第五章 位置与坐标小结与复习

第五章 位置与坐标小结与复习
知识梳理
1．确定位置
确定位置的方法有很多,常见的有以下几种：(1)方位角定位法( ,距离)；(2)经纬度定位法(经度, )；(3)区域定位法(横向区域, )；(4)平面直角坐标系定位法(横坐标, )．
2．平面直角坐标系
（1）平面直角坐标系的横轴（或x 轴）是 的数轴，纵轴（或y 轴）是 的数轴，原点是x 轴和y 轴的 ．
（2）坐标平面被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做 、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于 ．
（3）过平面内任意一点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴上、y 轴上对应的数a ，b 分别叫做点P 的 、 ，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标．
3．轴对称与坐标变化
平面直角坐标系中，横坐标 ，纵坐标互为相反数的点，关于x 轴对称；横坐标 ，纵坐标不变的点，关于y 轴对称．
考点呈现
考点1 平面直角坐标系及相关概念
例1 有以下三种说法：①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；②除了平面直角坐标系外，也可以用方向和距离来确定物体的位置；③平面直角坐标系内的所有点都分别属于四个象限．其中错误的是（ ）
A ．只有① B．只有② C．只有③ D．①②③
解析：法国数学家笛卡尔最早引入坐标系，用代数的方法研究几何图形，所以①正确；常用的确定位置的方法有两种，即直角坐标系法和方位角法，所以②正确；平面直角坐标系内的所有点除了属于四个象限外，还有的属于坐标轴，所以③不正确，故选C ．
考点2 位置的确定
确定平面内物体的位置主要有以下几种方法：（1）行列定位法；（2）“方位角+距离”定位法；（3）区域定位法；（4）直角坐标系定位法．
例2如图1，如果“士”所在位置的坐标为(－1， －2)，“相”所在位置的坐标为(2， －2)，则“炮”所在位置的坐标为 ．
解析：由“士”和“相”所在的位置可知，棋盘从左向
右被标记为－4，－3，－2，－1，0，…，共9列，从下到上
被标记为－2，－1，0，1，…，共7行，而“炮”处在第－3
列第3行的位置，所以“炮”所在位置的坐标为（－3，3）．
点评：在棋盘上确定棋子的位置有两种方法：一种是将棋盘按行和列划分，并标出每一行每一列的序号，从而确定棋盘中棋子的位置；另一种是由已知棋子的坐标建立坐标系，进而确定其余棋子的坐标．本题是用第一种方法解的，同学们可以尝试用第二种方法解．
图1
例3 “楚越千万山，雄奇此山兼． ”九华山不仅以佛教人文景观著称，而且山水雄奇、灵秀，胜迹众多．自然风光十分迷人．如图2，A 表示白云观，B 表示黄泥冲，C 表示文殊洞，D 表示龙池瀑布．如果用（4，3）表示文殊洞C ，用（2，4）表示黄泥冲B ，那么龙池瀑布D 的位置可以表示为 ．
解析：由文殊洞所在位置坐标为（4，3），黄泥冲所在位置坐标为（2，4），即可得到原点的位置，建立如图3所示的坐标系，则龙池瀑布D 的位置可以表示为（6，5）．
考点3 点的坐标
直角坐标系各个象限内点的坐标特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）．
坐标轴上的坐标特点：横轴上纵坐标为0，纵轴上横坐标为0．
例4 若点A （a +3，1-a ）在x 轴上，则点A 的坐标为 ． 解析：因为点A 在x 轴上，所以点A 的纵坐标为0，即1-a =0，所以a =1．故点A 的坐标为（4，0）．
解：填（4，0）．
例5 若点P （a －2，a ）在y 轴上，则a 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－2
解析：由点P 在y 轴上，可知a －2=0，解得a=2．故选C ． 考点4 点到坐标轴的距离
例6 已知点M 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2，则点M 的坐标为（ ） A ．（1，2） B ．（-1，-2） C ．（1，-2） D ．（2，1）或（2，-1）或（-2，1）或（-2，-1）
解析：由点M 到x 轴的距离为1，得点M 的纵坐标为±1；由点M 到y 轴的距离为2，得点M 的横坐标为±2．所以点M 的坐标为（2，1）或（2，-1）或（-2，1）或（-2，-1）．故选D ．
点评：已知点的坐标，可求出点到x 轴、y 轴的距离；反过来，已知点到x 轴、y 轴的距离，也可以求出点的坐标，但要注意讨论．
考点5 求点关于坐标轴的对称点
若点P 的坐标为(,)x y ，则：①点P 关于x 轴对称的点/
P 的坐标为(,)x y -；②点P 关于y 轴对称的点/
P 的坐标为(,)x y -．
例7点P(3，－5)关于x 轴对称的点的坐标为（ ）
A ．(－3，－5)
B ．(5，3)
C ．(－3，5)
D ．(3，5)
图2
x
解析：两点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以点P(3，－5)关于x 轴对称的点的坐标为(3，5)．故选D．
例8在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于y轴对称的点P'的坐标是．
解析：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数，所以点P(2，－3)关于y 轴对称的点P'的坐标是P(－2，3)．
点评：熟记一个点关于坐标轴对称的坐标变化是解答这类问题的关键．
考点6 作图
例9 如图4，梯形ABCD是直角梯形．
（1）直接写出点A，B，C，D的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD关于y轴对称的图形．
解析：（1）如图所示，点A，B，C，D的坐标分别为：（-2，
-1），（-4，-4），（0，-4），（0，-1）；
（2）A，B两点关于y轴的对称点分别为：A′（2，-1），
B′（4，-4），在坐标系中描出A′，B′，依次连接A′，B′，C，D
即可，如图5所示．
误区点拨
误区1：对点的坐标的意义不明确
例1已知第一象限内的点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，求点A的坐标．错解：由第一象限内的点A到x轴的距离为3，得点A的横坐标为3；由点A到y轴的距离为5，得点A的纵坐标为5．故点A的坐标为（3，5）．
点拨：错解没有真正理解点的坐标的意义．因为点A在第一象限内，所以点A的横、纵坐标都是正数，而点A到x轴的距离应是点A的纵坐标，到y轴的距离应是点A的横坐标．正解：点A的坐标为（5，3）．
误区2：考虑问题不全面
例2已知点A（3，-2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点B到y轴的距离为4，试求点B的坐标．
错解：因为点A （3，-2）与点B （x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，所以点A 与点B 的纵坐标相等，所以y =-2．
又因为点B 到y 轴的距离为4，所以x =4． 故点B 的坐标为（4，-2）．
点拨：因为点B 到y 轴的距离为4，所以|x |=4，x =±4．错解漏掉了一个解而导致错误． 正解：点B 的坐标为（4，-2） 或（-4，-2）． 误区3：忽视了原点不属于任何半轴
例3 不论a 取何值，点M （-|a+1|，0）一定在（ ） A ． y 轴的负半轴上 B ． x 轴的负半轴上 C ． y 轴上 D ． x 轴上
错解：因为-|a+1|＜0，所以点M 在x 轴的负半轴上，选B ．
点拨：当a =-1时，点M 的坐标为（0，0）．平面直角坐标系中的两条坐标轴被原点分为四条半轴，这四条半轴都不包括原点．
正解：点M 在x 轴的负半轴或原点处，选D ．
误区四：顺序颠倒,忽视符号
例4 如图,已知等边三角形AOC 中,A(-2,0),求C 点的坐标． 错解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D,则OD=AD ．因为A(-2,0),所
以等边三角形AOC 的边长为2,所以OD=1,CD=3122
2
=-．所以C 点的坐标为(3,1)．
点拨：错解的错误有两处：一是C 点的横、纵坐标顺序颠倒；二是忽视点C 所在的象限,弄错了坐标的符号．其错因是没有真正理解点的坐标的意义及特征．由线段OD 长知点C 的横坐标的绝对值
为1,由CD 长知点C 的纵坐标的绝对值为3．因点C 在第二象限,故横坐标为负数,并且写在前面,纵坐标为正数,写在后面．
正解：求OD ，CD 长的过程同上．所以C 点的坐标为(-1,3)．
跟踪训练
1． 从车站向东走400米，再向北走500米到小红家；从车站向北走500米，再向西走200米到小强家，则（ ）
A ． 小强家在小红家的正东方向
B ． 小强家在小红家的正西方向
C ． 小强家在小红家的正南方向
D ． 小强家在小红家的正北方向
2． 过点A （2，-3）且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B ，则点B 坐标为（ ） A ．（0，2） B ．（2，0） C ．（0，-3） D ．（-3，0） 3． 已知点P （x 2-1，1）在第一、三象限的角平分线上，则x= ． 4． 如图1，象棋盘中的小方格均为1个长度单位的正方形，如果“炮”的位置可表示为（-2，1），帅的位置可表示为（1，-1） ，则“卒”的位置可表示为_______．
图1
5．（2013年德州）如图2，动点P 从（0，3）出发，沿图中所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到长方形的边时，点P 的坐标为_______．
图2
6．在如图3所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（4-，5），（1-，3）．
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，并作出△ABC 关于y 轴对称的 △A′B′C′；
（2）写出点B′的坐标．
C
B
A
图
3
第五章位置与坐标小结与复习
4．（3，2）5．（8，3）跟踪训练：1．B 2．C 3．2
6．⑴如图所示．
（2）B′(2,1)．。