高中数学全程学习方略课时训练1422正弦函数余弦函数的性质(二)(人教A必修4)
高一数学人教A版必修4学案：142正弦函数、余弦函数的性质二含答案1.doc
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）［学习目标］1•掌握y=sin x, y=cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值2掌握j；=sinx, j/=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin（^x+（p）及y=A cos（ex+卩）的单调区间.戸预习导学全挑战自我，点点落实______________________________________________________________［知识链接］1.怎样求函数fix）=Asin（cox+（/））（或./（x）=/cos（亦+卩））的最小正周期答由诱导公式一知：对任意xGR,都有Asin［（a）x+（p） + 2TI］=Asin（cox+（p）,所以./W=A sin（cox+（p）（co0）是周期函数，方就是它的一个周期.由于兀至少要增加两个单位，/（X）的函数值才会重复出现，因此，两是函数/（x）=/sin（ex+°）的最小正周期.同理，函数/（x）=/cos（砂+卩）也是周期函数，最小正周期也是壽.2.观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和一1.［预习导引］正弦函数、余弦函数的性质函数y=sinx y=cosx图象-i-TT \J/定义域R R值域[-1,11[-1,11对称性对称轴：兀=航+畝WZ）；对称中心：伙兀，0）伙EZ）对称轴：x=k7t（k^Z）；对称中心：仏+号’0）所以Asin=Asin（cox+（p）,(©)奇偶性 奇函数 偶函数 周期性最小正周期：2兀最小正周期：2K单调性JTTT在［一㊁+2ht,㊁+2加］伙GZ ）上单调递增;在奇+2fac,夢+在［—TT +2E, 2E ］伙WZ ）上单调递增；在［2/CTT , n + 2/m ］ 伙WZ ）上单调递减最值71 当 X —2 + 2加伙GZ)时，Jniax =1；当x=—号+2加伙丘Z)时'J^min — — 1当x=2刼伙WZ)时，亦=1；当 X = 7t + 2kjt(k^Z)时，加n =-1歹课堂讲义 /重点难点，个个击破 _____________________________________________________________要点一 求正弦、余弦函数的单调区间兀 则y =—2si n z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y=-2sinz 的递增区间, 即求sinz 的递减区间， 即2航+号壬冬2加+守伙丘2）. TT兀 3TT•: 2A TT +，W X —玄冬2航十㊁伙G Z ）,3兀 7兀 2£兀+才WxW2加十才伙G Z ）,求函数y=2sin卜x)的单调递增区间. 例1 的递增区间为2&兀+乎,2£兀+晋伙UZ).规律方法用整体替换法求函数y=Asin（cox+（p）或y=Acos（ojx+（p）的单调区间时，如果式子中X的系数为负数，先利用诱导公式将兀的系数变为正数再求其单调区间.再将最终结果写成区间形式.跟踪演练1求下列函数的单调递增区间:(l”=l+2sin(£-"；(2)尹=lo#cos x.令u=x-^则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是^=sin U 的单调递 减区间，即2加+㊁尹仇GZ),ITJr3兀亦即2刼+㊁Wx —&W2A TT +亍伙WZ).2 S 亦即2£兀+尹冬兀冬2加+尹伙丘乙)，故函数y=l+2sin(?—x)的单调递增区间是2加+|兀，2刼+刍:伙WZ). 兀 兀 (2)由 cosx>0,得 2«兀一㊁<x<2hr+㊁，k^Z.・・・*< 1，・・・函数尸log|cos X 的单调递增区间即为 w = cosx, x^\2kit —y 2航+办圧Z)的递减区间,故函数J*=log|cosx 的单调递增区间为2H, 2加+引伙GZ).要点二正弦、余弦函数的单调性的应用例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(2)sin 196。
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二学案含解析新人教A版必修
学习资料1．4。
2 正弦函数、余弦函数的性质(二）内 容 标 准学 科 素 养 1。
掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．2。
掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ）及y ＝A cos （ωx ＋φ)的单调区间。
应用直观想象 提升数学运算 发展逻辑推理授课提示:对应学生用书第26页[基础认识］知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 阅读教材P 37～38，思考并完成以下问题正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x ,x ∈R ,有最值吗？值域如何？ （1)y ＝sin x ，x ∈[0，2π]图象的最高点坐标、最低点坐标是多少？ 提示：错误!、错误!.（2)y ＝cos x ，x ∈[0，2π］图象的最高点、最低点坐标是多少？ 提示：（0，1）、(2π，1），(π,－1)．(3）如果sin x ＝1，cos x ＝1，(x ∈R )，x 的值是多少？sin x ＝－1,cos x ＝－1呢?提示：x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，x ＝2k π，k ∈Z 。
x ＝错误!π＋2k π，k ∈Z ，x ＝π＋2k π，k ∈Z .知识梳理 可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是R ． 对于正弦函数y ＝sin x ,x ∈R ，有：当且仅当x ＝2k π＋错误!（k ∈Z ）时,取得最大值1； 当且仅当x ＝2k π＋错误!π(k ∈Z ）时,取得最小值－1。
对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有:当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝2k π＋π,k ∈Z 时，取得最小值－1. y ＝sin x ,x ∈R 的值域为[－1，1］． y ＝cos x ，x ∈R 的值域为［－1，1]． 知识点二 正弦、余弦函数的单调性 思考并完成以下问题y ＝sin x ，y ＝cos x 都有单调变化,单调区间如何表示？(1)观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈错误!的图象,正弦函数在错误!上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：错误!单调递增―→错误!，k ∈Z 单调递增， 错误!单调递减―→错误!，k ∈Z 单调递减．（2）观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π,π]的图象．余弦函数在[－π，π］上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 提示：[－π，0］单调递增―→［－π，＋2k π，2k π］，k ∈Z 单调递增［0，π]单调递减―→［2kπ，2kπ＋π］，k∈Z单调递减．知识梳理正弦函数余弦函数图象单调性在错误!，（k∈Z)上递增,在错误!，（k∈Z)上递减在［－π＋2kπ,2kπ］，k∈Z上递增，在［2kπ，2kπ＋π],k∈Z上递减1．在下列区间中,使y＝sin x为增函数的是（）A．［0，π]B。
人教A版2020高中数学必修四导学案第一章三角函数142正弦函数余弦函数的性质二 含答案
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)yxyx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和，1.掌握cos ＝sin ＝学习目标yxyxy＝会求函数的单调性，并能利用单调性比较大小，cos ＝最值.2.掌握.3.＝sin AxyAx＋φ)的单调区间cos(ωsin(ω.＋φ)及＝知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是[－1，1].yxx∈R有：，对于正弦函数＝sinπxkk∈Z时，取得最大值1＋2；π，当且仅当＝2πxkk∈Z时，取得最小值－21.π，当且仅当＋＝－2yxx∈R cos 有：，对于余弦函数＝xkk∈Z时，取得最大值1＝2；π，当且仅当xkk∈Z时，取得最小值－1)π，当且仅当1. ＝(2＋知识点二正弦、余弦函数的单调性π3πyxx∈[－，]sin 观察正弦函数＝，的图象.22．π3π思考1 正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？22答案观察图象可知：ππ????xx，－的值由－1增大到1；当时，曲线逐渐上升，是增函数，∈sin ??22π3π????xx，1.当减小到－∈的值由时，曲线逐渐下降，是减函数，sin 1??22推广到整个定义域可得ππ??kk??kxyxπ2π，－＋2＋是增函数，函数值由－1sin 当)∈时，正弦函数增大(＝∈Z ??22到1；π3π??kk??xkxyπ22＋π，＋减小到是减函数，函数值由＝sin (当∈∈Z)时，正弦函数1 ??221.－xxy.的图象π]观察余弦函数＝cos ，，∈[－π思考2 余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图象可知：xx的值由－1增大到1；π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos 当∈[－xx的值由1cos 减小到－当1. ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，推广到整个定义域可得xkkkyx是增函数，函数值由－1增大到1＝cos ，2；π]，∈Z当时，余弦函数∈[2π－πxkkkyx是减函数，函数值由1减小到－＝cos 1)π]，1. ∈当Z∈[2时，余弦函数π，(2＋思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？ππ??kk??kyx＋22π－∈Z，减间为，区间为案答＝sin 增的区??22π3π??kk??k ππ2＋2＋，.∈Z，??22yxkkkkkk.Z∈，]π2＋π，π[2，减区间为Z∈，]π2，π2＋π－[的增区间为cos ＝梳理1]1，[－[－1，1]值域kk，2]2－π＋ππ，在[ππ??kk??kπ，＋－＋22π，Z上递增，在∈??22k Z上递增，∈单调性kkk∈Z]π＋2，在π3π[2ππ，??kk??kπ，＋＋22π上递减∈Z，在??22上递减πykxk时，∈π，Z当＝2xkkyx；当＝∈Z＝＋2时，π，1当maxmax2kxk最值Z；当＝π＋2∈π，＝1πkky 1＝－∈Z＝－＋2时，π，y1时，＝－min2min类型一求正弦、余弦函数的单调区间π??x??y－的单调递增区间2sin例1 求函数. ＝??4ππ????xx????y－－，＝－解 2sin ＝2sin????44πzx－，＝令4yz.2sin ＝－则zxyzz的单调递减区sin 的一次函数，所以要求的单调递增区间，即求＝－因为2sin 是π3πkzkk∈Z).π＋间，即2π＋≤(≤222ππ3πkxkk∈Z)(≤，－≤2 π∴2＋π＋2423π7πkxkk∈Z)，π＋(即2＋π≤≤244π??x??y－＝2sin的单调递增区间为∴函数??43π7π??kk??k＋，2＋π2π).Z(∈??44yAxyAx的单调区间时，)φ＋ωcos(＝或)φ＋ωsin(＝用整体替换法求函数反思与感悟xx的系数变为正数再求其单调区间.如果式子中求单调区的系数为负数，先利用诱导公式将间时，需将最终结果写成区间形式.πππ????x????xy，＋3－的单调递减区间为∈跟踪训练1 函数，＝sin________________.????3362ππππ????????，－，－，答案????3939ππ3πkxkk ∈Z)，＋2π由＋2(π≤3 ＋≤解析262kkπ24π2ππxk∈Z(＋≤). ≤＋得9393ππ????x，－，∈又??33π2ππππππ????????x????????xy，－，－＋－，3.的单调递减区间为∈，所以函数，＝sin????????3399336类型二正、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196°与cos 156°；2317????????ππ－－.cos与(2)cos????45解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.yx在[0°，90°]上是增函数，＝∵0°<16°<66°<90°，且sin∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.233323????π－＝cos π＝cos(4π＋π)＝cos π，(2)cos ??5555π17π17????????＋π4－π＝π＝coscoscos .＝cos ????4444π3yx在[0，π]上是减函数，<π<π，且＝cos ∵0< 452317π3????????π－π－. <cos，即π∴cos <cos cos????4545反思与感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小..比较下列各组数的大小2 跟踪训练．3749????????π－π；与sin(1)sin ????36(2)cos 870°与sin 980°.π37π????????????－π－π－－6，sin sin＝＝解 (1)sin??????666π49π????????＋π16π＝＝sinsinsin .????333ππ????xy，－上是增函数，＝sin 在∵??22π3749π????????π－－<sin <sin ，即∴sinsinπ. ????6633(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°.yx在[0°，180°]上是减函数，＝∵0°<150°<170°<180°，且cos∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围ππfxx在区间[－，]上是增函数，求(ω)＝2sin ω的取值范例3 已知ω是正数，函数34围.ππkxkk∈Z)(ω，得≤＋2 解由－＋2ππ≤22kkπ22πππx≤＋≤，－＋ωωωω22kkπ2πππ2kfx)的单调递增区间是[Z. ∴－，＋＋]，(∈ωωω22ωkkπππππ22πk∈Z)](，＋，]?[－＋，－根据题意，得[ω2ωωω342ππ?，≤－－?32ω3?ππ解得0<ω从而有≤.2，≥4ω2??，ω>03故ω的取值范围是(0，].2fx)此类问题可先解出的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后(反思与感悟列不等式组求出参数范围.ππ????x????xfπω＋，上单调递减，则＝>0已知跟踪训练3 ω，函数()sinω的取值范在????24．)围是(3115????????，， A. B.????42421????，02]D.(0 C.，??2A答案π55??x??xf＋＝ω＝，sin(，)解析取??4448π8??kk??kππ＋π＋，，，其减区间为∈Z??5558ππ8????kk????kπ＋π＋，π，πC.，排除B，?显然，∈Z????5255π??x??xf＋2 ，()＝sin取ω＝2，??45π??kk??kππ，＋π＋，，∈其减区间为Z??88π5π????kk????kπππ，π＋，＋D. 显然∈Z，，排除?????288 类型三正、余弦函数的值域或最值πππxyx )的值域；∈(－例4 (1)求函数2cos(2＝，＋)，63652xxyx的集合，并求出函数(2)求使函数3sin ＝－sin取得最大值和最小值的自变量＋＋ 4.的最大值和最小值π2πππxx，＋解 (1)∵－<<，∴0<2<3366π1x )<1<cos(2∴－，＋32πππxyx2).，∈(－，)的值域为(∴函数＝2cos(2－＋)，1636ttx≤1，＝sin (2)令，则－1≤3522tytt2.)∴－＝－3＋＋＋＝－(243yt，当＝＝2时，max2π3π2xkkkxx＝sin 此时＝2＋π(∈Z). 或＋，即＝2π3321ty＝－3.1当＝－时，min4．π3kxxk).此时sin Z＝－1，即2＝∈π＋(2π52xxxxyxkx或的集合为{π|＋3sin ＝＋取得最大值时自变量综上，使函数＝－sin2＋34π2kk2.Z＝2}π＋，，且最大值为∈3π532kxxyxkxx，|∈＝2Z的集合为{使函数＝－sinπ＋＋3sin ，＋取得最小值时自变量}2413.且最小值为－4三角一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.反思与感悟. 函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：ttxxyx的取＝ω的取值范围，求出＋φ)的三角函数，令φ(1)形如＝sin(ω，根据题中＋ty值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出)＝sin ；的最值(值域22xxbxcaxatyya＋＋，将函数sin ＝＋sin((2)形如＝＝sin≠0)的三角函数，可先设sin2abxcatyatcbt≠0)，根据二次函数的单调性求值sin ＝＋((≠0)化为关于＋的二次函数＋). 域(最值ayaxyax.的函数的最值还要注意对(3)对于形如＝＝cos sin 的讨论(或)ππ2????bfxax，－，最小sin ，函数的最大值为2＋已知函数跟踪训练4 1(的定义域为)＝??33ba.，求的值和值为－53ππ2xx，∴－≤sin 解∵－≤≤1.≤233ba，2＝＋1?a，3－＝126???a，则解得若＞0?ba?，5＝－－3＋b3.＋＝－2312ba，5＝－2＋?a，3＝－126＋???a解得若＜0，则?ba?，－3＋＝1b3.＝1912－π??x??xf＋的一个单调递减区间是sin( 1.函数())＝??6ππ????，－ B.[－A.π，0]??22π222????????π，，π－π C.D.????3233．D答案3ππx由≤，＋≤π解析2624πx D.解得≤故选≤π.33)2.下列不等式中成立的是(ππ????????－－B.sin 3>sin 2 A.sin>sin ????10827????π－D.sin 2>cos 1 >sinC.sin π??55D答案ππ????????－22－，＝ 2 ∵sin＝coscos解析????22ππ????－2 且0<2－<1<π，∴cos>cos 1，??22D.故选即sin 2>cos 1.ππ????x????xy，＋0)3.函数( ＝cos，∈的值域是????26????1133???? A. B.，，－－????22221??3??????1， D.C.1，??2??2B答案2πππxx，≤，∴≤π解析∵0≤＋≤3626ππ2??x??＋≤cos ，∴cos π≤cos??6631 3y≤.故选∴－≤B.221yxx的集合.的最值及取到最值时的自变量求函数2sin ＝3－4.21x≤1，∵－1≤sin 解211πxxkk∈Z，，1＝－，＝2－∴当sin π222xkky＝5，Z，即＝4－ππ，∈max xxxkk；}Z∈，π－π4＝|{的集合为此时自变量11πxxkk∈Z，，＝2 π＋当sin ＝1，222xkky＝1时，，＋π，即∈＝4Zπmin xxxkk∈Zπ，＝4此时自变量}.的集合为{π|＋πyxx∈(0，π)2－的单调递增区间)，5.求函数.＝2sin(6ππ????xx????y－－22 ＝－2sin解∵函数2sin＝，????66πππ????xx????yy－2－2＋∴函数由＝2sin的单调递减区间＝2sin.的单调递增区间为????662π3πkxkk∈Z，π，π≤2＋－≤22 62π5πkxkk∈Z.ππ＋≤＋≤得，36π5πxkx≤.0，得∈(0，π)，∴由≤∵＝36ππ5π????x????xy，2－.∈(0，π)∴函数＝2sin的单调递增区间为，????663yAxA>0，ω)(>0)求函数＝的单调区间的方法sin(ω＋φ1.ππxkxkkx的范围，所得区解出∈≤2Zπ＋ (把ωφ＋看成一个整体，由2)π－≤ω＋φ22π3πkxkkx的范围，所得区间即为减区)(解出∈＋≤ω≤2＋φZπ＋间即为增区间，由2π22间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法yxx)cos sin 为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数(或将表示成以y的范围.的单调性等来确定课时作业一、选择题πyx的最小值，最大值分别是( 2cos 11.函数＝－ )2．A.－1，3B.－1，1D.0，3 1C.0，A答案ππxx∈[－2，2cos 2]，∵cos ∈[－1，1]，∴－解析22πyxyy＝，3.＝－1－2cos ，∴∈[－1，∴3]＝1maxmin2ππ????，上为减函数的是( ) 2.下列函数中，周期为π，且在??24ππ????xx????yy＋＋22 ＝B.A. ＝sincos????22ππ????xx????yy＋＋ cos＝sin ＝D.C.????22A答案) 3.下列关系式中正确的是(A.sin 11°<cos 10°<sin 168°B.sin 168°<sin 11°<cos 10°C.sin 11°<sin 168°<cos 10°D.sin 168°<cos 10°<sin 11°C答案解析∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.yx|的一个单调递增区间是( 4.函数) ＝|sinπ3πA.(，π) B.(π，2π) C.(π，) D.(0，π)22答案 Cyx|的图象，如图，观察图象知C|sin 正确，故选C.解析作出函数＝π2π2yxxx∈[，]的最小值是( 5.函数＝3cos4cos －，＋1)331151A.－ B. C.0 D.－344D答案．π2π11txxt∈[－，]，，∈[，解析令]＝cos ，∴33222122ttyt.)1＝＝33(－－4－＋3311212tyt，＝3(]－)－在上单调递减，∈[－∵233211112yt.∴当1＝时，＝－＝3×()－4×＋min4222πππ????????xxf，0，上单调递减，(ω＞ω0)6.若函数在区间(上单调递增，在区间)＝sin ????233则ω的值可为( ) 32B. A.32D.3C.2A答案Tπ4π4π2πT＝，＝，解析由题意知，＝，即4333ω3∴ω＝.2二、填空题7.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________.答案 sin 3<sin 1<sin 2π解析∵1<<2<3<π，2sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.ππ????xy，0 ，－2<上递增，且0<π＝sin －在3<1<π??22∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.πππyxx≤)的值域是________.＋)(－≤8.函数＝2sin(2366答案 [0，2]πππ2πxx＋≤，∴0≤2，≤解析∵－≤6633πxy∈[0，)≤1，∴2]. ∴0≤sin(2＋3π1??x??xy－∈[0，π])函数9.＝sin的单调递增区间为(________. ??63．2π????π，答案??3π1??x??y－，解析＝－sin??63ππ5πxx－≤≤.∈[0，π]，∴－∵666要求函数的单调递增区间，ππ5πx－≤，则≤266π2π1π2????x????xyxπ－，sin.的单调递增区间为π(即])≤∈[0，≤π.∴＝????36331????baxaby，－1的最大值与最小值之和为－，，则10.函数＝sin ]的定义域为[，值域为??2________.答案 2π解析由图可知，13π5π4πab－＝，的最大值为－6633π5π2πab－的最小值为－＝.2634π2π＋＝2π. 所以最大值与最小值之和为33三、解答题11.求下列函数的单调增区间.xxπ??log??yy－.＝(1)sin＝1－sin ；(2)??32122x3πkkk∈Z，≤2＋ππ2解 (1)由，π＋≤222kxkk∈Z.＋3ππ＋≤π≤4，π4得xkkky). ∈π＋3] (Z的单调增区间为∴＝1－sin [4＋ππ，4π2xπ??log??y－的单调增区间， sin要求函数(2)＝??3212．xπ????y－. >0sin即求使且单调递减的区间＝??32xππkkk Zπ，，π＋≤－<2∈π∴2＋322ππ85kxkk.∈π＋π＋≤，<4Z整理得433xπ??log??y－∴函数sin＝的单调增区间为??3212ππ85??kk??k＋π，44π＋. ∈Z，??33. 12.求下列函数的最大值和最小值ππ????x????xfx，－02 )＝sin∈(1)；(，????26π5π??2??xxxfx，.＋(2)3(，)＝－2cos∈＋2sin ??66π????x，0 当时，∈解(1)??2π5ππ????x，－，由函数图象知，－∈2??666π1ππ??????????x????－??xf1－－，2sin sin，. sin∈＝()＝??????626??2π1????xf，0.(1)在，－上的最大值和最小值分别为所以，??222xxfx3 2sin ＋＝－2(1－sin(2)＋())11??22x??xx＋sin .＝2＝2sin＋2sin ＋＋1??22ππ51????xx，≤1.，所以因为≤sin ∈??662yx时，1；＝当sin 5＝max51yx.＝时，＝当sin min225ππ5xf.上的最大值和最小值分别为5，()在[，所以，]266ππ????x????xxxfaafb，02－，最小值)＝sin)时，3(＋13.已知函数((0).＞当的最大值为∈????23ba.2是－，求的值和π2πππxx≤，≤2∵0≤解≤，∴－－3332．π3??x??bxfa－2 ，＝＋≤1，∴≤sin(∴－3)＝max??323xfab＝－()＝－2. ＋min2?ba，＋＝3?a，＝2???由得3?b3.2＝－＋ba，＋＝－－2??2 四、探究与拓展fx)在[－1，0]上单调递减，14.已知奇函数α(，β为锐角三角形两内角，则( )ffff(sin β) (sin α)>A.α(cos )>B.(cos β)ffff(cos β)(sin αC.)<(sin α)>D.(cos β)D答案πππ，>αα＋β>－β>0，∴>解析由题意，得222π????β－，即1>sin αα>sin>cos β>0，∴sin ??2∴－1<－sin α<－cos β<0.fx)在[－1∵奇函数，(0]上单调递减，ff(－cos β)－sin α)>，∴ (ffff(cos β)<)，∴).(sin ∴－α(sin α)>－(cos β1fxfABC的内角，△＝，＋∞)上单调递增，且0上的奇函数15.已知定义在R(())在区间(02AfAA的取值范围满足)≤0，求角(cos .πAA>0.时，①当0<cos <解21fAffx)在(0，＋∞)上单调递增，)≤0＝()，由 (cos (21A≤，得0<cos 2ππA<.解得≤32πAA<0.时，<cos <π②当2fxfx)在(0，＋∞)上单调递增，)为R上的奇函数，∵((fx)在(－∞，(0)上单调递增，∴11????????ff－，＝－＝0????22．11????AfAf－≤－)≤0＝，，得cos ∴由 (cos ??222πA<π∴≤. 3πAAfx)为R(cos ＝时，上的奇函数，＝0，∵③当2f(0)＝0，∴f(0)≤0成立∴.ππ2π????????Aπ，，.∪综上所述，角的取值范围是????323。
人教版数学高一-人教A版必修4练习 第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)
第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值课时目标1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间． 2识记强化1．y ＝sin x 单调递增区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，单调递减区间⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最大值1，x ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最小值－1.2．y ＝cos x 单调递增区间[－π＋2k π，2k π]k ∈Z ，单调递减区间[2k π，2k π＋π]k ∈Z .x ＝2k π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最大值1，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最小值－1.课时作业一、选择题1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π＋5π12(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 答案：C解析：∵2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1取得最大值时，x 的值应为( ) A ．2k π－π3，k ∈Z B ．k π－π6，k ∈ZC ．k π－π3，k ∈ZD ．k π＋π6，k ∈Z答案：B解析：依题意，当cos(2x ＋π3)＝1时，y 有最大值，此时2x ＋π3＝2k π，k ∈Z ，变形为x＝k π－π6，k ∈Z .3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数 答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以f (x )是偶函数，故D 错． 4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案：B解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12.所以，所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象，如图．由图象可知，函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎫π，3π2. 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11° 答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.二、填空题7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π－136π，k ∈Z ，当k ＝2时，|φ|min ＝π6.9．函数y ＝2＋cos x2－cos x 的最大值为________．答案：3 解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．解：(1)由题意可知函数y ＝sin x2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π(k ∈Z )，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．∴函数y ＝1－sin x2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)由题意，得cos2x ＞0，∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∵函数y ＝log 12x 在定义域内单调递减，∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z .∴k π＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k π，k π＋π4)，k ∈Z .11．设a ＞0,0≤x <2π，若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24＋b ＋1，由－1≤sin x ≤1，a ＞0，知①若0＜a2≤1，即0＜a ≤2，当sin x ＝－a 2时，y max ＝a 24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2.②若a2＞1，即a ＞2，当sin x ＝－1时，y max ＝－(－1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2不合题意，舍去． 综上，a ＝2，b ＝－2，当x ＝3π2时，y max ＝0；当x ＝π2时，y min ＝－4.能力提升12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] .答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，结合a *b 的新定义可知．f (x )的最小值为－1，最大值为22，故其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 13．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意，⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.。
高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学案新人教A版必修4
二．探究与发现
【探究点一】正、余弦函数的定义域、值域 正弦曲线：
余弦曲线：
由正、余弦曲
线很
容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集
R，值域都是
．
对于正弦函数 y＝ sin x ，x∈Ｒ 有：
当且仅当 x＝
时，取得最大值
对于余弦函数 y＝ cos x ，x∈Ｒ 有：
1；当且仅当 x＝
时，取得最小值－ 1.
(即
同则增，异则减 ) 求解．
余弦函数 y＝ Acos( ω x＋φ ) 的单调区间类似可求．
请同学们根据上面介绍的方法，写出求函数
1π y＝ sin －2x＋ 3 单调递增区间的求法．
例 1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin
－π18 与 sin
－
π 10
；
(2)sin 196 °与 cos 156 °；
(2)cos 870 °与 sin 980 °．
1π 例 2．求函数 y＝ 1＋ sin － 2x＋ 4 ，x∈[ － 4π ， 4π] 的单调减区间．
小结
确定函数 y＝ Asin( ω x＋ φ) 或 y＝ Acos( ω x＋φ ) 单调区间的基本思想是整体换元思想，即将 ω x＋ φ 视为一个整体．若 x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾 函数的定义域．
当 x∈ __________ 时，曲线逐渐上升，是增函数， 1；
当 x∈ __________ 时，曲线逐渐下降，是减函数，
sin x 的值由－ 1 增大到 sin x 的值由 1 减小到－
1.
推广到整个定义域可得： 当 x∈ ___________________________ 时，正弦函数 y＝ sin x 是增函数，函数值由－ 1 增大到 1； 当 x∈ ___________________________ 时，正弦函数 y＝ sin x 是减函数，＝ cos x ，x∈[ － π ， π ] 的图象如图所示： 观察图象可知： 当 x∈ __________ 时，曲线逐渐上升，是增函数， cos x 的值由－ 1 增大到 1；
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学案 新
第一章 三角函数三角函数 1．4 三角函数的图象与性质 1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)1．理解正弦函数、余弦函数的性质：奇偶性和单调性． 2．利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的奇偶性和单调性． 3．利用正弦函数、余弦函数的单调性与函数有关的单调区间．基础梳理一、正弦函数和余弦函数的单调性正弦函数和余弦函数都是周期函数，而对于周期函数，只要弄清楚它在一个周期内所具有的性质，便可以推知它在整个定义域内所具有的性质．对于正弦函数，结合图象知函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减．根据函数的周期性，我们推知：正弦函数在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.同样，余弦函数在每个闭区间[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.思考应用1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦函数在第一象限是增函数”？ 解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．二、正弦函数和余弦函数的奇偶性根据诱导公式sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，可知正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．从正弦函数y ＝sin x 的图象和余弦函数y ＝cos x 的图象上也可以看出，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．思考应用2．从正、余弦函数的奇偶性可知正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称，正、余弦函数的图象还有其他对称轴和对称中心吗？解析： 利用正、余弦函数的周期性和图象可以得出：正弦曲线y ＝sin x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是(k π，0)(k ∈Z)，对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z)；同理，余弦曲线y ＝cos x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z)．自测自评1．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0，2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：①③④是奇函数．故选C.2．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是(B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，π 解析：由y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象知：y ＝sin x 和y ＝cos x 的均为减函数的一个区间是：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故选B. 3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π4．有下列命题：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z)；②y ＝sin x 在第一象限是增函数；③y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数．其中正确的个数是(A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．②函数的单调性是相对于某一区间来说的，与所在象限无关．③正确．故选A.基础提升 1．下列命题正确的是(D )A ．y ＝sin x 在[0，π]内是单调函数B ．在第二象限内，y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 也是减函数C ．y ＝cos x 的增区间是[0，π]D ．y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是 (D )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R)可以得到函数f (x )是偶函数，选择D.3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在下列区间是增函数的是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4C ．[－π，0]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 解析：由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4.令k ＝0，得B 正确．故选B.4．若α，β均为锐角且α＋β＞π2，则(A )A ．sin α＞cos βB ．sin α＜cos βC ．sin α＞sin βD ．cos α＜c os β解析：由题意0＜π2－β＜α＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＜sin α，即sin α＞cos β.故选A.5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )(A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，并将图象在x 轴下方的部分对折到x 轴的上方，观察图象可知答案选A.6．判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2的奇偶性．分析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．解析：∵x ∈R，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，∴f (－x )＝－cos 3（－x ）4＝－cos 3x4＝f (x )，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2为偶函数． 巩固提高7．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最小值是(D )A ．－13 B.154C ．0D ．－14解析：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3， ∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.当cos x ＝12时，y 取到最小值为y min ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－232－13＝－14.故选D.8．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π＜a ≤0时，满足已知．故a 的取值范围是(－π，0]．答案：(－π，0]9．求函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2的单调区间．解析：由2k π－π≤2x ＋π3≤2kx (k ∈Z)得k π－23x ≤x ≤k π－π6(k ∈Z)．∴函数的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z)． 由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)得∴函数的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．10．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx的最值和最小正周期．解析：当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得a ＝12，b ＝1.∴g (x )＝－2sin x ．此时函数g (x )的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π. 当b <0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得a ＝12，b ＝－1.∴g (x )＝2sin x ．此时函数g (x )最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.1．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，将ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应变量的取值范围．2．判断函数的奇偶性时，必须先检查函数的定义域是否关于原点的对称区间，再验证f (－x )与f (x )的关系，进而判断函数的奇偶性．。
高中人教A版数学必修4：第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值 Word版含解析
正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值一、选择题1．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间[0π2]上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x 所以f (x )是偶函数故D 错． 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A ⎝⎛⎦⎤－32，12 B ⎣⎡⎦⎤－12，32 C ⎣⎡⎦⎤32，1 D ⎣⎡⎦⎤12，1 答案：B解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3 故y max ＝cos π6＝32y min ＝cos 2π3＝－12所以所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，32 3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ⎝⎛⎭⎫－π4，π4B ⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C ⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ⎝⎛⎭⎫3π2，2π 答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象如图．由图象可知函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎫π，3π2 4．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°由函数y ＝sin x 的单调性得sin11°<sin12°<sin80°即sin11°<sin168°<cos10°二、填空题7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x 所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间即求y＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间易知为⎣⎡⎦⎤π2，π 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2k ∈Z 则φ＝k π－136πk ∈Z 当k ＝2时|φ|min ＝π69．函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为________． 答案：3解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x 得y (2－cos x )＝2＋cos x 即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)因为－1≤cos x ≤1所以－1≤2y －2y ＋1≤1解得13≤y ≤3所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3 三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos2x )．解：(1)由题意可知函数y ＝sin x 2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间 由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π(k ∈Z ) 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．∴函数y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π4k π＋3π](k ∈Z )． (2)由题意得cos2x ＞0∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2k ∈Z 即k π－π4＜x ＜k π＋π4k ∈Z ∵函数y ＝log 12x 在定义域内单调递减 ∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－π4k π＋π4)k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间 ∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2k ∈Z ∴k π＜x ＜k π＋π4k ∈Z ∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k πk π＋π4)k ∈Z 11．设a ＞00≤x <2π若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0最小值为－4试求a 与b 的值并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24＋b ＋1 由－1≤sin x ≤1a ＞0知①若0＜a 2≤1即0＜a ≤2 当sin x ＝－a 2时y max ＝a 24＋b ＋1＝0当sin x ＝1时y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4 解得a ＝2b ＝－2②若a 2＞1即a ＞2 当sin x ＝－1时y max ＝－(－1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝0 当sin x ＝1时y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4 解得a ＝2b ＝－2不合题意舍去．综上a ＝2b ＝－2当x ＝3π2时y max ＝0；当x ＝π2时y min ＝－4能力提升12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] 答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象结合a *b 的新定义可知．f (x )的最小值为－1最大值为22故其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22 13．已知ω是正数函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0解得0<ω≤32 故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32。
高中数学1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件新人教A版必修4
(2)cos158π＝cos2π－π8＝cosπ8，cos149π＝cos2π－49π＝cos49π. ∵函数 y＝cos x 在[0，π]上单调递减，且 0<π8<49π<π， ∴cosπ8>cos49π，∴cos158π>cos149π.
[例 3] 求下列函数的值域：
(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝cos2x－4cos x＋5. [解] (1)由 y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得 x＋π6∈π6，23π，函数 y＝cos x 在区间π6，23π上单调递减， ∴函数的值域为－12， 23. (2)令 t＝cos x，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1， ∴t＝－1 时，y 取得最大值 10；t＝1 时，y 取得最小值 2. ∴y＝cos2x－4cos x＋5 的值域为[2,10]．
函数 y＝2sinx－π3也单调递增(减)．
[例 2
260°；(2)cos158π与
14π cos 9 .
[解] (1)∵函数 y＝sin x 在 90°＜x＜270°时单调递减，且
90°<250°<260°<270°，
∴sin 250°>sin 260°.
5.忽视正、余弦函数的有界性致误 [典例] 设 sin x＋sin y＝13，则 M＝sin x－cos2y 的最大 值为________，最小值为________． [解析] 由题意，得 sin x＝13－sin y.
由 sin x∈[－1,1]，得－1≤13－sin y≤1， －1≤sin y≤1.
第二课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
[提出问题] 下图中的曲线分别是正弦函数和余弦函数的图象，根据图 象回答以下问题：
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课时提能演练(十)/课后巩固作业(十)
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2012·宁德高一检测)下列区间中，使函数y=sinx 为增函数的区间是( ) (A)［0,π］ (B)［π,2π］
(C)［3,
22ππ］ (D)［,22
ππ
-］ 2.(2012·山东高考)函数y=2sin(x 63
ππ
-)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和
为( )
3.y=
2sinx
sinx 2
+的最小值是( ) (A)2 (B)-2 (C)1 (D)-1
4.(易错题)函数y=sinx 的定义域为［a,b ］，值域为［-1,1
2
］，则b-a 的最大值和最小值之和等于( ) (A)
43π (B)83
π
(C)2π (D)4π 二、填空题(每小题4分，共8分)
5.函数y=cosx 在区间［-π,a ］上为增函数，则a 的取值范围是 .
6.将cos150°，sin470°，cos760°按从小到大排列为 . 三、解答题(每小题8分，共16分)
7.求函数y=1-sin2x 的单调区间.
8.(2011·安徽高考改编)已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数，若 f(x)≤|f(6π)|对x ∈R 恒成立，且f(2
π)＞f(π)，求f(x)的单调递增区间. 【挑战能力】
(10分)已知函数f(x)=12
log |sinx|.
(1)求定义域和值域；(2)判断奇偶性； (3)判断周期性；(4)写出单调区间.
答案解析
1.【解析】选D.由y=sinx 的图象知，y=sinx 在［,22
ππ-］上是增函数，［3,22
ππ
］上是减函数，［0,π］或［π,2π］上不单调. 【变式训练】函数y=sin
x 1
2
-π的单调增区间是( ) (A)［4k π,(4k+1)π］(k ∈Z) (B)［4k,4k+2］(k ∈Z) (C)［2k π,(2k+2)π］(k ∈Z) (D)［2k,2k+2］(k ∈Z) 【解析】选B.y=sin x 12-π=sin(x 22ππ-)，x 2k 2222
ππππ
-+π≤-≤+2k π(k ∈Z)，2k π≤
x
2
π≤π+2k π(k ∈Z)，所以4k ≤x ≤2+4k(k ∈Z). 2.【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值和最小值.
【解析】选A.因为0≤x ≤9,所以0≤6
πx ≤9×6
π,所以-3
π≤6
πx-3
π≤76
π
,所以
≤sin(6πx-3π)≤1,所以2sin(6πx-3π)≤2.所以函数y=2sin(x 6π-3
π) (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为.
3.【解析】选B.y=
2sinx 42sinx 2sinx 2=-
++，sinx=-1时，y=2sinx
sinx 2
+取得最小值-2. 4.【解析】选C.当y=sinx 在［a,b ］上单调时，b-a 取最小值23
π
，当y=sinx
在
［a,b ］上不单调时，b-a 取最大值
43
π
，所以它们的和是2π. 5.【解析】y=cosx 在［-π,0］上为增函数，在［0,π］上为减函数，所以a ∈(-π,0］. 答案：(-π,0］
6.【解析】cos150°＜0，sin470°=sin110°=cos20°＞0，cos760°= cos40°＞0且cos20°＞cos40°，所以cos150°＜cos760°＜sin470°. 答案：cos150°＜cos760°＜sin470°
7.【解析】求函数y=1-sin2x 的单调区间，转化为求函数y=sin2x 的单调区间，
要注意负号的影响.由32k 2x 2
2π
π+π≤≤
+2k π,k ∈Z,得4π+k π≤x ≤34
π
+k π,k ∈Z ，即函数的单调递增区间是［4π+k π,34
π
+k π］(k ∈Z).同理可求得函数的单调递减区
间是［-4π+k π,4
π
+k π］(k ∈Z).
【规律方法】揭秘三角函数的单调区间
该类问题常以客观题和解答题的形式出现，主要考查求三角函数的单调区间，或利用单调性解决其他问题.具体地，求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式与y=sinx(x ∈R)，y=cosx(x ∈R)的单调区间对应的不等式相同(反).例如，求函数y=3sin(2x-3
π
)的单调递增区间，可以通过不等式
2k 2x 2k 232
πππ
π-
≤-≤π+(k ∈Z)求解.又如，
求函数y=-cos(2x+1)的单调递减区间，可以通过不等式2k π-π≤2x+1≤2k π(k ∈Z)求解.
8.【解题指南】由f(x)≤|f(6
π)|对x ∈R 恒成立知，f(x)在x=6
π处取得最大值或最小值，从而得到φ的两组取值，再利用f(2
π)＞f(π)排除一组，从而得到φ的取值,利用整体代换思想求出f(x)的单调递增区间.
【解析】由f(x)≤|f(6
π
)|对x ∈R 恒成立知，2×6
π+φ=2k π±2
π(k ∈Z)，得到φ=2k
π+6
π或φ=2k π-
56π，代入f(x)并由f(2π)＞f(π)检验得，φ的取值为-56
π
，所以2k π-2π≤2x-56π≤2k π+2π，得单调递增区间是［k π+6π,k π+23
π］
(k ∈Z).
【挑战能力】
【解析】(1)由sinx ≠0得定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z}，又0＜|sinx|≤1，所以值域为{y|y ≥0}.
(2)由(1)知，定义域关于原点对称，又f(-x)=12
log |sin(-x)|=12
log |sinx|=f(x)，
所以是偶函数.
(3)若周期T=π时，f(x+T)=12
log |sin(x+T)|=f(x)，所以是周期函数.
(4)y=|sinx|的单调增区间是［k π,k π+2π］(k ∈Z)，单调减区间是［k π-2
π, k π］(k ∈Z)，所以f(x)=12
log |sinx|的增区间是［k π-2
π，k π］(k ∈Z),减区间是［k
π，k π+2
π］(k ∈Z).。