高考数学二轮复习专题二函数与导数课时作业四函数与方程及函数的应用理67
高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业4 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数
课时作业4 函数及其表示1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝e ln x，g (x )＝xB ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin2x2cos x ，g (x )＝sin xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解析：A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D. 2．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 3．(2019·某某某某模拟)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( A ) A.15lg2 B.12lg5 C.13lg2 D.12lg3 解析：解法一：由题意知x ＞0，令t ＝x 5，则t ＞0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，即f (x )＝15lg x (x ＞0)，∴f (2)＝15lg2，故选A.解法二：令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg215＝15lg2，故选A.4．已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2)的值域是( C ) A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 解析：对于y ＝f (x )·f (x 2)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1，故选C.5．(2019·某某某某模拟)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g x ，x ＜0是奇函数，则f (g (－2))的值为( C )A.52 B ．－52C ．1D ．－1 解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g x ，x ＜0是奇函数，∴x ＜0时，g (x )＝－12x ＋3，∴g (－2)＝－12－2＋3＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝－12－1＋3＝1， 故选C.6．(2019·某某某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x的取值X 围是( C )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由题意，x ＞0时，f (x )递增，故f (x )＞f (0)＝0，又x ≤0时，x ＝0，故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－2，故选C.7．(2019·某某成安模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由题意知，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.8．(2019·某某某某一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值X 围为( C )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若x ＞1，则f (x )＝x ＋1＞2，易知y ＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a ＜1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意； 若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值， 只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2.综上可得a 的取值X 围是[1,2]，故选C.9．(2019·某某、某某两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]__．解析：要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4＞0，解得－4＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为(－4,1]．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝12的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 .解析：由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x ＞0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12.故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.11．记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值X 围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 解析：由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}，B ＝{x |(x －a －1)·(x －2a )＜0}，由a ＜1得a ＋1＞2a ，∴B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋1}． ∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1， ∴a ≤－2或12≤a ＜1.∴a 的取值X 围为a ≤－2或12≤a ＜1.12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2； 当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋22，x ∈[－2，－1，－2x ＋12，x ∈[－1，0，x 2，x ∈[0，1]，－12x －12，x ∈1，2].13．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝d ＝0，f 2＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′0＝c ＝－1，f ′2＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .14．(2019·某某某某一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x ＜a ＋1，－|x ＋1|－a ，x ≥a ＋1，若f (x )的最大值不超过1，则实数a 的取值X 围为( A )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－54解析：当x ＜a ＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |在(－∞，a )上递增，在[a ，a ＋1)上递减，可得此时f (x )在x ＝a 处取得最大值，且为1；当x ≥a ＋1时，f (x )＝－a －|x ＋1|，当a ＋1≥－1，即a ≥－2时，f (x )递减，由题意得－a －|a ＋2|≤1，解得a ≥－32；当a ＋1＜－1，即a ＜－2时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，且为－a ，由题意得－a ≤1，则a ∈∅.综上可得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，故选A.。
新课标2018届高考数学二轮复习专题二函数与导数2.2函数与方程及函数的应用课件
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命题热点一
命题热点二
命题热点三
对点训练1函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
x x
)
关闭
函数 f(x)=2 |log0. 5x|-1 的零点即 2 |log0. 5x|-1= 0 的解 ,即|log0. 5x|= 的解,作出函数 g(x)=|log0. 5x|和函数 h(x)=
题后反思解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取 值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于 参数的方程或不等式求解.对于存在函数的零点求参数取值范围的 问题,可通过分离参数,转化为求函数的最值问题.
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命题热点一
命题热点二
命题热点三
对点训练2(2017全国Ⅲ,理11)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有 唯一零点,则a=( )
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命题热点一
命题热点二
命题热点三
③当
1 a∈(0,1)时,1- +ln ������
a<0,即 f(-ln a)<0.
又 f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故 f(x)在区间(-∞,-ln a)有一 个零点. 设正整数 n0 满足 n0>ln 由于 ln
3 -1 ������
由 f(x)=-a>-������ >0 知,函数 y=f(x)与直线 y=-a>0 存在两个交点,此时方 程 f(-f(x))=1 的实数根有 2 个;由 f(x)=-b∈(-1,0),知函数 y=f(x)与直线 关闭 y=-b∈(-1,0)存在两个交点,此时方程 f(-f(x))=1 的实数根有 2 个.综上 C 可知方程的实数根个数为 4.
高考数学总复习第二章函数导数及其应用课时作业
高考数学总复习第二章函数导数及其应用课时作业课时作业10 函数的图象1．函数f(x)＝x2ln|x|的图象大致是( D )解析：由f(－x)＝－f(x)可得f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，C，而x∈(0,1)时，ln|x|＜0，f(x)＜0，排除B，故选D.2．现有四个函数：①y＝x sin x；②y＝x cos x；③y＝x|cos x|；④y＝x·2x.它们的图象(部分)如下，但顺序已被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是( D )A．④①②③B．①④③②C．③④②①D．①④②③解析：函数y＝x sin x是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y＝x cos x是奇函数，且当x＝π时，y＝－π＜0，故函数②对应第三个图象；函数y＝x|cos x|为奇函数，且当x＞0时，y≥0，故函数③与第四个图象对应；函数y ＝x ·2x为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.3．(2019·河南信阳模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，函数g (x )＝4x ＋3x －2，若函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，记作P i (x i ，y i )(i ＝1,2，…，168)，则(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)的值为( D )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．1 008 解析：函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，可得f (－x )＋f (4＋x )＝8，即函数f (x )的图象关于点(2,4)对称，由函数g (x )＝4x ＋3x －2＝4x －2＋11x －2＝4＋11x －2，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.4．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( A )A ．f (x )＝12x －1－x 3B ．f (x )＝12x －1＋x 3C ．f (x )＝12x ＋1－x 3D ．f (x )＝12x ＋1＋x 3解析：由图可知，函数图象的渐近线为x ＝12，排除C ，D ，又函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．而函数y ＝12x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，y ＝－x 3在R上单调递减，则f (x )＝12x －1－x 3在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故选A.5．如图所示，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( B )解析：设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D ，故选B.6．(2019·泰安模拟)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( A )解析：因为f (x )＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )为奇函数，排除B ，D ；当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12＜0，排除C ，∴A 满足．7．(2019·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( C )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析：依题意，画出函数的大致图象如图所示．实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，g x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．8．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( C ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．9．(2019·江苏扬州模拟)不等式2－x ≤log 2(x ＋1)的解集是{x |x ≥1}__．解析：画出y ＝2－x ，y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x |x ≥1}．10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为(4,5)__．解析：作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令f (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出f (x )的图象如图所示.由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数f (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数f (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0,2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞)．13．(2019·安徽江南十校联考)若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( B )A ．f (x )＝e x－1x 2－1B ．f (x )＝ex x 2－1C ．f (x )＝x 3＋x ＋1x 2－1D ．f (x )＝x 4＋x ＋1x 2－1解析：由题中图象可知，函数的定义域为{x |x ≠a 且x ≠b }，f (x )在(－∞，a )上为增函数，在(a,0]上先增后减，在[0，b )上为减函数，在(b ，＋∞)上先减后增．A 项中f (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}， 此时a ＝－1，b ＝1. f ′(x )＝exx 2－1－2x e x －1x 2－12，则f ′(－2)＝79e 2－49＜0，与f (x )在(－∞，－1)上递增不符．B 项中f (x )的定义域 为{x |x ≠±1}，f ′(x )＝exx 2－2x －1x 2－12＝e x [x －12－2]x 2－12，若f ′(x )＞0，则x ＜－1或－1＜x ＜1－2或x ＞1＋2，此时f (x )在各对应区间上为增函数，符合题意．同理可检验C 、D 不符，故选B.14．(2019·福建厦门双十中学模拟)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D ．(e ，＋∞)解析：原命题等价于在x ＜0时，f (x )与g (－x )的图象有交点，即方程e x－12－ln(－x＋a )＝0在(－∞，0)上有解，令m (x )＝e x－12－ln(－x ＋a )，显然m (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ＞0时，只需m (0)＝e 0－12－ln a ＞0，解得0＜a ＜e ；当a ≤0时，x 趋于－∞，m (x )＜0，x 趋于a ，m (x )＞0，即m (x )＝0在(－∞，a )上有解．综上，实数a 的取值范围是(－。
(课标专用)2020高考数学二轮复习专题二函数与导数2.2函数与方程及函数的应用课件
高频考点•探究突破
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突破点一
突破点二
突破点三
解析:(1)f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数根,
等价于y=f(x)+|x-2|与y=kx的图象有三个交点,
������2 + 3������ + 2,-3 ≤ ������ ≤ 0,
画出 y=f(x)+|x-2|= ������-1,0 < ������ ≤ 2,
显然1e>0.
综上,f(t)=1
的两根为 2
������
与
1e,
故方程 f(-f(x))=1 的解即为方程 f(x)=-���2���与 f(x)=-1e的解.
解方程 f(x)=-���2���:
①当 x≤0 时,方程可化为 mx-1=-���2���,解得 x=1���-������2��� = ������������-22,
高频考点•探究突破
-7-
突破点一
突破点二
突破点三
即时巩固 1 定义在 R 上的函数 f(x),满足 f(x)=
������2 + 2,������∈[0,1), 2-������2,������∈[-1,0),
且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(0,+∞) 内的零点个数有( B )
������
函数y=f(x)的图象与直线y=-a>0存在两个交点,此时方程f(-f(x)) =1的实数根有2个;由f(x)=-b∈(-1,0),知函数y=f(x)的图象与直线y= -b∈(-1,0)存在两个交点,此时方程f(-f(x))=1的实数根有2个.综上可 知方程的实数根个数为4.
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
高考数学二轮复习课件高考5个大题题题研诀窍函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”讲义理(含解析)
函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”[思维流程——找突破口] [技法指导——迁移搭桥]函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题.[典例] 已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x＋2e x ≤0. [快审题] 求什么 想什么 讨论函数的单调性，想到利用导数判断． 证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化． 给什么 用什么 已知函数的解析式，利用导数解题．差什么 找什么 证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值.[稳解题](1)f ′(x )＝ex－a (x >0)，①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②若a >0，则当0<x <e a 时，f ′(x )>0，当x >ea时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e a ，＋∞上单调递减．(2)证明：法一：因为x >0，所以只需证f (x )≤exx－2e ，当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max＝f (1)＝－e.记g (x )＝exx－2e(x >0)，则g ′(x )＝x －1e xx 2，所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤exx－2e ，即xf (x )－e x＋2e x ≤0. 法二：证xf (x )－e x＋2e x ≤0， 即证e x ln x －e x 2－e x＋2e x ≤0， 从而等价于ln x －x ＋2≤exe x .设函数g (x )＝ln x －x ＋2， 则g ′(x )＝1x－1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1. 设函数h (x )＝e xe x，则h ′(x )＝exx －1e x2. 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1. 综上，当x >0时，g (x )≤h (x )， 即xf (x )－e x＋2e x ≤0.[题后悟道] 函数与导数综合问题的关键(1)会求函数的极值点，先利用方程f (x )＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；(2)证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．[针对训练]已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝ax 22，直线l ：y ＝(k －3)x －k ＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行，求实数k 的值； (2)若至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，求实数a 的取值范围； (3)设k ∈Z ，当x >1时，函数f (x )的图象恒在直线l 的上方，求k 的最大值． 解：(1)由已知得，f ′(x )＝ln x ＋1，且y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行， 所以f ′(e)＝ln e ＋1＝2＝k －3，解得k ＝5.(2)因为至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，所以至少存在一个x 使x ln x <ax 22成立，即至少存在一个x 使a >2ln x x成立．令h (x )＝2ln x x ，当x ∈[1，e]时，h ′(x )＝21－ln xx 2≥0恒成立，因此h (x )＝2ln x x在[1，e]上单调递增.故当x ＝1时，h (x )min ＝0，所以实数a 的取值范围为(0，＋∞)．(3)由已知得，x ln x >(k －3)x －k ＋2在x >1时恒成立，即k <x ln x ＋3x －2x －1.令F (x )＝x ln x ＋3x －2x －1，则F ′(x )＝x －ln x －2x －12.令m (x )＝x －ln x －2，则m ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0在x >1时恒成立.所以m (x )在(1，＋∞)上单调递增，且m (3)＝1－ln 3<0，m (4)＝2－ln 4>0， 所以在(1，＋∞)上存在唯一实数x 0(x 0∈(3,4))使m (x 0)＝0，即x 0－ln x 0－2＝0. 当1<x <x 0时，m (x )<0，即F ′(x )<0，当x >x 0时，m (x )>0，即F ′(x )>0， 所以F (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． 故F (x )min ＝F (x 0)＝x 0ln x 0＋3x 0－2x 0－1＝x 0x 0－2＋3x 0－2x 0－1＝x 0＋2∈(5,6)．故k <x 0＋2(k ∈Z)，所以k 的最大值为5. [总结升华]函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、可把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用．[专题过关检测] 1．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝ln x ＋a x(a ∈R)． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a.解：(1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1. 要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a，即证ln a ＋1a－1≥0.令函数g (a )＝ln a ＋1a－1，则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a2(a >0)，当0<a <1时，g ′(a )<0，当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以g (a )min ＝g (1)＝0. 所以ln a ＋1a－1≥0恒成立，所以f (x )≥2a －1a.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0. 设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x. 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)>0，即a <e24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)<0，即a >e24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点．由(1)知，当x >0时，e x>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2>1－16a32a4＝1－1a>0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e24.3．(2018·西安质检)设函数f (x )＝ln x ＋k x(k ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，求f (x )的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；(2)若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由条件得f ′(x )＝1x －kx2(x >0)，∵曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，∴f ′(e)＝0，即1e －ke 2＝0，得k ＝e ，∴f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2(x >0)．由f ′(x )<0，得0<x <e ；由f ′(x )>0，得x >e ， ∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 当x ＝e 时，f (x )取得极小值，且f (e)＝ln e ＋ee ＝2.∴f (x )的极小值为2.(2)由题意知对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立， 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋k x－x (x >0)， 则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h ′(x )＝1x －kx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14恒成立，∴k ≥14.故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 4．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x )－2x . (1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0； (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a .解：(1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x. 设函数g (x )＝ln(1＋x )－x1＋x ，则g ′(x )＝x1＋x2.当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0， 故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0， 且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增． 又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0.(2)①若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)， 这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾． ②若a <0， 设函数h (x )＝f x 2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x2＋x ＋ax2.由于当|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，2＋x ＋ax 2>0， 故h (x )与f (x )符号相同． 又h (0)＝f (0)＝0， 故x ＝0是f (x )的极大值点， 当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点． h ′(x )＝11＋x－22＋x ＋ax 2－2x 1＋2ax2＋x ＋ax22＝x 2a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1x ＋1ax 2＋x ＋22.若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )>0， 故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1,0)，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )<0， 所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3x －24x ＋1x 2－6x －122，则当x ∈(－1,0)时，h ′(x )>0； 当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0. 所以x ＝0是h (x )的极大值点， 从而x ＝0是f (x )的极大值点． 综上，a ＝－16.。
近年高考数学总复习第二章函数、导数及其应用4函数及其表示课时作业文(2021年整理)
2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用4 函数及其表示课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用4 函数及其表示课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时作业4 函数及其表示一、选择题1．下列四个图象中,是函数图象的是（）A．（1） B．（1)(3）（4)C．(1)(2）(3) D．（3)(4)解析:由函数定义知（2）错．答案：B2．下面各组函数中为相同函数的是( )A．f（x）＝错误!，g(x)＝x－1B．f(x）＝错误!,g(x）＝错误!·错误!C．f(x)＝ln e x与g（x)＝e ln xD．f(x)＝x0与g(x）＝错误!解析:函数的三要素相同的函数为相同函数,对于选项A，f（x)＝｜x－1｜与g(x)对应关系不同，故排除选项A，选项B、C中两函数的定义域不同,排除选项B、C，故选D。
答案：D3．(2018·东北三省四市模拟）函数y＝错误!＋错误!的定义域为（）A．［0，3] B．［1，3]C．[1，＋∞) D．[3，＋∞)解析：要使函数有意义,则需错误!∴错误!∴1≤x≤3,故选B.答案：B4．（2018·黄山质检)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))＝x＋2，则f(x)＝（）A．x＋1 B．2x－1A．｛x｜x∈R} B．｛x|x〉0}C．｛x｜0<x<5} D.错误!解析:由题意知错误!即错误!〈x<5.答案：D9．定义a b＝错误!设函数f(x)＝ln x x,则f(2)＋f错误!＝( ）A．4ln 2 B．－4ln 2C．2 D．0解析：2×ln 2〉0，所以f（2）＝2×ln 2＝2ln 2。
高考第二轮复习数学浙江文科专题二 函数与导数第2讲 函数与方程及函数的应用.pdf
专题二 函数与导数第2讲 函数与方程及函数的应用 真题试做 1．(2012·湖南高考，文9)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)＞0，则函数y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零点个数为( )． A．2 B．4 C．5 D．8 2．(2012·浙江高考，文10)设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数，( )． A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＞b B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＜b C．若ea－2a＝eb－3b，则a＞b D．若ea－2a＝eb－3b，则a＜b 3．(2012·山东高考，文15)若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝__________. 4．(2012·课标全国高考，文16)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__________. 5．(2012·陕西高考，文21)设函数f(x)＝xn＋bx＋c(nN＋，b，cR)． (1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间内存在唯一零点； (2)设n为偶数， |f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值； (3)设n＝2，若对任意x1，x2[－1,1]，有|f(x1)－f(x2)|≤4，求b的取值范围． 6．(2012·江苏高考，17)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 考向分析 通过分析近三年的高考试题可以看到对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面：一、结合函数与方程的关系，求函数的零点；二、结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断；三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围．对函数的实际应用问题的考查，题目大多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法． 热点例析 热点一 确定函数的零点 【例1】设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )． A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 规律方法 确定函数零点的常用方法： (1)解方程判定法，方程易解时用此法； (2)利用零点存在的判定定理； (3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解． 变式训练1 方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )． A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根 热点二 函数零点的应用 【例】(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4， ①有且仅有一个零点？ ②有两个零点且均比－1大？ (2)若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围． 规律方法 解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，再者，对于存在零点求参数范围问题，可通过分离参数，从而转化为求函数值域问题． 变式训练2 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________． 热点三 函数的实际应用 【例3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元．设该容器的建造费用为y千元． (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. 规律方法 应用函数知识解应用题的步骤： (1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键．转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类． (2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解． (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答． 变式训练3 某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x＞6)，年销量为u万件，若已知－u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年利润y(万元)关于x的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 思想渗透 函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题． (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程(方程组)或者构造方程，通过解方程(方程组)或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程(方程组)的观点观察、处理问题． (3)方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究；方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要． 如图所示，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v＞0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量．当移动距离d＝100，面积S＝时， (1)写出y的表达式； (2)设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少． 解：(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为|v－c|＋， 故y＝＝(3|v－c|＋10)． (2)由(1)知， 当0＜v≤c时，y＝(3c－3v＋10)＝－15； 当c＜v≤10时，y＝(3v－3c＋10)＝＋15. 故y＝ 当0＜c≤时，y是关于v的减函数．故当v＝10时，ymin＝20－. 当＜c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数． 故当v＝c时，ymin＝. 1．(2012·浙江路桥中学月考，6)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个数为( )． A．4 B．3 C．2 D．1 2．(2012·山东潍坊一模，12)若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件： P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；P，Q关于原点对称． 则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)． 已知函数f(x)＝则此函数的“友好点对”有( )． A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 3．(2012·浙江金华十校模拟，8)已知函数f(x)＝x－tan x，若实数x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜t＜x0，则f(t)的值( )． A．大于1B．大于0 C．小于0D．不大于0 4．(2012·浙江东阳中学3月检测，16)若函数f(x)＝x2＋ax＋2b在区间(0,1)，(1,2)内各有一个零点，则a2＋(b－2)2的取值范围是__________． 5．(2012·江苏高考，10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，bR.若f＝f，则a＋3b的值为______． 6．(2012·浙江重点中学协作体联考，12)函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的所有零点所构成的集合为__________． 7．(2012·北京高考，文12)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝__________. 8．某市近郊有一块大约500 m×500 m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S m2. (1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)； (2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？ 命题调研·明晰考向 真题试做 1．B 解析：由x∈(0，π)且x≠时，f′(x)＞0可知： 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 又x∈[0，π]时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，可画出f(x)的草图为： 对于y＝f(x)－sin x的零点，可在同一坐标系中再作出y＝sin x的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4. 2．A 解析：考查函数y＝ex＋2x为单调增函数，若ea＋2a＝eb＋2b，则a＝b； 若ea＋2a＝eb＋3b，a＞b.故选A. 3． 解析：当0＜a＜1时，f(x)＝ax在[－1,2]上的最大值为a－1＝4，即a＝，最小值为a2＝m，从而m＝，这时g(x)＝，即g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．当a＞1时，f(x)＝ax在[－1,2]上的最大值为a2＝4，得a＝2，最小值为a－1＝m，即m＝，这时g(x)＝(1－4m)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意，舍去．所以a＝. 4．2 解析：f(x)＝＝1＋， 设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)， g(x)是奇函数． 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 5．(1)证明：当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1. f·f(1)＝×1＜0， f(x)在内存在零点． 又当x时，f′(x)＝nxn－1＋1＞0， f(x)在上是单调递增的． f(x)在内存在唯一零点． (2) 解：方法一：由题意知即 由下图知，b＋3c在点(0，－2)取到最小值－6， 在点(0,0)取到最大值0， b＋3c的最小值为－6，最大值为0. 方法二：由题意知 －1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0， －1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0， ①×2＋得 －6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0. 当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0， b＋3c的最小值为－6，最大值为0. 方法三：由题意知 解得b＝，c＝， b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3. 又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1. －6≤b＋3c≤0. 当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0， b＋3c的最小值为－6，最大值为0. (3)解：当n＝2时，f(x)＝x2＋bx＋c. 对任意x1，x2[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4等价于f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下： 当＞1，即|b|＞2时，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾； 当－1≤－＜0，即0＜b≤2时， M＝f(1)－f＝2≤4恒成立； 当0≤－≤1，即－2≤b≤0时， M＝f(－1)－f＝2≤4恒成立． 综上可知，－2≤b≤2. 6．解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6. 所以当a不超过6(千米)时，可击中目标． 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】D 解析：法一：f＝·－ln ＝＋1＞0，f(1)＝－ln 1＝＞0，f(e)＝－ln e＝－1＜0， f·f(1)＞0，f(1)·f(e)＜0，故y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点． 法二：在同一坐标系中分别画出y＝x与y＝ln x的图象．如图所示． 由图象知零点存在于区间(1，e)内． 【变式训练1】C 解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝|x|和y＝cos x的图象，如图． 当x＞时，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1. 当x＜－时，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1，所以两函数的图象只在内有两个交点，所以|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内有两个根． 【例2】解：(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0， 即4m2－12m－16＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1. 设两零点分别为x1，x2，且x1＞－1，x2＞－1，x1≠x2. 则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4， 故只需? 故m的取值范围是{m|－5＜m＜－1}． (2)若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2|＝－a有四个根． 令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.则作出g(x)的图象， 由图象可知要使|4x－x2|＝－a有四个根， 则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点， 0＜－a＜4，即－4＜a＜0. 【变式训练2】(0,1) 解析：由函数图象知，如图所示，当0＜k＜1时直线y＝k与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根． 【例3】解：(1)设容器的容积为V， 由题意知V＝πr2l＋πr3， 又V＝，故l＝＝－r＝. 由于l≥2r，因此0＜r≤2. 所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c. 因此y＝4π(c－2)r2＋，0＜r≤2. (2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－ ＝，0＜r＜2. 由于c＞3，所以c－2＞0. 当r3－＝0时，r＝. 令＝m，得m＞0， 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． 当0＜m＜2，即c＞时， 当r＝m时，y′＝0； 当r∈(0，m)时，y′＜0； 当r∈(m,2)时，y′＞0. 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点． 当m≥2，即3＜c≤时， 当r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减． 所以r＝2是函数y的最小值点． 综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r＝2；当c＞时，建造费用最小时r＝. 【变式训练3】解：(1)设－u＝k2， 售价为10元时，年销量为28万件， －28＝k2，解得k＝2. u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18. 即y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108. (2)由(1)得y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18) ＝－6(x－2)(x－9)， 由y′＝0得x＝2(x＞6，舍去)或x＝9. 显然，当x∈(6,9)时，y′＞0；当x∈(9，＋∞)时，y′＜0. 函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是增函数， 在(9，＋∞)上是减函数． 当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135. 售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元． 创新模拟·预测演练 1．C 解析：因为f(x)＝则x＝e，x＝1是函数f(x)的零点，故选C. 2．C 解析：P，Q为友好点对，不妨设点P(x0，y0)(x0＞0)，则Q(－x0，－y0)． 所以即(1) 方程组(1)的解的个数即是“友好点对”数， 在同一坐标系作出函数图象(如图)，有两个交点，所以有2对“友好点对”． 3．B 解析：分别作出函数y＝x与y＝tan x在区间上的图象，得到0＜x0＜，且在区间(0，x0)内函数y＝x的图象位于函数y＝tan x的图象上方，即0＜x＜x0时，f(x)＞0，则f(t)＞0，故选B. 4．(5,10) 解析：依题意有即分别以a，b为横、纵坐标轴，作出可行域得点P(a，b)在以A(－2,0)，B(－1,0)，C(－3,1)为顶点的三角形(不含边界)区域内． 而a2＋(b－2)2表示点P到点Q(0,2)的距离的平方． 因为QBBC，则|PQ|2＞|QB|2＝5. 又|QC|＝＞|QA|＝，则|PQ|2＜|QC|2＝10，故a2＋(b－2)2的取值范围是(5,10)． 5．－10 解析：根据题意，可得 即解得 故a＋3b＝－10. 6． 解析：即求方程f(f(x))＝－1的所有根的集合，先解方程f(t)＝－1，即或得t＝－2，或t＝. 再解方程f(x)＝－2和f(x)＝. 即或和或 得x＝－3或x＝或x＝－或x＝. 7．2 解析：由已知可得，lg(ab)＝1，f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2×1＝2. 8．解：(1)由已知xy＝3 000,2a＋6＝y， 则y＝(6＜x≤500)， S＝(x－4)a＋(x－6)a ＝(2x－10)a ＝(2x－10)·＝(x－5)(y－6) ＝3 030－6x－(6＜x≤500)． (2)S＝3 030－ ≤3 030－2 ＝3 030－2×300＝2 430， 当且仅当6x＝，即x＝50时，等号成立． 此时x＝50，y＝60，Smax＝2 430. 即设计成x＝50，y＝60时，运动场地占地面积最大，最大值为2 430 m2.。
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课时作业(四) 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
[授课提示：对应学生用书第77页]
1．已知函数f (x )＝(m 2
－m －5)x m
是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．4
C ．3
D ．－2或3
解析：f (x )＝(m 2
－m －5)x m 是幂函数⇒m 2
－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.
答案：C 2．函数y ＝a
x ＋2
－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( )
A ．(0,0)
B ．(0，－1)
C ．(－2,0)
D ．(－2，－1)
解析：法一：因为函数y ＝a x
(a >0，a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝a
x ＋2
－1(a >0，a ≠1)的图象，所以y ＝a
x ＋2
－1(a >0，a ≠1)
的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．
法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0
－1＝0，所以y ＝a x ＋2
－1(a >0，a ≠1)的图
象恒过点(－2,0)，选项C 正确．
答案：C
3．(2017·大同二模)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为
y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )
A ．300只
B ．400只
C ．500只
D ．600只
解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．
答案：A
4．(2017·安徽省两校阶段性测试)函数y ＝x 2ln|x ||x |
的图象大致是( )
8．(2017·云南省第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：
f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.
答案：D
9．(2017·贵州省适应性考试)
某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )
解析：若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D，故选A.
答案：A
10．(2017·洛阳市第一次统一考试)已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，
设a ＝－21.2
，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A ．f(c)<f(b)<f(a)
B ．f(c)<f(a)<f(b)
C ．f(c)>f(b)>f(a)
D ．f(c)>f(a)>f(b)
解析：依题意，注意到21.2>20.8
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f(x)
在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f(21.2
)<f(20.8
)<f(2log 52)，由函数f(x)是偶函数得f(a)＝f(21.2
)，因此f(a)<f(b)<f(c)，选C .
答案：C
11．(2017·兰州市高考实战模拟)已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2
＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )
A.14
B.18 C ．－78 D ．－38
解析：∵函数y ＝f (2x 2
＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，∴方程f (2x 2
＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (2x 2
＋1)＋
f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，∴方程2x
2
－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，∴Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78
.故选C.
答案：C
12．若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点M 、N 关于原点对称，则称点对(M ，N )是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”(点对(M ，N )与(N ，M )看作同一对“和谐点对”)．已知函
数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x
，x <0，
x 2
－4x ，x >0，
则此函数的“和谐点对”有( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
解析：作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x
，x <0，x 2
－4x ，x >0
的图象如图所示，f (x )的“和谐点对”数可转化为
y ＝e x (x <0)和y ＝－x 2－4x (x <0)的图象的交点个数．
由图象知，函数f (x )有2对“和谐点对”．
实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)。