高中数学人教a版选修1-2第三章章末复习【练习】().docx
人教A版2019年高中数学选修1-2教学案：第三章 章末小结与测评_含答案
复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位i ，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解．[典例1] (1)复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15i D ．－15(2)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1 解析：(1)选B 1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i (1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ，故虚部为15. (2)选B 由纯虚数的定义，可得{ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2.[对点训练]1．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以所以a ＝83.答案：832．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．解：(1)由{ lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得m ＝3.∴当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由{ m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2.∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由{ lg (m 2－2m －2)<0，m 2＋3m ＋2>0，得－1<m <1－3或1＋3<m <3.∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意i 2＝－1.2．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i 幂的周期性变化，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查．另外计算要注意下面结论的应用： (1)(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2， (2)(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2， (3)(1±i)2＝±2i ， (4)1i＝－i ， (5)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ， (6)a ＋b i ＝i(b －a i)．[典例2] 复数i 2＋i 3＋i 41＋i等于( )A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i解析：选D i 2＋i 3＋i 41＋i ＝－i 1＋i ＝－i (1－i )2＝－12－12i.[典例3] 已知复数z 1＝15－5i(2＋i )2，z 2＝a －3i(a ∈R)．(1)若a ＝2，求z 1·z 2；(2)若z ＝z 1z 2是纯虚数，求a 的值．解：由于z 1＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i25＝1－3i.(1)当a ＝2时，z 2＝2－3i ，∴z 1·z 2＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i －6i ＋9＝11－3i. (2)若z ＝z 1z 2＝1－3i a －3i ＝(1－3i )(a ＋3i )(a －3i )(a ＋3i )＝(a ＋9)＋(3－3a )i a 2＋9为纯虚数，则应满足⎩⎨⎧a ＋9a 2＋9＝0，3－3aa 2＋9≠0， 解得a ＝－9.即a 的值为－9. [对点训练]3．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i解析：选A z ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，故选A.4．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：∵a ＋b i ＝11－7i 1－2i ，∴a ＋b i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8. 答案：8 5．计算：(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)；(2)2＋3i3－2i；(3)(2－i)2.解：(1)法一：(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)2＋3i 3－2i ＝(2＋3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝6＋2i ＋3i －65 ＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)和复平面上的点Z (a ，b )一一对应，和向量OZ ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．[典例4] 若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i 的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．[典例5] 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋15(2y ＋x )i. 由题意知⎩⎨⎧y ＋2＝0，15(2y ＋x )＝0，∴{ x ＝4，y ＝－2，∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2 ＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由已知得{ 12＋4a －a 2>0，(a －2)>0，∴2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)． [对点训练]6．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2)解析：选C 由i z ＝2＋4i ，可得z ＝2＋4i i ＝(2＋4i )·(－i )i·(－i )＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．7．已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，A (1，2)，B (－2,6)，C (x ，y )． ∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝(－3)2＋42.解得{x＝－5，y＝0或{x＝－3，y＝4.∵|OA|≠|BC|，∴x＝－3，y＝4(舍去)，故z＝－5.复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应复平面上的点Z，则复数的模|z|＝|OZ―→|＝a2＋b2，即Z(a，b)到原点的距离．[典例6]已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值．解：法一：设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|x＋y i＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1.∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1.∴|z－3－2i|＝(x－3)2＋(y－2)2＝(x－3)2＋1－(x＋2)2＝－10x＋6，由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0，得x2＋4x＋3≤0.∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36.∴4≤－10x＋6≤6.∴当x＝－1时，|z－3－2i|取最小值4.法二：由复数及其模的几何意义知：满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1的复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，半径r＝1的圆，而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r.又|AC|＝(3＋2)2＋(2－2)2＝5，所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4.[对点训练]8．在复平面内，点P，Q分别对应复数z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，则点Q的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选B∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．9．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.解：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， ∵|z |＝2，∴x 2＋y 2＝4，|z －i|＝|x ＋y i －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋(y －1)2 ＝(4－y 2)＋(y －1)2＝5－2y . ∵y 2＝4－x 2≤4，∴－2≤y ≤2. 故当y ＝－2时，5－2y 取最大值9， 从而5－2y 取最大值3，此时x ＝0， 即|z －i|取最大值3时，z ＝－2i.法二：方程|z |＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z －i|表示圆上的点到点A (0,1)的距离．如图，连接AO 并延长与圆交于点B (0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B 到点A 的距离最大，最大值为3，即当z ＝－2i 时，|z －i|取最大值3.(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i解析：选A ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.3．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)．4．设a 是实数，且a1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 解析：选Ba1＋i＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i ，由题意可知1－a2＝0，即a ＝1.5．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 解析：选B 由已知⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2得⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以 1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.6．复数⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.7．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N)，集合{f (n )|n ∈N}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个解析：选B f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i ＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ，由i n 的周期性知{f (n )|n ∈N}＝{0，－2i,2i}．8．复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量对应的复数是( )A.10 B ．－3－i C ．1＋i D ．3＋i解析：选D ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ， ∴对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件． 由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1”不是“z 1＝z 2”的必要条件．10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R)有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2i D ．－2－2i解析：选A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， ∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，∴z ＝2－2i.11．定义运算＝ad －bc ，则符合条件＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i＝3－i.12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－1解析：选B 由题意可得(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得{ a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________．解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45.答案：4515．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________.解析：设m ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，方程的实根为x 0，则x 20＋(2－i)x 0＋(2b i －4)i ＝0， 即(x 20＋2x 0－2b )－(x 0＋4)i ＝0，解得x 0＝－4，b ＝4.故m ＝4i. 答案：4i16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限． 答案：四三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．18．(本小题12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i＝3＋4i. 19．(本小题12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求： (1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 20．(本小题12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值． 解：(1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝(－1)2＋(－1)2＝2.(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，即(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝1－i.所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以{ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得{ a ＝－1，b ＝2.21．(本小题12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解：∵z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， ∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴(4－a )2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.∴a 的取值范围是(1,7)．22．(本小题12分)已知z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3m －3为纯虚数． (1)求m 对应的点的轨迹；(2)求|z |的最大值、最小值．解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则m ＋3m －3＝(x ＋3)＋y i (x －3)＋y i ＝(x 2＋y 2－9)－6y i (x －3)2＋y 2， ∵m ＋3m －3为纯虚数，∴{ x 2＋y 2－9＝0，y ≠0，即{ x 2＋y 2＝32，y ≠0.∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．(2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)，∴|z －(3＋33i)|＝3.∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9；最小值为|3＋33i|－3＝3.。
2020届高中数学分册同步讲义(选修1-2) 第3章 章末复习
章末复习一、复数的有关概念例1 当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i ：(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0上． 解 (1)由z ∈R ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1，且a ≠2.故a ＝0. (3)若z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a >0，a 2－3a ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a >2，a <1或a >2，∴a <0或a >2. ∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题得(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a ＝2.反思感悟 (1)复数的概念主要包括复数的代数形式、复数的分类、复数相等、共轭复数及复数的模等知识点，其中，复数的分类及复数的相等是热点，复数分类中“纯虚数”的条件是难点和易错点．(2)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)即可．跟踪训练1 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时：(1)z ∈R ；(2)z 为虚数． 解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)＝0，x －3>0，解得x ＝4，所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0，解得x >3＋212且x ≠4.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．二、复数及复数加减法的几何意义例2 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数，∴x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．反思感悟 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )同复平面上的点Z (a ，b )是一一对应的，同向量OZ →是一一对应的．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2表示点Z (a ，b )到原点的距离，亦即向量OZ →的模|OZ →|.由此可知|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．(3)复数加减法的几何意义实质上是向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，由减法的几何意义可知|z 1－z 2|表示复平面上两点Z 1，Z 2之间的距离．跟踪训练2 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i. (1)求点C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD 的面积．解 (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，AC →＝BC →－BA →， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ， 即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.∴sin B ＝7210.∵S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，故平行四边形ABCD 的面积为7. 三、复数的四则运算例3 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 009＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i ＝i ＋(－i)1 009＋0＝0. (2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i2＋i ＝1－i ，∵|1－i|＝2，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． (2)虚数单位i 的周期性①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)； ②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． 跟踪训练3 (1)已知z1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i 答案 B解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.(2)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i 则z 2等于( ) A ．－2i B ．2i C ．－2 D. 2 答案 A解析 ∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝(1＋i )i i 2＝i －1－1＝1－i ，∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i.1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由已知得x ＋x i ＝1＋y i ，根据两复数相等的条件可得x ＝y ＝1， 所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.2．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C 解析4iz z －1＝4i12＋22－1＝i.3．复数z ＝2＋a i1＋i (a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i2在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫2＋a 2，a －22且在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2.4．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i ，则z ＝________.答案 3＋4i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵|z |－z ＝101－2i ，∴|z |－z ＝2＋4i ，则a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i ，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，∴z ＝3＋4i.5．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则在复平面内z 2＋2z 对应的点位于第________象限．答案 四解析 由z ＝1－i 得，z 2＋2z ＝(1－i)2＋21－i ＝－2i ＋2(1＋i )2＝－2i ＋1＋i ＝1－i ，对应的点位于第四象限．。
高中数学人教a版选修1-2第三章章末复习【练习】().docx
第三章 复习课1．复数z ＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2答案B [|z |＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α ＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－2cos α2.]2．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的 值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4答案C [由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1.]3．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B [cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π，所以θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，θ－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因此，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．]4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在答案D [由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－5x 0＋4＝0－x 0－1＝0，该方程组无解．]5．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于( ) A. 2 B ．2 C.10 D ．4答案B [由题意AB →＝OB →－OA →，∴AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2.]6．已知复数z ＝3＋i1－3i 2 ，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )A.14B.12C ．1D ．2 答案A [∵z ＝3＋i1－3i 2＝3＋i －2－23i， ∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14.] 7．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5 B.13 C.15 D.17答案．B [BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD 的长为13.]8．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC.5＋2iD.5－2i答案A [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则x ＝－5，由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4，∴y ＝±2，∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i.]9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )A ．－1 000－1 000iB ．－1 002－1 002iC ．1 003－1 002iD ．1 005－1 000i 答案C [1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i.周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004 ＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.]10．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |等于()A ．0B ．1 C. 2 D ．2答案C [由1－z 1＋z ＝i ，得z ＝1－i1＋i ＝－i ，∴|1＋z |＝|1－i|＝ 2.]。
高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)
祈福教育 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ） A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是 （ ）A. ⋅B. ⋅C.⋅D.⋅4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形 为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在 唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →， 则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是 AB 、AD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a＋b与k a－2b互相垂直，求k的值．22.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝22，BF＝ 2.(1)求证：CF⊥C1E；(2)求二面角E-CF-C1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，32)，E(0，0，22)，F(3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)， C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， 所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)．设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)， 可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得 cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°，即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4＋2＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12.4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面． 5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209.8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9. 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形． 10. 解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)，∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11\ A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c .12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共 面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC →共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面．14.433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0， 所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满 足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14.18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225.19. 解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1， ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21. 解析 ∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →， ∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0， 则k ＝－52或k ＝2.。
(人教A版)高中数学选修1-2(全册)课时同步练习汇总
（人教A版）高中数学选修1-2（全册）课时同步练习汇总[课时作业][A组基础巩固]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72 015的末两位数字为()A．01B．43C．07 D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 015＝4×503＋3，所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.答案：B2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．答案：C3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29 B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29 C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：等比数列中积――→类比等差数列中的和 ∴a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 答案：D4．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应4个图形：那么4个图表中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2)B ．(1)，(3)C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)． 答案：C5．n 个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 015到2 017箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→D ．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2015到2 017为→↓，故应选D. 答案：D6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．解析：观察知第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴第7个三角形数为7×(7＋1)2＝28.答案：287．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 解析：根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n .答案：x(2n －1)x ＋2n9．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系， 给出正确结论．解析：由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直――→类比侧面垂直．直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”，因此类比的结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两相互垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD ”．10．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解析：当n ＝1时，a 1＝1 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：a n ＝1n(n ＝1,2，…)． [B 组 能力提升]1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－a ，S 100＝2b －a B ．a 100＝－b ，S 100＝2b －a C ． a 100＝－b ，S 100＝b －a D ．a 100＝－a ，S 100＝b －a解析：∵a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b . 且a 7＝a 6－a 5＝a ，a 8＝b ，…，∴数列{a n }具有周期性，周期为6，且S 6＝0 则a 100＝a 4＝－a ，S 100＝S 4＝2b －a . 答案：A2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等； ③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等． A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析：类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合． 答案：B3．已知x >0，由不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…我们可以得出推广结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.解析：由观察可得：x ＋a x n ＝n x xx n n n ++个式子＋axn ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1a n n ＝n ＋1，则a ＝n n . 答案：n n4．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17<210，7.5＋12.5<210，8＋2＋12－2<210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210.答案：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210 5．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？ 并证明你的猜想．解析：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos (2α＋60°)2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α⎝⎛⎭⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.6．已知椭圆具有以下性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，则 N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).[课时作业] [A 组 基础巩固]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确． 答案：C2．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B ，∴a <b ，画线部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提． 答案：B3．“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案：B4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式 解析：B 、C 、D 是合情推理，A 为演绎推理． 答案：A5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( ) A ．类比推理 B ．归纳推理 C ．演绎推理D ．一次三段论解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式． 答案：C6．下面几种推理：①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°；②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人； ③由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式其中是演绎推理的是________．解析：①是三段论，②④是归纳推理，③是类比推理． 答案：①7．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：①a ＝0时，有2<0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2，所以0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2]． 答案：[0,2]8．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.答案：log2x－2≥09．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥F A，求证：ED ＝AF.证明：同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥F A，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以ED＝AF.结论10．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)<0.对任意正数a，b，若a<b，求证：af(b)<bf(a)．证明：构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．由题设条件知F (x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．若0<a<b，则F(a)>F(b)，即af(a)>bf(b)．又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，∴af(a)<bf(a)，且bf(b)>af(b)．所以bf(a)>af(b)．[B组能力提升]1．设a >0，b >0，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提 所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．无错误解析：小前提中“x >0”条件不一定成立，不满足利用基本不等式的条件． 答案：B2．已知函数f (x )＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A ＝12sin2α，B ＝1＋α24α，则( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A 与B 的大小不确定解析：作y ＝kx 及f (x )＝|sin x |的图象依题意，设y ＝kx 与y ＝f (x )相切于点M 设M (α，|sin α|)，α∈(π，32π)．由导数的几何意义，f ′(α)＝|sin α|α，则－cos α＝－sin αα,∴α＝tan α. 由A ＝12sin 2α＝sin 2α＋cos 2α4sin αcos α＝tan 2α＋14tan α∴A ＝1＋α24α＝B .答案：C3．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是________．解析：写成三段论的形式：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变大前提 (a 2＋a ＋1)x >3，a 2＋a ＋1>0小前提 x >3a 2＋a ＋1结论 答案：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．4．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 016)＝________.解析：令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)① 令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2) ∴f (x )＝－f (x ＋3)， ∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)，∴f (x )＝f (x ＋6)，即f (x )周期为6， ∴f (2 016)＝f (6×336＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12,即f (2 016)＝12.答案：125．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义，单调递增，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )， (1)求证：f (x 2)＝2f (x )． (2)求f (1)的值．(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围． 证明：(1)∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，x 、y ∈(0，＋∞)． ∴f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )． (2)令x ＝1，则f (1)＝2f (1)∴f (1)＝0. (3)∵f (x )＋f (x ＋3)＝f [x (x ＋3)]，且f (4)＝2. 又f (x )在(0，＋∞)上单调递增．所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋3>0，x (x ＋3)≤4，解得0<x ≤1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n }是等比数列．(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立． 证明：(1)∵a n ＋1＝4a n －3n ＋1 ∴a n ＋1－(n ＋1)＝4a n －4n ，n ∈N *. 又a 1－1＝1所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)可知，a n －n ＝4n －1，于是a n ＝4n －1＋n 故S n ＝4n －13＋n (n ＋1)2.(3)S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋(n ＋1)(n ＋2)2－4⎣⎡⎦⎤4n －13＋n (n ＋1)2. ＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0，故S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *恒成立.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 答案：B2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1bD ．－1b解析：f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ，则证明的依据应是( ) A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔(a －c )·(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. 答案：C4．在不等边△ABC 中，a 为最大边，要想得到 A 为钝角的结论，对三边a ，b ，c 应满足的条件，判断正确的是( ) A ．a 2<b 2＋c 2 B ．a 2＝b 2＋c 2 C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：要想得到A 为钝角，只需cos A <0，因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以只需b 2＋c 2－a 2<0，即b 2＋c 2<a 2. 答案：C5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a ≤b解析：a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x <0时，0<b <1. ∴a >b . 答案：A 6．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 解析：∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－ 45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.答案：－37．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b8．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤9．设a ，b 大于0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 故原不等式a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f (x ＋12)为偶函数．证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称． ∴f (x ＋1)＝f (－x ) ，则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称，∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b .则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a (x －12)2＋c －a4，∴f (x ＋12)＝ax 2＋c －a4为偶函数．[B 组 能力提升]1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.答案：B2．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B3．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD (侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1， 只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C ， 因为CC 1⊥B 1D 1，只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1， 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)4．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －a |<1⇔a －1<x <a ＋1，由题意知(12，32)⊆(a －1，a ＋1)，则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32(且等号不同时成立)，解得12≤a ≤32.答案：12≤a ≤325．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3. ③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac . ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C . ⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解析：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.(3)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．用反证法证明：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．” 答案：D2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾∴a ，b ，c 中至少有一个不小于12.答案：D3．(1)已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，(2)已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1，以下结论正确的是( ) A ．(1)与(2)的假设都错误 B ．(1)与(2)的假设都正确 C ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D ．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p ＋q >2；(2)的假设正确． 答案：D4．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a都小于2则a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，①又a ，b ，c 大于0所以a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c ≥2.∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 至少有一个不小于2.答案：D5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至少有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°. 答案：B6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”． 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：显然①、②不能推出，③中a ＋b >2能推出“a ，b 中至少有一个大于1”否则a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．④中取a ＝－2，b ＝0，推不出． 答案：③8．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设________．设全体质数为p 1，p 2，…，p n ，令p ＝p 1p 2…p n ＋1.显然，p 不含因数p 1，p 2，…，p n .故p 要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p 1，p 2，…，p n 之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个． 解析：由反证法的步骤可得．答案：质数只有有限多个 除p 1，p 2，…，p n 之外9．用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行． 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立． 10．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解之得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立．故方程f (x )＝0没有负实根．[B 组 能力提升]1．已知直线a ，b 为异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线． 答案：C2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 解析：“a 、b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为03．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n . 答案：04．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14，证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1，所以1－a >0.由基本不等式(1－a )＋b 2≥(1－a )b >12同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12以上三个不等式相加(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32. 这是不可能的．故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.5．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .证明数列{c n }不是等比数列． 证明：假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得 2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝⎛⎭⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p.②当p ，q 异号时，p q ＋qp <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ， 所以p q ＋qp >2，与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数． A ．①②③B ．③②①C．②③①D．②①③解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．答案：D2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．答案：D3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．答案：D4．求证：3＋7<2 5.证明：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7<25，只需证明(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，即21<5，只需证明21<25.因为21<25成立，所以不等式3＋7<25成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．答案：B5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是()开始第1次第2次第3次A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．答案：C6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为()A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.答案：A7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是() A．a，b至少有一个不为0B ．a ，b 至少有一个为0C ．a ，b 全不为0D ．a ，b 中只有一个为0解析：“a ，b 全为0”的反设应为“a ，b 不全为0”，即“a ，b 至少有一个不为0”． 答案：A8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2. 答案：C9．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：在等比数列{a n }中，q ＝2≠1， 设首项为a 1≠0，则S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15a 1，又a 2＝a 1q ＝2a 1， 故S 4a 2＝15a 12a 1＝152. 答案：C10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； B 项中sin x ＋1sin x≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)11．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP ，用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP 12.2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415……若 6＋a b＝6 a b(a ，b 均为实数)，猜想，a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35. 答案：6 35 13．观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为____________．解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n (n ＋1)2，所以第n 个式子可为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)214. 已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．若定义在区间D 上的函数f (x )对于 D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：332三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解：由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.17．(12分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式． 解析：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x (23－1)x ＋23，…，由此归纳可得f n(x )＝x(2n －1)x ＋2n(x ＞0)． 18．(12分)设函数f (x )＝lg |x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＞f (b )． 证明：0＜ab ＜1. 证明：f (x )＝lg |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，(x ≥1)，－lg x ，(0＜x ＜1). ∵0＜a ＜b ，f (a )＞f (b )．∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上， 又由于0＜a ＜b ，故必有a ∈(0,1)． 若b ∈(0,1)，显然有0＜ab ＜1； 若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )＞0， 有－lg a －lg b ＞0， ∴lg(ab )＜0，∴0＜ab ＜1.19．(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角． 解析：(1) b a< cb.证明如下： 要证b a< c b ，只需证b a <c b. ∵a ，b ，c >0，∴只需证b 2<ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2<ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：解法一：假设角B 是钝角，则cos B <0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0，这与cos B <0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．解法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b >a ，b >c ，所以1a >1b >0，1c >1b >0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．20．(13分)(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明|f ′(x )|≤2A .解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)解：当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)．故A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1. 令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1， 则A 是|g (t )|在[－1,1]上的最大值， g (－1)＝α，g (1)＝3α－2， 且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g ⎝⎛⎭⎫1－α4a ＝－(α－1)28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1,1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|， 所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)>g ⎝⎛⎭⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α－|g (－1)|＝(1－α)(1＋7α)8α>0.所以A ＝⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1， 所以|f ′(x )|≤1＋α<2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .21．(14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.解析：(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 22＝4a 1＋5，又a n >0，∴a 2＝4a 1＋5.(2)当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14成等比数列．∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)知a 1＝1.又a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.(3)证明：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 答案：D2．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：直接法．∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0， b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B3．已知复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )A ．1或－1B ．1C ．－1D ．0或－1解析：因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.答案：C4．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.答案：A5．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的为( ) A ．4 B ．－1 C ．4或－1D ．1或6解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 答案：B6．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3) i(x ∈R)，则x ＝________.解析：∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，。
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第三章 阶段复习课 (共81张PPT)
时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命 才真正开始。
高中数学人教A版选修1-2 第3章综合检测2 Word版含解析
第三章单元综合检测（二）(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．复数是实数的充分而不必要条件是( )．＝．＝．＋是实数．是实数解析：注意题目是求充分不必要条件而不是充要条件，即当满足条件时为实数，但复数为实数时，条件不一定成立．当＝时，＝－，故不成立．当为虚数且非纯虚数时，＋是实数，故不成立．若＝，设＝＋，则＝－，由复数相等，得＝，∴复数为实数；反之，若复数为实数，则必有＝，故是充要条件．当＝，设＝＋，由复数相等，得＝，∴复数为实数；反之，若复数为实数且<时得不出＝.答案：．[·北京高考]在复平面内，复数(－)对应的点位于( ). 第二象限. 第一象限. 第四象限. 第三象限解析：(－)＝－＋＝－，对应的点为(，－)，位于第四象限，故选.答案：．[·山东高考]复数满足(－)(－)＝(为虚数单位)，则的共轭复数为( ). －. ＋. －. ＋解析：由题意得＝＋＝＋＝＋，∴＝－，故选.答案：．若复数(＋)(＋)是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则等于( )．－．－．解析：运用复数运算展开求解．(＋)(＋)＝－＋(＋)，又∵此复数为纯虚数，∴＝.故选.答案：．对于下列四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数．②如果复数＝，＝－，＝－，＝－，那么这些复数的对应点共圆．③θ＋θ的最大值是，最小值为.④轴是复平面的实轴，轴是虚轴．其中正确的有( )．个．个．个．个解析：①正确．因为若∈，则≥，若＝＋(≠，，∈)，则＝>.②正确．因为＝，＝＝，＝，＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上．③错误．因为θ＋θ＝＝为定值，最大、最小值相等都是.④正确．故应选.答案：．复数＝＋(－)，若为实数，则实数的值为( )．－．．－．－解析：＝＋(－)＝＋(－)＝(＋)＋(－)＝－.为实数，则＝，得＝.答案：．设＝＋(是虚数单位)，则＋等于( )．－＋．－－．－．＋解析：＋＝＋(＋)＝－＋＝＋.答案：．已知＝，＝，则的值是( )....解析：＝，＝＝，所以＝，故选.答案：．已知方程＋(＋)＋＋＝(∈)有实根，且＝＋，则复数等于( ). ＋. －. －－. －＋解析：∵＋(＋)＋＋＝，∴＋＋＋(＋)＝，∴(\\(＋＋＝，＋＝.))∴(\\(＝，＝－，))∴＝－.故选.。
高中数学选修1-2第三章课后习题解答
新课程标准数学选修1 —2第三章课后习题解答第三章数系的扩充与复数的引入3. 1数系的扩充和复数的概念 练习(P52)121、 实部分别是-2 , 、.2 ,- , 0, 0, 0；21虚部分别是1, 1, o , 「3, 1, 0.3 2、 2 J , 0.618, 0, i 2是实数；2i , i , 5i 8 , 3-9、、2i , i(1 — J3) , . 2- 2i 是虚数； 2i , i , i(^ .3)是纯虚数.!x y = 2x 3y J x = 43、 由，得y —1=2y+1y = -2练习(P54)1、 A : 4 3i , B : 3-3i , C : -3 2i , D : 4 3i , E : -5 -3i ,F 11 • _ G : 5i , H : -5i .222、 略.3、 略.习题 3.1 A 组(P55)1、(1) 由 3X 角"，得、5x - y = —2$ = 7即m = 0或m = 3时，所给复数是虚数.m 2 - 5m 亠 6 = 0(3)当 2,即m=2时，所给复数是纯虚数•—3m 式 03、 (1)存在，例如-、2 i , - 2 - i 3i ,等等.(2) 存在，例如1八、2i ,…—…2i ,等等.2 (3) 存在，只能是-2i . 4、 (1)点P 在第一象限.(2)点P 在第二象限. (3)点P 位于原点或虚轴的下半轴上.(4)点P 位于实轴下方由…得；:41即m=0或m=3时，所给复数是实数iX-4 =022、(1)当 m -3m =0, (2)当 m 2「3m = 0 ,，即_2＜；m ＜：3或5cm ＜：7时，复数z 对应的点位于第四象限•-5m 「14 ：： 0向量BA 对应的复数为(1 3i) _(-i) = 1 4i . 向量BC 对应的复数为(2 7) -(-i) = 2 • 2i . 于是向量BD 对应的复数为(1 4i) (2 2i^3 6i ，点D 对应的复数为(-i) (3 6i) =3 5i.J3 +1 73—1 (1) -2124i ;(2) -32-i ;(3) - —— ^i ;2 2I m 2 (2)当 2i m Z 对应的点位于第一、三象限• 2 「8m 15 0 亠 m -8m 15 ，或< 2 m -5m -14 -5m -14 0 0 ，即 m ”「2 或 3 ：：： m ：：： 5 或 m . 7 时，复数 0 (3) 2 2 当 m -8m 15 二 m -5m -14，即 29 m - 3 时，复数z 对应的点位于直线y 二x 上 习题 1、 3.1 (1) B 组(P55) 2 —i因为 z i ； (2) -2-i. =、12 22 —、5， Z 2 = -,(2)2(⑶2二 5Z 3 「_(.3)2 (-、2)2 —5Z 4二讥一2)2 • 12二.5 所以，乙，乙，乙，乙都在以原点为圆心,.5为半径的圆上.1、 (1) 一18 —21i ； (2) 6 —17i ; (3) -20 -15i ；2、 (1) -5 ; (2) -2i ; (3) 5.3、 (1) i ； (2) -i ； (3) 1 - i ； (4) -1 - 3i .习题3.2 A 组(P61)1、(1) 9 -3i ；(2) -2 3i ；(3) 7 5i ；(4) 0.3 0.2i6 122、AB 对应的复数为(-3 • 4i)-(6 • 5i) - -9 -i(2) 2-2i ;-2 2i ；(3) (4) 0.9 i .3. 2复数代数形式的四则运算 练习(P58) 1、(1) 5; 练习(P60)BA 对应的复数为 ■ - 2r m —8m+15:>0 5、(1)当 2l m2、略.1 43(4) 一 -i.2 22 418 1 3 4 5、(1)i ;(2)i ;(3)i ;(4) 1-38i .5 565 6525 25习题3.2 B 组(P61) 由 2(2i -3)2 p(2i -3) q =0，得(10-3p q) (2p —24)i =0.第三章 复习参考题A 组(P63)1、 (1) A ； (2) B ; (3) D ; (4) C .2、 由已知，设z=bi ( b^R 且b 式0 )；则(z 2)2 -8i 二(bi 2)2 -8i 二(4 -b 2) (4b -8)i .由（z+2）2- 8i 是纯虚数，得」4一b ，解得b = _2.因此z = _2i.4b -8 式 0 3、由已知，可得 z 1 z 2 = 8 6i ， zjz 2 = 55 10i .又因为1——，所以z z z 〔z 2z 〔 z ?第三章 复习参考题B 组（P63）1、设 z=a+bi ( a,b^R )，贝 V z = a — bi . 由(1 2i)z =4 3i ，得(1 2i)(a -bi) =4 3i ， 化简，得(a 2b)(2a -b)i =4 3i .f a 2b = 4根据复数相等的条件，有2a_b=3，解得心，…z 2 i 34于是z =2「，，则4i2、(1).4n. 4n.ii ， i 1 .(2)对任意 r N ，有 i 4n1 =i ，i 4n -1，于是，有10—3p q",I2p -24 =0解得p =12 , q =26.z 1z 28 6i 2。
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第三章 复习课
1．复数z ＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为( )
A ．2cos α2
B ．－2cos α2
C ．2sin α2
D ．－2sin α2
答案B [|z |＝
1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α ＝4cos 2α2＝2⎪
⎪⎪⎪cos α2 ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2
<0， ∴2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－2cos α2
.] 2．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的 值为( )
A ．－1或6
B ．－1或4
C ．－1
D ．4
答案C [由M ∩N ＝{3}，
知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－3m －1＝3m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1.] 3．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案B [cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4.
因为θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π，32π，θ－π4∈⎝⎛⎭
⎫π2，π，因此，cos θ＋sin θ<0， sin θ－cos θ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．]
4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )
A ．x 0＝4
B ．x 0＝1
C ．x 0＝4或x 0＝1
D ．x 0不存在
答案D [由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 20－5x 0＋4＝0－x 0－1＝0，该方程组无解．] 5．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|
等于( ) A. 2 B ．2 C.10 D ．4
答案B [由题意AB →＝OB →－OA →，
∴AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，
∴|AB →|＝2.]
6．已知复数z ＝3＋i
1－3i 2 ，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )
A.14
B.12
C ．1
D ．2 答案A [∵z ＝3＋i
1－3i 2＝3＋i －2－23i
， ∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12
. ∴z ·z ＝|z |2＝14
.] 7．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )
A ．5 B.13 C.15 D.17
答案．B [BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，∵BD →＝BA →＋BC →，
∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.
∴BD 的长为13.]
8．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( )
A ．－5＋2i
B ．－5－2i C.5＋2i D .5－2i
答案A [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则x ＝－5， 由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，
即y 2＝4，∴y ＝±2，
∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2. ∴z ＝－5＋2i.]
9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )
A ．－1 000－1 000i
B ．－1 002－1 002i
C ．1 003－1 002i
D ．1 005－1 000i 答案C [1＋2i ＋3i 2＋4i 3
＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i.
周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004 ＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.]
10．设复数z 满足1－z 1＋z
＝i ，则|1＋z |等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2
答案C [由1－z 1＋z ＝i ，得z ＝1－i 1＋i
＝－i ， ∴|1＋z |＝|1－i|＝ 2.]。