2020届江西省南昌市四校联盟高三第二次联考数学(文)试题(解析版)

2020届江西省南昌市四校联盟高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．集合{|A y y ==，集合{|B x y ==，则A B =（ ）A ．{}|0x x ≥B ．{}2|x x ≤C ．{}|02x x ≤≤D ．∅【答案】C【解析】根据题意，分析可得集合A 为函数y =B 为函数y =A 、B ，进而由交集的定义计算可得答案．【详解】解：根据题意，集合{|A y y ==，为函数y =则{}|0A y y =≥，集合{|B x y ==，为函数y ={}|2=≤B x x ，{}|02AB x x ∴=≤≤；故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，关键是利用集合的表示法分析求出集合A 、B ，属于基础题． 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．11ii-+ B ．1ii+ C ．()21i i +D ．()21i i +【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：因为()()()211111i i i i i i --==-++-，()2111i i i i i i++==- ()2122i i i i +=⨯=-，()211ii i +=--，∴运算结果为纯虚数的是11ii-+． 故选：A ． 【点睛】3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降 【答案】D【解析】根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【详解】对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题. 4．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（ ） A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得()f x 的一个减区间．解：对于函数2()3sin 23sin 23cos 23cos 232666f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令2226k x k ππππ-+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ++，k Z ∈，可得函数的单调递减区间为7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令0k =，可得选项B 正确， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题．5．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为1cos50︒，则一条渐近线的倾斜角为（ ） A ．40︒ B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】依题意可得22222211cos 50c b e a a ==+=︒，根据同角三角函数的基本关系可得sin 50tan 50cos50b a ︒==︒︒，即可得解； 【详解】解：依题意可得1cos50c e a ==︒所以22222211cos 50c b e a a ==+=︒ 22211cos 50b a ∴=-︒2222sin 50cos 50b a ︒∴=︒ sin 50tan 50cos50b a ︒∴==︒︒因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，故其中一条渐近线的倾斜角为50︒，【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题． 6．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 成等比数列，且3a c +=，3cos 4B =，则AB CB ⋅=（ ） A ．32B ．32-C ．3D ．-3【答案】A【解析】先求a c +的平方，利用a 、b 、c 成等比数列，结合余弦定理，求解ac 的值，然后求解·AB CB ． 【详解】解：因为3a c +=，所以2229a c ac ++=， 又a 、b 、c 成等比数列：2b ac =， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-， 又因为3cos 4B =， 解得2ac =， 3cos 2AB CB ac B ==故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，等比数列的性质，余弦定理，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．7．已知)*n a n N =∈，则在数列{}n a 的前40项中最大项和最小项分别是（ ） A ．1a ，30a B ．1a ，9aC ．10a ，9aD ．12a ，11a【答案】D【解析】把给出的数列的通项公式变形，把n a 看作n 的函数，分析其单调性，即可得出结论． 【详解】解：1n a ==，故当123n <时，1n a <，且单调递减， 当123n >时，1n a >，且单调递减， 1112312<．∴这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是12a ，11a ．故选：D ． 【点睛】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．8．已知函数2()|ln |1||f x x x =-+与()2g x x =，则它们所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】作函数2ln 1||,2y x y x x =-=-图像，由图可知所有交点的横坐标之和为224⨯=，选C.点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a ，b ]上是否有f (a )·f (b )<0，还需考虑函数的单调性． 9．若点的坐标满足，则点的轨迹图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义域，可排除C 、D 选项，再根据对数函数的运算性质，可排除A 选项，得道答案. 【详解】 由题意，满足，可排除选项C 、D ；又因为，所以，即且，排除选项A ，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用对数函数的基本性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（ ） A ．5B ．26C ．45D ．6【答案】B【解析】取BC 中点F ，11A D 中点G ，连结DF 、1B F 、1DB 、DG 、1GB ，GF ，则//BE DF ，1//A E GD ，从而过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面为四边形1DFB G ，由此能求出过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积．【详解】解：取BC 中点F ，11A D 中点G ，连结DF 、1B F 、1DB 、DG 、1GB ，GF ， 棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，//BE DF ∴，1//A E GD ，又1A EBE E =，DG DF D ，1A E 、BE ⊂平面1A BE ，DG 、DF ⊂平面1DFB G ，∴过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面为四边形1DFB G ，144423DB =++=， 25322GF =-=，∴过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为：111123222622FB GD S DB GF =⨯⨯=⨯⨯=菱形．故选：B ．【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．11．过直线l ：2y x a =+上的点作圆C ：221x y +=的切线，若在直线l 上存在点M ，使得过点M 的圆C 的切线MP ，MQ （P ，Q 为切点）满足90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[]22-,C ．(][),11,-∞-+∞D ．(][),22,-∞-+∞【答案】A【解析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为(0,0)C 到直线l 的距离小于或等于2a 的不等式求解．【详解】解：圆22:1C x y +=，圆心为：(0,0)，半径为1，在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，(MQ P ，Q 为切点）满足90PMQ ∠=︒，∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到(0,0)C 2，∴只需(0,0)C 到直线:2l y x a =+，2，解得11a -，即[]1,1a ∈-故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，是解决问题的关键，属于中档题．12．若关于x 的不等式1181xx λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数λ的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】原不等式转化为33273344lnxln ln xλλ=，令()lnx f x x =，利用导数和函数的单调性即可求出． 【详解】解：1181x x λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴1118ln ln x x λ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 不等式1181xx λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，0λ∴>，∴33273344lnxln ln xλλ=， 令()lnx f x x=，则21()lnx f x x -'=，∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 23e <<，216327(2),(3)2839ln ln ln ln f f ====， ()()23f f ∴<，∴只需27(3)34ln f λ， 即394λ，12λ，即实数λ的最小值为12， 故选：D ． 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的最值的关系，考查了转化与化归思想，属于中档题．二、填空题13．已知函数()xf x e b =+的一条切线为1y x =+，则b =______.【答案】0【解析】设切点为()00,xe b P x +，利用导数的几何意义可得01x e =，与001x e b x +=+联立即可求得b 的值． 【详解】解：设切点为()00,xe b P x +，则00()1x f x e '==① 又001x e b x +=+②， 由①②得：00x =，0b =． 故答案为：0． 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算能力，属于基础题． 14．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S 有最大值，且202020191a a <-，则使得0n S >的n 的最大值为______. 【答案】4037【解析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【详解】解：由题意知0d <，因为202020191a a <- 所以20190a >，201920200a a +<，因此()403714037201914037403702S a a a =⨯+⨯=>，()()403814038201920201140384038022S a a a a =⨯+⨯=⨯+⨯<，故使得0n S >的n 的最大值为4037 故答案为：4037．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．已知向量1a b ==，且12a b ⋅=，若c xa yb =+，其中0x >、0y >且4x y +=，则c 的最小值为______. 【答案】23【解析】由平面向量的数量积求出2c ，再利用基本不等式求出2c 的最小值，即可得到c的最小值； 【详解】解：因为1a b ==，且12a b ⋅=，且c xa yb =+， ()222222222c x a y b xya b x y xy x y xy ∴=++=++=+- 又0x >、0y >且4x y +=242x y xy +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等号，()222244122x y c x y +⎛⎫∴≥+-=-= ⎪⎝⎭c ∴的最小值为23， 故答案为：23 【点睛】本题考查平面向量的数量积及基本不等式的应用，属于中档题.16．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()3,6，圆2C ：22680x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则2PN QM +的最小值为______.【答案】1262+【解析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得112||||PF QF p+=，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案． 【详解】解：设抛物线的方程：22(0)y px p =>， 则3623p =⨯，则212p =，∴抛物线的标准方程：212y x =，焦点坐标(3,0)F ，准线方程为3x =-，圆222:680C x y x +-+=的圆心为(3,0)，半径为1，由直线PQ 过抛物线的焦点，可设()1,P ρθ，()2,Q ρπθ+，由1cos pρθ=-，可得1121||||3PF QF p +==． ()||2||||12||1PN QM PF QF ∴+=+++()()211||2||33||2||3333332231262QF PF PF QF PF QF PF QF PF QF ⎛⎫⎛⎫=++=+++=+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2PF QF =时取等号， 故答案为：1262+．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题． 17．如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设5,sin BAD αα∠==（1）求sin C ；（2）若·28BA BC =，求AC 的长.【答案】（172（2）5AC = 【解析】试题分析：（1）由α为三角形BAD 中的角，根据s inα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin ∠BAC 与cos ∠BAC 的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC 变形为sin sin 24C ππα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC 的值；（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC 与sin ∠BAC 的值代入得出28AB BC =，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB 代入求出BC 的长，再利用正弦定理即可求出AC 的长． 试题解析： 解：（1）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5sin 55α==， ∴2cos 1sin 5αα=-=， 则4sin sin22sin cos 2555BAC ααα∠====， ∴243cos 2cos 12155BAC α∠=-=⨯-=， ∴22232472sin sin 2sin 24455C πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+===⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（2）由正弦定理，得sin sin AB BCC BAC =∠472510BC=，∴28AB BC =，又·28BA BC =，∴2282AB BC⨯=，由上两式解得42BC=，又由sin sinAC BCB BAC=∠得425BC=，∴5AC=．三、解答题18．如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，90EDA∠=，且22ED AD AB AF===.（1）证明：平面ABE⊥平面EBD；（2）若三棱锥A BDE-的外接球的体积为823π，求三棱锥A BEF-的体积.【答案】（1）详见解析；（2）36.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得AB⊥平面EBD，由面面垂直的判断定理可得平面ABE⊥平面EBD.(2)将三棱锥中点A看作顶点，BEF3试题解析：(1) 因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF⋂平面,,ABCD AD ED AD ED≠=⊥⊂平面ADEF，ED∴⊥平面ABCD，AB≠⊂平面ABCD，AB ED∴⊥，又2,1,60,AD AB A AB BD===∴⊥.又,,BD ED D BD ED≠⋂=⊂平面,EBD AB∴⊥平面EBD，又AB≠⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面EBD.(2)由（1）得,AD DE AB BE ⊥⊥，所以三棱锥A BDE -的外接球的球心为线段AE 的中点34323AE π⎛⎫∴⋅⋅=⎪⎝⎭，解得2,1AE AD ED AB AF =====，111232A BEF B AEF V V --∴==⨯⨯⨯=. 19．某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按100计），随机对20名六十岁以上的老人和20名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表表2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表表3：（1）若该小区共有中青年人500人，试估计其中满意度不少于80的人数；（2）完成表3的22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？（3）从表3的六十岁以上的老人“满意度小于80”和“满意度不小于80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取3人，求至少有两人满意小于80的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）150；（2）没有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”；（3）7 10.【解析】（1）根据抽样比例求得抽取满意度不少于80的人数；（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）利用分层抽样方法抽取样本，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】解：（1）根据表中数据知，20人中满意度不少于80的人数为6人，该小区中青年人500人中，满意度不少于80的人数为6 50015020⨯=；（2）完成表3的22⨯列联表如下，由表中数据，计算2240(126148)0.440 2.70620202614K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯；∴没有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”；（3）从表3知，用分层抽样方法抽取一个容量为5的样本，满意度小于80的抽取3人，记为A、B、C，满意度不小于80的抽取2人，记为d、e；从这5人中任取3人，基本事件是ABC、ABd、ABe、ACd、ACe、Ade、BCd、BCe 、Bde 、Cde 共10种；至少有两人满意小于80的是ABC 、ABd 、ABe 、ACd 、ACe 、BCd 、BCe 共7种；故所求的概率是710P =． 【点睛】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，属于中档题．20．已知定直线:3l y x =+，定点(2,1)A ，以坐标轴为对称轴的椭圆C 过点A 且与l 相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦,AP AQ 的中点分别为,M N ，若MN 平行于l ，则,OM ON 斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.【答案】（1）22163x y +=（2）,OM ON 斜率之和为定值0【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，由题意构建关于a b ，的方程组，即可得椭圆方程．（Ⅱ）设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），可知PQ ∥MN ，所以k PQ =k MN =1，设直线PQ 的方程为y=x+t ，代入椭圆方程并化简得：3x 2+4tx+2t 2﹣6=0，利用韦达定理可计算0OM ON k k += 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠椭圆C 过点A ，所以41m n +=①，将3y x =+代入椭圆方程化简得：()26910m n x nx n +++-=，因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()()264910n m n n ∆=-+-=②，解①②可得，11,63m n ==，所以椭圆方程为22163x y +=；（Ⅱ）设点()()1122,,,P x y Q x y ，则有11222121,,,2222x y x y M N ++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意可知PQ MN ，所以1PQ MN k k ==，设直线PQ 的方程为y x t =+， 代入椭圆方程并化简得：2234260x tx t ++-=由题意可知1221243263t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩③ 1212121211112222OM ON y y x t x t k k x x x x +++++++=+=+++++， 通分后可变形得到()()()12121212234424OM ON x x t x x t k k x x x x ++++++=+++将③式代入分子()()()()()212121212226341212036123612OM ON t t t t k k x x x x x x x x -++-+++===++++++，所以,OM ON 斜率之和为定值0.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．已知函数()()1ln a f x a x x a R x+=--∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当e a <<x 的方程()1a f ax ax+=-有两个不同的实数解1x ，2x ，求证：12124x x x x +<.【答案】（1）当1a >-时，()f x 在(0,1)a +单调递增，在(1,)a ++∞单调递减； 当1a -时，()f x 在(0,)+∞单调递减．（2）证明见解析；【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，结合函数的单调性证明即可． 【详解】解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞，222211(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x+-+++-+-+'=--==， ①当10a +>，即1a >-时，()f x 在(0,1)a +单调递增，在(1,)a ++∞单调递减， ②当10a +，即1a -时，()f x 在(0,)+∞单调递减． （2）证明：设1()()()a g x f ax a lna lnx x ax+=+=+-， 所以(1)()(0)a x g x x x-'=>， 当01x <<时，()0g x '>，函数()g x 在区间(0,1)上单调递增； 当1x >时，()0g x '<，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递减； 所以()g x 在1x =处取得最大值．当e a <<1()a f ax ax+=-有两个不同的实数解1x ，2x 所以函数()g x 的两个不同的零点1x ，2x ，一个零点比1小，一个零点比1大． 不妨设1201x x <<<，由1()0g x =，且2()0g x =，得11()x ln ax =，且22()x ln ax =， 则121211,x x x e x e a a ==，所以121221x xx x e a+=，所以1212212121x x x x e x x a x x +=++，令12x x t +=，()te h t t=， 22(1)()t t t e t e e t h t t t --'==．12t x x =+，1201x x <<<，1t ∴>，所以()0h t '>，所以函数()h t 在区间(1,)+∞上单调递增，()()1h t h e >=，所以12()122212121144x x x x e e e x x a x x a e +=>>=++， 又因为121x x +>，所以12124x x x x +<．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．22．在平面直角坐标系中，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=.(1)求曲线2C 的参数方程；(2)过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A C 、和B D 、，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 周长最大时，求直线1l 的普通方程.【答案】（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)；（2）14y x =【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得2C 的普通方程，由此可求得2C 的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，点(2cos ,sin )A θθ，然后得到l 与θ的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得1l 的普通方程．试题解析：（Ⅰ）2214x y +=，2{x cos y sin θθ==（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点()2cos ,sin A q q ，8cos 4sin l θθ=+ ()θθθϕ⎫==+⎪⎭， 且cosϕ=，sin ϕ=所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sinθϕ==，sin cos θϕ== 此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的,x y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．23．已知函数()|21|f x x =-． （1）解不等式()||3f x x <+；（2）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：(67)f x ≤． 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）证明见解析. 【解析】(1)利用零点分段讨论法解绝对值不等式. (2)利用绝对值三角不等式即可证明结论. 【详解】（1）由()||3f x x <+得|21|||3x x -<+，则12213x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩，或102123x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩，或012 3.x x x ≤⎧⎨-<-+⎩， 解得142x ≤<，或102x <<，或20x -<≤，即24x -<<， 所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<. （2）证明：由1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤， 所以217()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326f x x x y y x y y =-=-++-≤-++-≤+=. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解与证明，利用零点分段讨论法解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式证明不等式.。