第五章小结

第五章 差值与逼近差值与逼近都是用某一个简单函数近似代替另一些较为复杂或者解析式未给出的函数，以便简化对后者的计算或者揭示后者的某些性质。

通过对一些从实验中得到的离散的数据点，用插值函数近似代替找出一些有规律的函数，可以近似预测算出一些未得出的点的值，从而对实验现象走势和发展规律做出一些预测。

插值函数就是对离散数据建立简单的数学模型。

常用的插值函数种类有多项式、分段多项式、三角函数、有理函数等。

一、代数插值 1、一元代数插值 插值函数为 n n x a x a x a a x p +++=......)(2210插值误差为)()!1()()(1)1(x n f x R n n n +++=ωξ,))...()(()(101n n x x x x x x x ---=+ω2、 Lagrance 插值多项式 （1）插值基函数为其中=)(i k x l 1(i=k),否则为0 （2）插值函数条件为 插值函数为nk x xx x x l nkj j jkjk ,,2,1,0,)(0 =--=∏≠=)()(0x l y x p k nk k n ∑==knkj j jk j n k y x x x x ][00∏∑≠==--=),,2,1,0(,)(n i y x p i i n==当n=1时为线性插值 当n=2时为二次插值（3）拉格朗日插值误差为3、牛顿插值 （1）插值 一阶差商 二阶差商 三阶差商 k 阶差商（2）差商的性质1、差商和函数的关系2、对称性3、差商和导数的关系 （3）牛顿插值多项式（4）牛顿插值余项 )()()(11001x l y x l y x p +=1100101y x x x x y x x x x --+--=)()()()(2211002x l y x l y x l y x p ++=21221010112002121)()()()()()()()()()()()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x -⋅--⋅-+-⋅--⋅-+-⋅--⋅-=)()!1()()(1)1(x n f x R n n n +++=ωξ ),()()(],[j i ji j i ji x x j i x x x f x f x x f ≠≠--=[,][,][,,]()i k i j i j k k jf x x f x x f x x x i k x x -=≠-01301232[,,][,,]f x x x f x x x x x --01201211[,,,,][,,,,]k k k k k k f x x x x f x x x x x x ------ []()()010,,ni n i i f x f x x x x =⋯='ω∑00,,,,,,,,,,,,i j n j i n f x x x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦[]()()01,,!n n ffx x x n ξ⋯=)())(](,,,,[))(](,,[)](,[)()(110210102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N)(],,,,[)()()(110x x x x x f x N x f x R n n n n +⋅⋅⋅=-=ω二、Hermite 插值（1）埃尔米特插值的前提条件 {''11)()(kk i i n m i i n m y x H y x H ==++++（2）埃尔米特插值函数构造其中基函数为（3）埃尔米特插值余项为∏=+++-++=mk i n n m k x x x n m f X R 01)2()()()!2()()(ωζ三、样条插值1、（1）k 次样条函数的自由度DOF ≤m+n,样条函数的基为（2）k 次样条函数可以表示为2、3次样条插值函数3、求解样条函数的三种边界条件 自然样条：)()();()(''''0''0''n n x y x s x y x s ==压紧样条：)();(''0''0n n x f y x f y ==周期性条件：)()(),()(''0'''0'-+-+==n n x s x s x s x s()()()21.nn jjjjj H x y x y x αβ+='⎡⎤=+⎣⎦∑()()()20112.nj j jk j kk j x x x l x x x α=≠⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑()()()2.j j j x x x l x β=-1,,2,1,)(,,,2,1,0,-=-=+n j x x k j xk j j})(,,)(,,,,,1{112,kn k k k x x x x x x x span D +-+--= πbx a x x c k x a x s ki n j kj j ii ≤≤-+=∑∑=-=+,)(!1)(011bx a x x c x a x s i n j j j i i ≤≤-+=∑∑=-=+,)(!31)(31134、三弯矩法求三次样条插值函数 插值函数为)()6()()6()(6)(6)(1113131-------+--+-+-=i i i i i i i i i i i i i i i i x x h Mh y x x h Mh y x x h M x x h M x s对于解M 矩阵，有方程矩阵其中)(6,111111ii i i i i i i i i i i ih y y h y y h h h h h -+++++---+=+=βα，i i αγ-=1四、正交多项式 1、权函数 常用的权函数2、内积：内积的性质：对称性 数乘性可加性非负性⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----n n n n nn n n M M M M ββββγαγαγαγαγα1101101123321102222+∞<<-∞=∞<≤=≤≤--=<<--=≤≤≡--x e x x e x x x x x x x b x a x x x ,)(0,)(11,1)(11,11)(,1)(222ρρρρρ()();,,f g g f =()),,(),(,g f k kg f g kf ==()()();,,,2121g f g f g f f +=+3、正交多项式（1）、正交多项式的性质：数乘性；唯一性；根的性质：带权的正交多项式)(x k ϕ当k ≥1时，k 次正交多项式有k 个互异的实零点，并且全部位于开区间(a,b)内递推性：相邻三项递推关系为 :)()()(1_1_21_111x a a a x a a x k k kk k k k k k ϕλϕϕ+++-= (2)施密特克莱姆正交化法4、几种常用的正交多项式（1）Legendre 多项式：适用于区间[-1,1]1)(0≡x ϕ)()(01x a x x ϕϕ-=),(),(000ϕϕϕx a =)()()(11101022x a x a x x ϕϕϕ--=),(),(000210ϕϕϕx a =),(),(111211ϕϕϕx a =,1,0,)()(011=-=∑=++k x a xx kj j kj k k ϕϕkj x a j j j k kj ,,1,0,),(),(1 ==+ϕϕϕ⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=≡ ,2,1],)1[(!21)(1)(20n x dx d n x L x L n nnn n x x L =)(1)13(21)(22-=x x L )35(21)(33x x x L -=)33035(81)(244+-=x x x L（2）切比雪夫多项式：适用于区间[-1,1](3)Laguerre 多项式：适用于区间[0,∞），权函数为x e -(4)Hermite 多项式：适用于整个实区间五、函数的最佳平方逼近 1、最佳平方逼近 最佳一致逼近如果对于给定的函数f(x),满足),(min ),(ϕϕϕϕϕ--=--∈**f f f fnH ，)(*x p n H ∈,则称)(*x p 是空间nH 中对于f(x)的最佳平方逼近元素。

2、)(*x p 是n H 最佳平方逼近元素的充要条件是 （f-*p ,j ϕ）=0 (j=0,1,...,n)3、求某个函数在某个基下的最佳平方逼近元素的方法步骤 解法方程)arccos cos()(x n x Tn =1)(0=x T xx T =)(112)(22-=x x T ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-=≡-+,2,1),()()12()(1)(1)(12110n x U n x U x n x U x x U x U n n n ,1,0,)()1()(22=-=-n dxe d ex H nx n x nn dxx x g x f g f ba)()]()([222ρ⎰-=-)(max x f fbx a ≤≤∞=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(),(),(),(101111000100n n n n n n ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 10⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),(10n f f f ϕϕϕ解得i c ，i c 即多项式的系数。

当j ϕ是[a,b]上的带权正交函数系时，则由正交矩阵的性质可得到上面的法方程的解法可以为n k f c k k k k ,,2,1,0,),(),(*==ϕϕϕ4、正交函数系在最佳平方逼近总的应用 （1）Laguerre 多项式当所给区间不是[-1,1],当区间为[a,b]，（2）切比雪夫多项式（3）Legendre 多项式5、最佳平方逼近的误差为6、曲线拟合∑=-=nk k k f c f f 0*),(),(ϕδ∑==nk k k x L cx p 0**)()(t ab b a x 22-++=]1,1[-∈t 11,)()(100≤≤-+=∑=x x T a T a x p nj j j n ⎰--==11200001)(1),(),(dxx x f T T T f a πnj dxxx T x f T T T f a j j j j j ,,2,11)()(2),(),(112=-==⎰-π∑==nk k k x cx p 0**)()(ϕ,)()(212),(),(11*⎰-+==dx x f x L k L L L f c kk k k kt ab b a x 22-++=]1,1[-∈t（1）给定m+1对数据（i i y x ,）用最小二乘法拟合的解题步骤：第一步：设要求的多项式y(x)第二步：由给定的x 点得到矩阵A ，再求的A A T 和y A T 第三步：解发方程组y A AcA T T 得到c（2）、当不确定函数类型时，可先根据所给的点画出一个大概的图形，再根据图形走势假设一个函数，如指数函数、双曲线函数等总结：牛顿插值在节点增加时有递推性，并且牛顿余项更有一般性，即使f(x)的高阶导数不存在仍然适用。