石油大学远程教育概率论与数理统计第在线作业答案
《概率统计》试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________.3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 .4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8aP X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= .6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 .7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ .8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 .二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求:(1)求取出的产品为次品的概率;(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为,03()2,3420,kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎩其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求712P X ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立为什么 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、0.6 3、2156311C C C 或411或0.3636 4、1 5、136、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N -二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ======== .................. 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ............................................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯=== ................................................................................. 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知 故16k =. ..................................................................................................................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩.......................................................................................... 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭....................................................................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知故0.3a = .................................................................................................................................................... 4分(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3X p ........................................................................................................................ 6分120.40.6Y p .................................................................................................................................. 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故所以X 与Y 不相互独立. ............................................................................................................................ 12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 求()(),E X D X . 解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰................................ 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰................................................................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ........................................................................................................ 12分一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
中国石油大学090107概率论与数理统计期末复习题及参考答案
《概率论与数理统计》课程综合复习资料一、单选题1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为()。
a∙ Φ3Φ7B. ⅛φ3×(∣)7C∙ c ioψ7×(∣)3d∙ ⅛3答案：B2.设X∣, X2, . X〃为来自总体X的一个样本，区为样本均值，EX未知，则总体方差OX的无偏估计量为()。
A.--∑(X∕-X)2“Ti=I1n _ o8. 1 X(X z-X)2 n i=∖1 «0C∙ -∑(X，•一EX)1 〃oD∙ --∑(X i-EX)2〃-答案：A3.设X” X2,…，X〃为来自总体N(〃，/)的一个样本，区为样本均值，已知，记S12=-∑(X z-X)2, 5^=1 X(X z-X)2,则服从自由度为〃-1的f分布统计量是()。
〃一IT n i=∖MT=Sl/3S2 / 4nS) ∕√n答案：D4.设总体X〜/HO),O为未知参数，X1, X2,. -, X“为*的一个样本,0(X1, X2,--,.X n), 0(X1, X2,∙∙∙, X ZJ)为两个统计量,包力为。
的置信度为的置信区间, 则应有()。
A.P{Θ <Θ} = aB.P{Θ<Θ} = ∖-aC.P[Θ<Θ<Θ] = aD.P[Θ<Θ<Θ} = ∖-a答案：D5.某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率()。
A. ⅛36,设X和Y均服从正态分布X〜N(μ工),Y ~ N(μ32),记P] = P{X <μ-2], p2=P{Y≥μ + 3}f则OoA.对任何实数〃都有p∣ >〃2B.对任何实数〃都有p∣ <〃2C.仅对〃的个别值有Pl =p2D.对任何实数〃都有p∣二〃2答案：D7.设A和B为任意两个事件，且Au3, P(B)>0,则必有()。
A.P(A)<P(A∖B)B.P(A)NP(AIB)C.P(A)>P(A∖B)D.P(A)≤P(A∖B)答案：D8.已知事件48相互独立，P(B) >0,则下列说法不正确的是()。
中国石油大学(华东)2018年春季《概率论与数理统计》第1阶段在线作业
解析：
无
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4(10.0分)
A)
1/3
B)
1/4
C)
1
D)
1/2
参考答案：D
收起解析
解析：
无
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5(10.0分)
A)
3
B)
1/3
C)
2
D)
1/2
参考答案：D
收起解析
解析：
无
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6(10.0分)
A)
B)C)Biblioteka D)参考答案：D收起解析
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无
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7(10.0分)
试卷要求:
一、单选题
答题要求:
每题只有一个正确的选项。
窗体顶端
1(10.0分)
A)
B)
C)
D)
参考答案：C
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解析：
无
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2(10.0分)
A)
1/2
B)
1/4
C)
3/4
D)
3/16
参考答案：B
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解析：
无
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3(10.0分)
A)
3/4
B)
1/3
C)
1/4
D)
1/2
参考答案：C
A)
B)
C)
D)
参考答案：D
收起解析
解析：
无
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8(10.0分)
A)
0.4
B)
0.6
C)
0.28
D)
大学概率论与数理统计习题及参考答案
P A P AB1 AB2 P AB1 P AB2 P B1 P A B1 P B2 P A B2
2 1 0.97 0.98 有9个是新的。第一次比赛从中任取3个来用， 比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是 新球的概率。 解: 设 Bi 表示事件“第一次取出了 i 个新球”i, =0,1,2,3.
从而P( A B) 1 P( AB) 1 0.012 0.988.
10
三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有
效的概率系统A为0.92，系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求 （1）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率； （2） B失灵的条件下, A有效的概率.
解
设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知
P ( A) 0.92, P ( B) 0.93, P ( B A) 0.85,
则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.08 0.85 0.068 , 故 P( AB) P( B) P( AB) 0.93 0.068 0.862,
AB 6 ; A B 1 ,5 .
1
四、写出下面随机试验的样本空间： （1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中 任意取一球，观察其颜色； （2） 从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色； （3） 从（1）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数； （4） 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 （１）设
i
表示抛掷一颗骰子，出现i点数，i＝1,2,3,4,5,6. 则样本空间
概率论与数理统计答案(汇总版)
2 ⋅ 28! 1 = 435 。 两个“王姓”学生正好一头一尾的概率为 30!
8、解 （1）设 A = {“1 红 1 黑 1 白”}，则
1 1 1 C2 C3C2 12 = ； 3 C7 35
P( A) =
（2）设 B = {“全是黑球”}，则
排列，故（1）
p( Ai ) =
8! 9! 。
（2）1 号车配对，9 号车不配对指 9 号车选 2~8 号任一个车位，其余 7 辆车任意排列，共有
7 ⋅ 7!个样本点。故
(3)
p A1 A9 =
(
)
7 ⋅ 7! 7 = 9! 72 .
p A1 A2 L A8 A9 = p A2 L A8 A1 A9 p ( A1 A9 )
P(C ) =
所要求的概率是：
P(C | D) =
P(CD) 2825 = ≈ 0.3944 。 P( D) 7163
17 解： （1）第三天与今天持平包括三种情况：第 2 天平，第 3 天平；第 2 天涨，第 3 天跌； 第 2 天跌，第 3 天涨。则
p1 = α 3γ 3 + α1α 2 + α 2 β1
（1 ） P ( A | A
= U B）
P( AI ( AU B)) P( AU B)
=
P( A) 7 = ； P( AU B) 9
（2） P ( AB ) = P ( B ) − P ( AB ) = 0.4 − 0.2 = 0.2
P( AU B) = P( A ） +P( B) − P( AB) = 0.5
= 0.86
12、解 设 A = {该职工为女职工}， B = {该职工在管理岗位}，由题意知，
概率论数理统计答案
概率论数理统计答案概率论、数理统计是我们生活中不可避免地遇到的问题。
这些问题的解决离不开概率论和数理统计的知识。
然而，这两门学科并不是一见倾心，即使学了也未必能轻松掌握，尤其是对于初学者来说。
下面，我将通过几个问题的答案，来阐述概率论和数理统计的相关知识。
问题1：某科目的考试成绩满分为100分，进行了300人的考试，平均分为70分，标准差为15分，问该科成绩在80分以上的学生占总人数的比例是多少？答：根据正态分布理论，假设该科目的成绩服从正态分布，可以通过标准正态分布表确定得分区间的分位点。
首先，计算该科考试的标准化分数：z = (80-70)/15 = 0.67，然后查表可知，该分数区间的累积概率为0.2514。
也就是说，80分以上的学生人数占总人数的比例为25.14%。
问题2：某家超市进货的鸡蛋尺寸有偏差，但保证平均每箱鸡蛋数量为24个。
现在有一个顾客随机挑选一箱鸡蛋，请问该顾客选择到数量小于20个的概率是多少？答：假设每箱鸡蛋的数量服从正态分布，那么该超市的进货量应该符合中心极限定理。
设每个鸡蛋的数量的均值为μ，标准差为σ，则该超市进货24个鸡蛋的标准化分数为z = (20-24μ)/σ。
根据正态分布的特性，计算可得符合条件的概率为P(Z<z)，Z为标准正态分布，z的值可以从标准正态分布表中查找得知。
如此算下来，该顾客选择到数量小于20个的概率为0.0003。
问题3：某手机厂商有两种机型，分别为A、B型。
现在调查了10000名用户，发现喜欢A型机的用户有4000人，喜欢B型机的用户有6000人，而两种机型都喜欢的用户有2000人。
那么，随机选择一个用户，问TA喜欢B型机的概率是多少？答：根据全概率公式，随机选择一个用户个体喜欢B型机的概率为P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')，其中，P(B|A)表示个体喜欢A型机的条件下喜欢B型机的概率，P(A)表示个体喜欢A型机的概率，P(B|A')表示个体不喜欢A型机的条件下喜欢B型机的概率，P(A')表示个体不喜欢A型机的概率。
中国石油大学《概率论与数理统计》复习题及答案
A）、f(x)单调不减B）、F(x)dx1C）、F()0D）、Fx()fx()xd
5.（见教材第95到第98页）设随机变量X与Y相互独立，且
1
X~B16,，Y服从于
2
参数为9的泊松分布，则D(X2Y1)（）。
A）、–14B）、–13C）、40D）、41
12．（见教材91页期望的性质）设随机变量X的数学期望存在，则E(E(E(X)))（）。
2
A）、0B）、D(X)C）、E(X)D）、E(X)
2
16.（见教材126页）设X1，X2，⋯，Xn来自正态总体N(,)的样本，则样本均值X的
分布为（）。
2
22
A）、N(,)B）、(,)
NC）、N(0,1)D）、N(n,n)n
17.（见教材125页）设总体X~N(0,0.25)，从总体中取一个容量为6的样本X1,⋯,X6，设
X~B(n,p),且EX3,p1/5,则n.
3x
e,x0
11(见教材P42)连续型随机变量X的概率密度为fx
则
0,x0
．
12.(见教材P11-P12）盒中有12只晶体管，其中有10只正品，2只次品．现从盒中任取３
只，设３只中所含次品数为X，则PX1．
2.(见教材P73-P74)已知二维随机变量
22
(X,Y)~N(,;,;)，且X与Y相互
24/91/9
六、（第八章假设检验165页，单个正态总体期望的检验）设某次考试的考生成绩服从正态
分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,样本标准差为15分,问
在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过
程.（t(35)2.0301）。
概率论与数理统计习习题解答
欢迎阅读第一章随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生.解所求的事件表示如下欢迎阅读3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？（2）在什么条件下ABC =C 成立？（3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？ 解（1（2（3（4立.4．设解 所以 5. 解 则–6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A ＝{两球颜色相同}，B ＝{两球颜色不同}.解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B 的事件数为1111112a b b a a b A A A A A A +=, 则2211222()()a b a b a ba bA A A AP A P B A A +++==欢迎阅读7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.解 （1）设A={取得三件次品} 则33人颗，（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则欢迎阅读3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C .(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.745=-=P C P A .(4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384+C C 10. （年按（2解(1) (2)11. 将成解 因此有12. 从解 要共有45C 13. 解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则()1i i P A p i==+ 所以()11i i i P A p i=-=+ 由于零件制造相互独立，有：123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A =欢迎阅读14.假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i次击中目标}, i=1,2.则P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外B=B1+B2，由全概率公式，件C={产品中次品不超两件}, 由题意由于A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式由Bayes公式故欢迎阅读16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.解设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏P(A2由为17.和（1（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β.解设H i={箱中实际有的次品数}, 0,1,2i, A={通过验收}则P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：(1)由全概率公式(2)由Bayes公式得欢迎阅读18.一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以第二章 随机变量及其分布1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：律？解 由题意, 1()1k f x ∞==∑, 即解得：1(1)C e λ=-7. 已知X的分布律 X －112P162636求：（1）X 的分布函数；（2）12P X ⎛⎫< ⎪⎝⎭；（3）312P X ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭.解 (1) X 的分布函数为()()k k x xF x P X x p ≤=≤=∑(1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=- 12. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： 13. （1）每分钟恰有6次呼唤的概率； 14. （2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.解(1) P(X=6) =6440.104!6!k e e k λλ--==或者P(X=6) = !kek λλ-446744!!k k k k e e k k ∞∞--===-∑∑= 0.21487 – 0.11067 =X~B(1000, 0.003), 由于n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此 (1) P(X=2)2330.2242!e -==(2)323(2)1(2)110.80080.1992!k k P X P X e k ∞-=<=-≥=-=-=∑(3)333(2)(2)0.5768!k k P X P X e k ∞-=>=>==∑(4)313(1)0.9502!k k P X e k ∞-=≥==∑17. 设连续型随机变量X 的分布函数为18.20,0(),011,1x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩1/21/1/21111arcsin 1/22663P x x ππππ--⎛⎫⎛⎫<===-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰ (3) X 的分布函数 21. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z 表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=120.812(1)0.0272x x dx -=⎰如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=120.912(1)0.0037x x dx -=⎰解 由于()()10|10|10222a X a P X a P a X a P --⎛⎫-<=-<-<=<<⎪⎝⎭所以0.952a ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭查表可得，2a=1.65即 a = 3.325.设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X在范围(10.05±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率.解由题意，设P为合格的概率，则则不合格的概率=1?P = 0.045626.设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1，x2)、(x2，+∞)的概率之试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列.解(1) 2X的分布列如下2X -4 0 4 6(2) x 2的分布列 29. 设X 服从N(0，1)分布，Y ＝｜X ｜的密度函数.解 的反函数为,0h(y)=,x x x x -<⎧⎨≥⎩, 从而可得Y=|X|的密度函数为：当y>0时，222222()()|()'|()|'|yyy Y X X f y f y y f y y e e e---=--+==解 由于ln y x =严格单调，其反函数为(),'()y y h y e h y e ==且, 则 32. 设随机变量X 服从N(μ,2σ)分布，求Y ＝x e 的分布密度. 解 由于x y e =严格单调，其反函数为1()ln ,'(),h y y h y ==且yy>0,则 当0y ≤时()0Y f y =因此221(ln )2,0()0,y Y y f y y μσ--⎧>=≤⎩33. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Y ＝21x e --在区间(0, 1)上服从均匀分布.解 由于21x y e -=-在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：1()ln(1),01,2h y y y =--<<35. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X 表示其中一级品件数，Y 表示其中二级品件数，求： 36. （1）X 与Y 的联合概率分布； （2）X 、Y 的边缘概率分布；（3）X 与Y 相互独立吗？解 根据题意，X 只能取0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1) 271310(,),i j k ijC C C p P X i Y j C====其中,3,0,1,2,i j k i ++==0,1,2,3j =P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.38. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,求：（1）系数A 、B 及C ； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X ，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）求：（1）常数A ；（2）X ，Y 的边缘概率密度；（3）(01,02)P X Y <≤<≤.解 (1) 由联合概率密度的性质，可得解得 A=12.(2) X, Y 的边缘概率密度分别为：(3) (01,02)P x y <≤<≤41. 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 求 P(X ＋Y ≥1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G 中, 则 42. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G 上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度.12153101434求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表46. 设X123Y函数为 求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.解 先计算()X f x , 当x <1时, ()0X f x =当x ≥1时,113331222()1y y X f x e dy e x x x+∞--+∞-===⎰再计算()Y f y , 当y <1时, ()0Y f y =当y ≥1时,11132121()1y y y Y f y e dx e e x x+∞---+∞-===⎰可见, (,)()()X Y f x y f x f y =, 所以随机变量X, Y 相互独立49. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y因此, 得Z 的密度函数为： 51. 设随机变量X 和Y 独立，X ～2()N μ,σ，Y 服从［－b ，b ］(b>0)上的均匀分布，求随机变量Z ＝X ＋Y 的分布密度. 解 解法一 由题意，令)/,,[,],z y a t dy dt y b b σσ--==-∈-(则 解法二 52. 设X 服从参数为12的指数分布，Y 服从参数为13的指数分布，且X 与Y 独立，求Z ＝X ＋Y 的密度函数. 解 由题设，X ~12120,0(),0X xx f x e x -≤⎧⎪=⎨>, Y ~13130,0(),0Y xx f y e x -≤⎧⎪=⎨> P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12U∈{0,1,2,3}同理，V=min(X,Y)的分布分别如下V∈{0,1,2}第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量X 的分布列为X －1 0 1212P13161611214求E(X)，E(－X ＋1)，E(X 2) 解111111136261243()1012E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5. 设随机变量X 的密度函数为 求E(2X)，E(2x e -). 解(2)2()2x E X xf x dx xe dx ∞∞--∞==⎰⎰6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a ，b ］上，求球的体积的数学期望.解 由题意，球的直接D~U(a,b), 球的体积V=()3432D π因此，341()()32bax E V Vf x dx dx b aπ∞-∞⎛⎫== ⎪-⎝⎭⎰⎰ 7. 设随机变量X ，Y 的密度函数分别为 求E(X ＋Y)，E(2X －3Y 2). 解()()()E X Y E X E Y +=+8. 设随机函数X 和Y 相互独立，其密度函数为E(X 1+X 2+…+X 12)=12E(X) = 42D(X 1+X 2+…+X 12) =D(X 1)+D(X 2)+…+D(X 12)=12D(X)=35 12. 将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X 为配对的个数，求E(X), D(X).解 （1）直接求X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变量X k1,0,k k X k ⎧=⎨⎩第只球装入第k 号盒子第只球没装入第k 号盒子,则有：1nkk X X ==∑，X k 服0-1分布因此：11(0)11,(1),kk P X p P X p n n==-=-===解 由切比雪夫不等式, 取27.5, 2.5==εσ, 得 22.52(()7.5)7.545P X E X -≥≤=.16. 在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A 发生的次数为X ，试利用切比雪夫不等式估计X 在40到60之间取值的概率解由题意，X~B(100，0.5), 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25根据切比雪夫不等式, 有253=-=.1100417.设连续型随机变量X的一切可能值在区间［a，b］内，其密度函数为()f x，证明：（1）a≤E(X)≤b；XY矩阵.解由题设，E(XY) = 0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4 = 0.4cov(X,Y) = E(XY)?E(X)E(Y) = 0.4?0.6×0.7 = ?0.02协方差矩阵为19.设二维随机变量（X，Y）的分布律为X－1 01Y－1 18 1818 0 18 01821. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)＝12，求(X, Y)的密度函数.解 由题意, 123205===ρ则密度函数为22.设随机变量X和Y相互独立，且E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，试求E((X＋Y)2).解()()22222+=++=++E X Y E X Y XY E X E Y E XY()2()()(2)由于()()222222-=-=D(X)=E(X)E(X)E(X)=1,D(Y)=E(Y)E(Y)E(Y)=1因此有23.设随机变量X和Y的方差分别为25，36，相关系数为0.4，试求D(X＋Y)，D(X－Y).第四章 大数定律与中心极限定理1. 设X i ，i ＝1，2，…，50是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为?＝0.02的泊松分布. 记X ＝X 1＋X 2＋…+X 50，试利用中心限定理计算P(X ≥2). 解 由题意，E(X i ) = D(X i ) = ????????，501ii X X ==∑????????由中心极限定理???1X ==-近似服从标准正态分布解 设X i 表示一部分的长度, i=1, 2, …, 10. 由于X 1, X 2, …, X 10相互独立, 且E(X i ) =2, D(X i )=0.052, 根据独立同分布中心极限定理，随机变量1011(2)(20)0.158kkX X=-=-近似地服从标准正态分布.于是4.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布.查表得=1.645,解得：n=443即443个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率5.为了确定事件A的概率，进行了一系列试验. 在100次试验中，事件A发生了36次，如果取频率0.36作为事件A的概率p的近似值，求误差小于0.05的概率.解(删除)6.一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少有89％的部件工作.（1）求系统的可靠度（系统正常运行的概率）；（2）上述系统由n个相互独立的部件组成，而且要求至问该单位总机要安装多少条外线才能以90％以上的概率保证分机使用外线时不等待？解设X为某时刻需要使用外线的户数（分机数），显然X~(200, 0.05)，E(X) = np = 10, D(X) = np(n-p) = 9.5.设k是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线的用户能够使用上外线，必须有k≥X. 根据题意应有：这里n=200，较大，可使用中心极限定理，近似地有X~N(10, 9.5)：1.29,13.97k ≥≥， 取k = 14即至少14条外线时，才能保证要使用外线的用户都能使用外线的概率大于95%.8. 设μn 为n 重伯努利试验中成功的次数，p 为每次成功的概率，当n 充分大时，试用棣莫弗－拉普拉斯定律证明6的概率保证其中良种的比例与16相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？解 设X 为6000粒种子中良种粒数，设所求的差异为p, 则所求的概率为：因为，X ~ B(6000, 1/6), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1-p)= 2500/3, 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有因此0.995Φ=查表可得 2.575,=解得0.0124p==由于0.0124600074⨯=所以, 良种的粒数大约落在区间(926, 1074)之间.第五章 数理统计的基本概念1. 在总体N(52，632)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率. 解 由题意，由定理1 (1),~(0,1)N = 2. 在总体N(80，202)中随机抽取一容量为100的样本，求样本均值与总体均值的绝对值大于3的概率是多少？ 解 这里总体均值为?=80, ?=20, n=100, 由定理1(1)1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310．采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差. 即先作变换2000i i y x =-，再计算y 与2y S ，然后利用第5题中的公式获得x 和2x S 的数值.解做变换后，得到的样本值为：-61，-303，1030，424，20，-91，-185，20，3107.某地抽样调查了1995年6月30个工人月工资的数据，试画出它们的直方图，然后利用组中间值给出经验分布函数.440 444 556 430 380 420 500 430 420 384合计：30 1由于第6组与第9组频数为0，可将其与下一组合并。
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题目分数：
此题得分：
批注：卡放分布的概率密度不是对称的偶函数。所以B答案错误。
第3题
您的答案：B
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此题得分：
批注：B答案的期望值不正确。
第4题
您的答案：B
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此题得分：
批注：100分之1，乘以十个方差的和。
第5题
您的答案：B
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此题得分：
批注：B答案是样本方差的严格定义形式，正确形式，他的期望是方差，因此是方差的无偏估计。
您的答案：B
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此题得分：
批注：在X>1的范围内，概率密度二重积分。
第40题
您的答案：D
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此题得分：
批注：方差还与相关系数有关，不能直接相加。
作业总得分：
作业总批注：
第三次在线作业
第1题
您的答案：D
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此题得分：
批注：根据F分布的定义形式，D答案的分子分母可以构造两个卡放分布。
第2题
第6题
您的答案：B
题目分数：
此题得分：
批注：c的作用是保证了卡放分布中的标准正态分布的要求。
第7题
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
批注：D答案满足了n个标准正态分布的平方和的形式。即卡放的定义。
第8题
您的答案：C
题目分数：
此题得分：
批注：完全考察几种分布的定义形式。
第9题
您的答案：B
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此题得分：
批注：方差已知，所以使用正态分布作为工具来估计区间，。
第10题
您的答案：A
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此题得分：
批注：样本取样本点的联合分布律最大时的参数的取值就是问题的答案，联合分布律是三个概率相乘。
第11题
您的答案：B
题目分数：
此题得分：
批注：利用T分布,原因是方差未知。用的上分位点。
第12题
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
批注：D答案是最完整的。
第13题
您的答案：A
题目分数：
此题得分：
批注：估计量是一个统计量，是个随机变量，他的随机取值成为估计值，
第14题
您的答案：A
题目分数：
此题得分：
批注：样本均值的期望是总体的期望100，样本的方差是总体的方差除以样本容量=2.
第15题
您的答案：B
题目分数：
此题得分：
批注：偏离程度，表示的是有效性。
第5题
您的答案：A
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批注：A答案，包括了BC两种情况。
第6题
您的答案：A
题目分数：
此题得分：
批注：古典概型，等可能概型，16种总共的投法。
第7题
您的答案：C
题目分数：
此题得分：
批注：几何概型，前两次没有命中，且第三次命中，三次相互独立，概率相乘。
第8题
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
第6题
您的答案：C
题目分数：
此题得分：
批注：两者都等于0或者两者都等于1才能说明两者相等。
第7题
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
批注：两个参数分别相加，利用正态分布的和的性质。
第8题
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
批注：系数向前提取，和的期望等于期望的和。
第9题
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
批注：利用第一个信息求出参数的取值，然后利用泊松分布的期望就是参数本身。
批注：A逆包含于B逆。
第22题
您的答案：A
题目分数：
此题得分：
批注：每个概率大于等于0，所有概率的和为1.
第23题
您的答案：B
题目分数：
此题得分：
批注：甲解决乙没有解决的概率加上甲没有解决乙解决的概率。
第24题
您的答案：B
题目分数：
此题得分：
批注：取值为1的概率加上取值为2的概率。
第25题
您的答案：C
第33题
您的答案：A
题目分数：
此题得分：
批注：利用正态分布的单峰对称性质。
第34题
您的答案：B
题目分数：
此题得分：
批注：在所求的区间内概率密度分段积分。
第35题
您的答案：A
题目分数：
此题得分：
批注：出现正面的次数服从二项分布。
第36题
您的答案：D
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此题得分：
批注：古典概型与组合公式，也称为超几何分布。
第一次在线作业
第1题
您的答案：B
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此题得分：
批注：对立不是独立。两个集合互补。
第2题
您的答案：D
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此题得分：
批注：A发生，必然导致和事件发生。
第3题
您的答案：B
题目分数：
此题得分：
批注：分布函数的取值最大为1，最小为0.
第4题
您的答案：A
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此题得分：
批注：密度函数在【-1，1】区间积分。
题目分数：
此题得分：
批注：参数2既是期望，又是方差。
第27题
您的答案：C
题目分数：
此题得分：
批注：根据方差的性质，在独立的前提下，差的方差等于两个变量的方差的和。
第28题
您的答案：C
题目分数：
此题得分：
批注：相关系数等于协方差除以两个标准差。
第29题
您的答案：A
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此题得分：
批注：两个变量都取0的概率加上两个变量都取1的概率，再加上两个变量都取2的概率。
题目分数：
此题得分：
批注：用C答案的T分布。
第20题
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
批注：（n-1）S平方除以方差服从卡放分布。自由度n-1
第21题
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
批注：相当于标准化后的正态分布的平方和。即卡放分布。
第22题
您的答案：B
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批注：
第23题
您的答案：C
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第37题
您的答案：B
题目分数：
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批注：B事件包含于A事件。
第38题
您的答案：C
题目分数：
此题得分：
批注：至少发生一个的概率小于等于1，所以都发生的概率大于0，相容。
第39题
您的答案：A
题目分数：
此题得分：
批注：概率密度的最大值是单峰对称的峰点。只要最大值小于1即可满足条件。
第40题
您的答案：D
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
批注：Y与X之间是单调函数的关系，因此直接套用单调函数的密度函数的公式。
第37题
您的答案：D
题目分数：
此题得分：
批注：第一行的概率相加。
第38题
您的答案：A
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批注：因为独立，所以乘积的期望等于期望的乘积，两个均匀分布的期望分别等于两个端点 平分。
第39题
您的答案：A
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批注：X,Y的协方差为0，也就是乘积的期望等于期望的乘积，A答案。
第21题
您的答案：D
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批注：根据联合分布函数的定义，表示的是满足X小于等于0，并且Y小于等于三分之一的概率。
第22题
您的答案：B
题目分数：
此题得分：
批注：满足X>Y的范围呢，概率密度二重积分。
题目分数：
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批注：ABC三个答案和在一起等于D答案。
作业总得分：
作业总批注：
第二次在线作业
第1题
您的答案：A
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批注：相互独立的随机变量的加减代数运算后的结果仍然服从正态分布，加上常数不改变，只是参数相应发生变化。
第2题
您的答案：B
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批注：概率密度在三条线所围成的区域内二重积分。
第10题
您的答案：A
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批注：概率密度在矩形区域上的二重积分等于1.
第11题
您的答案：C
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批注：np=期望。np（1-p）表示方差。
第12题
您的答案：D
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批注：利用分布函数的定义，求出P（Y小于等于y）。
第13题
您的答案：C
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批注：X<Y表示的是一个范围，在这个范围内，概率密度二重积分。< td>
您的答案：C
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批注：第n次成功了，前面的n-1次中成功了r-1次。每次都是独立的。
第15题
您的答案：D
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批注：利用条件概率的公式。
第16题
您的答案：C
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批注：利用分布函数的性质，和密度函数的定义形式。
第17题
您的答案：B
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批注：将非标准的正态分布，化为标准的正态分布处理。
第11题
您的答案：C
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批注：利用上分位点的定义。
第12题
您的答案：B
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批注：利用和事件的公式，还有概率小于等于(AB)小于等于P(C)。
第13题
您的答案：A
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