2019年-三重积分--华南理工大学高数课件-PPT精选文档
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高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
重积分三重积分的应用课件.ppt
解 立体的图形为 设1为 在第一卦限内
的部分, 利用对称性得
z 1
M 4M1 4 ( x, y, z)dv
1
o
y
4( x y )dv 柱坐标变换 x
1
1
1
4 2 d rdr r(cos sin )dz
0
0
r2
4
2 (cos sin )d
1
r
2
(1
r
2
)dr
0
0
16。 15
13
设有一平面薄片占有 y
平面闭区域D, 在点(x,y)
处具有连续面密度
=(x,y)，下面利用元素
y
•d
D
法求该平面薄片对两坐
标轴的转动惯量。
O
x
x
先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一
个部分d，它的质量元素为
dm ( x, y)d
这个部分d对于x轴以及对于y轴的转动惯
量元素为
dIx y2( x, y)d dI y x2( x, y)d
F
x, y, a 一致。
F0
x r
,
y,a rr
o x
x
y
• P(x,y,0) y
cos,cos ,cos , (r x2 y2 a2 )
dF {dFx , dFy , dFz }
{| d F | cos,| d F | cos ,| d F | cos },
( x, y)xd ( x, y) yd a( x, y)d
14
y
以这些元素为被积表达 式，在闭区域D上积分， 可得
y
•d
D
Ix y2( x, y)d ,OD源自I y x2( x, y)d
第四部分三重积分的计算教学课件
2
1
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
（2） 球面坐标的体积元素
dxdydz r2 sindrdd
（3） 对称性简化运算
思考题
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
03第九章第3节三重积分 共40页PPT文档
1
Dzdxdy2(1z)(1z)
o
1
x
y
1
原 式 1z1(1z)2d z1.
02
24
11
例2 计算三重积分z2dxdy，d其中 z是由
椭球面ax22by22cz22 1所成的空间闭区域.
解 : {(x,y,z)|czc, ax22by221cz22}
一、 三重积分的概念
引例：设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀
的物质，密度函数为 f(x,y,z)C,
求分布在 内的物质的质量 M .
采用 “分割，近似，求和，取极限”
vk
n
可得 Mlim 0
f(k,k,k)vk
k 1
(k,k,k)
1
定义: 设f(x ,y,z),(x ,y,z) ,若对 作任意分割,
z
Dz
o
y
原式 cz2dz dxdy, c
x
Dz
12
z
Dz
D z{x (,y)|a x2 2b y2 21c z2 2}x
o
y
D zdxd ya2(1c z2 2) b2(1c z2 2)
ab(1cz22),
原式
ccab(1cz22)z2dz
c1 Dz
当f(x, y,z)与x, y无关时此法较. 简单
10
例 1 计 算 三 重 积 分 zdx， d其 中 y d为 三 z个
坐 标 面 及 平 面 xyz1所 围 成 的 闭 区 域 .
1
解（一）zdxdydz 0 zdzdxdy,
z
1
Dz
D z {x ,( y ) |x y 1 z }
一,三重积分的概念
z2 ∫∫∫ c 2 dxdydz = V
c
Dz •
O
y
x
2 c z z2 ∫−cdz ∫∫ c 2 dxdy = ∫−c c 2 dz ∫∫ dxdy Dz Dz
z2 z2 4 = ∫ 2 ⋅ πab(1 − 2 ) dz = πabc −c c c 15
c
首页
×
三、三重积分换元法
x = x ( u, v , w ) 设变换 T : y = y ( u , v , w ) , 把 uvw 空间中的区域 z = z ( u, v , w )
∫∫∫ f ( x , y, z ) dxdydz = ∫∫ dxdy ∫
V
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z ) dz
z = z2 ( x, y )
D
D = {( x , y ) | y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x ), a ≤ x z≤ b}
×
cosθ − r sinθ 0 ∂( x, y, z) J(r,θ , z) = = sinθ r cosθ 0 = r ∂(r,θ , z) 0 0 1
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
V
= ∫∫∫ f (r cosθ , r sinθ , z) r drdθ dz
V′
首页
×
例 计算 为由柱面 其中 V 为由柱面 x + y = 2 x 及平面
z
b
Dz
∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz
V
= ∫ dz ∫∫ f ( x , y , z ) dxdy
a Dz
b
a
O x
c
Dz •
O
y
x
2 c z z2 ∫−cdz ∫∫ c 2 dxdy = ∫−c c 2 dz ∫∫ dxdy Dz Dz
z2 z2 4 = ∫ 2 ⋅ πab(1 − 2 ) dz = πabc −c c c 15
c
首页
×
三、三重积分换元法
x = x ( u, v , w ) 设变换 T : y = y ( u , v , w ) , 把 uvw 空间中的区域 z = z ( u, v , w )
∫∫∫ f ( x , y, z ) dxdydz = ∫∫ dxdy ∫
V
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z ) dz
z = z2 ( x, y )
D
D = {( x , y ) | y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x ), a ≤ x z≤ b}
×
cosθ − r sinθ 0 ∂( x, y, z) J(r,θ , z) = = sinθ r cosθ 0 = r ∂(r,θ , z) 0 0 1
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
V
= ∫∫∫ f (r cosθ , r sinθ , z) r drdθ dz
V′
首页
×
例 计算 为由柱面 其中 V 为由柱面 x + y = 2 x 及平面
z
b
Dz
∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz
V
= ∫ dz ∫∫ f ( x , y , z ) dxdy
a Dz
b
a
O x
三重积分的概念及直角坐标系下的计算PPT课件PPT文档共19页
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
三重积分的概念及直角理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
三重积分的概念及直角理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
高等数学课件D103三重积分
积分区域：确定积分区域为直角坐标系下的一个区域 积分变量：确定积分变量为x, y, z 积分顺序：确定积分顺序为x, y, z 积分公式：使用直角坐标系下的三重积分公式进行计算 积分结果：计算得到积分结果，并解释其物理意义
柱坐标系下的三重积分定义 柱坐标系下的三重积分计算公式 柱坐标系下的三重积分计算步骤 柱坐标系下的三重积分计算实例
曲面面积：计算曲面的面积
旋转体体积：计算旋转体的 体积 柱体体积：计算柱体的体积
旋转体表面积：计算旋转体 的表面积
空间曲线长度：计算空间曲 线的长度
空间曲面面积：计算空间曲 面的面积
复杂曲面积分：需要理解曲面的性质和积分公式 旋转体体积：需要理解旋转体的性质和体积公式 球面积分：需要理解球面的性质和积分公式 柱面积分：需要理解柱面的性质和积分公式 复杂区域积分：需要理解复杂区域的性质和积分公式 复杂函数积分：需要理解复杂函数的性质和积分公式
计算体积：计算三维空间中的体积 计算表面积：计算三维空间中的表面积 计算质量：计算三维空间中的质量 计算力矩：计算三维空间中的力矩
电流密度：描述电流在三维空间中的分布 磁场强度：描述磁场在三维空间中的分布 积分公式：三重积分公式用于计算磁场强度 应用实例：计算空间分布电流的磁场强度，如电磁铁、电磁波等
电场和磁场的能量密度：电场和磁场的能量密度可以通过三重积分来计算 电场和磁场的能量密度公式：E=1/2*ε0*E^2，B=μ0*H^2 计算方法：通过三重积分计算电场和磁场的能量密度 应用实例：在电磁学、电磁场理论、电磁波传播等领域有广泛应用
三重积分的值是积 分函数在积分区域 上的积分和
积分区域：三维空间中的有限区域 积分函数：连续函数或可积函数 积分值：实数或无穷大
积分顺序：先对x积分，再对y积分，最 后对z积分
三重积分-高等数学PPT
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
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例 计算三重积分 Ix3 y4co zdx sdydz,
其中V是长方体 V
V (x ,y ,z )0 x 1 ,0 y 1 ,0 z 2 .
解
I [ 2 x3y4 coszdz]d 0 Dxy
1
dx
1x3y4dy
其中积分区域为由曲面 zx22y2及 z2x2
所围成的闭区域.
解
由z z
x2 2y2 2 x2
得交线投影区域
D:x2y21
z zx22y2
I
2x2
[
f(x,y,z)dz]d
x22y2
Dxy
O
x
y
z2x2
1
1 x 2
2 x 2
Id x d y f(x ,y ,z)d z 1 1 x 2 x 2 2 y2
d vd x d yd z
在直角坐标系下三重积分可表为
f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz
投影法
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)d z z1(x,y)
F(x,y)d [ z2(x,y)f(x,y,z)dz]d
D
D z1(x,y)
Dyz
1 d y 1y(1y)e(1yz)2(1yz)dz
0
0
1
1
(1y)dy
1 ye (1 y z)2d ([1yz)2]
20
0
1 4e
截面法
截面法的一般步骤
(1) 把积分区 向域 某(如轴 z轴)投影,
得投影区间 [c1,c2];
(2)对 z[c1,c2]用z过 轴且x平 O 的 y行 平面 , 去
1
00
20
z
O
y
x
三重积分
例 求 I 1 d x 1 x d z1 x z ( 1 y ) e ( 1 y z ) 2 d y
00 0
z
解 e y2 的原函数不是初等函数,
1 xyz1
一定要交换积分次序.
应先x对积分
1 O 1y
I [ 1yz(1y)e(1yz)2dx]d x 0
y,z)dvlim
0 i1
f(i,i,i)vi
体积元素
当 f(x,y,z))0时 ， f(x,y,z)dv的 物 理 意 义 表 示
以 f(x,y,z)为 体 面 密 度 的 非 均 匀 立 体 的 质 量 .
三重积分
二、三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分
直角坐标系下的体积元素为
f (i,i,i) v i( i 1 ,2 ,n ) ③并,作和
n
④
f(i,i,i)vi.如当各小闭区域直径中的最大值
i1
趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为
函数 f(x, y,z)在闭区域Ω上的三重积分.
记为 f(x,y,z)dvΩn 即Ω
f(x,
y
P(r, )
柱面坐标系中, 三坐标面分别为
z 为常数
z
与xOy平面平行的平面;
r 为常数
以z轴为中心轴的圆柱面；
为常数
过z轴的半平面.
M(x,y,z)
O
y
P(r,)
x
如图, 在柱面坐标系中,
z
rd
若以三坐标面分割空间区域 ,
得小柱体 V (红色部分). 即
Vrd dr dz
如图, 闭区域 在xOy
面上的投影为闭区域D, z
S1: zz1(x,y),
S2: zz2(x,y),
过点 (x,y)D作直线, 从z1穿入 ,从z2 穿出．aO
b x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y)
y
yy2(x)
yy1(x)
例 化三重积分 If(x,y,z)dxdydz为三次积分,
注 通常是先积z、再积 r 、后积 .
例 计算 x2 y2dv,其中Ω由柱面 x2 y2 16
及 平 面 yz4,z0所围成.
解 积分域用柱坐标表示为
y
r4
: 0z4rsin,
0 r 4, 02
O
4x
原式 r r drddz
设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy 面上的投影P的极坐标为 r , , 则这样的三个数
r, , z 就叫点M的柱面坐标.
规定 0r, 02, z
z
直角坐标与柱面坐标的关系为
xrcos, yrsin,zz
o
x
M(x,y,z)
r
2
0 d
4 r 2 d r 0
4 r sin
dz
512 .
0
3
例 计算 zx2y2dv,其中Ω由半圆柱面
解 截面法(先二后一法)
1
zdxdydz0 zd z dxdy
Dz
D z {x ,( y ) |x y 1 z }
z
1 xyz1
1O
x
Dz
1y
dxdy
1(1z)(1z) 2
Dz
原式= 1z1(1z)2dz1 .
02
24
2、在柱面坐标系下计算三重积分
柱面坐标系中的体积元素为
r
dr
o
dz
y
dvrdrddz x d
f(x,y,z)dxdydz
f ( rcos, rsin, z ) rdrddz
d
r2 ( ) d r
z2(r,)f(rco,rssin ,z)rdz
r1 ( )
z1(r,)
3 三重积分的概念与计算
三重积分的概念 三重积分的计算
一、三重积分的概念
1. 三重积分的定义
① 设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的 有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域
v1, v2, vn
②其在中每个v i表 v示i上第任i个取小一闭点区(域i,,i也,表i),示作它乘的积体积.
得截面 Dz; (红色部分)
z
c2
(3) 计算二重积分 f(x,y,z)dxdy z
Dz
Dz
其结z的 果函 为 F(z数 );
c1
(4) 最后计算单积分 c2 F(z)dz.
c1
x
o
y
例 计算三重积分zdxdydz,其中 为
三个坐标 x面 yz 及 1所平 围面 成.的