用公式法解一元二次方程课件(PPT 14页)
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《公式法解一元二次方程》课件
4
又因为二次项系数不为0，
1
所以m≠0，即m＞−
4
且m≠0．
4.（例2变式）若关于 x 的方程 kx2−4x+2=0有实数根，
则 k 的取值范围为 k≤2
．
解：分两种情况讨论：
（1）若方程为一元一次方程，则k=0，
1
方程化为−4x+2=0. 解得 x .
2
（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，
, x2
.
4
4
4
4
,
课堂导入
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解：移项，得ax2+bx=-c．
2
二次项系数化为1，得 +
配方，得 2 +
即 +
2
2
=
+
2
2
2 −4
．
2
4
=
=− ．
2
− +
．
2
这里可以直接开平
方吗？为什么？
实数根
有两个相等实数根
利用判别式判断方程根的情况的一般步骤：
一化：化一般式，确保二次项系数为正；
二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号；
三算：算b2-4ac的值，判断符号；
四判：判断方程根的情况.
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相
k<2且k ≠0
等的实数根，则 k 的取值范围为
解：∵ Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0，
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
北师大九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》课件(共18张PPT)
根，则下面对 α 的估计正确的是( C )
A．0<α<1
B．1<α<1.5
C．1.5<α<2
D．2<α<3
13．(2014·日照)方程(k－1)x2－ 1－kx＋41＝0 有两个实数根，
则 k 的取值范围是( D )
A．k≥1 B．k≤1 C．k>1 D．k<1
14．若实数范围内定义一种运算“*”，使 a*b＝(a＋1)2－ab，
2.3 用公式法求解一元二次方程
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时， －b± b2－4ac
它的根 x＝
2a
，我们把这个式子称为一元二次方程的
求根公式，用求根公式解一元二次方程称为 公式法 ．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，
解：∵b2－4a＝0，∴原式＝a2－4a＋ab42＋b2－4＝aab22＝ba2＝4
18．已知关于 x 的方程 x2－2(m＋1)x＋m2＝0. (1)当 m 取何值时，方程没有实数根； (2)为 m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根， 并求出这两个根． 解：(1)∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4m2<0，∴m<－21
(2)x2－2 3x＋3＝0 解：∵Δ＝12－4×3＝0，∴x1＝x2＝ 3
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
公式法解一元二次方程PPT课件
用公式法解一 元二次方程
单击此处添加副标题 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您
的观点。
演讲人姓名
用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
若二次项系数 不是1，把二 次项系数化为 1(方程两边都 除以二次项系 数)；
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b xc.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2bxb2b2c. a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对 值一半的平方;
x b 2 2a
b24a42ac.
当b24ac0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2aΒιβλιοθήκη xbb24a.cb24a c0.
2a
6t2 -5 =13t
例4
解方程： x2323x
解： 原方x2 程 23 x 化 3 0为：
a 1 ,b 23 ,c 3
b24ac 23 2 4 1 3 0
x 23 0 233 2 1 2
x1x20
结论：当 b24a c0时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
例 用公式法解方程： x2 – x - =0
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
祝你成功！
知识的升华
独立 作业
思考题：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相 等的实数解
单击此处添加副标题 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您
的观点。
演讲人姓名
用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
若二次项系数 不是1，把二 次项系数化为 1(方程两边都 除以二次项系 数)；
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b xc.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2bxb2b2c. a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对 值一半的平方;
x b 2 2a
b24a42ac.
当b24ac0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2aΒιβλιοθήκη xbb24a.cb24a c0.
2a
6t2 -5 =13t
例4
解方程： x2323x
解： 原方x2 程 23 x 化 3 0为：
a 1 ,b 23 ,c 3
b24ac 23 2 4 1 3 0
x 23 0 233 2 1 2
x1x20
结论：当 b24a c0时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
例 用公式法解方程： x2 – x - =0
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
祝你成功！
知识的升华
独立 作业
思考题：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相 等的实数解
用公式法解一元二次方程课件
例1：解方程 $x^2 - 6x + 9 = 0$。
根据公式，计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 times 1 times 9 = 0$。
因为 $Delta = 0$，所以方程 有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = frac{-b}{2a} = frac{6}{2} = 3$。
准确性：直接利用公式求解，避免了因式 分解可能出现的错误。
05
06
简便性：对于某些复杂的一元二次方程， 公式法比因式分解更简便。
02
一元二次方程的标准形式
标准形式的表达式
01
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a, b, c$ 是 常数，$a neq 0$。
当 $Delta = 0$ 时，方程 有两个相等的实数根（即 一个重根）；
判别式的计算可以通过公式 $Delta = p^2 - 4q$ 进行， 其中 $p$ 和 $q$ 是标准形式 中的系数。
当 $Delta < 0$ 时，方程 没有实数根，而是有两个 共轭复数根。
03
公式法求解一元二次方程
公式法的推导过程
求解方法
此时方程没有实数根，但有两个 共轭的复数根，即 $x_1=frac{-
b+sqrt{Delta}i}{2a}$ 和 $x_2=frac{-b-
sqrt{Delta}i}{2a}$。
示例
$x^2+2x+5=0$，判别式 $Delta=-16<0$，解得 $x_1=-
1+2i$ 和 $x_2=-1-2i$。
$left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
公式法解一元两次方程_课件
b2 4ac 2a
，x2 b
b2 4ac 2a
②当b2﹣4ac＜0时，原方程无解。
【思路点拔】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时 对b2﹣4ac的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b2﹣4ac≥0 和b2﹣4ac＜0时，原方程根的情况。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
例4.一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是（ B ）
A.k＞2 B.k＜2且k≠1 C.k＜2 D.k＞2且k≠1
解：由题可知 Δ=b2﹣4ac=22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2， ∵（1﹣k）是二次项系数，不能为0， ∴k≠1且k＜2。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
练习1.下列方程有实数根的是（ A ）
A.x2﹣x﹣1=0
B.x2+x+1=0
C.x2﹣6x+10=0
D.x2﹣ 2 x+1=0
解： A.Δ=（-1）2﹣4×1×（-1）=5＞0，则方程有实数根。 B.Δ=1﹣4×1×1=﹣3＜0，则方程无实数根。 C.Δ=36﹣4×1×10=﹣4＜0，则方程无实数根。 D.Δ=2﹣4×1×1=﹣2＜0，则方程无实数根。
【思路点拔】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根时必须满足Δ=b2﹣4ac＞0。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
练习4.已知关于x的方程kx2﹣3x+2=0有两个实数根，
《用公式法求解一元二次方程》课件 2022年北师大版九上数学PPT
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:a 2,b 9, c 8. 1.变形:化方程为一般
b2 4ac 92 428 17 0. 形式;
图 20.3.1
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四 边形．
图 20.3.2
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．
由此可以得到判定菱形的一种方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直， 我们可以证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
解: 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒
,解题大师——标准正确!
解以下方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
心动 不如行动 公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : x2 9 x 4 0. 2
x2 9 x 4.
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
9
2 x
9
2
9
2
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:a 2,b 9, c 8. 1.变形:化方程为一般
b2 4ac 92 428 17 0. 形式;
图 20.3.1
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四 边形．
图 20.3.2
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．
由此可以得到判定菱形的一种方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直， 我们可以证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
解: 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒
,解题大师——标准正确!
解以下方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
心动 不如行动 公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : x2 9 x 4 0. 2
x2 9 x 4.
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
9
2 x
9
2
9
2
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− b ± b 2 − 4ac 3、代入求根公式 : ∴ x = 、 2a
x 4、写出方程的解： x1、 2 、写出方程的解：
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
解方程： 例 2 解方程： x + 3 = 2 3 x
2
解： 化简为一般式：x 2 − 2 3 x + 3 = 0 化简为一般式：
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
3x − 7x + 8 = 0
2
这里
2
a = 3、 b= - 7、 c= 8
2
∵ b − 4ac =（− 7 − 4 × 3 × 8 ） = 49 − 96 = - 47 < 0
∴ 方程没有实数解。 方程没有实数解。
课堂小结： 课堂小结：
1、用求根公式法解一元二次方程首先将方程 化为一般形式，如果二次项系数为负数， 化为一般形式，如果二次项系数为负数，通常 将其化为正数；如果方程的系数含有分母， 将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通 常先将其化为整数；求出的根要化成最简形式。 常先将其化为整数；求出的根要化成最简形式。 用求根公式法可按如下步骤进行； 2、用求根公式法可按如下步骤进行；
你能用配方法解： 你能用配方法解：ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) 吗？
小亮是这样解的： 小亮是这样解的： 解: 把方程两边都除以 a 移项，得 移项， 配方， 配方，得
b c x + x+ =0 a a b c 2 x + x=− a a
2
b b c b x + x+ = − + a a 2a 2a
①将方程化为一般形式，然后确定二次项系数， 一次项系数，常数项 ②计算b2-4ac的值，并判别b2-4ac的值的性质 ③当b2-4ac≥0时，代入公式求出方程的根。
随堂 练习 用公式法解下列方程： 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0; ） （2）9x2+6x+1=0; ） （3）16x2+8x=3. ）
课程导入： 课程导入：
1824年 年轻的挪威数学家阿贝尔证实了， 1824年，年轻的挪威数学家阿贝尔证实了，当 n≥5时 一元n次方程没有公式解（ n≥5时，一元n次方程没有公式解（即无求根 公式），那么换句话说， ），那么换句话说 公式），那么换句话说，一元二次方程有公式 解（即有求根公式），你知道一元二次方程的 即有求根公式），你知道一元二次方程的 ）， 求根公式吗？ 求根公式吗？
思路引学： 思路引学：
2
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
解方程： 例 1 解方程： x − 7 x − 18 = 0 解： 这里 a = 1 b = −7 c = −18
∵ b − 4ac =（− 7 − 4 × 1 × 18 = 121 ） （ ）
2 2
7 ± 121 7 ± 11 ∴ x= = 2×1 2
3、 这里 a = 1、 b= - 2 3、 c= 3
∵ b 2 − 4ac =（− 2 3 2 − 4 × 1 × 3 = 0 ） （ ） − -2 3 ± 0 2 3 ∴ x= = = 3 2×1 2
即：
x1 = x2 = 3
解方程： 例 3 解方程：( x − 2 ) ( 1 − 3 x ) = 6 解：去括号，化简为一般式： 去括号，化简为一般式：
即：
x1 = 9 x 2 = −2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 、把方程化成一般形式， 2、求出 b − 4ac 的值， 、 的值，
2
a、 、 的值。 b c 的值。
特别注意:当 b 2 − 4ac < 0 时无解 特别注意 当
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 、 取什么值时 取什么值时， 有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程 2+bx+c=0 (a≠0)。 、关于 的一元二次方程 的一元二次方程ax 。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 ， ， 满足什么条件时， 互为相反数？ 互为相反数？
2
2
2
即
b b2 − 4ac x + 2a = 4a 2
2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax + bx + c = 0
2
当 b2 + 4ac ≥ 0 时 ∵ 4a > 0 ∴
2
b b − 4ac x+ =± 2a 4a 2
2
特ห้องสมุดไป่ตู้提醒
即
b b − 4ac x+ = ± 2a 2a
2
− b ± b − 4ac ∴ x= 2a
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一元二次方程的 求根公式
发现规律： 发现规律： 无论是数字系数的一元二次方程还是一般 形式的一元二次方程，用配方法求解的过程是 相同的，且一般形式的一元二次方程的解具有 一般性。 在线课堂： 在线课堂：
1、一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解 一般形式的一元二次方程的ax2+bx+c=0（a≠0） 2、由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c 决定的 3、应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用 时必须先将其化为一般形式。
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１、2 题