线性规划的对偶理论

互补松弛性：将原问题和对偶问题的最优
解分别带入各自的线性规划模型中时，存在
如下关系：
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3对偶问题的基本性质（续）
互补松弛性：将原问题和对偶问题的基最优解分 别带入各自的线性规划模型中时，存在如下关系：
原问题（L）
对偶问题（D）
第i个约束条件为严格的不等式
对应的第i个变量值=0
第i个约束条件为等式
3对偶问题的基本性质
❖ 对称性：对偶问题的对偶问题是原问题
❖ 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目 标函数值，不大于其对偶问题任意可行解的 目标函数值
MaxZ CX
MinW bY
L）
s.t.
AX b X 0
和 D）
YA C
s.t.
Y
0
均有可行解，分别为 X~ 和 Y~ ，则CX~ ≤ Y~b。8
x1+ 2x3 -x4 ≤ 4
-x1+3x2
-x4+ x5 =-2
x1，x2，x3 ≥0;
x4 ≤ 0; x5无约束
2y1+ y2- y3 ≤3
y1 +3y3 ≤2
-4y1+ 2y2 ≤-6 y1 -y2 -y3 ≥ 0
3y1
+y3=1
y1 ≥ 0，y2 ≤ 0，
y3 无约束
7
0 0
1/10 -12
30
13
换基迭代
39 / 5 0 1 0 2 / 5 240 [5 / 2 ] 0 0 1 1/ 2 50
3 / 10 34
1 0
0 0
0 0
1/10 12
30
0 0 1 -78/5 29/5 84 x3 1 0 0 2 / 5 1/ 5 20 x1
0
10
-3/25
（用于生产第i种产品的资源转让收益不小 于生产该种产品时获得的利润又最富有竞争
力（资源的总价格最低） ）
Min w=360y1+200y2+300y3
9y1+4y2+3y3 ≥70
s.t.
4y1+5y2+10y3 ≥120
y1，y2，y3 ≥0
2
原问题与对偶问题之比较
原问题：
对偶问题：
Max z=70x1+120x2 Min s.t. w=360y1+200y2+300sy.t3.
3对偶问题的基本性质（续）
无界性：原问题无界，对偶问题无可行解
对偶定理（强对偶性）：若一个问题有最优解， 则另一问题也有最优解，且最优目标函数值相等。 若原问题最优基为B，则其对偶问题最优解 Y*=CBB-1
证 CN CBB1N 0 (CB ,CN ) CBB1(B, N ) 0
CBB1A C 令 Y * CB B1 则 Y *为对偶问题的可行解；
1、资源紧缺状况 2、确定资源转让基价 3、取得紧缺资源的代价 参见：P61
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例1的求解
9 4 1 0 0 360
4 5 0 1 0 200
3 70
[10 ] 120
0 0
0 0
1 0
300
39/5 0 1 0 -2/5 240
5/2 0 0 1 -1/2 50
33/410
1 0
0 0
4/25
24
x2
0 0 0 -68/5 -26/5
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4影子价格—约束条件所付出的代价
过一例个剩1台；中时y的2=，影13利子.6，润价设增格备加：台1y31时=.60元最，；紧第y张一3=，5种.每2资…增源加
当市场价格低于影子价格时，可以买进 这种资源，扩大生产；当市场价格高于影 子价格时，宁愿卖出这种资源，更为划算。
9x1+4x2≤360
4x1+5x2
≤200
3x1+10x2 ≤300
x1≥0 x2≥0
9y1+4y2+3y3 ≥70
4y1+5y2+10y3 ≥120
y1 ≥0, y2 ≥0, y3 ≥0
3
对偶规则
原问题一般模型：
Max z=CX
s.t. AX ≤b
X
≥0
对偶问题一般模型：
min w=b’Y
当影子价格为零时，说明该资源不紧缺。
若再增加这种资源也不会带来任何经济效
益。
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5 对偶单纯形法
单纯形法：初始可行基（对应一个初始基本可行 解）→迭代→另一个可行基（对应另一个基本可 行解），直至所有检验数≤0为止。 即 在保持原始可行的前提下(b列保持≥0)， 通过
逐步迭代实现对偶可行(实现检验数行≤0)。
s.t. A’Y≥C ’
Y ≥0
4
对偶规则
❖ 原问题有m个约束条件，对偶问题有m个变量 ❖ 原问题有n个变量，对偶问题有n个约束条件 ❖ 原问题的价值系数对应对偶问题的右端项 ❖ 原问题的右端项对应对偶问题的价值系数 ❖ 原问题的系数矩阵转置后为对偶问题系数矩阵 ❖ 原问题的约束条件与对偶问题方向相反 ❖ 原问题与对偶问题优化方向相反
5
对偶规则
.
原问题
对偶问题
目标函数 max min 目标函数
约束条件 ≤
≥
变量
≥
≤
=Байду номын сангаас
无约束
≥
≥
变量符号 ≤
≤ 约束条件
无约束 =
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对偶规则简捷记法
❖原问题标准则对偶问题标准
❖原问题不标准则对偶问题不标准
❖例题2
max w=7y1+4y2-2y3
min z=3x1+2x2-6x3+x5
2x1+x2-4x3+x4+3x5 ≥7
对偶单纯形法： （换个角度考虑LP求解过程） 保持对偶可行的前提下（检验数行保持≤0） ， 通过逐步迭代实现原始可行（实现b列≥0，从非
对应的第i个变量值≥0
第j个变量值＞0 第j个变量值=0
对应的第j个约束条件为等式
对应的第j个约束条件取严格的
不等式
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4对偶最优解的经济解释—影子价格
❖ z = w=CX=Yb Z/ b=(Yb)’=Y ❖ z =Yb= ∑yibi的意义：Y是检验数的相反数。在Y
确定的前提下，每增加一个单位的i种资源，对目 标函数的贡献。 ❖ 影子价格所含有的信息：
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设原问题的最优解为 X *
由 CX * CB B1b Y *b 可知 Y * 为对偶问题的最优解。
主对偶定理：若原始问题和对偶问题两者 均可行，则两者均有最优解，且此时目标函 数值相同。
由 CX * Y * AX * Y *b 知
Y * AX * b 0 及 C Y *A X * 0 可得
1 对偶问题
换个角度审视生产计划问题
❖对偶问题的提出
例1：生产A、B两产品的情况如下表。现 在销路不畅，可以将所有资源出租或外卖，问 我们的价格底线是什么？
产品A 产品B 资源限制
劳动力
9
4
360
设备
4
5
200
原材料
3
10
300
单位利润 70
120
1
对偶模型
❖ 设每个工时收费y1元，设备每台时收费用y2 元，单位原材料收费y3元。