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.[例2] 已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1eC.(1，e －1]D.(1，＋∞)[解析] 令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ，即1x ＋ln x ＝k .令函数f (x )＝ln x ＋1x，若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y ＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，f ′(x )＜0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＞0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e ＞1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .故选B. [答案] B[技法领悟]发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y ＝1x＋ln x 的单调性巧妙地求出实数k 的取值范围.此法也叫主元法.[应用体验]3.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________.解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.函数f (p )在[0，4]上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)4.已知函数f (x )＝a 3x 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋1，其中a 为实数.(1)已知函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)已知不等式f ′(x )＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立，求实数x 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由于函数f (x )在x ＝1处取得极值， ∴f ′(1)＝0，即a －3＋a ＋1＝0，∴a ＝1.(2)由题设，知ax 2－3x ＋a ＋1＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即(x 2＋2)a －x 2－2x ＞0对任意a ∈(0，＋∞)都成立. 设g (a )＝(x 2＋2)a －x 2－2x (a ∈R )，则对任意x ∈R ，g (a )为单调递增函数(a ∈R )，∴对任意a ∈(0，＋∞)，g (a )＞0恒成立的充要条件是g (0)≥0， 即－x 2－2x ≥0，∴－2≤x ≤0. 于是x 的取值范围是[－2，0].应用(三) 构造函数关系解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现.特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移.[例3] 已知函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，a ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. [解] (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，知f ′(x )＝e x－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(－∞，ln2)上单调递减； 当x >ln2时，f ′(x )>0，故函数f (x )在区间(ln2，＋∞)上单调递增.所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2－2ln2＋2a .(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1(x ∈R )，则g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，由(1)知g ′(x )min ＝g ′(ln2)＝2－2ln2＋2a . 又a >ln2－1，则g ′(x )min >0.于是对∀x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 上单调递增. 于是对∀x >0，都有g (x )>g (0)＝0. 即e x－x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.[技法领悟]一般地，要证f (x )>g (x )在区间(a ，b )上成立，需构造辅助函数F (x )＝f (x )－g (x )，通过分析F (x )在端点处的函数值来证明不等式.若F (a )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递增即可；若F (b )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递减即可.[应用体验]5.(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，连接AC .由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°， 则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3).设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116.故选A. 6.(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，若a ＝f （e ）e，b ＝f （ln2）ln2，c ＝－f （－3）3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A.a ＜c ＜bB.b ＜c ＜aC.a ＜b ＜cD.c ＜a ＜b解析：选D 由题意，构造函数g (x )＝f （x ）x ，当x ＞0时，g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减.∵函数f (x )为奇函数，∴函数g (x )是偶函数，∴c ＝f （－3）－3＝g (－3)＝g (3)，又a ＝g (e)，b ＝g (ln2)，且3＞e ＞1＞ln2＞0，∴g (3)＜g (e)＜g (ln2)，∴c ＜a ＜b .故选D.应用（四） 构造方程形式解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.[例4] (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB ＝90°，则k ＝________.[解析] 由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1，0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1，1)，得AM ―→＝(－1－x 1，1－y 1)， BM ―→＝(－1－x 2，1－y 2).由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.[答案] 2[技法领悟]本题由∠AMB ＝90°，知AM ―→·BM ―→＝0，从而得出关于k 的方程，问题即可解决.[应用体验]7.(2019·福建省质量检查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，则a 33＝( )A.82B.97C.100D.115解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋7d ）－（a 1＋4d ）＝9，（8a 1＋28d ）－（5a 1＋10d ）＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100.故选C.8.(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去). 答案：2173 应用(五) 转换方程形式解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面.[例5] 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan αtan β的值.[解] 法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin αcos β－cos αsin β＝15， 所以sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730.从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.法二：令x ＝tan αtan β.因为sin （α＋β）sin （α－β）＝103，且sin （α＋β）sin （α－β）＝sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1. 所以得到方程x ＋1x －1＝103.解方程得tan αtan β＝x ＝137.[技法领悟]本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin αcos β与cos αsin β⎝ ⎛⎭⎪⎫或tan αtan β的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值.[应用体验]9.(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上.因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15). 答案：(3，15)10.设非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，b ，c ＝120°，则|b |的最大值为________.解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－(b ＋c )， ∴|a |2＝|b |2＋2|b ||c |cos120°＋|c |2， 即|c |2－|b ||c |＋|b |2－4＝0， ∴Δ＝|b |2－4(|b |2－4)≥0，解得0<|b |≤433，即|b |的最大值为433.答案：433[总结升华]函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解.(3)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决.(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决.(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.。
【精品推荐】2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)课件：1-1函数与方程思想
2．(2019·广东广州天河区期末)已知 x，y∈(0，＋∞)，2x－3
＝14y，则 xy 的最大值为( B )
A．2
9 B.8
3
9
C.2
D.4
[解析] ∵x，y∈(0，＋∞)，且 2x－3＝14y＝2－2y，∴x－3＝ －2y，即 x＋2y＝3.∴xy＝12x·(2y)≤12×x＋22y2＝98，当且仅当 x＝ 2y＝32时等号成立，∴xy 的最大值为98.故选 B.
要点二 函数与方程思想在数列中的应用 【例 2】 (2019·湖北武昌调研)已知数列{an}是各项均为正 数的等差数列． (1)若 a1＝2，且 a2，a3，a4＋1 成等比数列，求数列{an}的通 项公式 an；
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前 n 项和为 Sn，设 bn＝Sn1＋1＋
函数与方程思想在解析几何中的应用技巧 (1)求圆锥曲线的方程、离心率，通常利用方程的思想建立 a， b，c 的关系式求解． (2)在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在 x、y 轴上的 截距，弦长，三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关 键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率，动 点的横、纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数 的定义域)，将问题转化为求函数的值域或最值．
函数与方程思想在数列中的应用技巧 (1)数列的通项与前 n 项和是自变量为整数的函数，可用函数 的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般 利用二次函数或一元二次方程来解决． (2)本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问求出 bn 的表达式，说明要求 bn≤k 恒成立时 k 的最小值，只需求 bn 的最 大值，从而构造函数 f(x)＝2x＋1x(x≥1)，利用函数求解．
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2．若 0<x1<x2<1，则( C ) A．ex2－ex1>ln x2－ln x1 B．ex2－ex1<ln x2－ln x1 C．x2ex1>x1ex2 D．x2ex1<x1ex2
解析：设 f(x)＝ex－ln x(0<x<1)， 则 f′(x)＝ex－1x＝xexx－1， 令 f′(x)＝0，得 xex－1＝0. 根据函数 y＝ex 与 y＝1x的图象可知，两函数图象的交点 x0∈ (0,1)， 因此函数 f(x)在(0,1)上不是单调函数，故 A，B 选项不正确．
依照题意得ba＝|3－|3mm－－33－2m28＋m8＋1|1|＝3m＋2m8＋1，
又 m>0， ∴m＋2m8＋1＝12(2m＋1)＋2m8＋1－12≥72， 当且仅当12(2m＋1)＝2m8＋1，即 m＝32时等号成立． ∴ba的最小值为 27 3，故选 B.
三：解决不等式的有关问题
1．(2015·福建，10,5 分)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)
解析：在同一坐标系中作出 y＝m，y＝2m8＋1(m>0)，y＝|log3x| 的图象，如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．由 |log3x|＝m，得 x1＝3－m，x2＝3m；由|log3x|＝2m8＋1得 x3＝3－2m8＋1， x4＝32m8＋1.
易知当 t∈0，23时，y 单调递减，当 t∈23，＋∞时，y 单调 递增．
y
＝
t＋2t2－4，t>0且t≠2， 2－tt2－4，t<0且t≠－2
的图象如图所示，由图可
知，当－8<a<0 或 a>0 或 a＝－22576时，函数 f(x)有四个零点．
令 x－2＝t，则 x＝t＋2，故方程可化为(t＋2)2(t－2)2＝a(|t| －2)(t≠±2)．
当 t>0 时，a＝(t＋2)2(t－2)＝(t2－4)(t＋2)． 当 t<0 时，a＝－(t＋2)(t－2)2＝(2－t)(t2－4)． y＝(t＋2)(t2－4)，t>0 与 y＝(2－t)(t2－4)，t<0 的图象关于 y 轴对称． 当 t>0 时，由 y′＝(t2－4)＋(2＋t)×2t＝3t2＋4t－4＝(3t－2)(t ＋2)，
关问题． 的等量关系，建立方程或方程组，或者构
4．解决解析几何、 造方程，通过解方程或方程组，或者运用
空间几何的求值最 方程的性质去分析、转化问题，使问题获
值问题. 得解决的数学思想.
应用一：求图象交点或方程根的问题
1．(2019·安徽安庆二模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝
x2＋2，x∈[0，1， 2－x2，x∈[－1，0，
2．(2019·湖北部分重点中学新起点联考)若函数 f(x)＝x2(x－ 4)2－a|x－2|＋2a 有四个不同零点，则实数 a 的取值范围是
__(_－__8_,0_)_∪__(0_，__＋__∞__)_∪___－__22_57_62－a|x－2|＋2a 有四个不同零点， ∴x2(x－4)2＝a(|x－2|－2)有四个不同的根． 又 x2(x－4)2－a(|x－2|－2)＝0 在 x>2 时可化为 x2(x－4)2－a(x －4)＝0，此时必有一个根为 4. 当 x<2 时，可化为 x2(x－4)2＋ax＝0，此时必有一个根为 0. ∴当 x≠0 且 x≠4 时，只需方程 x2(x－4)2＝a(|x－2|－2)有两 个根即可．
应用二：解决最值与范围问题 (2019·江西模拟)函数 y＝|log3x|的图象与直线 l1：y＝m 从左 至右分别交于点 A，B，与直线 l2：y＝2m8＋1(m>0)从左至右分别 交于点 C，D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的射影长度分别为 a，b， 则ba的最小值为( B ) A．81 3 B．27 3 C．9 3 D．3 3
且 f(x＋1)＝f(x－1)，若 g(x)＝3－log2x，
则函数 F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为( B )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：由 f(x＋1)＝f(x－1)知 f(x)的周期是 2，画出函数 f(x) 和 g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知 f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点，故 F(x)在(0，＋∞)内有 2 个零点．故选 B.
设 g(x)＝exx(0<x<1)，则 g′(x)＝exxx－2 1. 又 0<x<1，∴g′(x)<0. ∴函数 g(x)在(0,1)上是减函数． 又 0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)， ∴x2e x1>x1e x2.故选 C.
应用四：与解析几何、空间几何相关的最值、范围等问题 (2019·湖南益阳、湘潭联考)已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0) 经过点1，32，离心率为12. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设点 A，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直 线交椭圆于 C，D 两点，求四边形 OCAD 面积的最大值(O 为坐 标原点)．
＝－1，其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误
的是( C )
A．f1k<1k
B．f1k>k－1 1
C．fk－1 1<k－1 1 D．fk－1 1>k－k 1
解析：构造函数 g(x)＝f(x)－kx＋1， 则 g′(x)＝f′(x)－k>0，∴g(x)在 R 上为增函数． ∵k>1，∴k－1 1>0，则 gk－1 1>g(0)． 而 g(0)＝f(0)＋1＝0， ∴gk－1 1＝fk－1 1－k－k 1＋1>0， 即 fk－1 1>k－k 1－1＝k－1 1， 所以选项 C 错误，故选 C.
第二部分 数学思想研究篇应用
思想方法一 函数与方程思想
思想解读
适用题型
函数的思想，就是用运动和变化的观点， 分析和研究数学中的数量关系，建立函数 1.计算方程的根或
图象交点问题． 关系或构造函数，运用函数的图象和性质
2．计算函数的最值 去分析问题、转化问题，从而使问题获得
或范围问题． 解决的数学思想． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间 3．解决不等式的有