高考数学大二轮复习 第1部分 专题2 函数与导数 第2讲 函数与方程及函数的应用练习

第一部分 专题二 第二讲 函数与方程及函数的应用A 组1．(文)函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在区间( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] ∵f (1)·f (2)<0，∴选B ．(理)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( D )A ．(1.4,2)B ．(1.1,4)C ．(1，32)D ．(32，2)[解析] 令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f (32)＝－58<0，∴选D ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( D )A ．12，0 B ．－2,0 C ．12D ．0[解析] 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.3.已知函数f (x )＝(12)x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 作出g (x )＝(12)x与h (x )＝cos x 的图象，可以看出其在[0,2π]上的交点个数为3.故选C ．4．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( A )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[解析] 在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A ．5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( D )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 [解析] 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误．对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点的个数为( A )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 当x <0时，f (2－x )＝x 2，此时函数f (x )－g (x )＝－1－|x |＋x 2的小于零的零点为x ＝－1＋52；当0≤x ≤2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝x ，函数f (x )－g (x )＝2－|x |＋x－3＝－1无零点；当x >2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝4－x ，函数f (x )－g (x )＝(x －2)2＋4－x －3＝x 2－5x ＋5大于2的零点有一个．因此函数y ＝f (x )－g (x )共有零点2个．7．已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)>0(填“>”、“<”、“≥”、“≤”)．[解析] 方法一：∵f (x )＝(15)x－log 3x 在(0，＋∞)上为减函数，且0<x 1<x 0，∴f (x 1)>f (x 0)．方法二：如图知，f (x 1)>f (x 0)．8．(文)函数f (x )对一切实数x 都满足f (12＋x )＝f (12－x )，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为32.[解析] 函数图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.(理)(2015·四川卷，13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，∴e 22k ＝48192＝14，e 11k＝12，∴x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝18×192＝24.9．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放在浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x －1，0≤x ≤4，7－12x ，4<x ≤14.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值．(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．[解析] (1)由题意知k (248－2－1)＝3，所以k ＝1. (2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧968－x －4，0≤x ≤4，28－2x ，4<x ≤14.当0≤x ≤4时，由968－x －4≥4，解得－4≤x <8，所以0≤x ≤4.当4<x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12， 所以4<x ≤12.综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟．(3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×(7－12×12)＋1×[248－12－10－1]＝5(克/升)，又5>4，所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用．B 组1．已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝ln x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( A ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c[解析] 由f (a )＝e a＋a ＝0，得a ＝－e a<0；b 是函数y ＝ln x 和y ＝－x 图象交点的横坐标，画图(图略)可知0<b <1；由h (c )＝ln c －1＝0知c ＝e ，所以a <b <c .2．(2018·湖北武昌1月调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)[解析] 函数f (x )＝2ax －a ＋3，由∃x 0∈(－1,1)，f (x 0)＝0，可得(－3a ＋3)(a ＋3)<0，解得a ∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)．3．利民工厂某产品的年产量在150t 至250t 之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( B )A ．240B ．200C ．180D ．160[解析] 依题意得每吨的成本是y x ＝x 10＋4000x －30，则yx ≥2x10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t ，选B ．4．(2017·郑州质量预测)设函数f (x )＝e x＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( A )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0[解析] 依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0<a <1.g (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1<b <2，于是有f (b )>f (1)>0.又函数g (x )在(0,1)内是增函数，因此有g (a )<g (1)<0.所以g (a )<0<f (b )．故选A ．5．(2017·湖北宜昌模拟)某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( C )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00[解析] 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x . 当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400，∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20，由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4<x ≤8， ∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00. 故选C ．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x， x ≤013x 3－4x ＋a ， x >0在其定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围是( A )A ．a >163B ．a ≥163C ．a <163D ．a ≤163[解析] 当x ≤0时，函数y ＝－x 与函数y ＝3x的图象有一个交点， 所以函数y ＝f (x )有一个零点；而函数f (x )在其定义域上只有一个零点， 所以当x >0时，f (x )没有零点． 当x >0时，f ′(x )＝x 2－4，令f ′(x )＝0得x ＝2，所以f (x )在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增，因此f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝a －163>0，解得a >163.故选A ．7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]＝2.[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且易判断函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e>0，知x 0∈(2，e)，所以[x 0]＝2.8．定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至多有三个零点，则a 的取值范围是(55，1)∪(1，＋∞). [解析] 对于偶函数f (x )，f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，令x ＝－1，则f (1)＝f (－1)－f (1)，因为f (－1)＝f (1)，所以f (－1)＝f (1)＝0，所以f (x )＝f (x ＋2)，故f (x )的图象如图所示，则问题等价于f (x )的图象与函数y ＝log a (|x |＋1)的图象在(0，＋∞)上至多有三个交点，显然a >1符合题意；若0<a <1，则由图可知，只需点(4，－2)在函数y ＝log a (|x |＋1)图象的上方，所以log a 5<－2＝log a 1a 2⇒5>1a 2⇒55<a <1.综上，实数a 的取值范围是(55，1)∪(1，＋∞)．9．已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则称x 0为函数f (x )的局部对称点．(1)若a ∈R 且a ≠0，证明：函数f (x )＝ax 2＋x －a 必有局部对称点；(2)若函数f (x )＝2x＋b 在区间[－1,2]内有局部对称点，求实数b 的取值范围； (3)若函数f (x )＝4x －m ·2x ＋1＋m 2－3在R 上有局部对称，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由f (x )＝ax 2＋x －a 得f (－x )＝ax 2－x －a ， 代入f (－x )＝－f (x )得ax 2＋x －a ＋ax 2－x －a ＝0， 得到关于x 的方程ax 2－a ＝0(a ≠0)， 其中Δ＝4a 2，由于a ∈R 且a ≠0， 所以Δ>0恒成立，所以函数f (x )＝ax 2＋x －a 必有局部对称点． (2)f (x )＝2x＋b 在区间[－1,2]内有局部对称点， 所以方程2x ＋2－x＋2b ＝0在区间[－1,2]上有解， 于是－2b ＝2x ＋2－x ，设t ＝2x，12≤t ≤4，所以－2b ＝t ＋1t ，其中2≤t ＋1t ≤174，所以－178≤b ≤－1.(3)因为f (－x )＝4－x－m ·2－x ＋1＋m 2－3，由f (－x )＝－f (x )，所以4－x －m ·2－x ＋1＋m 2－3＝－(4x －m ·2x ＋1＋m 2－3)，于是4x＋4－x－2m (2x ＋2－x )＋2(m 2－3)＝0…(*)在R 上有解， 令t ＝2x ＋2－x (t ≥2)，则4x ＋4－x ＝t 2－2，所以方程(*)变为t 2－2mt ＋2m 2－8＝0在区间[2，＋∞)内有解，需满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－8m 2－4≥0，2m ＋48－m 22≥2，即⎩⎨⎧－22≤m ≤22，1－3≤m ≤22，化简得1－3≤m ≤2 2.。