四川省新津中学2015届高三一诊模拟数学(理)试题
2015级(2018届)高三第一次诊断性检测数学(理)
＝ (k２ ＋１)x１x２ ＋k(m －１)(x１ ＋x２)＋ (m －１)２ ＝０,
������ ������ ������７ 分 ������ ������ ������８ 分
数学(理科)“一诊”考试题答案第 ２ 页(共４页)
∴(k２ ＋１)４４mk２２＋－１４＋k(m －１)４－k８ ２k＋m１＋ (m －１)２ ＝０．
������ ������ ������３ 分
∴H
(x)的
极小
值
为
H
(－１)＝
－
１ e．
∴k
－b
的
最
小值
为
－
１ e．
������ ������ ������５ 分
(２)∵ m ＞２,x ≥０,由g′(x)＝x(ex －２m)＝０,解得x ＝０或x ＝ln２m ．
当x ＞ln２m 时,g′(x)＞０,∴g(x)在 (ln２m ,＋ ∞)上单调递增;
y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ．
则 B(４,０,０),C(０,３,０),P(０,０,４),A(０,－３,０)．
设点 Q(x,y,z)．
由
AQ→
＝
１ ３
AP→,得
Q(０,－２,４ ３)．
������ ������ ������６ 分
∴ B→C ＝(－４,３,０),BQ→ ＝(－４,－２,４ ３)．
２０．解:(１)∵c＝ ３,ba ＝２,a２ ＝b２ ＋c２,
∴a ＝２,b＝１．
∴
椭
圆
的
标
准
方
程
为
x２ ４
＋y２
＝１．
������ ������ ������５ 分
成都市2015届高三第一次诊断模拟试题 数学(理)Word版含答案
成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则U P =ð （A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（A ） （B ） （C ） （D ） 3．已知复数z 43i =--（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（A ）复数z 的虚部为3i - （B ）复数z 的虚部为3 （C ）复数z 的共轭复数为z 43i =+ （D ）复数z 的模为54．函数31,0()1(),03x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）5．已知命题p ：“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”，则下列说法正确的是 （A ）命题p 的逆命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （B ）命题p 的逆命题是“若2<x ab ，则22<+x a b ” （C ）命题p 的否命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （D ）命题p 的否命题是“若22x a b ≥+，则2<x ab ”GFEHPACBDA 1B 1C 1D 16．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是 （A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]7．已知F 是椭圆22221+=x y a b（0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x轴.若14=PF AF ，则该椭圆的离心率是 （A ）14（B ）34 （C ）12（D8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是 （A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π 10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时， 2HP 的最小值是 （A ）21（B ）22 （C ）23 （D ）25二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________． 12．二项式261()x x-的展开式中含3x 的项的系数是__________．（用数字作答）13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ，则∆ABC 的面积=S __________．14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (n （0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论： ①1a =；②当*n ∈N时，n y 的最小值为54； ③当*n ∈N 时，n k <； ④当*n ∈N时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则1)<n S ．其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．17．（本小题满分12分）如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象． （Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值； （Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F 的距离之和为（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且AB =0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值．21．（本小题满分14分）已知函数2()ln mx f x x =-，2()emx mx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和极小值；（Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明： 10e a b c -<<<<<；（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ∀∈+∞，2(,0)x ∀∈-∞，都有12()()f x g x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．A ； 2．C ； 3．D ；4．A ；5．C ；6．B ；7．B ；8．D ；9．A ；10．B ．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．90︒ 12．20- 13 14.[2,0]- 15．①③④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A ，则21243641()205⋅===C C P A C ．……………………………………………………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则343641(0)205====C P X C ……………………………………………………………2分122436123(1)205⋅====C C P X C ………………………………………………………2分 1(2)()5===P X P A ………………………………………………………………2分 ∴X 的分布列为∴X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………2分∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分 （Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图． 则(1,0,0)A ，(1,0,2)-E，D ． ∴(2,0,2)=-AE，(1=-AD ． 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则110⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE AD n n，即2200-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ．∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ．∴121212,2⋅>===cos <n n n n n n ． ∴平面DEA 与平面ABC．…………………………8分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ①当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a ．………………………………………4分 又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………………2分 （Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n …………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n …………………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………………3分 19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22m i n m a x =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分 ∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ． （Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间． 由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产） 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知2=a得=a，又=c ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴12=-=AB x又由AB =231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点． 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分 综上所述，0x 的值为3-或1-． 21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x mx f -⋅=-=⋅--='（0>x 且1≠x ）． ∴由0)(>'x f ，得21e x >；由0)(<'xf ，得210e x <<，且1≠x ．……………………1分 ∴函数)(x f的单调递减区间是(0,1),(1，单调递增区间是),(+∞e ．………………2分 ∴me e f x f 2)()(-==极小值.………………………………………………………………1分（Ⅱ）222(2)(),(0)mx mx mx mxmxe mx e m mx mx g x m e e--'=-=>． ∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m上单调递减，2(,)m +∞上单调递增． ∵函数()g x 存在三个零点．∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e ． ∴02<<me …………………………………………………………………………………3分 由(1)(1)0-=-=-<mmg m me m e ．∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e．……………………………………………………1分综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分 （III ）由题意，只需min max ()()>f x g x∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x 由0<m ，∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,)e +∞上单调递增．∴12min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分 ∵(2)()-'=mxmx mx g x e由0<m ，∴函数()g x 在2(,)m -∞上单调递增，2(,0)m上单调递减． ∴max 224()()==-g x g m m e m ．……………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22242-<-m e m e．∴224(21)e m e+>，即224(21)m e e >+．由0<m ，解得(21)m e e <-+．综上所述，存在这样的负数(,)(21)∈-∞-+m e e 满足题意．……………………………1分。
2015年四川高考数学(理科)试题含答案
=2 答案：C 2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工农医类)第I 卷参考公式:P n (k)=C ；p k (1 — p)n±(k =0,1,2,…n)一、选择题：(1) i 是虚数单位，计算i + i 2 + i 3 = (A )- 1( B ) 1(C ) -i(D ) i解析：由复数性质知：i 2=- 1 故 i + i 2+ i 3= i +( — 1)+( — i) =- 1 答案：A (2)下列四个图像所表示的函数，在点 x = 0处连续的是解析：由图象及函数连续的性质知， D 正确.答案：D (3)2log 510 + log 50 . 25=―(A ) 0( B ) 1( C ) 2解析：2log 510+ log 50. 25P(A+B) =P(A)+P(B)s 二 4 二 R 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A B)=P(A) P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么4 D 2 v R3在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式(B ) (C )(D) 4w=log 5100 + log50. 25=log 525=2答案：C(A )甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱(B )甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱80(4) 函数f(x) = x2+ mx+ 1的图像关于直线(A) m = _2 ( B) m = 2答案：A2解析：由BC = 16,得| BC| =4 AB AC I A^-A C而AB AC AM答案：C w…(6)将函数y =sin x的图像上所有的点向右平行移动'个单位长度，再把所得各点的横坐10标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是w—m(A) y =sin(2x ) (B) y = sin(2x )10 51 兀 1 兀(C) y 二sin(—x ) (D) y 二sin(—x )2 10 2 20解析：将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动一个单位长度，所得函数图象的解析10式为y= sin(x—) •10再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是1 ny"门(异-石).答案：C(7)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两解析：函数f( x) = x2+ mx+ 1的对称轴为x= —曰疋—m= 1 =• m= —22x=1对称的充要条件是(C) m - -1(5)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC夕卜，BC2=16,AB ACi IA^-A C.贝y(A)8 (B)4 (C) 2 (D ) 1w_w-=BC = 4故二2车间每天总获利最大的生产计划为（D ）甲车间加工原料 40箱，乙车间加工原料 30箱 解析：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱x y _ 70nt I则 <10x+6y 兰480x, y N目标函数z = 280x + 300y结合图象可得：当 x = 15, y = 55时z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验 . 答案：Bw … （8）已知数列的首项印=0，其前n 项的和为S n ，且S n.i =2S 「印，则lim n 二1（A ）0（ B ） —（ C ） 1 （ D ）22解析：由 & 1=2Sn ' a 1,且Sn 2-2S n 1a1 1作差得 a n +2 = 2a n +1^又 S 2 2S 1 + a 1, 即卩 a ? + a 1 2 a 1 + a^ —■ a ? 2 a 1故｛a n ｝是公比为2的等比数列S n = a 1+ 2a 1 + 22a 1 + .......................... + 2n 1a 1= (2n — 1) a 1则 lima n= lim nn；：S nn ::(2n -1)a 1答案：B2 2xy（9）椭圆二 2 =1（a 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点a bP 满足线段AP 的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是 co（A ） 0,彳（B ） 0,1（C ）J2-1,1（D ） 1,1解析：由题意，椭圆上存在点 P ,使得线段AP 的垂直平分线过点F ,2nJ 31即F 点到P 点与A 点的距离相等m2 ,2ab而 | FA| = C = 一c c| PF| € [a — c, a + c]即 ac — c ?w ac + c ?.j ac _c 2 兰 a 2 _c 2 a 2 -c 2 乞ac c 2于是b 2€ [ a — c, a + c]c—叮屏11 或--a — 2又e€ (0, 1)故e€ |-,1 | '2丿答案：D(10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且-3都不与5相邻的六位偶数的个数是(A)72 ( B)96 ( C) 108 ( D)144w …解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法_…①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3 A f A f = 24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A2A2 = 12个算上个位偶数字的排法，共计3(24 + 12) = 108个答案：C(11)半径为R的球O的直径AB垂直于平面「，垂足为B , BCD是平面〉内边长为与球面交于点M , N,/A、f 17(A) Rarccos——25 那么R的正三角形，线段AC、M、N两点间的球面距离是厂18(B) Rarccos -25(C)AD分别解析: 由已知,1 AB = 2R, BC = R,故tan / BAC = —•一.…2cos/ BAC =连结OM，则△ OAM为等腰三角形4品4亦AM = 2AOcos / BAC = R，同理AN= R，且MN// CD w5 5而AC = . 5R, CD = R故MN : CD = AN:AC w一MN = 4R ,5连结OM、ON, 有OM = ON= R于是cos/ MON =2 2 2OM ON -MN2OM LON172517所以M 、N 两点间的球面距离是 Rarccos25答案：A1i(12)设 a >b :- c ,0 ,则 2a 2 10ac ：-25c 2 的最小值是ab a(a_b)(A )2( B )4( C ) 2,5( D ) 5解析： 2a 2 — 110ac - 25c 2ab a(a —b)=(a -5c)2 ab 丄 a(a -b) --ab a(a —b)> 0 + 2+ 2=4当且仅当a — 5c = 0, ab = 1, a( a -b) = 1时等号成立2c = 2满足条件5答案：B=(a _5c)2a 2 —ab ab 丄 --ab a(a —b)如取a =第口卷、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上1 6(13) (2-3—)6的展开式中的第四项是.Jx(14)直线x -2y 5=0与圆x 2 y 2 =8相交于A 、B 两点，则 AB 〒解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2、、2故 LABJ 二.、二二=二 2 二…2得 | AB| = 2 3 答案：2 3(15)如图，二面角〉-I - '■的大小是60°,线段AB 二：；• B 三丨,AB 与I 所成的角为30° .则AB 与平面1所成的角的正弦值是•解析：过点A 作平面B 的垂线，垂足为 C ,在B 内过C 作I 的垂线•垂足为D 连结AD ，有三垂线定理可知 AD 丄I ,故/ ADC 为二面角：• -I - 1的平面角，为60° 又由已知，/ ABD = 30° 连结CB ,则/ ABC 为AB 与平面一：所成的角..设 AD = 2，贝V AC = /3 , CD = 1ADAB =0 =4sin 30AC 3--sin / ABC =AB 4答案：空解析: T 4= C ；23160x答案:160 x 圆心到直线x -2y • 5=0的距离为4(16)设S为复数集C的非空子集.若对任意x, y S ,都有x • y,x - y,xy • S ,则称S为封闭集。
四川省新津中学2015届高三一诊模拟数学(理)试题
四川省新津中学2015届高三一诊模拟数学（理）试题一.选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.已知集合2{|230}A x x x =--<,2{|log 2}B x x =<,则A B =A.(1,4)-B.(1,3)-C.(0,3)D.(0,4)2.若复数3i(R,i 12ia a +∈-为虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为 A.6- B.2- C.4D.63.函数2cos(2)2y x π=-是A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数4.等差数列{}n a 中,已知112a =-,130S =,则使得0n a >的最小正整数n 为 A.7B.8C.9D.105.直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是 A. 31m -<< B.42m -<< C.1m < D.01m << 6.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,要求1不在首位,3不在百位的五位数共有 A.72 B.78 C.96 D.547.定义某种运算⊕,a b ⊕的运算原理如图所示,设1S x =⊕, [2,2]x ∈-,则输出的S 的最大值与最小值的差为 A.2 B.1- C.4 D.38.下列命题:①若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α；②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与 这个平面平行；④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4 9.已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l,点P 为抛物线上任意一点,且在第一象限,PA ⊥l ,垂足为A ,||4PF =,则直线AF 的倾斜角等于 A.712π B.23π C.34π D.56π 10.已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-,且当2x ≠时,其导函数()f x ' 满足()2()xf x f x ''>,若24a <<,则A.2(2)(3)(log )a f f f a <<B.2(3)(log )(2)a f f a f <<C.2(log )(3)(2)a f a f f <<D.2(log )(2)(3)a f a f f <<二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.二项式52(1)x-的展开式中第四项的系数为 .12.一个几何体的三视图如图所示,其中网格纸上的小正方形的边长 为1,则该几何体的体积为 .S a =是否S 输出结束?a b ≥||S b =开始,a b输入13.点(,)P x y 在不等式组031x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内,若点(,)P x y到直线1(0)y kx k =->的最大距离为22,则实数k = .14.ABC ∆的外接圆半径为1,圆心为O ,且3450OA OB OC ++=,则OC AB ⋅的值为 . 15已知函数()ln f x x x =,且120x x <<,给出下列命题:①1212()()1f x f x x x -<-；②1221()()f x x f x x +<+；③2112()()x f x x f x <；④当1ln 1x >-时,112221()()2()x f x x f x x f x +>.其中所有正确命题的序号为 .三.解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知{}n a 为等比数列,其中11a =,且2354,,a a a a +成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设n n a n b ⋅-=)12(,求数列{}n b 的前n 项和n T .17.(本小题满分12分)已知向量(2cos ,1),(cos ,23sin cos 1)m x n x x x ==-,函数()f x m n =⋅. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()1,7f B b ==,sin 3sin A C =,求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在2014年10月,某市进行了“居民幸福度”的调查,某师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“狮子山”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎 叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶).(Ⅰ)若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至 多有1人是“极幸福”的概率；19.(本小题满分12分)已知在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点.(Ⅰ)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得//EG 平面PFD ?若存在,求出PGGA的值；若不 存在,请说明理由；(Ⅱ)若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒,求二面角A PD F --的平面角的余弦值.20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(,)22a aA 和点(3,1)B .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知点00(,)P x y 在椭圆C 上,F 为椭圆的左焦点,直线l 的方程为00360x x y y +-=. (ⅰ)求证:直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；(ⅱ)若点F 关于直线l 的对称点为Q ,探索:当点P 在椭圆C 上运动时,直线PQ 是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标；若不过定点,请说明理由.P D C B A g F E21.(本小题满分14分)已知函数2()e (22)x f x ax x =--,R a ∈且0a ≠.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴,求实数a 的值； (Ⅱ)当0a >时,求函数(|sin |)f x 的最小值；(Ⅲ)在 (Ⅰ)的条件下,若y kx =与()y f x =的图像存在三个交点,求k 的取值范围.2015届“一诊”模拟考试(一)理科数学答案一.选择题（共10小题,每小题5分,满分50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B D BAABC二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.80-. 12.2503. 13.1. 14.15-. 15.③④. 三.解答题:17.【解答】(Ⅰ)∵2()2cos 23sin cos 13sin 2cos 2f x m n x x x x x =⋅=+-=+, ∴()2sin(2)6f x x π=+.∵2[2,2](Z)622x k k k πππππ+∈-++∈,∴[,](Z)36x k k k ππππ∈-++∈,∴函数()f x 的单调递增区间为[,](Z)36k k k ππππ-++∈.(Ⅱ)∵()2sin(2)16f B B π=+=,∴15sin(2)26266B B πππ+=⇒+=,∴3B π=. ∵sin 3sin A C =,∴3a c =.∵7b =,2222cos b a c ac B =+-,∴3,1a c ==.∵1sin 2S ac B =,∴ABC ∆的面积为334.18.【解答】(Ⅰ)∴从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率为32112124316C C C 121()C 140P A +==.(Ⅱ)∵X 的取值为0,1,2,3,且033327(0)C ()464P X ==⨯=,1233127(1)C ()4464P X ==⨯⨯=, 223319(2)C ()4464P X ==⨯⨯=,33311(3)C ()464P X ==⨯=, ∴X 的分布列为X0 1 2 3 P2764 2764 964 164∴X 的数学期望是0271833()644E X +++==.19.【解答】(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,设,PA a GA b ==. ∵(1,1,0),(0,2,0),(0,0,),(0,0,)F D P a G b ,∴(1,1,0)DF =-,(0,2,)PD a =-,1(,0,)2GE b =-.设平面PFD 的一个法向量(,,)m x a z =.∵020m DF x a m PD a az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,∴2x a z =⎧⎨=⎩,∴(,,2)m a a =.∵1202GE m a b ⋅=-=,∴14b a =.∴3PG GE =. (Ⅱ)∵PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角,20.【解答】(Ⅰ)∵2222()()221a aa b +=,且22311a b +=,∴226,2a b ==,∴椭圆C 的方程为22162x y +=. (Ⅱ)(ⅰ)联立方程组220036360x y x x y y ⎧+=⎨+-=⎩,整理为22220000(3)1236180x y x x x y +-+-=…①.∵P 在椭圆C 上,∴2200162x y +=,即220036y x =-, ∴方程①为220020x x x x -+=,即0∆=,∴直线l 与椭圆C 有唯一的公共点.(ⅱ)∵(2,0)F -,∴过点F 且与l 垂直的直线方程为00360y y x x --=.∵联立方程组0000360360y y x x x x y y --=⎧⎨+-=⎩,∴2002200000220061891869x y x x y y x y y x y ⎧-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩.PDCB A gF E z xG y∵220036y x =-,且222QQx x y y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩,∴Q 点坐标为0000466(,)33x y x x ---.(1)当02x ≠时,直线PQ 的斜率0000000634623y y x y k x x x x --==----.21.【解答】(Ⅰ)∵2()e (22)xf x ax x =--,∴22()e (22)e (22)e [2(1)4]xxxf x ax x ax ax a x '=--+-=+--.∵2(2)e (88)0f a '=-=,∴1a =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2()e ()(2)x f x a x x a'=-+.(1)当02a <≤时,∵21a≥,∴()f x 在区间(0,1)上单调递减, ∴()f x 的最小值为(1)(4)e f a =-.(2)当2a >时,∵201a <<,∴()f x 在区间2(0,)a 上单调递减,在区间2(,1)a上单调递增.∴()f x 的最小值为22()2e af a=-.综上所述,当02a <≤时,函数(|sin |)f x 的最小值为(4)e a -；当2a >时,函数(|sin |)f x 的最小值为22e a-.(Ⅲ)由2e (22)()x x x f x kx k x --=⇒=,设2e (22)()x x x g x x--=.∵2e ()(2)(1)(2)xg x x x x x'=--+,∴函数()g x 的单调递增区间为(2,0),(0,1),(2,)-+∞；O212-xy单调递减区间为(,2),(1,2)-∞-.∵x →-∞时,函数()g x 的图象在x 轴下方且无限靠近x 轴,2(2)2e g --=-,(1)3e g =-,2(2)2e g =-,∴实数k 的取值范围是22(2e ,3e)(2e ,0)----.15.已知直线:1(R)l y ax a a =+-∈.若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点, 且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于||a ,则称曲线为直线l 的“绝对曲线”,给出下列 四条曲线方程: ①2|1|y x =--； ②2y x =；③22(1)(1)1x y -+-=； ④2234x y +=.其中直线l 的“绝对曲线”方程的所有序号为 . 21.(本小题满分14分)设函数2()(2)ln f x x a x a x =---,函数()f x '是函数()f x 的导函数. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 有两个零点,求正整数a 的最小值； (Ⅲ)若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ,求证:12()02x x f +'>.轴；()g x 在(2,0) 上单调递增，当x 无限接近于0时，()g x 无限增大，其图像在左侧向上29.【山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检】（本题满分14分）定义：若∃R x ∈0，使得00)(x x f =成立，则称0x 为函数)(x f y =的一个不动点 (1)下列函数不．存在不动点的是（ ）---（单选）。
2015年3月2015届高三第一次全国大联考(四川版)理数卷(正式考试版)
第1页 共2页 ◎第2页 共2页 【2015年第一次全国大联考【四川卷】理科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分 命题人：学科网大联考命题中心第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝{x |ln 12x +＜1}，N 是自然数集，则A ∩N ＝( )A .{1，2，3，4}B .{0，1，2，3，4，5}C .{1，2，3，4，5}D .{0，1，2，3，4} 2.已知i 是虚数单位，则复数z ＝2ii+的共轭复数在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知命题p :∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0.则⌝p 是( ) A .∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0 B .∃x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0 C .∀x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0D .∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥04.十字路口的信号灯计时器是由7根发光灯管构成(如图)，每根灯管的功率为50瓦，为节约能源，交管部门决定将其更换为节能发光管，每根灯管的功率仅为10瓦， 如果一天内这个计时器都是从9秒倒计时到0秒，并循环往复，那么，经过更换， 这个计时器每天(24小时)可以节约的电量约为( )A .4.3千瓦时B .4.5千瓦时 .4.7千瓦时 D .5.0千瓦时 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，现需要用一个球装下这个几何体，则该球的体积最小为( ). ABCD6.已知函数的部分图象如右图所示，则Φ＝( ) A .π6- B .π6 C .π3- D .π37.已知实数x y 、满足约束条件22,24,4 1.x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩若()(),,3,1a x y b ==-，设z 表示向量a 在向量b方向上射影的数量，则z 的取值范围是( )A .3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B .[]1,6- C.⎡⎢⎣ D.⎡⎢⎣ 8.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A .若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β B .若l ∥α，l ∥β，则α∥βC .若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βD .若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β9.已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的中心为O ，左焦点为F ，P 是双曲线上的一点0OP PF ⋅=uu u r uu u r 且24OP OF OF ⋅=u u u r u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率是( )ABCD10.已知定义在{|,}x x k k Z ≠∈上的奇函数()f x 对定义域内的任意实数x 满足:(2)()f x f x +=-，且1＜x ＜2时，f (x )＝x 2－x ，则下列结论错误．．的是( ) A .函数f (x )的周期为4;B .y ＝f (x )在32x =处的切线的斜率为2; C .f (x )在(2014，2015)上单调递减;D .方程f (x )＝log 2|x |的解的个数为6.第Ⅱ卷(共100分)二、填空题(每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上)11.已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行， 则它们之间的距离是___________ 12.设，则的值为_________.13.执行下列程序框图，则输出m 的的值为_______.14.若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ______.15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数Φ(x)组成的集合：对于函数Φ(x)，存在一个正数M ，使得函数Φ(x)的值域包含于区间[],M M -.例如，当Φ1(x)＝x 3，Φ2(x)＝sinx 时，Φ1(x)∈A ，Φ2(x)∈B.现有如下命题：()10102210102xa x a x a a x+⋅⋅⋅+++=-()()293121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++第3页 共4页 ◎第4页 共4页 ①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则； ④若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号)三、解答题 (本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)一次数学测验，某班50名的成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五段：第一段[90，100)，第二段[100，110)，……，第五段[130，140].按上述分段方法得到 的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良 好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的 人数； (Ⅱ)现将分数在[90，110)内同学分为第1组，在[110， 120)内的分为第2组，在[120，140)内的分为第3组， 然后从中随机抽取2人，用ξ表示这2人所在组数之 差的绝对值，求ξ的分布列和期望.17.(本小题满分12分)已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f ，其中ω是使得函数图象相邻两对称轴间的距离不超过23π的最小正整数，若将)(x f 的图象先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数. (Ⅰ)求)(x f 的解析式，并求)(x f 的对称中心； (Ⅱ)△ABC 中，如果f (26B π+)＝1，b ＝且asinA －bsinB ＝sinC (c)，求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)已知∠ABC ＝45°，B 、C 为 定点且BC ＝3，A 为动点，作AD ⊥BC ，垂足 D 在线段BC 上且异于点B ，如图1。
2015届成都一诊数学试题及答案(文科、理科)
成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（A ） （B ） （C ） （D ） 3．已知复数z 43i =--（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（A ）复数z 的虚部为3i - （B ）复数z 的虚部为3 （C ）复数z 的共轭复数为z 43i =+ （D ）复数z 的模为54．函数31,0()1(),03x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）5．已知命题p ：“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”，则下列说法正确的是 （A ）命题p 的逆命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （B ）命题p 的逆命题是“若2<x ab ，则22<+x a b ” （C ）命题p 的否命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （D ）命题p 的否命题是“若22x a b ≥+，则2<x ab ”y xOxyO x y Ox yOGFEHPACBDA B C D 6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是 （A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]7．已知F 是椭圆22221+=x y a b（0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x轴.若14=PF AF ，则该椭圆的离心率是 （A ）14（B ）34 （C ）12 （D 8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是 （A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDDC 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时， 2HP 的最小值是（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）25二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．12．二项式261()x x-的展开式中含3x 的项的系数是__________．（用数字作答）13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ，则∆ABC 的面积=S __________．14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (n （0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论： ①1a =；②当*n ∈N时，n y 的最小值为54； ③当*n ∈N 时，n k <； ④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则1)<n S ．其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．17．（本小题满分12分）如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象． （Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值； （Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F 的距离之和为43（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且32AB =点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值． 21．（本小题满分14分）已知函数2()ln mx f x x =-，2()emx mx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和极小值；（Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明：10e a b c -<<<<<；（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ∀∈+∞，2(,0)x ∀∈-∞，都有12()()f x g x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.4332.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时）53.522.753.1252.3752.5632.469数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．A ； 2．C ； 3．D ；4．A ；5．C ；6．B ；7．B ；8．D ；9．A ；10．B ．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．90︒ 12．20- 1314.[2,0]- 15．①③④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A ，则21243641()205⋅===C C P A C ．……………………………………………………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则343641(0)205====C P X C (2)分122436123(1)205⋅====C C P X C ………………………………………………………2分1(2)()5===P X P A ………………………………………………………………2分∴X 的分布列为∴X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………2分17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分 （Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图． 则(1,0,0)A ，(1,0,2)-E，D ． ∴(2,0,2)=-AE，(1=-AD ． 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则110⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE AD n n，即2200-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ．∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ．∴121212,2⋅>===cos <n n n n n n ．∴平面DEA 与平面ABC8分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ①当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a ．………………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………………2分（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n (1)分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n (1)分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n …………………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n (3)分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分 2125.15.22minmax =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间． 由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产） 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知2=a=a=c ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴12=-==AB x ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点． 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分 综上所述，0x 的值为3-或1-． 21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x mx f -⋅=-=⋅--='（0>x 且1≠x ）．∴由0)(>'x f ，得21e x >；由0)(<'xf ，得210e x <<，且1≠x ．……………………1分∴函数)(x f 的单调递减区间是(0,1),(1e)，单调递增区间是),(+∞e ．………………2分∴me e f x f 2)()(-==极小值.………………………………………………………………1分（Ⅱ）222(2)(),(0)mx mx mx mxmxe mx e m mx mx g x m e e --'=-=>． ∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m+∞上单调递增． ∵函数()g x 存在三个零点．∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e ．∴02<<me …………………………………………………………………………………3分 由(1)(1)0-=-=-<mmg m me m e ．∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e．……………………………………………………1分综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分 （III ）由题意，只需min max ()()>f x g x ∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x 由0<m ，∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,)e +∞上单调递增．∴12min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分 ∵(2)()-'=mxmx mx g x e由0<m ，∴函数()g x 在2(,)m-∞上单调递增，2(,0)m 上单调递减．∴max 224()()==-g x g m m e m ．……………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22242-<-m e m e．∴224(21)e m e+>，即224(21)m e e >+．由0<m ，解得(21)m e e <-+．综上所述，存在这样的负数(,(21)∈-∞-+m e e 满足题意．……………………………1分成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测数学试题（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（A ） （B ） （C ） （D ） 3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab （C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b4．函数31,0()1(),03x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（A ）5i 3- （B ）5i 3（C ）i - （D ）i6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是y xOxyO x y Ox yO消费支出/元（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是 （A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C 的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时， 2HP 的最小值是 （A ）72- （B ）2762- （C ）51142- （D ）1422-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹A BCD1A 1B 1C 1D HPE F角的大小为__________．13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论： ①1a =-；②记函数()=n g n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k++<+； ④当*n ∈N 时，记数列的前n 项和为n S ，则n S <其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ． （Ⅰ）求“5+=m n ”的概率； （Ⅱ）求“5≥mn ”的概率．17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =． （Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象． （Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值； （Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点(23,0)．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且32AB =点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值． 21．（本小题满分14分） 已知函数()ln 2mf x x x=+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f x g x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101ea b c <<<<<．t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.4332.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时）53.522.753.1252.3752.5632.469数学（文科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．A ； 2．C ； 3．D ；4．A ；5．C ；6．B ；7．D ；8．B ；9．C ；10．B ．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．30 12．90︒ 13．4 14.[2,0]- 15．①②④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分）解：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5) (2,3)，(2,4)，(2,5) (3,4)，(3,5)(4,5)…………………………………………………………………………………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为事件A ，则 21()105==P A ．……………………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为事件B ，则 37()11010=-=P B ．…………………………………………………………………… 3分 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 面ABC ．………………………6分 （Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高3=AH ．∴1(21)23332-+⨯=⨯⨯=A ECBD V ． ∴多面体ECABD 的体积为3．……………………………………………6分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵122+=-n n S ① 当2≥n 时，122-=-n n S ② ①-②得，2=n n a （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a ．………………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分 ∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n (1)分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n (1)分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n (3)分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分 2125.15.22minmax =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ． （Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间． 由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）20.（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB kx x m m m ． 又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点． 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-． 21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x． ∴221121()22-'=-=x f x x x x ……………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ； ∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增． (2)分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈ 由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ．故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………………………4分（III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x=+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点， ∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面讨论()ln 2mf x x x=+的零点情况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=． 易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m mf ，解得20<<m e ，∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分 ∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>．10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分。
四川省成都市2015届高三第一次诊断适应性考试数学(理)试卷
四川省成都市2015届高三第一次诊断适应性考试数学（理）试卷一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、设集合}021|{≤-+=x x x M ，}212|{>=x x N ，则M N =（ ）A 、),1(+∞-B 、)2,1[-C 、)2,1(-D 、]2,1[- 2、下列有关命题的说法正确的是（ ）A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B 、“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.C 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D 、命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”． 3、方程()()2ln 10,0x x x+-=>的根存在的大致区间是（ ） A 、()0,1 B 、()1,2 C 、()2,e D 、()3,4 4、执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 、5B 、7C 、9D 、115、设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B 、若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C 、若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D 、若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥6、二项式102)2(x x +展开式中的常数项是（ ） A 、180 B 、90 C 、45 D 、360 7、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ）A 、2a b =B 、//a bC 、13a b =- D 、a b ⊥8、已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则 OA OM+的取值范围是（ ）A 、[]51，B 、[]52，C 、[]21，D 、[]50， 9、已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线x-2y+4=0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB=（ ） A 、54 B 、53 C 、43 D 、5510、已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ．１B ．２C ．３D ．４ 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11、若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为 ； 12、已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为 ；13、各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。
2015届成都一诊数学试题及答案(文科、理科)
（C）复数z的共轭复数为z?4?3i （D）复数z的模为5
?x3?1,x?0?4．函数f(x)??1x的图象大致为
?(),x?0?3
（A） （B） （C） （D）
2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是
（A） （B） （C） （D）
3．已知复数z??4?3i（i是虚数单位），则下列说法正确的是
（A）复数z的虚部为?3i （B）复数z的虚部为3
成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U?{x|x?0}，集合P?{1}，则eUP?
（A）[0,1)
（C）(??,1)(1,??) （B）(??,1) (1,??) （D）(1,??)
5．已知命题p：“若x?a?b，则x?2ab?a?b，则x?2ab”
（B）命题p的逆命题是“若x?2ab，则x?a?b ”
（C）命题p的否命题是“若x?a?b，则x?2ab”
（D）命题p的否命题是“若x?a?b，则x?2ab” 2222222222
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一.选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.已知集合2{|230}A x x x =--<,2{|log 2}B x x =<,则A B =A.(1,4)-B.(1,3)-C.(0,3)D.(0,4)2.若复数3i(R,i 12ia a +∈-为虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为 A.6- B.2- C.4D.63.函数2cos(2)2y x π=-是A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数4.等差数列{}n a 中,已知112a =-,130S =,则使得0n a >的最小正整数n 为 A.7B.8C.9D.105.直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是 A. 31m -<< B.42m -<< C.1m < D.01m << 6.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,要求1不在首位,3不在百位的五位数共有 A.72 B.78 C.96 D.547.定义某种运算⊕,a b ⊕的运算原理如图所示,设1S x =⊕, [2,2]x ∈-,则输出的S 的最大值与最小值的差为 A.2 B.1- C.4 D.38.下列命题:①若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α；②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与 这个平面平行；④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4 9.已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上任意一点,且在第一象限,PA ⊥l ,垂足为A ,||4PF =,则直线AF 的倾斜角等于 A.712π B.23π C.34π D.56π 10.已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-,且当2x ≠时,其导函数()f x ' 满足()2()xf x f x ''>,若24a <<,则A.2(2)(3)(log )a f f f a <<B.2(3)(log )(2)a f f a f <<C.2(log )(3)(2)a f a f f <<D.2(log )(2)(3)a f a f f <<二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)S a =是否S 输出结束?a b ≥||S b =开始,a b输入11.二项式52(1)x-的展开式中第四项的系数为 .12.一个几何体的三视图如图所示,其中网格纸上的小正方形的边长 为1,则该几何体的体积为 .13.点(,)P x y 在不等式组031x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内,若点(,)P x y到直线1(0)y kx k =->的最大距离为2,则实数k = .14.ABC ∆的外接圆半径为1,圆心为O ,且3450OA OB OC ++=,则OC AB ⋅的值为 . 15已知函数()ln f x x x =,且120x x <<,给出下列命题:①1212()()1f x f x x x -<-；②1221()()f x x f x x +<+；③2112()()x f x x f x <；④当1ln 1x >-时,112221()()2()x f x x f x x f x +>.其中所有正确命题的序号为 .三.解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知{}n a 为等比数列,其中11a =,且2354,,a a a a +成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设n n a n b ⋅-=)12(,求数列{}n b 的前n 项和n T .17.(本小题满分12分)已知向量(2cos ,1),(cos ,23cos 1)m x n x x x ==-,函数()f x m n =⋅. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()1,7f B b ==,sin 3sin A C =,求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在2014年10月,某市进行了“居民幸福度”的调查,某师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“狮子山”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶).(Ⅰ)若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至 多有1人是“极幸福”的概率；19.(本小题满分12分)已知在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点.(Ⅰ)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得//EG 平面PFD ?若存在,求出PGGA的值；若不 存在,请说明理由； (Ⅱ)若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒,求二面角A PD F --的平面角的余弦值.20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(,)22a aA 和点(3,1)B .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知点00(,)P x y 在椭圆C 上,F 为椭圆的左焦点,直线l 的方程为00360x x y y +-=. (ⅰ)求证:直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；(ⅱ)若点F 关于直线l 的对称点为Q ,探索:当点P 在椭圆C 上运动时,直线PQ 是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标；若不过定点,请说明理由.P DCBAFE21.(本小题满分14分)已知函数2()e (22)x f x ax x =--,R a ∈且0a ≠.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴,求实数a 的值； (Ⅱ)当0a >时,求函数(|sin |)f x 的最小值；(Ⅲ)在 (Ⅰ)的条件下,若y kx =与()y f x =的图像存在三个交点,求k 的取值范围.2015届“一诊”模拟考试(一)理科数学答案一.选择题（共10小题,每小题5分,满分50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B D BAABC二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.80-. 12.2503. 13.1. 14.15-. 15.③④. 三.解答题:17.【解答】(Ⅰ)∵2()2cos 23sin cos 13sin 2cos 2f x m n x x x x x =⋅=+-=+, ∴()2sin(2)6f x x π=+.∵2[2,2](Z)622x k k k πππππ+∈-++∈,∴[,](Z)36x k k k ππππ∈-++∈,∴函数()f x 的单调递增区间为[,](Z)36k k k ππππ-++∈.(Ⅱ)∵()2sin(2)16f B B π=+=,∴15sin(2)26266B B πππ+=⇒+=,∴3B π=. ∵sin 3sin A C =,∴3a c =.∵7b =,2222cos b a c ac B =+-,∴3,1a c ==.∵1sin 2S ac B =,∴ABC ∆的面积为334.18.【解答】(Ⅰ)∴从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率为32112124316C C C 121()C 140P A +==. (Ⅱ)∵X 的取值为0,1,2,3,且033327(0)C ()464P X ==⨯=,1233127(1)C ()4464P X ==⨯⨯=, 223319(2)C ()4464P X ==⨯⨯=,33311(3)C ()464P X ==⨯=, ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P2764 2764 964 164∴X 的数学期望是0271833()644E X +++==.19.【解答】(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,设,PA a GA b ==. ∵(1,1,0),(0,2,0),(0,0,),(0,0,)F D P a G b ,∴(1,1,0)DF =-,(0,2,)PD a =-,1(,0,)2GE b =-.设平面PFD 的一个法向量(,,)m x a z =.∵020m DF x a m PD a az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,∴2x a z =⎧⎨=⎩,∴(,,2)m a a =.∵1202GE m a b ⋅=-=,∴14b a =.∴3PGGE=.(Ⅱ)∵PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角,20.【解答】(Ⅰ)∵2222()()221a a a b +=,且22311a b +=,∴226,2a b ==,∴椭圆C 的方程为22162x y +=. (Ⅱ)(ⅰ)联立方程组220036360x y x x y y ⎧+=⎨+-=⎩,整理为22220000(3)1236180x y x x x y +-+-=…①.∵P 在椭圆C 上,∴2200162x y +=,即220036y x =-,∴方程①为220020x x x x -+=,即0∆=,∴直线l 与椭圆C 有唯一的公共点.PDCBAFEz xGy(ⅱ)∵(2,0)F -,∴过点F 且与l 垂直的直线方程为00360y y x x --=.∵联立方程组0000360360y y x x x x y y --=⎧⎨+-=⎩,∴2002200000220061891869x y x x y y x y y x y ⎧-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩.∵220036y x =-,且222Q Qx x y y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩,∴Q 点坐标为0000466(,)33x y x x ---.(1)当02x ≠时,直线PQ 的斜率0000000634623y y x yk x x x x --==----.21.【解答】(Ⅰ)∵2()e (22)xf x ax x =--,∴22()e (22)e (22)e [2(1)4]xxxf x ax x ax ax a x '=--+-=+--. ∵2(2)e (88)0f a '=-=,∴1a =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2()e ()(2)x f x a x x a'=-+.(1)当02a <≤时,∵21a≥,∴()f x 在区间(0,1)上单调递减, ∴()f x 的最小值为(1)(4)e f a =-.(2)当2a >时,∵201a <<,∴()f x 在区间2(0,)a 上单调递减,在区间2(,1)a上单调递增.∴()f x 的最小值为22()2e af a=-.综上所述,当02a <≤时,函数(|sin |)f x 的最小值为(4)e a -；当2a >时,函数(|sin |)f x 的最小值为22e a-.(Ⅲ)由2e (22)()x x x f x kx k x --=⇒=,设2e (22)()x x x g x x--=.∵2e ()(2)(1)(2)xg x x x x x'=--+,∴函数()g x 的单调递增区间为(2,0),(0,1),(2,)-+∞；单调递减区间为(,2),(1,2)-∞-.∵x →-∞时,函数()g x 的图象在x 轴下方且无限靠近x 轴,2(2)2e g --=-,(1)3e g =-,2(2)2e g =-,∴实数k 的取值范围是22(2e ,3e)(2e ,0)----.且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于||a ,则称曲线为直线l 的“绝对曲线”,给出下列 四条曲线方程: ①2|1|y x =--； ②2y x =；③22(1)(1)1x y -+-=； ④2234x y +=.其中直线l 的“绝对曲线”方程的所有序号为 . 21.(本小题满分14分)设函数2()(2)ln f x x a x a x =---,函数()f x '是函数()f x 的导函数. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 有两个零点,求正整数a 的最小值；O212-xy(Ⅲ)若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ,求证:12()02x x f +'>.轴；()g x 在(2,0)上单调递增，当x 无限接近于0时，()g x 无限增大，其图像在左侧向上29.【山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检】（本题满分14分）定义：若∃R x ∈0，使得00)(x x f =成立，则称0x 为函数)(x f y =的一个不动点 (1)下列函数不．存在不动点的是（ ）---（单选）。