大学物理2012.6

则
A
b
a
b F dr ( F1 F2 Fn ) dr
a

b
a
b b F1 dr F2 dr Fn dr
a a
A1 A2 An
结论：合力的功等于各个分力功的代数和。 功的单位：焦尔（J）
2
1 mgL sin 2
1 ω A = J 2
2
mg
0
ω =
3 g sinθ
L
1 解法2 M mgL cos 2
d dd d dt ddt d
1 mgL cos M 3g cos 2 1 J 2L mL2 3
1 2 J mL 3
1J 1N m
注意：
（1）功是标量（可正、可负、可为零）； （2）功是过程量,是力在空间上的积累； （3）功的单位为焦耳（J），与能量单位相同。 例4-1 质量为m的物体放在水平桌面上，物体和桌面的摩擦 系数为μk。物体在外力作用下沿半径为R的圆由a到b移动了 半个圆，求在这一过程摩擦力的功。 解： 设物体位于θ处， 根据功的定义 dA f k dl f k dl mg k dl 物体由a到b的过程中摩擦力的功为
1.重力的功等于重力势能增量的负值。
以xoy面为零势面，重力势能为：
2.弹性力的功等于弹性势能增量的负值。 以弹簧原长为零势能点,则弹性势能为：
3.万有引力的功等于引力势能增量的负值。
Mm 以无穷远为零势能点,则引力势能为：E P G0 r
小结：
1、只要有保守力，就可引入相应的势能。
2、计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一点
总功约为
i
元功
b
ri
A b Ai Fi ri dA F dr
i
Fi
0
a
当Δr→0 时， A

b
பைடு நூலகம்
a
F dr
记
a
在直角坐标系内:
dA F dr Fx dx Fy dy Fz dz
b
A (Fx dx Fy dy Fz dz) a 合力的功： 设： F F F F 1 2 n
二.几种保守力和相应的势能 1.重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
y
dr
可见，重力是保守力。


b
x
a
O
z
mg
2.弹力的功

可见，弹性力是保守力。
3.引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以 M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。 m受的引力方向与矢径方向相反。 b rb Mm r dl r dl cos rdr A f dl G0 3 r dl a ra r
x dx
x
积分
2 0
36 ( J )
二、机械能 1、动能：物体由于运动而 具有的能量。 1 2 （1）、质点动能 Ek mv
状态 量
过程量
能量: 物体作功的本领。
功是能量变化的量度
2
设质点在力F的作用下由a到b，质点的速度由v1 变为 v2 ，力 b 对物体所作的功为。
A
b
a
b b F dr F cosdr F dr
l-a
解：(1) 建坐标系如图
设 时刻竖直方向链条的长度为
a
O
则摩擦力 链条刚离开桌面时摩擦力的功为：
x
链条刚离开桌面时重力所做的功为：
(2)对链条应用动能定理：
4.2.2 刚体的动能及动能定理
1.力矩的功

dA F dr F cos dr
d d r P
O
F
1、恒力的功（常力，物体作直线运动）
A F cos S F S
功等于质点受的力和它的位移的点积，是标量。
单位：焦耳（J ） 量纲：ML2T－2
2、变力的功（变力，物体作一般曲线运动）
元功：dA
元位移： r d dr
a
b

F
*解析式：
3、合力的功
物体同时受
B
r
x
dr rd dA F cos rd
F cos F F cos r M
dA Md
A Md
力矩作功是力作功的角量表达式
2.转动动能 刚体上所有质元的动能之和即为刚体的动 能： 1 2
EK
m v 2
i i
i
z
1 mi ( ri ) 2 2 i
例2.一质量为m的质点，在xoy平面上运动。 其位置矢量为： 其中a,b,为正值常数，a > b。 (1)求质点在A (a,0)点和B(0,b)点时的动能。
(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的
过程中力所做的功。 解：
当质点在A(a,0)点时，由
得： cos t=1
sin t=0
时， Y
O
X
结果比较后可得出结论，功与物体的运动路径有关。
4.1.2 功率
功率是描述力对物体做功快慢的物理量。
功率定义：力在单位时间内所作的功
A 平均功率： P t A dA 瞬时功率： P lin t 0 t dt dA F dr dr P F F v dt
的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在
点移动到零势能点时保守力所做的功。
3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考点。
两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位
置的单值函数。 4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。
4.4 能量守恒定律
1.质点系的功能原理
对系统内的任一质点，由动能定理得：
dr
a
v

b
F
单位：瓦特（W或Js-1 ）， 是标量，量纲：ML2T－3
4.2 动能定理
4.2.1 质点动能及的动能定理

定义 则
为质点动能 质点动能定理
合力对质点所做的功等于质点动能的增量。
说明： 1、动能是状态量，任一运动状态都对应一定
的动能。
2、EK为动能的增量，是物体末状态的动能减 初状态的动能，可正可负，视功的正负而定。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
结论：合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。 注意：1、功是过程量，与路径有关。
2、功是标量，但有正负。
例1. 作用在质点上的力为 在下列情况下求质点从 处运动到
处该力作的功：
1. 质点的运动轨道为抛物线
2. 质点的运动轨道为直线
Y
O
X
解：由
知，
1.当
时， Y
O
X
2.当
第四章 能量守恒定律
本章学习机械运动中的功与能量及其关系
時間是人生真正的資產 學問是人生真正的財富 智慧是人生真正的力量 健康是人生真正的快樂 自由是人生真正的幸福 慈悲是人生真正的寶藏
4.1 功、动能、动能定理
4.1.1功的定义
作用在物体（质点）上的力，
F
M
F
M
当物体发生一段位移后，力会对物体做功。 S 功是改变物体能量的一种重要手段。
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做 的功等于刚体的转动动能的增量。 定轴转动的动能定理
例4、一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始 时处于水平位置，然后让它自由下落。求：
θ ω = ω（ ）
1 解一：M mgL cos 2
L
A

0
1 Md mgL cos d 2 0
θ
2 L
Mm G0 3 rdr r
r rab
b
rb
r
F
dr
Mm Mm ( G0 ) ( G0 ) ra rb
r
dl
可见，万有引力是保守力。
M ra
m
a
三.势能与零势能点（面）选择
Mm Mm A (G0 ) (G0 ) ra rb
保守力做功等于物 体势能增量的负值。
例5.质量 M 的沙箱，悬挂在线的下端，质量 m，速 率 0 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆 至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出子弹的
速率 0 ，并说明在此过程中机械能损失。
m
0
M
h
解：从子弹以初速击中沙箱到获得共同速度可看作
在平衡位置完成的完全非弹性碰撞。水平方向
受外力为0，由动量守恒有

vi mi
1 ( mi ri 2 ) 2 2 i 1 J 2 2
O ri
3.刚体定轴转动的动能定理

2
1
Md


2
1
d J d dt
1 1 2 2 Jd J 2 J1 2 2
2
1
即：
2
1
1 1 2 2 Md J 2 J1 2 2
质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保 守力的功的总和等于其机械能的增量。称为质点系的 功能原理。
2、机械能守恒定律 如果 A外＝0
A内非＝0
A外 A内非 0
则EB ＝ EA＝常量
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。
3、能量守恒定律
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的 所有能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒 定律。 封闭系统：不受外界作用的系统。 封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒， 能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。