本文发表于《中学数学杂志》2003年第1期

本文发表于《中学数学杂志》2003年第1期中考几何“两解”题综述215006 苏州市第一中学 刘祖希数学教学的一个重要目的在于培养学生的思维品质，而思维品质的一个重要方面就是思维的深刻性（周密性）.几何“两解”题，在考察分类讨论思想应用的同时，锻炼了学生的思维品质，其开放性又培养了学生的创造能力，因此受到中考命题者的青睐.本文以近年中考题为例，以几何各单元知识为主线，详细总结产生两解的不同原因，帮助初三毕业班老师同学复习备考.1 叙述对象不明确当涉及到两类对象时，题目往往语言上没有具体指明哪一类，因此要分类讨论，出现两解.1．1未指明三角形中“一边”是底边还是腰、“左腰”还是“右腰”、斜边还是直角边例1（黑龙江省，2000）等腰直角三角形的一边长为2cm ，则它的周长为 .[解题要点]若腰长2cm ，则底边长（斜边）cm 22，周长为cm )224(+；若底边长cm 2，则腰长cm 2，周长为cm )222(+.例2（贵州遵义，2000）一个等腰三角形的周长为14cm ，且一边长是4cm ，则它的腰长是 .例3（湖北孝感，2000）直角三角形三边之长为5、4、m ，则此三角形斜边上的高为 .例4（湖北荆门，1998）等腰三角形底边长为8cm ，腰长5cm ，一动点P 在底边上从点B 向点C 以0.25cm/秒的速度移动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间为 秒.1．2未指明矩形的一边是长还是宽例5（沈阳市，2001）矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，则以该矩形的一边为轴旋转一周所得的圆柱表面积为 .[解题要点]若以AB 为轴、AD 为底，则圆柱体表面积为πππ20)2(23)22(2=⨯⨯+⨯⨯；若以AD 为轴、AB 为底，则圆柱体表面积为πππ30)3(22)32(2=⨯⨯+⨯⨯.例6（江西省，2000）用一张边长分别为10cm 、8cm 的矩形纸片做圆柱的侧面，所得圆柱的底面半径为 .（结果可带π）例7（哈尔滨，2002）将两边长分别为cm 4和cm 6的矩形以其一边所在直线为轴线旋转一周，所得圆柱体的表面积为 2cm .例8（黑龙江省，2002）如果矩形纸片两条相邻的边长分别为cm 18和cm 30，将其围成一个圆柱的侧面，那么这个圆柱的底面半径是 cm （结果保留π）.1．3一条直线把图形分为两部分，未指明哪一部分例9（常州市，2000）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 ，底边长为 .[解题要点]设腰长x ，底边长y ，则有,1221921⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x y x x 或,9211221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x y x x 解得⎩⎨⎧==96y x 或 ⎩⎨⎧==58y x ，即腰长6或8，底边长9或5. 例10（贵阳市，1999）等腰三角形的一个底角平分线，把周长分为63和36两部分，求它的腰长.例11（辽宁省，2002）圆内两条弦AB 和CD 相交于P 点，AB 长为7，AB 把CD 分成两部分的线段的长为2和6，那么=AP .1．4未指明相似图形的对应边、对应角例12（黄冈市，1997）在ABC ∆中，,12,9==AC ABD BC ,18=为AC 上一点，,32AC DC =在AB 上取一E ， 得到.ADE ∆若图中两个三角形相似，则DE 的长是 .[解题要点]如右图，若,18124,DE CB DE AC AD ==则,6=DE 若,1894,DE BC DE AB AD ==则8=DE . 例13（云南玉溪，2000）要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，欲使这两个三角形相似，三角形框架的另两条边长可以是 . 例14（桂林市，2002）如图，正方形ABCD 的边长为2，EB AE =，1=MN ．线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当 时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似.1．5圆的一条弦对应两个圆周角（两角互补）、两条弧（一条优弧、一条劣弧）、两个弦切角（两角互补）、两个弓形例15（黄冈市，2001）已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，BC OD ⊥于D ，且042=∠BOD ，则=∠BAC.[解题要点]由042=∠BOD 知，则圆心角084=∠BOC ，若ABC 为劣弧，则04221=∠=∠BOC BAC ； 若ABC 为优弧，则00013842180=-=∠BAC .例16（北京宣武区，2001）一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数是 . 例17（南京市，1999）在⊙1O 中，圆心角AOB ∠的度数1000，则弦AB 所对的圆周角的度数是 . 例18（辽宁省，2000）PA 、PC 分别切⊙O 于A 、C 两点，B 为⊙O 上与A 、C 不重合的点，若050=∠P ，则=∠ABC .例19（厦门市，2000）⊙1O 和⊙2O 相交于点B 和C ，A 是⊙1O 上另一点，AT 是⊙1O 的切线，直线AB 与AC 分别交⊙2O 于点D 和E .设点M 是切线AT 上的一点，且与A 不重合.若070=∠ADE ，则=∠M AD 度.例20（云南省，1996）一弓形弦长为,64cm 弓形所在圆的半径为7cm ，那么弓形的高为 cm .[解题要点] 如右图， ),(5)62(722cm OD =-=弓形的高为)(257cm OD OC DC =-=-=或)(1275cm OE OD DE =+=+=.例21（辽宁省，2002）ABC ∆是半径为cm 2的圆内接三角形，若cm BC 32=，则A ∠的度数为 . 2 几何图形的相对位置不确定当要画的图形与已知的图形位置关系不确定时，往往会出现两解．2．1形内、形外一条垂线与三角形一边的交点可能在其上也可能在其延长线上，一点可能在圆内也可能在圆外例22（黄冈市，1999）在ABC ∆中，AC AB =，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为500，则底角B ∠的大小为 .[解题要点]如右图，若交点E 在线段AC 上（ABC ∆为锐角三角形）时,70240180,405090000000=-=∠=-=∠B BAC 若交点E 在线段AC 的延长线上（ABC ∆为钝角三角形）时,1405090000=+=∠BAC 00020*******=-=∠B .例23（武汉市，1999）已知⊙O 和不在⊙O 上的一点P ，过P 的直线半径长交⊙O 于A 、B 两点，若,5,24==⋅OP PB PA 则⊙O 的为 . [解题要点]如右图，若点P 在⊙O 外，则半径12452222=-=⋅-=-=PB PA PO PT PO OT ，若点P 在⊙O 内，则,))((,PB PA OP r OP r PB PA PD PC ⋅=+-⋅=⋅7,24)5)(5(==+-r r r 半径.例24（河南省，2002）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为030，腰长为a ，则其底边上的高为 .2．2同侧、异侧未指明两点分布在一条直线的同侧还是异侧，未指明两圆在切线的同侧还是异侧（内切或外切），未指明两圆心在相交弦的同侧还是异侧，未指明两平行弦位于圆心的同侧还是异侧.例25（黑龙江，1997）平面上A 、B 两点到直线l 的距离分别为35+与35-，则线段AB 的中点C 到到直线l 的距离为 .[解题要点]如右图，若A 、B 两点在直线l 的异侧，则32=-=BE AD CF ； 若A 、B 两点在直线l 的同侧，则52=+=BE AD CF .和8，则线段AB例26（荆门市，2001）若线段AB 两端点到直线l 的距离分别为4的中点C 到直线l 的距离为 .例27（安徽省，2000）以O 为圆心的两个同心圆的半径分别是9cm 和5cm ，⊙O ’与这两个圆都相切，则⊙O ’的半径是 . [解题要点] 由题意知,⊙O ’的半径,91<R 有两种可能性，如右图，若⊙O ’与小圆外切，则),(2',59'2cm R R =-=若⊙O ’与小圆外切，则,59'2+=R )(7'cm R =，所以⊙O ’的半径是cm cm 72或.例28（贵阳市，1999）已知⊙O 1的半径为8cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若两圆相切，则圆心距为 cm . 例29（山西省，2000）若半径为5和4的两圆相交，且公共弦长为6，则它们的圆心距d 等于 .[解题要点]如图，若两圆心在直线AB 的两侧，则:,743435222221+=-+-=+=D O D O d若两圆心在直线AB 的同侧，则:743435222221-=---=-=D O D O d .例30（武汉市，2001）⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O 1经过点O 2，若0190=∠B AO ，那么B AO 2∠的度数是 .例31（石家庄，1999）在半径为5cm 的⊙O 内，AB 、CD 是两条平行弦，且 ,6,8cm CD cm AB ==求AC 之长.3 几何中的代数两解问题当绝对值方程在几何中的出现时，往往导致两解问题产生．例32（云南曲靖，2001）相切两圆的半径分别为8cm 和x cm ，圆心距为3cm ，则x 的值是 .[解题要点]由题意，两圆必内切，圆心距等于半径之差，115,38或=∴=-x x .例33（北京海淀，2001）已知两圆内切，圆心距为2cm ，其中一个圆的半径为3cm ，那么另一个圆的半径为 cm .例34（连云港，2001）两圆半径分别是R 和),(r R r >圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有相等的两实数根，则两圆的位置关系是（ ）.A ，一定内切B ，一定外切C ，相交D ，内切或外切例35（济南市，2001）已知等腰三角形ABC 底边BC=8cm ，且∣AC-BC ∣=2cm ，则腰AC的长为 .4 几何图形的对称性满足条件的几何图形往往对称地存在两个．例36（长沙市，1997）已知A B C ∆中，,20,15==AC AB 高AE AD ,12=为中线，求AE之长.[解题要点]如右图，AC 边存在两条，关于高AD 对称.,91215,161220'2222=-==-==BD DC DC若构成锐角三角形ABC ∆，则：,27291622=-=-=-+=-=BD DC BD DC BD BD BE DE ,225)27(1222=+=AE 若构成钝角三角形'ABC ∆，则：21201)225(12',22529162'2'''22=+==+=+=+-=+=AE BD DC BD BD DC BD BE DE . 例37（杭州市，2000）在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC 与BD 相交于O ，,10,7,1200===∠BD AD BOC 则四边形ABCD 的面积为 .例38（甘肃省，2001）等边三角形ABC 的边长是4，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C 的坐标为 .5 开放型问题几何开放型问题，就是探究、设计符合要求的几何图形，在这个过程中充分考察学生的空间观念和思维创造能力.例39（武汉市，2000）若正方形四个顶点分别在直角三角形三条边上，直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为 cm .[解题要点]这是一道几何开放题.正方形的四个顶点究竟怎样分布在直角三角形的三条边上，有待我们探索. 探索发现只有两种可能性： 如右图，计算得：712,433==-x x x ， 或3760,53443==++y y y y ，即此正方形的边长为cm 712或cm 3760. 例40（安徽省，1997）在边长为a 的正方形内有四个等圆，每相邻两个互相外切，它们中的每一个至少与正方形的一边相切，那么此等圆的半径长是 .例41（陕西省，2001改编）如图，在直角坐标系中，点A （0,32-），点B （2,0）.在x 轴上是否存在点P ，使P A B ∆为等腰三角形？若存在请写出点P 的坐标.以上我们可以看到，“两解”题几乎贯穿了整个初中几何内容，说明它是几何学习的一个重点.我们借它可以深刻地理解几何知识，锻炼思维的深刻性品质，防止由几何直观局限性、思维定势负迁移等不良学习因素造成的解题错误.解答几何“两解”题，在题目没有给图的情况下，既要全面分析各种可能情况，又要善于将其概括为几类，这正是数学思维深刻性的两层含义.文中41道例题，部分给出了解答要点，其余的请读者自行完成，参考答案附录于后.参考文献：[1]刘汉文主编.中考数学热门题.湖北教育出版社，2001年12月第1版[2]郑君文、张恩华著.学学习论.广西教育出版社，1996年12月第1版[3]2001年全国中考试题荟萃（数学）.天津人民出版社，2001年8月1版[4]2002年全国中考试题精选（数学）.辽宁师范大学出版社，2002年8月1版。