有限元复习

有限元复习重点掌握一般问题的描述、模型简化、有限元的基本思想及分析原理、位移法求解基本过程、位移函数构造、单元特性、有限元计算的具体操作（单元刚阵形成、总纲阵组装）、边界条件处理（载荷等效/边界约束施加）、有限元分析的具体操作 场问题的一般描述---微分方程+边界条件 1) 应力场----弹性力学 2) 温度场----热传导 3) 电磁场----电磁学 4) 流速场----流体力学A 、B----微分算子（如对坐标或时间的微分） u----未知场函数，可为标量场（如温度），也可为矢量场（如位移、应变、应力等） 一、基本概念1、 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；板壳问题；杆梁问题；温度场；线性问题/非线性问题（材料非线性/几何非线性）等1.）平面应力问题：如等厚度薄板。

弹性体在一个坐标方向的几何尺寸远小于其他两个方向的几何尺寸，只受平行于板面，且不沿厚度变化的外力（表面力或体积力）。

在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。

一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。

于是只需要考虑x y xyεεγ、、三个应变分量即可。

2．）平面应变问题：如长厚壁圆筒（受均匀内压或外压）重力坝一纵向(即Z 向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z 方向变化，它们都只是x 和y 的函数。

此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x 和y 方向的位移而不会有Z 方向的位移，即w = 0这种问题称为平面位移问题，习惯上常称为平面应变问题。

z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xyεεγ、、。

也只需要考虑x y xyσστ、、三个应力分量即可。

两种平面问题，几何方程，虚功方程，物理方程相同。

弹性矩阵不同。

3.) 空间轴对称问题—即弹性体内任一点的位移、应力与应变只与坐标r 、z 有关，与θ无关• 几何形状关于轴线对称；• 作用于其上的载荷关于轴线对称。

• 约束条件关于轴线对称。

轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）• 轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接； • 节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力； • 单元边界是一回转面；• 应变分量{}ε中出现了r u r，即应变不是常量；且应变矩阵在r--》0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。

4.) 力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板1111 8010058t b ≤≤ 薄板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。

如板不是平板而为曲的(指一个单元)，则称为壳问题。

如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。

• 常用的单元有三角形和矩形。

为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。

每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x ，y 轴的转角• 薄板矩形/三角形单元是非协调单元（相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续）。

但实践表明，当单元细分，其解完全能收敛真实解。

3、 有限元法的基本思想（二次近似）与有限元分析的基本步骤（5步） 有限元法的基本思想:• 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替（ 第一次近似）• 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示----通常称为插值函数或位移函数（第二近似） • 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程）• 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。

有限元分析的基本步骤: • 所研究问题的数学建模 • 物体离散（ 第一次近似）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷要求：1）离散结构必须与原始结构保形----单元的几何特性2）一个单元内的物理特性必须相同----单元的物理特性 • 单元分析（第二近似）• 整体分析与求解，整体分析的四个步骤： 1、）建立整体刚度矩阵； 2、）根据支承条件修改整体刚度矩阵； 3、）解方程组，求节点位移（消元法和迭代法）； 4、）根据节点位移求出应力。

• 结果分析及后处理4、 有限元法的基本定义（节点、单元、节点力、节点载荷）• 单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域 • 节点：单元与单元间的连接点。

• 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力 • 节点载荷：作用于节点上的外载（等效）。

注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；2） 节点力与节点载荷的差别5、 位移函数的构造方法及基本条件定义：有限单元法的基本原理是分块近似，对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示----通常称为插值函数或位移函数1.)广义坐标法——构造一维单元位移函数：20112012()... (){1...}{...}n n nT n u x x x xu x xx x αααααααααα=+++=ΦΦ==简记为 123456v u x y x y αααααα=++=++⎫⎬⎭3节点三角形单元的位移函数i α为待定系数，也称为广义坐标2.)插值函数法——即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。

一维：11221()()()...()ni iu x N x u N x u N x u =++=∑二维：11(,)(,)ni ini iu x y N u v x y N v ==∑∑ Ni 可为形函数• 选择位移函数的一般原则（基本条件）：1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。

注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解6、 位移函数的收敛性条件（协调元、非协调元）及单元协调性的判断影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差 • 收敛准则：1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）2635x y xy u x v yu v yx εαεεαγαα⎧⎫∂⎪⎪∂⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂===⎨⎬⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭∂∂⎪⎪+∂∂⎩⎭——3节点三角形单元为例证明 2）位移函数必须包括单元的刚体位移（即单元应变2635,,αααα+为0时的位移）（即常量项）1040v u y x αθαθ=-=+⎫⎬⎭（平动和转动）， 3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）,因为线性函数，内部连续。

4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）,（相邻单元在公共边界上位移值相同）。

设公共边界直线方程为y=Ax+B ，代入位移函数可得：边界上位移为123456()()u x Ax B v x Ax B αααααα=+++=+++u,v 仍为线性函数，即公共边界上位移连续协调。

综上所述，常应变三角形单元的位移函数满足解的收敛性条件，称此单元为协调单元 注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。

满足四个条件的位移函数构成的单元称为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。

7、 弹性力学的几个基本概念（位移、应力、应变等）剪应力互等定律； 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变) 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变 8、 弹性力学的基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）（注意基本假设/与非线性对比） 9、 虚功原理、最小势能原理及变分法（里兹法） 外力虚功 T = 内力虚功 U 10、形函数特点即插值基函数，反映了单元的位移形态，由节点位移求单元内任意一点的位移 1)形函数Ni 为x 、y 坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。

2)形函数Ni 在i 节点处的值等于1， (,) 1 (,)0 (,)0(,)0 (,) 1 (,)0 (,)0 (,)0 (,)1i i i i j j i m m j i i j j j j m m m i i m j j m m m N x y N x y N x y N x y N x y N x y N x y N x y N x y =========类似而在其他节点上的值为0。

3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。

(,)(,)(,)1i j m N x y N x y N x y ++= 4)形函数的值在0—1间变化。

11、 单元刚度矩阵的性质及元素的物理意义1.)对常应变三角形单元：单元刚度阵的一般格式可表示为[]=⎰⎰⎰eTVK [B][D][B]dxdydz 则{}[]{}=e eeF K δ它建立了单元的节点力与节点位移之间的关系，是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。

2.)平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵单元刚阵[K]的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。

其元素ij k 的意义为：当第j 个自由度发生单位位移，而其他自由度的位移为0时，在第i 个自由度上所施加的力。

若按节点来说明，则刚阵中每个子块ij k 表示：当节点j 处发生单位位移，而其他节点固定时，在节点i 上所施加的力。

K 的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。

ij K 表示节点j 在垂直方向产生单位位移时，在节点i 所需要施加的水平节点力的大小单元刚度矩阵的性质：1）对称阵 2）主对角线元素恒为正值 3）奇异阵，即|K|=0，4）所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。

由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。

由对称性可知，各行元素的总和也为零。

12、常用单元的特性（如单元内部边界位移/应变/应力分布，相邻单元边界的协调性分析）（常应变单元三角形/四面体；矩形单元；等参四边形单元；矩形板单元）1.) 三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量） 应变矩阵[B]反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系 • 应力矩阵[S]反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系• 显然，常应变三角形单元的应变矩阵[B]为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。