(文数)高二文科数学期中试题答案

2011学年广州市铁一中学高二上学期期中考试数学（文科）参考答案一、选择题（5’×10=50）二、填空题（5’×4=20）11、}3221|{<<<≤x x x 或 12、13、由率分布直方图知，及格率＝10(0.0250.03520.01)0.8⨯++⨯=＝80％，及格人数＝80％×1000＝800，优秀率＝100.020.220⨯==％. 14、 4三、解答题15、（本题满分12分）(1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 2分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=, …… 6分(2) 解:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 7分 ∴1cos 23θ=. …… 8分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==. …… 10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 12分16、（本题满分12） 解：（1）所有的基本事件有：)6,1();5,1();4,1();3,1();2,1();1,1(；)6,2();5,2();4,2();3,2();2,2();1,2( )6,3();5,3();4,3();3,3();2,3();1,3(；)6,4();5,4();4,4();3,4();2,4();1,4()6,5();5,5();4,5();3,5();2,5();1,5(；)6,6();5,6();4,6();3,6();2,6();1,6( ………… 3分共36个记“b a >”为事件A ，事件A 中包括的基本事件有15个 ∴3615)(=A P ………… 6分 （2）∵关于x 的方程0=+b ax 有整数解，∴Z ab∈- ………… 7分∴事件B 中包括的基本事件有：)6,6();5,5();4,4();6,3();3,3();6,2();4,2();2,2();6,1();5,1();4,1();3,1();2,1();1,1( ………… 9分共14个，∴ 187)(=B P ………… 12分17、（本题满分14）（1）取OD 中点E ，连接ME ，CE ，则ME //AD 21，又NC //AD 21∴ME //NC ············ 2分 ∴四边形MNCE 为平行四边形∴MN //EC ············· 4分 又 ⊂EC 面OCDMN ⊄面OCD ············· 5分∴MN //面OCD ············· 6分（2）连接AC⊥OA 面ABCD ，⊂AC 面ABCD ，⊂AD 面ABCD ， ∴AC OA ⊥，AD OA ⊥ ∴OAC ∆为∆Rt在∆Rt OAC 中，2=OA ，1=AC ， ∴5=OC同理在∆Rt OAD 中，5=OD ········· 7分 在OCD ∆中，5==OD OC ，1=CD ，则109cos =∠COD ，∴1019sin =∠COD ········ 9分 ∴=∆OCD S 21×5×5×1019=419 ········ 10 分 设点O 到平面OCD 的距离为d ，则=-OCD N V 31d S OCD⋅∆ ⊥OA 面ABCD∴OA 是三棱锥NCD O -的高 ·············· 11分 ∴=-NCD O V 31OA S NCD ⋅∆在NCD ∆中，21=NC ，2=CD ，32π=∠NCD ，又 2=OA∴=∆NCD S 21×21×2×32sin π=43 ··········· 12 分 ∴=-NCD O V 31×43×2=63 ··········· 13分 NCD O O CD N V V --=∴31×419×d =63 ∴19952=d ··············· 14分18、（本题满分14分）解：（Ⅰ）解法一：线段AB 的中点E （3，1），3(1)151AB k --==- ······· 1分 故线段AB 中垂线的方程为1(3)y x -=--，即40x y +-= ……2分由圆C 经过A 、B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上 又直线30x y -=平分圆的面积，所以直线m 经过圆心由4030x y x y +-=⎧⎨-=⎩ 解得 13x y =⎧⎨=⎩即圆心的坐标为C(1，3), ……5分而圆的半径r =4= ········ 6分 故圆C 的方程为22(1)(3)16x y -+-= ……7分 解法二：设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x （或222)()(r b y a x =-+-）则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-=+-022334352E D F E D F E D ，解得 2-=D ，6-=E ，6-=F （请酌情给分）（Ⅱ）解法一：由直线l 的斜率为k ，故可设其方程为1y kx =- ……8分由221(1)(3)16y kx x y =-⎧⎨-+-=⎩ 消去y 得22(1)(82)10k x k x +-++= ········· 10 分 由已知直线l 与圆C 有两个不同的公共点故 22(82)4(1)0k k ∆=+-+>，即21580k k +> ········· 12分解得：815k <-或0k > ……14分 解法二：设直线01=--y kx ，则圆心到直线的距离d 为142+=k d因为直线与圆有两个不同交点，所以有2142<+=k d解得 158-<k 或0>k （请酌情给分） 19、（本题满分14）解：若0a =,则()23f x x =-,令3()0[1,1]2f x x =⇒=∉-,不符题意, 故0a ≠………2分 当()f x 在 [-1,1]上有一个零点时,此时48(3)01112a a a ∆=++=⎧⎪⎨-≤-≤⎪⎩或(1)(1)0f f -⋅≤………6分解得a =或15a ≤≤ …………………………………………………………………8分 当()f x 在[-1,1]上有两个零点时,则48(3)01112(1)(1)0a a a f f ∆=++>⎧⎪⎪-≤-≤⎨⎪-⋅>⎪⎩………………………………11分解得112215a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≤-≥⎨⎪<>⎪⎪⎩或或即1152a a a <≤<>或………………13分综上,实数a 的取值范围为31(,][,)22--∞+∞ . ……………………………………14分 (别解:222230(21)32ax x a x a x +--=⇔-=-,题意转化为知[1,1]x ∈-求23221x a x -=-的值域,令32[1,5]t x =-∈得276a t t=+-转化为勾函数问题.) 20、（本题满分14分） 解：( I )111()2n n n s s ++-=得111()2n n a ++=（n ∈*N ）………………1分又1a ＝12,故1()2n n a =（n ∈*N ）………………2分 从而111()1221()1212n n n s ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-- ………………4分（Ⅱ）由( I )11112222n nn n n n n b a ++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++ ，………………5分3451212341222222n n n n n T +++=+++++ ………………6分 两式相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- ………………7分 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--………………8分 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-………………9分，（Ⅲ）115335(3)(221)4222422(21)n n n n n n n n n T n n n ++++---=--=+++ 于是确定确定n T 与542n n +的大小关系等价于比较2n与21n +的大小……………10分1n =时221<+，2n =时22221<⨯+，3n =时32231>⨯+………………11分令()221x g x x =--，/()2ln 22xg x =-，2x >时()g x 为增函数，………………12分所以3n ≥时()(3)10g n g ≥=>，221nn ≥+，………………13分 综上所述1n =，2时542n nT n <+3n =时542n nT n >+………………14分。