高中数学必修五第一章解三角形教案
高中数学新教材解三角形教案
高中数学新教材解三角形教案高中数学新教材解三角形教案1一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路.2、了解构造法在解题中的运用.三、教学重点及难点重点：平面对量知识在各个领域中应用.难点：向量的构造.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量?(1)力(2)功(3)位移(4)力矩2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?[说明]复习数量积的有关知识.二、学习新课例1(书中例5)向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用!请看例2(书中例3)证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.证法(二)向量法[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现(等号成立的充要条件是)例3(书中例4)[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明.二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.(2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系.四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4高中数学新教材解三角形教案2教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.2.会求一些简单函数的反函数.3.在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识.4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培育抽象、概括的能力.教学重点：求反函数的方法.教学难点：反函数的概念.教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，时间t是位移S的函数.在这种情况下，我们说t=是函数S=vt 的反函数.什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既可以拨去反函数这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性.二、实例分析，组织探究1.问题组一：(用投影给出函数与;与()的图象)(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为逆运算.)(2)由，已知y能否求x?(3)是否是一个函数?它与有何关系?(4)与有何联系?2.问题组二：(1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一(2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系?3.渗透反函数的概念.(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培育学生抽象、概括的能力.通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础.三、师生互动，归纳定义1.(根据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x = j (y) .如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数.这样的函数x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到用x表示自变量, y表示函数的习惯，将中的x与y对调写成.2.引导分析：1)反函数也是函数;2)对应法则为互逆运算;3)定义中的如果意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域;5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数;6)要理解好符号f;7)交换变量x、y的原因.3.两次转换x、y的对应关系(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)4.函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域AC值域CA四、应用解题，总结步骤1.(投影例题)【例1】求下列函数的反函数(1)y=3x-1 (2)y=x 1【例2】求函数的反函数.(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)2.总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f(y).2° 把x=f(y)中x与y互换得.3° 写出反函数的定义域.(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数?(2)的反函数是________.(3)(x0)的反函数是__________.在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握.通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培育学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力.题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进.并体现了对定义的反思理解.学生思考练习，师生共同分析纠正.五、巩固强化，评价反馈1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y =f( x)(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值.五、反思小结，再度设疑本节课主要讨论了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节讨论.(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.具体实践中可实行同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂.六、作业习题2.4第1题，第2题进一步巩固所学的知识.教学设计说明问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采纳了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，讨论性质，进而得出概念，这正是数学讨论的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对比、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主人。
下学期高一数学第一章解三角形全章教案 必修5
下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时 正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b cA B C==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin ADC b=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a cA C=， 所以sin sin sin a b cA B C ==． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b cA B C==．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中 ，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-； 当C ∠为钝角时，90C α=-︒． 故可得sin sin 0c B b C -=，即sin sin b cB C=． 同理可得sin sin a cA C =． 因此sin sin sin a b c A B C==． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C==， 所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒===+︒．因此， b ，c 的长分别为102和5256+．例2．根据下列条件解三角形： （1）3,60,1b B c ==︒=； （2）6,45,2c A a ==︒=．解：（1）sin sin b cB C =，∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．（2）sin sin a cA C=，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 756075,31sin sin 60c B C B b C =====+时，； ∴当sin 6sin1512015,31sin sin 60c B C B b C =====-时，； 所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． （2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．（3）在ABC ∆中，30bc =，1532ABC S ∆=，则A ∠= ． （4）课本第9页练习第1题． 五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形． 六．课外作业：课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题§1.1.1第2课时 正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； （2）熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理． 教学过程 一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？ 二．学生活动学生根据第5页的途径（2），（3）去思考． 三．建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以ABC ∆的面积为1sin 2ABC S ac B ∆=．同理ABC ∆的面积还可以表示为1sin 2ABC S ab C ∆=及1sin 2ABC S bc A ∆=，所以111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==． 所以sin sin sin a b c A B C==． 证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证2sin b R B =，2sin c R C =．所以2sin sin sin a b cR A B C===． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径． 由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）106a =，203b =45A =︒，求B ； （4）202a =203b =45A =︒，求B ；（5）4a =，33b =，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而210632=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而22032022031062>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又1034sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒， 所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，αβπβ-αACBD在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+， ∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ． 例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=， 又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 2．练习：（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )A ．4:1:1 B ．2:1:1 CD（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ． 五．回顾小结：1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 六．课外作业：课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形． 教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形． 教学过程 一．问题情境 1．情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式BC BA AC =+数量化吗？二．学生活动如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=． 三．建构数学 1． 余弦定理上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显 然成立．同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=．4．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，（1） 已知3b =，1c =，060A =，求a ；A BCcab（2） 已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．解：（1）由余弦定理，得2222202cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以 a =（2）由余弦定理，得222222564cos 0.752256b c a A bc +-+-===⨯⨯， 所以，041.4A ≈．例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解：由余弦定理，得所以，168()AB m ≈答：,A B 两地之间的距离约为168m ．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-<+，即 222a b c +>．同理可证，当C 为钝角时，222a b c +<．2．练习：书第15页 练习１，２，３，４ 五．回顾小结：1．余弦定理及其应用2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如． 教学过程 一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2221.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈， 所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab+-==， 所以 22222a a b c b ab+-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==， 所以2222122AB AC AM BC +=+，因此， 22212()2AM AB AC BC =+-． 例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ， 即10AB =；③ABC S ∆11133sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书第16页 练习１，２，３，４DCBA（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值； 五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状． 六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题； （2）掌握求解实际问题的一般步骤． 教学过程 一．问题情境 1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===； B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；②RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=， 则48DBC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠.在ABC ∆中， 由余弦定理，得3233.95≈， 所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）.由正弦定理，得图1-3-1图1-3-2sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-， 4415sin 2033233322AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
高中数学必修五解三角形教案
高中数学必修五解三角形教案高中数学必修五解三角形教案篇一：高中数学必修5解三角形知识总结及练习解三角形一、知识点：1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R 为C的外接圆的半径，则有abc2R．（两类正弦定理解三角形的问题：1、已知sin?sin?sinC两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.）2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；②sin??等式中）③a:b:c?sin?:sin?:sinC；abc，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的2R2R2Ra?b?cabc．sin??sin??sinCsin?sin?sinC1113、三角形面积公式：SC?bcsin??absinC?acsin? 222④?a2?b2?c2?2bccosA?2224．余弦定理：?b?a?c?2accos(本文来自： 教师联盟网:高中数学必修五解三角形教案)B 或?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?a2?c2?b2? ?cosB?2ac?? b2?a2?c2?cosC?2ab?（两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.）2225、设a、b、c是C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90?为222222直角三角形；②若a?b?c，则C?90?为锐角三角形；③若a?b?c，则C?90?为钝角三角形．6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.7．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sinA?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222二、知识演练1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )．A．90°B．120°C．130°D．150°2224．在△ABC 中，a?b?c?bc ，则A等于（）A．60°B．45°C．120°D．30°5．在△ABC中，A为锐角，lgb-lgc=lgsinA=－lg2, 则△ABC为（）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形b6、锐角?ABC中，B=2A，则a的取值范围是（）A（-2，2）B（0，2）C（2，2）D2,）7.在?ABC中．sinA?sinB?sinC?sinBsinC．则A的取值范围是222 ?A．（0，6]B．[ 6，?）C．（0，3]D．[ 3，?）?8.在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45，若△ABC有两解，则x的取值范围是_______________9. ?ABC中，B?60?,AC，则AB+2BC的最大值为_________．10．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝123，bc＝48，b-c＝2，求a11.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA?2，AB?AC?3．（I）求?ABC的面积；（II）若b?c?6，求a的值．12、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S?2a?b2?c2)。
高中数学第一章解三角形教案新人教版必修5B
解三角形复习课 教案（一）教学目标：（1）运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（3）培养学生分析问题、解决问题，自主探究的能力。
（二）教学重点与难点：重点：（1）正弦定理与余弦定理的应用。
（2）题目的条件满足什么形式时适合用正弦、余弦定理解决问题。
难点：（1）利用正弦定理求解过程中一解、二解的情况。
（2）从实际问题抽象出数学问题。
（三）教学过程：观察引入：？ 让学生观察思考：在△ABC 中，请给出适当的条件，并根据你给出的条件可以得到什么结论？（培养学生自主探究和学习的能力）根据学生所答，教师归纳总结正弦定理，余弦定理公式：（正弦定理）正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
Cab b a c B ca a c bAbc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= （余弦定理）余弦定理可解以下两种类型的三角形：BR C c B b A a 2sin sin sin === （1）已知三边；（2）已知两边及夹角.（四）例题精讲：让学生自主探究，分析问题，解决问题。
（可用正、余弦2种方法解决，注意解的个数）例2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西300，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？（角度精确到10）根据题目要求把实际问题转化成解三角形问题，对应的边长和角度可从已知条件中获得。
（五）课堂练习：1.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定2.ABC 中，8b =，c =，ABC S =，则A ∠等于 （ ）A 30B 60C 30或150D 60或1203.△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）145,,.ABC a b B A C c ︒∆===例在中，已知求和A 2B 1 24.ABC中，:1:2A B=，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cos A=（）A 13B12C34D 05.果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定参考答案：1．C 2。
(完整word版)1高中数学必修5第一章_解三角形全章教案(整理)
课题: §1．1．1正弦定理如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcA B C ==思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =， C 同理可得sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B=sin c C= A c B从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin abA B =sin cC =[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）sin sin ab A B =sinc C=等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
例1．在∆ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。
高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5
（新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容？生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和一边类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === （4）已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC．师思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．生还有余切的二倍角公式．师你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．师对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】将一块圆心角为120°，半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P在OA上，顶点M在圆弧上，设∠M OA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ，即当4πθ=时，S m a x=200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．C ．D ． 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） ＞d 2=d 2 ＜d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。
高中数学余弦定理教案(优秀5篇)
高中数学余弦定理教案（优秀5篇）高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了边与角的互化，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。
(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
⒈情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；(三)本节课的重难点教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。
教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。
下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说学情从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
高中新课标必修5第一章解三角形教案
高中新课标必修5第一章 解三角形 教案讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。
二、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R例1．（1）、已知∆ABC 中，∠A 060=，a 求sin sin sin a b cA B C++++ (=2)（2）、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例2．（1）、在∆ABC 中，已知=ac 060=B ，求b 及A （=b60.=A ）（2）、在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
例3．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形∆。
练习： （1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。
（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）例4．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为2，求sin sin sin a b cA B C++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin abAB=sin cC==sin sin sin a b cA B C++++解：由1sin 2S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a =从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin aA==例题5、某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。
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数学必修5知识点
第一章 解三角形
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 2、正弦定理的变形公式
（1）2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； （2）sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； （3）::sin :sin :sin a b c C =A B ；
（4）
sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===A +B +A B ．
3、三角形面积公式：111
sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．
4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2
2
2
2cos a b c bc =+-A ，2
2
2
2cos b a c ac =+-B ，
2222cos c a b ab C =+-．
5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac
+-B =，222
cos 2a b c C ab +-=．
6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： （1）①若2
2
2
a b c +=，则90C =
；
（2）若222
a b c +>，则90C <
；
（3）若222
a b c +<，则90C >
．
解三角形测试题
（满分100分 90分钟）
姓名_______________
一、选择题：（每题5分，共40分）
1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）
A ．60°
B ．60°或120°
C ．30°或150°
D ．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A ．a=1,b=2 ,c=3
B ．a=1,b=2 ,∠A=30°
C ．a=1,b=2,∠A=100°
D ．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC 中，有
（ ）
A ．cosA>sin
B 且cosB>sinA
B ．cosA<sinB 且cosB<sinA
C ．cosA>sinB 且cosB<sinA
D ．cosA<sinB 且cosB>sinA 4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ）
A ．B>60°
B ．B ≥60°
C ．B<60°
D ．B ≤60°
6、满足A=45,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为
（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．不定
7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 （ ）
A ．
)sin(sin sin αββα-a B ．)
cos(sin sin βαβ
α-⋅a
C ．)sin(cos sin αββα-a
D ．)
cos(sin cos βαβα-a
D C
α β
8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）
A ．a (km)
B ．3a(km)
C ．2a(km)
D ．2a (km)
二、填空题：（每题5分，共20分） 9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=
12
7
, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
11、在ΔABC 中，若S ΔABC =
4
1 (a 2+b 2－c 2
),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32
31
,则cosC=_______.
三、解答题：（共4题，每题10分，共40分）
13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=B
A B
A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).
14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B,
A cos 1+ C cos 1 =－ B
cos 2
, 求2
cos
C
A 的值.
15、二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长. ①证明方程有两个不等实根； ②证明两个实根α,β都是正数； ③若a=c,试求|α－β|的变化范围.
16、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在岛北60°东C处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B处, 俯角60°.
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千
米？。