金山中学、广雅中学、佛山一中2015届高三下学期联考数学文试题

图 1金山中学、广雅中学、佛山一中2015届高三下联考数学(文科) 试题（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(C U A)∩B=（ ）A. {x|-1＜x≤3}B. φC. {x|x=3}D. {x|2≤x ﹤3}2. 复数iaiz -=3在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知数列{}n a 满足)2(2,111≥+==-n n a a a n n ，则=7a （ ） A.53 B.54C.55D.1094．已知一棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图都是 等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．485．对于函数2(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b 内 （ ）A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点 6．曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．2e B ．22eC ．24e D ．292e7. 下列程序框图(图2)的输出结果为 （ ）A.20132012B. 20131S=0,i=1S=S+1/(i*(i+1))i=i+1否是输出S结束开始i>2013?图2C.20142013 D. 201418. 设,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则关于θ的方程1cos 2tan θθ-=的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39. 点P 到图形E 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形E 的距离.已知点(1,0)A ,圆C :2220x x y ++=,那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ）A. 双曲线的一支B. 椭圆C. 抛物线D. 射线 10．定义两种运算：a b ⊕=22a b -，2()a b a b ⊗=-，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．（a →+b →）与a →垂直，且⎥b →⎢=2⎥a →⎢，则a →与b →的夹角为 12. 若等比数列{a n }的前项n 和为S n ，且S 4S 2 = 5，则S 8S 4=13．已知函数21()(2),()(1,2)1x x x f x x g x a a x x -+==>-≥≥．①若[)02,x ∃∈+∞，使0()f x m =成立，则实数m 的取值范围为 ；②若[)12,x ∀∈+∞，[)22,x ∃∈+∞使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为 ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点3π4,2A ⎛⎫⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，且2,1,PA PB ==则AB 的长为 .三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图4,在直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半 轴重合,终边交单位圆于点A ,且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,3ππα.将角α的终边按 逆时针方向旋转6π,交单位圆于点B .记),(),,(2211y x B y x A . (Ⅰ)若411=x ,求2x ; (Ⅱ)分别过,A B 作x 轴的垂线,垂足依次为,C D .记△AOC 的 面积为1S ,△BOD 的面积为2S .若21S S =,求角α的值.17.（本小题满分12分）从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图5：（1）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为多少； （2）在样本中，若学校决定身高在185cm 以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官 进行面试，求：身高在190cm 以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．18．（本小题满分14分）如图6，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，点P 、 M 、N 分别为BC 1、CC 1、AB 1的中点．错误！未找到引用源。

身高（cm ）0.06 0.040.016 0.008 195 190 185 180 175 170 165 160 155 图5 图4（1）求证：PN//平面ABC ； （2）求证：A 1M ⊥平面AB 1C 1；（3）求点M 到平面AA 1B 1的距离．19（本题满分14分）已知数列{}n a 满足1331(,2)n n n a a n N n *-=+-∈≥且395a =。

（1）求12,a a 的值；（2）是否存在一个实数t ，使得1()()3n n n b a t n N *=+∈且{}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值；如不存在，请说明理由； (3) 求数列{}n a 的前n 项和n S .20．（本小题满分14分）如图7所示，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝⎛⎭⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． (1) 求C 1，C 2的方程．(2) 是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2 只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB | ？证明你的结论.21. (本小题满分14分)己知函数 21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈ (1) 若 (1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2) 若关于x 的不等式 ()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:图6图7(3 若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12512x x -+≥金山中学、广雅中学、佛山一中2015届高三联考数学(文科) 参考答案及评分标准一、选择题： D A C B C A C B D A二、填空题： 11．120°， 12．17 ，13．①[)3,+∞； ②(1,3]． 14．24， 15. 51416.解(Ⅰ)解:由三角函数定义,得 1cos x =α, )6cos(2πα+=x ………………3分因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,3ππα,41cos =α ,所以 415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=αα …………………4分所以 8153sin 21cos 236cos 2-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=ααπαx …………………7分 (Ⅱ)解:依题意得 1sin y =α,)6sin(2πα+=y .所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα, …………………8分 )32sin(41|)6cos(|)6sin(21||21222παπαπα+-=++==y x S ……………9分依题意得3sin2cos 3cos2sin )32sin(2sin παπαπαα--=+-=,整理得332tan -=α ……………10分 因为23παπ<<, 所以παπ<<232,所以652πα=, 即 125πα=…………12分17．（1）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm~190cm 的频率为：……………3分∴800名学生中身高在180cm 以上的人数为：人．6分 （2）样本中，身高介于185cm~190cm 的学生人数为人，身高介于190cm~195cm 的学生人数为人． ………………………8分 ∴“身高在185cm 以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本事件数共10种，…………10分 其中抽取的2名学生中“身高在190cm 以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有7种． ∴ 所求事件的概率P=0.7 ……………………………………12分18. （1）证明：连结CB 1，∵P 是BC 1的中点 ，∴CB 1过点P ， (1)分∵N 为AB 1的中点，∴PN//AC,---------------------------2分∵AC ⊂面ABC ，PN ⊄面ABC ,∴ PN//平面ABC.--------------------------------------4分（2）证法一：连结AC 1，在直角ΔABC 中， ∵BC ＝1，∠BAC ＝30°，∴ AC ＝A 1C 1＝3-----------------------------------5分 ∵111CC A C 111A CMC ==2，∴ 111Rt AC M Rt C CA ∆∆ ------------------------------------------------7分∴111AMC CAC ∠=∠，1111190AC C CAC AC C AMC ∴∠+∠=∠+∠=∴AC 1⊥A 1M. -------------------------------------------------------------------8分∵B 1C 1⊥C 1A 1，CC 1⊥B 1C 1，且1111C A CC C ⋂=∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1， -----------------------------------------------------------9分∴B 1C 1⊥A 1M ，又1111AC B C C ⋂=，故A 1M ⊥平面A B 1C 1，---------11分 【证法二：连结AC 1，在直角ΔABC 中，∵BC ＝1，∠BAC ＝30°， ∴ AC ＝A 1C 1＝3 -------------------------------------------------------------5分800(0.01650.060.0085)144⨯⨯++⨯=500.063⨯=500.00852⨯⨯=1(0.0080.0160.040.040.060.0160.008)50.06-++++++⨯=设∠AC 1A 1＝α，∠MA 1C 1＝β ∵11111162tan tan ==123AA MC AC AC αβ=⋅⋅, ----------------------------------7分 ∴α+β＝90° 即AC 1⊥A 1M. ----------------------------------------------------8分 ∵B 1C 1⊥C 1A 1，CC 1⊥B 1C 1，且1111C A CC C ⋂=∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1， ---------------------------------------------------------9分 ∴B 1C 1⊥A 1M ，又1111AC B C C ⋂=故A 1M ⊥面A B 1C 1， ------------------------------------------------------------11分（3）设点M 到平面AA 1B 1的距离为h ， 由（2）知B 1C 1⊥平面AA 1CC 1 ∵1111M AA B B MAA V V --=11111AA B MAA S h S BC ∆∆⋅=⋅----------------------------------12分∴∴11111MAA AA B S B C h S ∆∆⋅=13613212262⨯⨯⨯==⨯⨯. 即点M 到平面AA 1B 1的距离为32． ----------------------------------------------14分 19.解析：(1)当n=2时，2138a a =+，当n=3时，3223269523a a a =+=⇒=，1123385a a ∴=+⇒=. …………………… 2分（2）当2n ≥时，()()1111133n n n n n n b b a t a t ----=+-+()113-33n n na t a t -=+- ()112312133n n ntt +=--=-. ……………… 4分 要使{}n b 为等差数列，则必须使1+2t=0, 12t ∴=-, ……………… 5分即存在12t =-，使{}n b 为等差数列. …………………… 6分 (3) 因为当t= -1/2时，{}n b 为等差数列，且11n n b b --=，132b =所以n 31(1)22b n n =+-=+ …………………… 8分所以11()322nn a n =+⋅+…………………… 9分 于是，123151211333222222n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1213353(21)322n nn ⎡⎤=⨯+⨯+++⋅+⎣⎦ …………………… 10分 令 123353(21)3n S n =⨯+⨯+++⋅ ① …………………… 11分23133353(21)3n S n +=⨯+⨯+++⋅ ② …………………… 12分①—②得 1231233232323(21)3n n S n +-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⋅化简得13n S n +=⋅ …………………… 13分∴ 113(31)222n n n n n n S ++⋅+=+= …………………… 14分20．解： (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1. -----------2分因为点P ⎝⎛⎭⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝⎛⎭⎫2332－1b 21＝1，故b 21＝3. 由椭圆的定义知 2a 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫2332＋（1＋1）2＝2 3.- --------4分于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1. ----------6分(2)不存在符合题设条件的直线．(i)若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2. 当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当 x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ------------------8分 (ii)若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.- -------- ------------------9分 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.- ------- ----------------10分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0. 化简，得2k 2＝m 2－3.因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， ---- -----------------12分于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2. 故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线 ． ------------- ------------- -------------14分21．（1）因为(1)102af =-=，所以2a =， ………………………………………1分 此时2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ……………………………………… 2分由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………………………………… 3分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．……………………………………4分当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立． ……………………………………5分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=．所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-．………7分 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． …………………………………………………………9分 方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥． ………………………………………… 5分 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++． ………………………7分11因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-< 所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈． 所以2a ≥，即整数a 的最小值为2． ……………………………………………… 9分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ ………………………………… 11分 令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'= 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥， ………………………………………………………13分 所以21212()()1x x x x +++≥， 因此12512x x -+≥成立． ………………………………………………………… 14分。